【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想

【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．
2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．
3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．
4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.
5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．
7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.
8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92
，则a 1的值为__________． 9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．
10．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．
11．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为________________．
12．若x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．
二、解答题
13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x
－1 (a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是
[－5,1]，求常数a ，b 的值．
15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )． 答 案
1．(－2,2] 2. 3 3.－112
，0 4．323或16 3 5.5或52 6．43或83 3 7.12或2 8.32或6 9.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，14 10．[0,4] 11．a >0且b ≤0 12．(1,2] 13．解 设t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1.
(1)当a >1时，因为x ∈[－1,1]，
所以t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，a ， 而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，
故在t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，a 上，y 单调递增，
所以y max ＝(a ＋1)2
－2＝14，故a ＝3.
(2)当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]， 所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，
故在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1
a 上，y 单调递增，
所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12
－2＝14，故a ＝1
3.综上知a ＝3或a ＝1
3.
14．解 f (x )＝2a ·1
2(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b
＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x ≤π
2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6≤1.
因此，由f (x )的值域为[－5,1]
可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，
－2a ×－12＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或
⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×－1
2＋2a ＋b ＝－5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2
b ＝1. 15．解 f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1
42＋1
8.
(1)若m <n ≤－14，必有⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝2m ，f n ＝2n .
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，m ＝－32或⎩⎪⎨
⎪⎧ n ＝0，
n ＝－3
2，与m <n ≤－1
4矛盾．
(2)若－14≤m <n ，必有⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝2n ，
f n ＝2m ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－2m 2
－m ＝2n ， ①－2n 2－n ＝2m . ② 两式作差得m ＋n ＝1
2，将其代入①式，得2m 2－m ＋1＝0，Δ＝－7<0，
∴方程无实根．
(3)若m <－14<n ，则必有：2n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝18，∴n ＝1
16. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
16＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9
16＝－9
128，故
①当－9
16≤m <－14时，也有2m ＝－9
128.
∴m ＝－9256，与m <－14矛盾．
②当m <－916时，有f (m )＝2m .
解得m ＝－32或m ＝0(舍去)．综上可知，m ＝－32，n ＝116.。