2020-2021深圳宝安区桥兴学校高中必修二数学下期中试题及答案

2020-2021深圳宝安区桥兴学校高中必修二数学下期中试题及答案一、选择题1．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+2．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4） 4．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-6．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π7．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（） A ．20π B ．40π C ．80π D ．160π8．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 10．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．23πB ．43π C ．53π D ．2π 11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行二、填空题13．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.14．如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____15．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.16．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是．（请把正确结论的序号都填上）17．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．18．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________19．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.三、解答题21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论；（2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC 的值. 23．在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．24．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ；（2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．25．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ；（2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ；（2）证明：//DE 平面ABC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 2．C解析：C【解析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =，所以表面积为25π.7．C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =.ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A ==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得5R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.9．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.11．B解析：B 【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．12．D解析：D 【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，Q 在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥Q 平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ^Q ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.二、填空题13．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个解析：20π【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得25PC =22PB =PBC V 为直角三角形，可得23BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径2222152PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭O 的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，25PC =22PB =因为PBC V 为直角三角形，因此23BC =7BC =（舍）．所以只可能是23BC =此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==，又因为2PA =，所以外接球O的半径R === 所以球O 的表面积为24π20πS R ==．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．14．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常解析：32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．15．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析：27310x y -+=【解析】【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.16．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直．【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错．故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．17．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正解析：13-【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论. 【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，32AM MC ==，在正四棱锥PABCD -中，2AC = 在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.19．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理．详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2，∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，==又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面解析：23【解析】【分析】作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值. 【详解】设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，3BE ==，所以2sin 3EF EBF BE ∠==. 故答案为：23【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.三、解答题21．（1）在BE 上取点F ，使得14BF BE =；证明见解析；（2）证明见解析；（3）22【解析】【分析】（1）在BE 上取点F ，使得14BF BE =，根据直线和平面平行的判定定理即得；（2）由线面垂直的判定定理即得；（3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ，由//DE AG ，可知AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，已知AC ⊥平面BCE ，根据所给条件计算即得. 【详解】（1）如图，在BE 上取点F ，使得14BF BE =，理由如下：OF 是ABG V 中位线，//,//OF AG FO DE ∴∴，OF ⊄平面CDE ，//OF ∴平面CDE . （2）已知AD ⊥平面ABC ，又//AD BE Q ，BE ∴⊥平面ABC ，BE AC ∴⊥，又AC CB ⊥AC ∴⊥平面EBC . （3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ，//DE AG Q ，∴AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，又AC ⊥平面BCE ， AGC ∴∠是AG 与平面CBE 所成的角，在Rt ABC ∆中，4AB =，22AC =，22BC ∴=，∴在Rt BCG ∆中，223CG BC BG =+=， ∴在Rt ACG ∆中，22tan 3AC AGC CG ∠==，即直线DE 与平面CBE 所成角的正切值为223.【点睛】本题考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判断定理，以及求直线和平面所成的角的正切值，属于中档题. 22．（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得APPC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴12PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -x =，解得4x =.∴AP =53AP PC =. 23．（1）见解析（2）见解析【解析】[证明] （1）∵AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，∴F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E ⋂=，∴平面EFG ∥平面ABC .（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥， ∴AF ⊥平面SBC ，∵BC ⊂平面SBC ，∴AF BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AF AB A ⋂=，AF 、AB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB ，∵SA ⊂平面SAB ，∴BC SA ⊥.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.24．（1）证明见解析；（2）11.【解析】【分析】（1）取BE 中点N ，连,MN CN ，得1//,2MN AB MN AB =，可证四边形CPMN 为平行四边形，进而有//MP CN ，即可证明结论；（2）设2AB AE ==，由已知可得AE ⊥平面ABCD ，过F 做//FQ AE ，交AB 于Q ，得FQ ⊥平面ABCD ，过Q 做QO BD ⊥垂足为O ，连FO ，可证BD ⊥平面FOQ ，得到FOQ ∠为二面角F BD A --的平面角，解Rt OFQ ∆即可.【详解】（1）取BE 中点N ，连,MN CN ，又M 为AE 的中点，1//,2MN AB MN AB ∴=，在正方形ABCD 中，P 是CD 中点， //,CP MN CP MN ∴=，∴四边形CPMN 为平行四边形，//MP CN ∴，MP ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ， //PM ∴平面BCE ；（2）设2AB AE ==，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =， AE AB ∴⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AE ⊂平面ABEF ，AE ∴⊥平面ABCD ，过F 做//FQ AE ，交AB 于Q ， FQ ∴⊥平面ABCD ， FA FE =Q ，45AEF ∠=︒，,45,45EF AF EAF AF FAQ ∴⊥∠=︒∴=∠=︒，在Rt AFQ ∆中，1,3FQ AQ BQ ===，过Q 做QO BD ⊥垂足为O ，连FO ，FQ ⊥Q 平面,ABCD FQ BD ∴⊥，FQ OQ Q =I ，BD ∴⊥平面,FOQ BD OF ⊥，FOQ ∠为二面角F BD A --的平面角，在Rt BOQ ∆中，3,45,BQ OBQ OQ =∠=︒∴=在Rt FOQ ∆中，OF ==sin 11FQ FOQ OF ∴∠==，∴二面角F BD A --所成角的正弦值11.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求二面角，利用垂直关系做出二面角的平面角是解题的难点，要注意空间垂直间的相互转化，属于中档题.25．（1）见详解；（2）见详解；（353. 【解析】【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.【详解】(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P .又MD APC ⊄平面，AP APC ⊂平面，所以MD APC ∥平面.(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP P ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P I ＝，所以AP PBC ⊥平面.因为BC PBC ⊂平面，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC APC ⊥平面.(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP P ，所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以3535,PB MB MD MB ====.由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝. 于是111433222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝. 所以115353333D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯⨯=g △＝＝＝. 【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =，易得1//AD BB 且112AD BB =，所以//AD OE 且AD OE =，DE AO，所以四边形OADE为平行四边形，则//因为AO⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，DE平面ABC.所以//【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。

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2020-2021深圳宝安区展华实验学校高中必修二数学下期中第一次模拟试题(含答案)

2020-2021深圳宝安区展华实验学校高中必修二数学下期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒2．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥4．下列命题正确的是（） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）6．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在8．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或19．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π10．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（） A ．62+45 B ．62+25 C ．32+45D ．32+25 11．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．3πB 3C ．4πD 3 二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________ 14．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.15．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．18．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.19．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.22．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积. 23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +-=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1-（1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥m 的取值范围； ②若OM ⊥ON ，求m 的值.24．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程； (2) DC 边所在直线的方程．25．若圆M 的方程为22(2)(5)10x y -+-=，△ABC 中，已知(1,1)A ，(4,2)B ，点C 为圆M 上的动点．（1）求AC 中点D 的轨迹方程；（2）求△ABC 面积的最小值．26．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内，若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．C解析：C 【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =，所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.3．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.4．C解析：C 【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.5．C解析：C 【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.6．B解析：B 【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „故2222000103634PO x y y y ==+-+„ 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO „，从而得到不等式求出参数的取值范围．7．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.8．D解析：D 【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得25R =，故球O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10．A解析：A 【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.11．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径DE =243S ππ== 故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.二、填空题13．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④【解析】【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确；对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错；对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错；对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．14．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ，由此能求出该球的表面积．【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ，△PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB ＝2，∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π．故答案为：7π．【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题． 15．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====122ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以h =ABC 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力16．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结【解析】【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-Q ，所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===.故答案为：12-+. 【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题. 17．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.18．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】解析：74 【解析】【分析】将2291041y x x x =++-+变形为()2222354y x x =++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值；【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题. 19．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）证明见解析；（22；（3）33. 【解析】【分析】（1）通过折叠关系得PD CD ⊥，计算并证明PD BD ⊥，即可得证线面垂直；（2）结合已证结论以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别通过平面BCD 和平面BDE 的法向量求出其余弦值，再求出正弦值；（3）计算出平面BDE 的法向量与AB 的方向向量的夹角余弦值的绝对值即可.【详解】（1）梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，2DA =，四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ⊥，2AB DA ==，22BD =，所以四边形ABCD 为正方形，CD DS ⊥，折叠后，CD DP ⊥，2PD =，23PB =，在三角形PBD 中，2224812PD BD PB +=+==，所以BD DP ⊥，,CD DB 是平面ABCD 内两条相交直线，所以PD ⊥面ABCD ；（2）,,DA DC DP 两两互相垂直，以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C P E (2,2,0),(0,1,1)DB DE ==u u u r u u u r ，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =r则2200DB n x y DE n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，解得y z x z =-⎧⎨=⎩，令1z =，取(1,1,1)n =-r 由（1）可知，PD ⊥面ABCD ，取平面ABCD 的法向量(0,0,2)DP =u u u r3cos ,332DP n ==⨯u u u r r ，根据图形，二面角E BD C --3所以二面角E BD C --2；（3）(0,2,0)AB =u u u r ，由（2）可得平面BDE 的法向量(1,1,1)n =-r设直线AB 与平面BDE 所成的角为θ， 23sincos ,23AB n θ-===⨯u u u r r . 所以AB 与平面BDE 所成的角的正弦值33. 【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明，空间几何体中求二面角和线面角的三角函数值，建立空间直角坐标系解决问题更加清晰明了，注意容易计算出错和公式记错.22．（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积．试题解析：（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =.所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =.又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .（2）解：（方法1)在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ,所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得3AD =.在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以1B BC ∆的面积2144S B BC ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积111833V S B BC AD =⨯∆⋅=⨯=. (方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒，所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ⊂平面11B C CB ，所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积24ABC S ∆==在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以1B D =.所以三棱锥1B ABC -的体积111833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．23．（1）22(2)(1)4x y -++=；（2）①51m -≤≤-；②32m -+=或m = 【解析】【分析】（1）假设圆的方程，利用以()2,1C -为圆心的圆与直线10x y +-=相切，即可求得圆C 的方程；（2）①直线y x m =+圆C 交于M 、N 两点，根据圆心到直线的距离，半径，弦长之间的关系，得到关系式求出m 的范围.②设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与圆的方程，通过韦达定理以及判别式，通过OM ⊥ON ，求出m 的值即可.【详解】解：（1）设圆的方程是222(2)(1)x y r -++=，依题意，直线10x y +-=与圆C 相切，∴所求圆的半径2r ==， ∴所求的圆方程是22(2)(1)4x y -++=；（2）①圆心()2,1C -到直线y x m =+的距离d ==MN ∴==≥解得51m -≤≤-； ②设()()1122,,,M x y N x y ，22(2)(1)4y x m x y =+⎧⎨-++=⎩，消去y ，得到方程2222(1)210x m x m m +-+++=，由已知可得，判别式(224(1)422+1)0m m m ∆=--⨯+>，化简得2610m m ++<， 21212211,2m m x x m x x +++=-+=①，由于OM ⊥ON ，可得12120x x y y +=又1122,y x m y x m ==++，所以()2121220x x m x x m +++=②，由①，②得32m -=或32m -=，满足>0∆，故32m -+=或32m -=. 【点睛】本题重点考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，合理运用圆的性质是关键.注意韦达定理及整体思想的运用，属中档题.24．（1）320x y ++=；（2）320x y -+=【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的=m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0.(2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0.由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．25．（1）2235()(3)22x y -+-=（2）12【解析】【分析】（1）利用相关点法求出点D 的轨迹方程；（2）首先求出直线AB 的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出ABC ∆面积的最小值。

2020-2021深圳市深圳中学初中部高中必修二数学下期中试卷(及答案)

2020-2021深圳市深圳中学初中部高中必修二数学下期中试卷(及答案)一、选择题1．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（） A ．-4 B ．14- C ．14 D ．42．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（）A ．1B ．221-C ．22D ．23．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r ，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒ 4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+ 5．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-= 6．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A ．812π B ．814π C ．65π D ．652π 7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A ．1763B ．1603C ．1283D ．328．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 9．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．153B ．53C ．64D ．10410．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．160 11．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.15．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o②ACD ∆是等边三角形③AB 与CD 所成的角为60o④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒则上面结论正确的为_______．16．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .17．已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________19．若直线:20l kx y --=与曲线()2111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.20．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______ 三、解答题21．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．22．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF P 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．24．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.25．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.26．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30°，试求三棱锥M ANC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内，若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.4．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 5．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

2020-2021学年高二数学下学期期中试题理[1]

2020-2021学年高二数学下学期期中试题理注意事项1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。

一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则复数z 的实部是 ▲ ． 2.已知m ，n 是空间两个单位向量，它们的夹角为60，那么2—m n = ▲ ．3.若复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限.4.设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若2AB k =-12e e ，33CB =+12e e ，CD k =12+e e ，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为 ▲ ．5.若向量(2,1,2)=-a ,(4,2,)m =-b ，且a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 ▲ ．6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ▲ ．7.如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为 ▲ ．8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列{}n a 的前n 项和公式1()2n n n a a S +=.类比得到正项等比数列{}n b 的前n 项积公式n T = ▲ ．9.用数学归纳法证明等式：633123()2n n n n *+++++=∈N ，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为 ▲ ．10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，111114AA A B AC ===，点E 是棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为3210，则 1C E 的长为 ▲ ．11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为1﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前6行的规律，第7行的左起第3个数为 ▲ ．（第7题图）（第10题图）（第11题图） 12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，M 为PC 的中点，则点P 到平面MAB 的距离为▲ ．13. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B λλ=∈R 若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为▲ ．14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111A B C D 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．（第12题图）（第13题图）（第14题图）二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分）已知i 为虚数单位，复数11i z =-,23i z a =+()a ∈R . （1）若12z z +为实数，求12z z 的值；（2）若21z z 为纯虚数，求2z . 16.（本小题满分14分）已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦. （1）求MN ；（2）若曲线221:1C x y -=在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.17.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n a a +>，211()2()1n n n n a a a a ---=+-，n 2.≥（1）求234,,a a a 的值并猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，122PA AB BC AD ====，点E ,F 分别是AB ,PD 的中点.（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）若点M 为棱PC 上一点，且平面EFM ⊥平面PBC ，求证：.EM PC ⊥19.（本小题满分16分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都等于2. （1）当点M 是BC 的中点时，①求异面直线1AB 和1MC 所成角的余弦值； ②求二面角1M AB C --的正弦值；（2）当点M 在线段BC 上（包括两个端点．．．．．．）运动时，求直线1MC 与平面1AB C 所成角的正弦值的取值范围.（第18题图）（第19题图） 20.（本小题满分16分）（1）是否存在实数a ，b ，c ，使得等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值并给出证明；若不存在，请说明理由. （2）求证：对任意的n *∈N ，22221231ln 234(1)2n n n ++++<++. xx 第二学期期中质量调研高二数学（理科）参考答案和评分标准一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 1 2. 3 3.四 4. 4或-1 5. 5m <且4m ≠-6. 存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.7.238.21()n n b b9. 333(1)(2)(1)k k k ++++++ 10. 1 11. 110512. 2 13. 2- 14.33434二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为124(1)i z z a +=+-，若12z z +为实数，则1a =. ……… 3分此时23i z =+，所以12(1i)(3i)42i.z z =-+=- ……… 7分（2）因为213i (3i)(1i)1i (1i)(1i)z a a z +++==--+33++i 22a a -=， ……… 10分若21z z 为纯虚数，则302a -=，得3a =，……… 12分所以22233 2.z a =+= ……… 14分 16.解：（1）01MN ⎡=⎢⎣10-⎤⎥⎦21⎡⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦=12⎡⎢⎣ 21⎤⎥⎦……… 6分（2）设曲线1C 上任一点坐标为00(,),x y 在矩阵MN 对应的变换作用下得到点(,),x y 则12⎡⎢⎣ 0021x y ⎡⎤⎤⎢⎥⎥⎦⎣⎦=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即000022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，解得002323y x x x yy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.……… 10分因为22001,x y -=所以2222()()1,33y x x y ---=整理得223y x -=，所以2C 的方程为22 3.y x -=……… 14分17.解：（1）由11,a =211()2()1,n n n n a a a a ---=+-n 2≥①得222(1)2(1)1,a a -=+-解得20a =或2 4.a = 又1,n n a a +>所以2242.a ==将24a =代入①，可得31a =或39.a =又1,n n a a +>所以2393.a ==将39a =代入①，可得44a =或416.a =又1,n n a a +>所以24164.a ==……… 3分故猜想数列{}n a 的通项公式为2.n a n =……… 5分（2） ①当1n =时，2111a ==，猜想成立.②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时，猜想成立，即2.k a k =……… 7分则当1n k =+时，由①得211()2()1,k k k k a a a a ++-=+- 即22211()2()1,k k a k a k ++-=+- 即2242112(1)210,k k a k a k k ++-++-+=即2242221[(1)]21(1)0,k a k k k k +-++-+-+= 即2221[(1)](2)0,k a k k +-+-=即2211(12)(12)0,k k a k k a k k ++-----+= 解得21(1)k a k +=+或21(1).k a k +=-……… 12分又1,n n a a +>所以21(1),k a k +=+故当1n k =+时，猜想成立. 综上：由①②得2n a n =.……… 14分18.解：PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面,ABCD .PA AD ∴⊥ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面,ABCD .PA AB ∴⊥又因为,2BAD π∠=所以AB AD ⊥，则,,AB AD AP 两两垂直，则以{,,}AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.A xyz -则各点的坐标为(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2).A B C D P 因为点,E F 分别是AB ，PD 的中点，所以(1,0,0),(0,2,1).E F ……… 2分（1）证明：设平面PBC 的一个法向量为1(,,).n x y z = 因为(2,0,2),(0,2,0),BP BC =-= 由1,,n BP n BC ⊥⊥ 得22020x z y -+=⎧⎨=⎩，令1,x =所以0, 1.y z ==则1(1,0,1).n =……… 5分因为(1,2,1),EF =-所以10.EF n ⋅=又EF ⊄平面,PBC 所以//EF 平面PBC .……… 8分（注：EF ⊄平面PBC 没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取CD 的中点G 证明平面//EFG 平面PBC ，或者延长DE 和CB 相交于点,H 然后证明//EF PH 也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）（2）证明：因为M 为棱PC 上一点，所以,PM PC λ=0 1.λ≤≤设(,,),M x y z 则(,,2)(2,2,2),x y z λ-=-，所以2,2,22.x y z λλλ===- 即(2,2,22),M λλλ-所以(21,2,22),EM λλλ=--(1,2,1).EF =- 设平面EFM 的一个法向量为2(,,),n x y z =则22,.n EM n EF ⊥⊥所以(21)2(22)0,20x y z x y z λλλ-++-=⎧⎨-++=⎩消去y 可得(31)(23)0.x z λλ-+-=令32,x λ=-则131,.2z y λ=-=-所以21(32,,31).2n λλ=---……… 12分平面EFM ⊥平面,PBC 12.n n ∴⊥则32310,λλ-+-=所以1,2λ=…… 14分 (1,1,1).M 从而(0,1,1),EM =因为(2,2,2),PC =-所以0,EM PC ⋅=则,EM PC ⊥即.EM PC ⊥……… 16分19. 解：（1）取AC 的中点为,O 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0),(3,0,0),A B -(0,1,0),C 11(3,0,2),(0,1,2).B C当M 是BC 的中点时，则31(,,0).22M ①1131(3,1,2),(,,2),22AB MC ==-设异面直线1AB 和1MC 所成角为,θ则11cos cos ,AB MC θ=<>=1111AB MC AB MC ⋅=310.20……… 4分 ②33(,,0),22AM =1(3,1,2),AB =设平面1MAB 的一个法向量为1(,,),n x y z =则111,.n AM n AB ⊥⊥所以33022320x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩令3,x =则1,1,y z =-=-1(3,1,1).n ∴=--… 5分(0,2,0),AC =设平面1AB C 的一个法向量为2(,,),n x y z =则212,,n AB n AC ⊥⊥320,20x y z y ⎧++=⎪∴⎨=⎪⎩令2,x =0,3,y z ∴==-2(2,0,3).n ∴=-……… 6分设二面角1M AB C --的平面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>==3105.35……… 8分所以2270sin 1cos .35θθ=-=……… 9分（2）当M 在BC 上运动时，设,0 1.CM CB λλ=≤≤设(,,),(,1,)(3,1,0),M x y z x y z λ∴-=-3,1,0,x y z λλ∴==-= 则(3,1,0),M λλ-1(3,,2).MC λλ∴=-设直线1MC 与平面1AB C 所成的角为,θ则121212sin cos ,MC n MC n MC n θ⋅=<>=222323211,[0,1].74471λλλλλ--+==∈+⋅+……… 11分设21(),[0,1],1f λλλλ+=∈+设1[1,2],t λ=+∈所以2221(),22(1)1221tt g t t t t t t ===-+-+-+[1,2].t ∈设2111[,1],().2221u g t tu u =∈∴=-+21221[,1],()[1,2],2u u g t -+∈∴∈2142sin [,],77θ∴∈ ∴直线1MC 与平面1AB C 所成的角的正弦值的取值范围为2142[,].77……… 16分20. 解：（1）在等式2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)()12n n an bn c +=++中令1,n =得14()6a b c =++①；令2,n =得122(42)2a b c =++②；令3,n =得7093a b c =++③；由①②③解得3,11,10.a b c === 对于1,2n =都有2222122334(1)n n ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12n n n n +=++()*成立. ……… 3分下面用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()*式都成立.①当1n =时，由上所述知()*式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时()*式成立，即2222122334(1)k k ⋅+⋅+⋅+++2(1)(31110)12k k k k +=++，那么当1n k =+时，22222122334(1)(1)(2)k k k k ⋅+⋅+⋅++++++22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++……… 5分 2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++ 2(1)(2)(351224)12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10].12k k k k ++=++++综上：由①②得对一切正整数n ，()*式都成立，所以存在3,11a b ==时题设的等式对于一切正整数n 都成立.……… 8分（2）证明：①当1n =时，左式14=，右式12=，所以左式<右式，则1n =时不等式成立； ②假设当(1,)n k k k N *=≥∈时不等式成立，即22221231ln 234(1)2k k k ++++<++，那么当1n k =+时，222221231234(1)(2)k k k k ++++++++ 21111ln ln 2(2)22k k k k k +<++<++++(**)……… 10分下面证明当1x ≥时，1ln 1x x≥-. 设()f x =1ln 1x x -+，则'22111()0,x f x x x x-=-=≥所以()f x 在[1,)+∞ 上单调增，所以()(1)0,f x f ≥=即1x ≥时，1ln 1x x≥-. 因为1k ≥，所以1111,k k k+=+>则 111ln 11111k k k k k k k+≥-=-=+++……… 12分- 11 - / 11 因为1111111(ln )[ln(1)]ln ln 22221k k k k k k k k k++++-++=-<-+++ 110,11k k ≤-=++所以111(ln )[ln(1)]0.222k k k ++-++<+ 由(**)得2222212311ln(1).234(1)(2)2k k k k k ++++++<++++ 那么1n k =+时不等式也成立.综上：由①②可得对任意,n N *∈22221231ln 234(1)2n n n ++++<++. ……… 16分【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

高中数学必修二期中模拟试题(二)(含答案)

2020-2021学年高一数学下学期期中模拟试题（二）一．选择题1．已知向量(2,3)OA =，(4,1)OB =-，P 是线段AB 的中点，则P 点的坐标是 A ．(2,4)- B ．(3,1) C ．(2,4)- D ．(6,2)【答案】B【解析】由线段的中点公式可得1()(32OP OA OB =+=，1)，故P 点的坐标是(3,1)，故选B ．2．若复数z 满足(1)(1)22z i i -+=-，则||z =A B C ．5 D【答案】D【解析】由(1)(1)22z i i -+=-，得22222(22)(1)22224121(1)(1)112i i i i i i iz i i i i -----+--=====-++-+， 12z i ∴=-，则||z = 故选D ．3．已知复数z 满足(12)|43|z i i +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 A ．2- B ．2i - C ．1 D ．i【答案】A【解析】由(12)|43|5z i i +=-，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， ∴复数z 的虚部为2-．故选A ． 4．复数3121iz i -=+的共轭复数的虚部为A ．12i -B ．12iC ．12-D ．12【答案】D 【解析】31212(12)(1)3111(1)(1)22i i i i z i i i i i ---+====-+--+， ∴3122z i =+， ∴复数3121i z i-=+的共轭复数的虚部为12，故选D ．5．已知向量a ，b 满足||2||2b a ==，|2|2a b -=，则向量a ，b 的夹角为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ，若||2||2b a ==，则||2b =，||1a =，若|2|2a b -=，则222(2)4488cos 4a b a a b b θ-=-⋅+=-=，解可得1cos 2θ=，又由0180θ︒︒，故60θ=︒，故选C ．6．已知向量(1,2)a =-，(21,1)b m =-，且a b ⊥，则|2|a b -= A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】A【解析】向量(1,2)a =-，(21,1)b m =-，且a b ⊥，可得(21)20m ---+=，解得32m =，所以(2,1)b =，2(5,0)a b -=-，所以|2|5a b -=．故选A ．7．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．m α⊂，n α⊂，//m β，////n βαβ⇒ B ．//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒C ．m α⊥，//m n n α⊥⇒D ．//m n ，n m αα⊥⇒⊥【答案】D【解析】m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A ，m α⊂，n α⊂，//m β，////n βαβ⇒，也可能相交，所以A 不正确；对于B ，//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒也可能异面，所以B 不正确；对于C ，m α⊥，//m n n α⊥⇒有可能n α⊂，所以C 不正确；对于D ，//m n ，n m αα⊥⇒⊥，满足直线与平面垂直的性质，所以D 正确．故选D ．8．四面体A BCD -中，DC ⊥面ABC ，3AB BC ==，120ABC ∠=︒，8DC =，则四面体A BCD -外接球的表面积为 A ．100π B ．50π C ．25π D ．91π【答案】A【解析】设ABC ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -外接球的球心为O ，半径为R ，连接1O C ，1OO ，OC ，由正弦定理可得12sin BCO CBAC=∠，即1332sin30O C ==︒，1142OO DC ==，222211435R OC OC OO ==+=+=，即四面体A BCD -外接球的表面积为245100S ππ=⨯=，故选A ．二．多选题9．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则下列结论正确的是 A ．a 是单位向量 B ．//BC bC ．1a b =D ．(4)BC a b ⊥+【答案】ABD【解析】A ．||2AB =，∴由2AB a =得，||||12AB a ==，∴a 是单位向量，该选项正确； B ．22BC AC AB a b a b =-=+-=，∴//BC b ，该选项正确；.||2,||1C AC a ==，∴由2AC a b =+得，22244AC a a b b =++，即2444a b b =++，∴214b a b =-≠，该选项错误；D ．BC b =，由上面得，2(4)(4)40BC a b b a b a b b +=+=+=，∴(4)BC a b ⊥+，该选项正确．故选ABD ．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是A ．34AC = B ．8AB =C ．18CD BD = D ．ABD ∆ 【答案】ACD【解析】因为cos b c A =，由正弦定理可得，sin sin cos sin()B C A A C ==+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0C =即12C π=，1cos8ACA AB==，由角平分线定理可得，18AC CD AB BD ==，设AC x =，8AB x =，则BC =，CD =，Rt ACD ∆中，由勾股定理可得，22)1x x +=，解可得34x =，即34AC =，6AB =，13624ABC S =⨯⨯=，所以89ABD ABC S S ∆==故选ACD ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则A ．CM 与PN 是异面直线B ．存在P 点使得//PN 平面11CCD D C ．平面PAN ⊥平面11BDD BD ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形【答案】BCD【解析】对于A ，因为C ，N ，A 共线，又CN ，PM 交于点A ，即P ，M ，N ，C 共面，因此CM 与PN 共面，故选项A 不正确；对于B ，当P 为11A D 的中点时，//PN 平面11CC D D ，故选项B 正确；对于C ，AN BD ⊥，1AN BB ⊥，1BDBB B =，BD ，1BB ⊂平面11BDD B ，AN ∴⊥平面11BDD B ，AN ⊂平面PAN ，∴平面PAN ⊥平面11BDD B ，故选项C 正确；对于D ，过P ，A ，C 三点的正方体的截面与11C D 相交于点Q ，则//AC PQ ，且PQ AC <，因此一定是等腰梯形，故选项D 正确．故选BCD ．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11A D 的中点，则( ) A ．1BD B C ⊥ B ．//EF 平面1DB B C ．1AC ⊥平面11B D CD ．过直线EF 且与直线1BD 2【答案】BC【解析】对于A ，11//B C A D ，1A DB ∴∠是BD 与1B C 所成角（或所成角）的补角， 11A D BD A B ==，160A DB ∴∠=︒，BD ∴与1B C 不垂直，故A 错误；对于B ，取AD 中点G ，连接FG ，EG ，则//EG BD ，1//FG BB ， EGFG G =，1BDBB B =，∴平面//EFG 平面1DB B ，EF ⊂平面EFG ，//EF ∴平面1DB B ，故B 正确；对于C ，1111AC B D ⊥，111AA B D ⊥，1111AC AA A =，11A C 、1AA ⊂平面11AA C ， 11B D ∴⊥平面11AA C ，1AC ⊂平面11AA C ，111AC B D ∴⊥，同理11AC B C ⊥， 1111B D B C B =，11B D 、1B C ⊂平面11B D C ，1AC ∴⊥平面11B D C ，故C 正确；对于D ，取11A B 中点H ，连接FH 、EH ，则11//FH B D ，1//GF BB ， FHGF F =，1111B D BB B =，∴平面//EHFG 平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，EF ⊂平面EHFG ，∴过直线EF 且与直线1BD 平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG ，2GF =，1144222GE BD ==+=， ∴过直线EF 且与直线1BD 平行的平面截该正方体所得截面面积为22S =，故D 错误．故选：BC ．三．填空题13．已知i 虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的虚部为3-，则||z = ．【答案】13【解析】221(1)(1)1(1)(1)111(1)(1)1222ai ai i ai i ai a a i a az i i i i i -----+----+=====-++--，复数1()1aiz a R i-=∈+的虚部为3-， 132a+∴-=-，解得5a =，23z i ∴=--，22||(2)(3)13z ∴-+-13．14．已知向量13(,2a =，若向量b 与a 反向，且||2b =，则向量b 的坐标是．【答案】(3)-【解析】因为：向量13(,2a =，||1a ∴=，向量b 与a 反向，且||2b =∴2(1,3)b a =-=-．故答案为：(-．15．已知向量(,3)a m =，(1,2)b =-，且()a b b +⊥，则m = ．【答案】1【解析】根据题意，向量(,3)a m =，(1,2)b =-，则(1,1)a b m +=+．因为()a b b +⊥，所以()120a b b m +⋅=+-=，解得1m =，故答案为：1．16．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，BC 若球O 的表面积为20π，则这个三棱柱的体积为．【解析】设ABC ∆和△111A B C 的外心分别为1O 、2O ，连接12O O ，可得外接球的球心O 为12O O 的中点，连接OA 、OB 、OC 、1O A 、1O B 、1O C ，ABC ∆中，2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==-⋅， (0,)A π∈，23A π∴=，根据正弦定理，得ABC ∆外接圆半径112sin BCO A A==球O 的表面积为20π，2420R ππ=，RRt △1O OA 中，12OO ，可得12124O O O O ==，直三棱柱111ABC A B C -的底面积12sin 23ABC S AB AC π∆=⋅，∴直三棱柱111ABC A B C -的体积为12ABC S O O ∆⨯=四．解答题17．已知复(,)z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数212(5)z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．【答案】（1）323a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）3(42). 【解析】（1）由(,)z a bi a b R =+∈，得3(3)z i a b i +=++， ()(2)2222(2)(2)55z a bi a bi i a b a bi i i i i +++-+===+---+，再由题意可得：302020b a b a b +=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩，解得323a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）由（1）得，332z i =-+，则22132(5)32(5)2z z m m i i m m i =++-=-+++-23(2)(2)2m m i =-+-，则2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，即324m << ∴实数m 的取值范围是3(42)．18．已知复数112z i =-，234z i =+，i 为虚数单位．（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数z ．【答案】（1）1(3-，1)2；（2）1255z i =-+.【解析】（1）复数112z i =-，234z i =+，所以12(12)(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-；由该复数在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，所以实数a 的取值范围是1(3-，1)2；（2）化简122212(12)(34)51012343(4)2555z i i i i z i z i i -----=====--+-，z 的共轭复数1255z i =-+．19．（1）设1e ，2e 是正交单位向量，如果122OA e me =+，12OB ne e =-，125OC e e =-，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且2m n =．求m 、n 的值．（2）已知(2,3)OA =，(6,3)OB =-，点P 在线段BA 的延长线上，且3||||4AP PB =，求点P 坐标．【答案】（1）112m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或105m n =⎧⎨=⎩；（2）(10,21)P -. 【解析】（1）以O 为原点，1e ，2e 的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则(2,)OA m =，(,1)OB n =-，(5,1)OC =-，∴(3,1)AC m =--，(5,0)BC n =-，又A ，B ，C 三点在一条直线上，∴//AC BC ，30(1)(5)0m n ∴⨯----=，与2m n =联立，解得112m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或105m n =⎧⎨=⎩；（2）(2,3)OA =，(6,3)OB =-，(2,3)A ∴，(6,3)B -，设(,)P x y ，点P 在线段BA 的延长线上，且3||||4AP PB =， ∴34AP PB =-，即(2x -，33)(6,3)4y x y -=----， ∴32(6)433(3)4x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得10x =-，21y =． (10,21)P ∴-．20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长等于2的菱形，120ADC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，O ，E 分别是1A C ，AB 的中点，AC 交DE 于点H ，点F 为HC 的中点（1）求证：//OF 平面1A ED ；（2）若OF 与平面ABCD 所成的角为60︒，求三棱锥1A ADE -的表面积．【答案】（1）答案见解析；（26315++【解析】（1）连接1A H ，由于点F 为HC 的中点，O 为1A C 的中点，所以1//OF A H ，由于OF ⊂/平面1A ED ，1A H ⊂平面1A ED ，所以//OF 平面1A ED ．（2）连接BD ，由于四边形ABCD 为边长为2的菱形，120ADC ∠=︒．所以ABD ∆为等边三角形．所以233AH =，3DE =，且DE AB ⊥，由于OF 与平面ABCD 所成的角为60︒，且1//OF A H ，由于1AA ⊥平面ABCD ，则：160A HA ∠=︒，所以112,5AA A E ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以1AA DE ⊥．又DE AB ⊥，1AA AB A =，1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB ，则：1A E DE ⊥，所以三棱锥1A ADE -的表面积为：11113631522123512222222++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=．21．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积2224b c a S +-=．（1）若6a ，2b =，求cos B ；（2）求sin()sin cos cos()A B B B B A +++-的最大值．【答案】（130；（2）52. 【解析】（1）2224b c a S +-=，可得12cos sin 24bc A bc A =， sin cos A A ∴=，可得tan 1A =，(0,)A π∈， 4A π∴=， 6a =，2b =， ∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得22sin 62sin 66b A B a ⨯===，又a b >，B 为锐角，230cos 16B sin B ∴=-=．（2）4A π=，sin()sin cos cos()A B B B B A ∴+++-sin()sin cos cos()44B B B B ππ=+++- 2222sin cos sin cos cos sin 2222B B B B B B =++++ 2(sin cos )sin cos B B B B =++令sin cos t B B =+，则212sin t BcoB =+，∴原式2211132(2)2222t t t =+-=+-，(0t ∈，2]， ∴当2t =时，4B π=，此时，原式的最大值为52． 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD ∆为等边三角形，平面PAD ⊥平面PCD ．（Ⅰ）证明：直线CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若2AB =，Q 为线段PB 的中点，求三棱锥Q PCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（23. 【解析】（Ⅰ）证明：取PD 的中点，连接AO ，PAD ∆为等边三角形，AO PD ∴⊥，又AO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面PCD ，平面PAD ⋂平面PCD PD =，AO ∴⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AO CD ∴⊥，底面ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥， AO AD A =，AO ，AD ⊂平面PAD ， CD ∴⊥平面PAD ；（Ⅱ）解：2AB =，由（Ⅰ）得AO ⊥平面PCD ， ∴点A 到平面PCD 的距离3d AO ==，底面ABCD 为正方形，//AB CD ∴，又AB ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， //AB ∴平面PCD ， A ∴，B 两点到平面PCD 的距离相等，均为d ，又Q 为线段PB 的中点． ∴点Q 到平面PCD 的距离322d h ==，由（Ⅰ）知，CD ⊥平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，CD PD ∴⊥， ∴111332233223Q PCD PCD V S h -=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=．故三棱锥Q PCD -的体积为33．。

2020-2021深圳宝文学校高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(及答案)

2020-2021深圳宝文学校高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（）A ．1073πB ．32453π+C ．16323π+D ．32333π+ 2．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π3．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③4．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．42B ．32C ．322D ．227．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．309．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π10．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2511．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.14．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.15．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.16．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是．17．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________18．正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．19．若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.20．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．23．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=o 分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．24．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 25．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．26．如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , 1PA =,E 为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥；（2）求三棱锥C PDE -的体积；（3）探究在PA 上是否存在点G ,使得EG P 平面PCD ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 2．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.3．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．4．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ，所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．5．B解析：B【解析】化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B 6．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m =+=,故32m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 7．A解析：A【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，12AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积 8．C 解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．9．C解析：C【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 10．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====,所以所求截面的周长为62+45,故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.11．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误；在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．B解析：B【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)2210219d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：3 【解析】【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，1,2AO AO ==，易知sin 2θ==【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA，从而圆O在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】k OA=O在点(处的切线的方程的斜率k =， ∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-），30y +-=．30y +-=. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.15．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为解析：165-【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】解：因为圆1C ：220x y ax by c ++++=，即22224224ab a b cx y 骣骣+-琪琪+++=琪琪桫桫，圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径2r =，由题意，得111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称，则112,122112221,22b a ba ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45b =，圆1C的半径2r ==，解得165c =-. 故答案为：165-【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.16．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4 【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系17．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正解析：13-【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论. 【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，3AM MC ==，在正四棱锥P ABCD -中，2AC = 在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.18．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt △SO1C 中∵SC ＝∴∴O1S ＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1， ∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.19．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则解析：4 ,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C为圆()()22111x y-+-=的右半圆，作出直线l与曲线C的图象，可知直线l是过点()0,2-且斜率为k的直线，求出当直线l与曲线C相切时k的值，利用数形结合思想可得出当直线l与曲线C有两个公共点时实数k的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx=-，则直线l是过点()0,2P-且斜率为k的直线，对于曲线()2:111C y x--=-，则101x x-≥⇒≥，曲线C的方程两边平方并整理得()()22111x y-+-=，则曲线C为圆()()22111x y-+-=的右半圆，如下图所示：当直线l与曲线C相切时，0k>()222123111k kkk---==++-，解得43k=，当直线l过点()1,0A时，则有20k-=，解得2k=.结合图象可知，当4,23k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l与曲线C有两个交点.故答案为：4,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.20．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10. 【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=. 【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=，则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d ===22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-，又0k <Q ，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-，所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-，由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E . 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力. 23．(1)见证明；(2) 23【解析】【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明 (2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）PA ⊥Q 面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥；又Q 底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥QAE ∴⊥面PAD ；（2）AE ^Q 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AEAHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大，令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=o ，在Rt PAD ∆中，233PA =PA ⊥Q 面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ，正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CMMNC MN∠==【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 24．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为23）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32．【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-，求出λ，然后求解比值. 【详解】解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=，令30x y -=且40x y +-=，得1,3x y ==，∴直线l 过定点A （1，3）；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r =，43101ACk -∴==--，得1111lAC k k --===-， ∴由3111m m +=-得1m =-，此时直线l 方程为20x y -+=，∴圆心到直线的距离为||d AC ==∴最短弦长为==（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设(),P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且()2244y x -=-， 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-，()222222(3)4()4x x x t x λλ∴++-=-+-，整理得，()()2222624130t x tλλλ+-+-=，∵上式对任意[2,2]x ∈-恒成立，2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=，解得 43,32t λ=-=或3,1t λ=-=（舍去，与M 重合），综上可知，在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32.【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.25．(1) 13+24y x = 【解析】【分析】(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解. 【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ，∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x =（2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x = 圆心C 到直线l 的距离为11032242d -+==，又∵圆的半径为2，∴弦AB 的长为22324622()4-=. 【点睛】本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.26．（1）见解析;（2）16;（3）见解析. 【解析】【分析】(1)连结AE ,由几何体的空间结构可证得DE PAE ⊥平面,利用线面垂直的定义可知DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得16C PDE P DCE V V --==. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH . 易证得四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,结合线面平行的判断定理可知EG //平面PCD .【详解】(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,1EC CD ==,∴DCE ∆为等腰直角三角形,则45DEC ∠=o ,同理可得45AEB ∠=o ,∴90AED ∠=o ,∴DE AE ⊥,又PA ABCD 平面⊥,且DE ABCD ⊂平面, ∴PA DE ⊥,又∵AE PA A ⋂=,∴DE PAE ⊥平面,又PE PAE ⊂平面,∴DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,∴111122DCE S ∆=⨯⨯=,而PA 是三棱锥P DCE -的高,∴111113326C PDE P DCE DCE V V S PA --∆==⋅=⨯⨯=. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.理由如下:取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH .∵,G H 是,PA PD 的中点, ∴//GH AD ,且12GH AD =, 又因为E 为BC 的中点,且四边形ABCD 为矩形,所以EC //AD ,且EC =12AD , 所以EC //GH ,且EC =GH ,所以四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,又EG ⊄平面PCD ,CH ⊂平面PCD ,所以EG //平面PCD .【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2020-2021深圳市高中必修二数学下期中一模试题(附答案)

2020-2021深圳市高中必修二数学下期中一模试题(附答案)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（）A ．8B ．62C ．82D ．832．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π5．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A ． 22B ． 42C ．4D ．86．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．不存在7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．308．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立 D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立9．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行11．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.14．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________15．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于．16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o②ACD ∆是等边三角形③AB 与CD 所成的角为60o④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒则上面结论正确的为_______．17．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.18．若直线l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________20．已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.三、解答题21．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.22．在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．23．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P -（1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.24．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．26．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ；（2）求证：平面BEF ⊥平面PAC【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 2．B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 3．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =，所以表面积为25π.5．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ，所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 6．C解析：C【解析】【分析】直接根据直线平行公式得到答案.【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除.故选：C .【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.7．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．8．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，⊥成立，故A错误；在A中，不存在点G，使PG EF⊥成立，故B错误；在B中，不存在点G，使FG EP在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.10．D解析：D【解析】【分析】MN BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与先利用三角形中位线定理证明//CC垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，即可得出结论.1【详解】C D，BD，如图：连接1Q 在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥Q 平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ^Q ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.11．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 12．B解析：B【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)2210219d -⨯--==<+，即直线与圆相交.故选A.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程. 二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：3 【解析】【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ.【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126,2AO AO ==，易知232sin 62θ== 3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平解析：①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60解析：2【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O．在三角形ABD中，因为∠A＝120°，AB＝2．可得AO＝1．过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求．由题得，∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°．在RT△AOE中，AE＝AO•sin∠AOE．16．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E是BD的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D--的平面角，又32,cos∠BHD=-1,3故二面角B AC D--不是120︒综上知②③④是正确的故答案为②③④【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．17．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本解析：60°【解析】【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小.【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则2SB BC ==2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=o ，所以60EDC ∠=o . 故答案为：60o【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线 5【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解.【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交，其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠2321252=+⨯=，5AN ∴=故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.20．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于231111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||6OE = 当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，963r -33S ππ=⨯=，故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．三、解答题21．（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积．试题解析：（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =.所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =.又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .（2）解：（方法1)在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ,所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得3AD =.在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以1B BC ∆的面积2134434S B BC ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积1114323833V S B BC AD =⨯∆⋅=⨯=. (方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒，所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ⊂平面11B C CB ，所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积23443ABC S ∆== 在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以123B D =.所以三棱锥1B ABC -的体积1114323833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．22．（1）见解析（2）见解析【解析】[证明] （1）∵AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，∴F 是SB 的中点，又因为E 是SA 的中点，∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E ⋂=，∴平面EFG ∥平面ABC .（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥， ∴AF ⊥平面SBC ，∵BC ⊂平面SBC ，∴AF BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AF AB A ⋂=，AF 、AB ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB ，∵SA ⊂平面SAB ，∴BC SA ⊥.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.23．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=.【解析】【分析】（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由1020x y -=⎧⎨-=⎩可求得定点坐标. 由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1l 的方程.【详解】解：（1）12//l l Q ，21a ∴=，解得1a =±检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l综上：1a =±.（2）解：1:20l ax y a +--=Q 整理可得()120a x y -+-= ，由1020x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQ k -==+，则1l 的斜率113PQk k =-=- ，即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=.【点睛】本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P 到直线1l的距离最大.易错点是做第一问时，求出1a =± 后未检验.对于已知直线平行，根据系数关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证.24．(1) 13+24y x = (2) 2【解析】【分析】(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x =圆心C 到直线l 的距离为1104d -+==，又∵圆的半径为2，∴弦AB 的长为=. 【点睛】本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.25．（1）见解析（2）23 【解析】【分析】（1）连接BF ，证明四边形1BMD F 是平行四边形即可得出1//D M BF ，故1//MD 平面BEFD ；（2）根据M BDE E BDM V V --=求出M 到平面BEFD 的距离．【详解】解：（1）证明：连接BF ， ∵111111111111////22D F A B D F A B BM A B BM A B ==，，，， ∴11//D F BM D F BM =，，∴四边形1BMD F 是平行四边形，∴1//D M BF ，又1D M ⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ，∴1//MD 平面BEFD ．（2）解：连接ED EM DM ，，，则112122323E BDM V -=⨯⨯⨯⨯=，又22221111122253BD AB BE BB B E DE D C C E ===+==+=，，，∴22210cos 210BD BE DE DBE BD BE +-∠==⋅，∴310sin 10DBE ∠=． ∴131022532BDE S =⨯⨯⨯=V ，设M 到平面BEFD 的距离为d ，则12333M BDE V d -=⨯⨯=， ∴23d =．即M 到平面BEFD 的距离为23．【点睛】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．26．（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，则可根据OF 是APC ∆中位线求证OF AP P ，进而得证；（2）由线段关系可证BE CD ∥，又由AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，进而可得BE AC ⊥，再结合四边形ABCE 是菱形可得BE AC ⊥，即可求证；【详解】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，又1,2AB BC AD ==BC AE ∴=，又//AD BC Q ，所以四边形ABCE 是菱形，则O 是AC 中点，又F 为PC 中点，∴OF 是APC ∆中位线，OF AP ∴P ， AP ⊄平面BEF ，OF ⊂平面BEF ，∴//AP 平面BEF ；（2）由（1）可知四边形ABCE 是菱形，BE AC ∴⊥，又Q AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，E 为AD 中点可得BC ED =，又//AD BC Q ，∴四边形BCDE 为平行四边形，CD BE P ，AP BE ∴⊥，AC AP A =I ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题。

2020-2021深圳宝安区桥兴学校初二数学下期中试题及答案

2020-2021深圳宝安区桥兴学校初二数学下期中试题及答案一、选择题1．下列运算中，正确的是（） A ．235+=； B ．2(32)32-=-； C ．2a a =； D ．2()a b a b +=+．2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．1, 2，3D ．2，3，53．已知，如图，长方形 ABCD 中，AB =5cm ，AD =25cm ，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF ，则△ABE 的面积为（）A ．35cm 2B ．30cm 2C ．60cm 2D ．75cm 24．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A ．9.7m ，9.9mB ．9.7m ，9.8mC ．9.8m ，9.7mD ．9.8m ，9.9m5．若正比例函数y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于（） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣46．如图，四边形ABCD 是轴对称图形，且直线AC 是否对称轴，AB ∥CD ，则下列结论：①AC ⊥BD ；②AD ∥BC ；③四边形ABCD 是菱形；④△ABD ≌△CDB ．其中结论正确的序号是（）A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④7．下列各组数据中，不可以构成直角三角形的是（）A ．7,24,25B ．2223,4,5C ．53,1,44D ．1.5,2,2.58．对于次函数21y x =-，下列结论错误的是( ) A ．图象过点()0,1-B ．图象与x 轴的交点坐标为1(,0)2C ．图象沿y 轴向上平移1个单位长度，得到直线2y x =D ．图象经过第一、二、三象限9．如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T 如何随时间t 的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是( )A ．0点时气温达到最低B ．最低气温是零下4℃C ．0点到14点之间气温持续上升D ．最高气温是8℃10．如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 为BC 的中点,将ABE 沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF,则CF 的长为（）A ．95B ．185C ．165D ．12511．小带和小路两个人开车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，小带和小路两人车离开A 城的距离y (km)与行驶的时间t (h)之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A ，B 两城相距300 km ；②小路的车比小带的车晚出发1 h ，却早到1 h ；③小路的车出发后2.5 h 追上小带的车；④当小带和小路的车相距50 km 时，t ＝54或t ＝154.其中正确的结论有( )A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④12．下列运算正确的是()A．532-=B．822-=C．114293=D．()22525-=-二、填空题13．一次函数的图像经过点A（3，2），且与y轴的交点坐标是B（0，2-），则这个一次函数的函数表达式是________________.14．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且CE=1，P是对角线AC上的一个动点，则PB+PE的最小值为______．15．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，点落在点处，当为直角三角形时，________.16．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为_______．17．如图，连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，对角线AC ，BD 满足________，才能使四边形EFGH 是矩形．18．一根旗杆在离地面4.5 m 的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6 m 外，则旗杆折断前的高度是________．19．已知矩形ABCD 如图，AB ＝4，BC ＝43，点P 是矩形内一点，则ABP CDP S S ∆∆+＝______________．20．如图，若▱ABCD 的周长为22 cm ，AC ，BD 相交于点O ，△AOD 的周长比△AOB 的周长小3 cm ，则AB ＝________。

2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷

2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷一、单项选择题1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，3)，若a∥b，则m等于()A.3B.－3C.4答案：B解析：由题意得1×3－m×(－1)＝0，∴m＝－3.2.已知i为虚数单位，z＝(1+i)/(1-i)，则复数z的虚部为()A.－2iB.2iC.2D.－2答案：D解析：z＝(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+i)×(1+i)/(1+1)＝(1+2i+i²)/2＝(2i-1)/2＝-1/2+i，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则BE·EA等于()A.－2B.－1C.1D.2答案：B解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，BE＝(－2,1)，EA＝(0，－1)，BE·EA＝－1.4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数(1+i)/(1-i)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由题意可得(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+2i+i²)/(1+1)＝(2i)/(2)＝i，故其共轭复数为－i，对应的点位于第四象限.5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设AB＝a，AD＝b，则BF等于()A.－a＋b/4B.a－b/4XXXD.a＋b/3答案：B解析：如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF＝AF－AB＝AE－AB＝(1/2)AD－AB＝(1/2)(b－a)－a＝(b－3a)/4.6.在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|BC|的最小值是()A.2B.4C.√3D.12答案：C解析：AB·AC＝|AB||AC|cosA＝－(1/2)|AB||AC|，故|AB||AC|＝4，|BC|＝|AC－AB|≥|AB|－|AC|＝√3，当且仅当∠ABC＝60°时取等，故|BC|的最小值是√3.9.在三角形ABC中，如果sin2A+sin2B<sin2C，那么三角形ABC不可能是哪种形状？A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案：C解析：根据正弦定理，sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中a、b、c为三角形的三边，R为三角形外接圆的半径。

2020-2021深圳宝安区福永中学高中必修二数学下期中一模试卷含答案

2020-2021深圳宝安区福永中学高中必修二数学下期中一模试卷含答案一、选择题1．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A ．2B ．217C ．2D ．82．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（）A ．32-B ．4C ．6D ．32+3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π5．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是()A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o6．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π7．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（）A ．3B ．22C ．23D ．2511．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16012．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．14．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.15．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .16．已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.17．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCDV -=，则球O 的体积是______． 18．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()32x g x x =-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____19．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．三、解答题21．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由. 23．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：.24．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ；（2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.25．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.26．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小；（2）求三棱锥1B DBE -的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=1112222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.2．D解析：D 【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为12+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB 的距离为2.∴△PAB 面积的最大值是11||1)22AB =⨯= 故选D ．【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.3．B解析：B 【解析】【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =，直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．4．C解析：C 【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴-=PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC =++205==5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.5．C解析：C 【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥，由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．B解析：B 【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD-完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径2 22722294R⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S Rππ==.故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.7．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．C解析：C【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．D解析：D 【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为10过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（），则|AB |222(10)(5)25=-=，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．11．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==，因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8，因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=，故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.12．D解析：D 【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题13．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④ 【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．14．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球解析：7【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和．【详解】∵5PA PB ==，2AC BC ==，3PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，7R =，球表面积为22744()7.S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．15．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以23AC =.设AD x =，则023t <<，23DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 2234x x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2PD PB BD x x x BPD PD PB +-+--+∠===⋅，所以30BPD ∠=o .过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅o ，解得d =.而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=设t ==0x ≤≤12t ≤≤.则x -=（1）当0x ≤≤时，有x x ==故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2x <≤x x =-=故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-.由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 16．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围．【详解】解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -，又()1,1A -，()2,2B ，如图∵()11201PA K --==---，123022PB K --==-，∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ，或斜率不存在， ∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ，或0m =，即203m -≤<或102m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．17．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥解析：323π【解析】【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =，∴3344322333V R πππ==⨯=球．故答案为：323π．【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．18．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：2] 【解析】【分析】根据斜率的几何意义，()g x =表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()g x =为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-，最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得374k +=或374k -= 当374k +=时，37[0,1]3724x ==-∈+⨯，当37k -=时，37[0,1]372x ==+∉-⨯不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]+.故答案为:37[,2]4+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.19．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴211k +…解得：1515[,]k ∈-故答案为1515[,]k ∈- 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．20．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理．详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，==又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34m =-，【解析】【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可. 【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.（2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题. 22．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】【分析】（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ，利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ，所以BA ⊥平面PAD .因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥，又因为PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ，所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . （2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AEEP=，证明如下：因为2AEEP =，2AO OD =，所以DAE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD .因为//BC AD ，13OD AD BC ==，故//,OD BC OD BC =，所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD .因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=，故面//BOE 面PCD .【点睛】本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题. 23．（1）详见解析；（2）详见解析。

2020-2021深圳市高中必修二数学下期中一模试题含答案

2020-2021深圳市高中必修二数学下期中一模试题含答案一、选择题1．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（） A ．32- B ．4 C ．6 D ．32+2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 3．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o5．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A ． 22B ． 42C ．4D ．86．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A ．1763B ．1603C ．1283D ．32 7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 9．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2 10．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16011．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v ，则点A 的横坐标为________．14．已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.15．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________16．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.17．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．18．如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．三、解答题21．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 、F 分别是BC 、1AC 、1BB 的中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）求证：//EF 平面111A B C .22．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．23．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥，且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =uur uu r（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；24．求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大321+，PAB S ∆最大值为32 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2）， ∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0 ∴圆心到直线AB 的距离为322. ∴△PAB 面积的最大值是1321322||(1)222222AB +=⨯=2 故选D ．【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.2．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．C解析：C【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥，由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ，所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 6．B解析：B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 8．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====,所以所求截面的周长为62+45,故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.9．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题． 10．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==，因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-= 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8，因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=，故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.11．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=，球O 的表面积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D. 二、填空题13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，由0AB CD ⋅=u u u v u u u v 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 14．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：163,32⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦;故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.15．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别解析：21π【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积．【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则22232213234R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== .故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．16．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的 33430x y +-=【解析】【分析】先求出k OA 3，从而圆O 在点(3处的切线的方程的斜率3k = ，由此能出圆O 在点3A 处的切线的方程．【详解】k OA =3O 在点(3处的切线的方程的斜率3k =， ∴圆O 在点A (3处的切线的方程313y x =-（）， 33430x y +-=． 33430x y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 17．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值解析：BC【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ∆以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面11ND A ，故B 为真命题；对于C ，∆ 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，因为1MB P ∆在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为214a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时∆ 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。

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