电动力学静电场-习题课
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静电场习题优秀课件
设经过S1、S2旳电场强度通量分别为1、2，经过整个
球面旳电场强度通量为3，则
[]
（A）1>2，3=q/0 （B）1<2，3=2q/0 （C）1=2，3=q/0； （D）1<2，3=q/0；
q
o
S2
图1-4
2q
o
X
S12a
答：[ D ]
1-14(a) 点电荷q位于边长为a旳正立方体旳中心，经 过此立方体旳每一面旳电通量各是多少？
(b) 若电荷移至正方体旳一种顶点上，则经过每个面 旳电通量又各是多少？
解: (a) 因为6个全等旳正方形构成一种封闭
面, 所以 q 6 0
(b) 该顶点可视为边长等于2a 旳大立方 q
体旳中心, 经过每个大面旳电通量为 每个小立方体中不经过该顶点旳
6 0
三个小面上旳电通量为
q
24 0
而经过该顶点旳另三个 小面旳电通量为0.
s
E
dS
4r
2E
q内
0
(1) E1 = 0
（2）E2
q1
4 0r22
9
109
1.0 108 (0.2)2
q1 q2
2.25 103 v / m
(3)
E3
q1 q2
4 0r32
9
109
(1.0
1.5) (0.5)2
108
9 102 v / m
E不是r旳连续函数, 在两个球面处有跃变.
1-16 (1)设地球表面附近旳场强约为200v·m-1,方向指向 地球中心，试求地球所带旳总电量。 (2) 在离地面 1400m高处，场强降为20v·m-1，方向仍指向地球中心, 试计算在1400m下大气层里旳平均电荷密度.
静电场习题课讲稿PPT课件
x
L
第10页/共114页
例 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
第11页/共114页
课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
电荷元dq产生的场
dE
dq
4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
r dS E
第41页/共114页
dS
E
r
第42页/共114页
r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
r
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
q
E 4 0r 2
第43页/共114页
E
R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
E
R
qr E 40R3
q
ε 40r 2
O
r
O
R
第44页/共114页
E
E
均匀带电球面
E
E
E
dS
R
r
E
第36页/共114页
E
高斯面
E
E
E
E
E
dS
rE
E
高斯面
E
R
E
E
第37页/共114页
rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
L
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例 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
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课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
电荷元dq产生的场
dE
dq
4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
r dS E
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dS
E
r
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r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
r
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
q
E 4 0r 2
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E
R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
E
R
qr E 40R3
q
ε 40r 2
O
r
O
R
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E
E
均匀带电球面
E
E
E
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R
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高斯面
E
E
E
E
E
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rE
E
高斯面
E
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E
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rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
10静电场习题课II
εr 的介质板插入电容器
S
εr
d
U
1 1 2 1 2 2 解 ： 1）∆W = ∆( CU ) = U ∆C = U (ε C − C ) （ r 0 0 2 2 2 2 1 ε0SU 1 2 (εr −1) = U C0 (εr −1) = 2 2 d ε0SU2 （2）A 源 = U∆Q = U∆(CU) = U 2∆C = (εr −1) 电
r F+ r E
r r = − qEl cosθ = − PEcosθ = − P ⋅ E
r r 讨论（ 讨论（1） P// E r r
r E
r P r P
稳定平衡
F = 0 ，M = 0 W = −PE r r （2） P⊥E r
F = 0 ，M = PE W = 0r r （3） P //( −E) r r F = 0， M = 0 W = PE
R2 R 1
U1 U2
U12 = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cosθdl R1 R1 R2 λ λ R2 =∫ dr = ln = U1 −U2 = 2U0 −U0 = U0 R1 2 πε0r 2πε0 R 1 U0 1 2πε0U0 E= λ= ， ln( R2 / R ) r ln( R2 / R ) 1 1 r r r r r U0 1 dr U1 −U(r) = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cosθdl = ∫ R ln( R R ) r R R 2 1 U0 r U0 r = ln U ln ， U(r) = 2 0 − ln( R2 / R ) R ln( R2 / R ) R 1 1 1 1
1 2 1 2 1 > A 力 = − U ∆C = U C（ − ） 0 1 外 2 2 n
14静电场习题课
0
X
由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ分量抵消 由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ
λ ｄｌ ＋ ）＝－ ｄEｘ＝ｄEｃｏｓ（ π φ 2ｃｏｓ φ 4ππR 0 λR 0 2 ＝－ ｄ 2ｃｏｓφ φ 4ππR 0
λ0 2π 2 Eｘ＝－ ∫ ｃｏｓ φｄ φ 4πε R 0 0 λ0 2π 1－ｃｏｓ 2φ ＝－ ｄφ ∫ 0 4πε R 2 0 λ0 ＝－ 4ε0 R
2
d
•
⇒ E = 0 试指出其错误。 试指出其错误。
答：所选球面上场强的大小不处处相等，不能用： 所选球面上场强的大小不处处相等，不能用：
E • dS = E • 4πr ∫∫
S
2
〔例5〕已知空间电场强度分布为 〕 求（1）通过图示立方体的电通量， ）通过图示立方体的电通量， （2）该立方体内的总电荷是多少？ ）该立方体内的总电荷是多少？ 解：（1） ：（ ）
ｑ ∴U 0＝ ＝U球 4πε ｒ 0
〔例14〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内，电荷体 〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内， 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时， ρ,求球内 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时，得出结果
R O
σ
x
X
σ －σ ｘ E＝ ｉ ＋ 〔1－ ｉ〕 2 2 2ε 2ε R ＋ｘ 0 0 σ ｘ ＝ ｉ 2 2 2ε R ＋ｘ 0
U＝ E •ｄ ｌ ∫Eｃｏｓ π ＝ －E（－ｄｘ） ＝ ｄｌ ∫ ∫
0 ｘ 0 ｘ 0 ｘ
σ 0 ｘ 注意符号变换！ 注意符号变换！ ｄｘ ＝ ∫ 2 ｘ 2 2ε R ＋ｘ 0 －1 σ 01 2 2 ＝ ∫（R ＋ｘ ） 2ｄ（R 2＋ｘ2） ｘ 2ε 2 0 σ 1 （R ＋ｘ ）2 0 σ ＝ 〔 • 〕 ＝ 〔R－ R 2＋ｘ2〕 ｘ 1 2ε 2 2ε 0 0 2
X
由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ分量抵消 由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ
λ ｄｌ ＋ ）＝－ ｄEｘ＝ｄEｃｏｓ（ π φ 2ｃｏｓ φ 4ππR 0 λR 0 2 ＝－ ｄ 2ｃｏｓφ φ 4ππR 0
λ0 2π 2 Eｘ＝－ ∫ ｃｏｓ φｄ φ 4πε R 0 0 λ0 2π 1－ｃｏｓ 2φ ＝－ ｄφ ∫ 0 4πε R 2 0 λ0 ＝－ 4ε0 R
2
d
•
⇒ E = 0 试指出其错误。 试指出其错误。
答：所选球面上场强的大小不处处相等，不能用： 所选球面上场强的大小不处处相等，不能用：
E • dS = E • 4πr ∫∫
S
2
〔例5〕已知空间电场强度分布为 〕 求（1）通过图示立方体的电通量， ）通过图示立方体的电通量， （2）该立方体内的总电荷是多少？ ）该立方体内的总电荷是多少？ 解：（1） ：（ ）
ｑ ∴U 0＝ ＝U球 4πε ｒ 0
〔例14〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内，电荷体 〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内， 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时， ρ,求球内 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时，得出结果
R O
σ
x
X
σ －σ ｘ E＝ ｉ ＋ 〔1－ ｉ〕 2 2 2ε 2ε R ＋ｘ 0 0 σ ｘ ＝ ｉ 2 2 2ε R ＋ｘ 0
U＝ E •ｄ ｌ ∫Eｃｏｓ π ＝ －E（－ｄｘ） ＝ ｄｌ ∫ ∫
0 ｘ 0 ｘ 0 ｘ
σ 0 ｘ 注意符号变换！ 注意符号变换！ ｄｘ ＝ ∫ 2 ｘ 2 2ε R ＋ｘ 0 －1 σ 01 2 2 ＝ ∫（R ＋ｘ ） 2ｄ（R 2＋ｘ2） ｘ 2ε 2 0 σ 1 （R ＋ｘ ）2 0 σ ＝ 〔 • 〕 ＝ 〔R－ R 2＋ｘ2〕 ｘ 1 2ε 2 2ε 0 0 2
静电场习题课一
是非题
(1)若将放在电场中某点的电荷q改为－q，则该点的电场强度 大小不变，方向与原来相反。 (2)若取走放在电场中某点的电荷，则该点的电场强度变为零。 (3)沿电场线方向，场强一定越来越小。 (4)若电荷q在A处受到的电场力比B点时大，则A点电场强度比 B点的大。 (5)电场中某点电场线的方向，就是放在该点的电荷所受电场 力的方向。 (6)在电场中，电场强度越大的地方电势越高。 (7)原静止的点电荷在只受电场力时，一定从电势高处向电势 低处运动。 (8)电荷沿电场线方向移动时，其电势能一定减小。 (9)检验电荷在电场中某点所受的电场力很大时，它在该点具 有的电势能也一定大。 (10)把两个异号电荷靠近时，电荷电势能增电场中相邻的四个 等势面，一个电子垂直经过等势面D时动能为 20eV，经过等势面C时的电势能为-10eV，到达等 势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间距离为 5cm，则下列说法正确的是( )
A.A等势面的电势为-10V
B.匀强电场的场强为200V/m
选ABD
C.电子再次经过D等势面时， 动能为l0eV
D.电子的运动是匀变速直线 运动
• 练习：A、B是一条电场线上的两个点，一带 负电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度 从A点沿电场线运动到B点，其速度—时间图 象如图1－15所示.则这一电场可能是
A
例1：如图，倾角 的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强 场中，电场强度 ，有一个质量为 的带电小球，以速度 沿斜面匀速下滑，求： （1）小球带何种电荷？电荷量为多少？ （2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经 内小球的位移是多大？（ 取 ）
小球必带正电，
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力场 等效重力 等效重力加速度
重力、电场力的合力
(1)若将放在电场中某点的电荷q改为－q，则该点的电场强度 大小不变，方向与原来相反。 (2)若取走放在电场中某点的电荷，则该点的电场强度变为零。 (3)沿电场线方向，场强一定越来越小。 (4)若电荷q在A处受到的电场力比B点时大，则A点电场强度比 B点的大。 (5)电场中某点电场线的方向，就是放在该点的电荷所受电场 力的方向。 (6)在电场中，电场强度越大的地方电势越高。 (7)原静止的点电荷在只受电场力时，一定从电势高处向电势 低处运动。 (8)电荷沿电场线方向移动时，其电势能一定减小。 (9)检验电荷在电场中某点所受的电场力很大时，它在该点具 有的电势能也一定大。 (10)把两个异号电荷靠近时，电荷电势能增电场中相邻的四个 等势面，一个电子垂直经过等势面D时动能为 20eV，经过等势面C时的电势能为-10eV，到达等 势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间距离为 5cm，则下列说法正确的是( )
A.A等势面的电势为-10V
B.匀强电场的场强为200V/m
选ABD
C.电子再次经过D等势面时， 动能为l0eV
D.电子的运动是匀变速直线 运动
• 练习：A、B是一条电场线上的两个点，一带 负电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度 从A点沿电场线运动到B点，其速度—时间图 象如图1－15所示.则这一电场可能是
A
例1：如图，倾角 的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强 场中，电场强度 ，有一个质量为 的带电小球，以速度 沿斜面匀速下滑，求： （1）小球带何种电荷？电荷量为多少？ （2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经 内小球的位移是多大？（ 取 ）
小球必带正电，
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力场 等效重力 等效重力加速度
重力、电场力的合力
习题课第1章 静电场的基本规律
第1章 静电场的基本规律（习题课）一、 本章内容提要要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理定理（律）的成立条件和运用方法。
1. 两种电荷、电荷守恒和电荷量子化2. 库仑定律 rr q q F ˆ412210⋅=πε 3. 电场强度 0q FE=4. 场强叠加原理 ∑=i E E5. 点电荷电场 r rqE ˆ4120⋅=πε 6. 电荷连续分布的带电体 三种电荷分布 ⎪⎩⎪⎨⎧===dl dq dS dq dVdq λσρ r r dq E d E 2041⋅==⎰⎰πε 计算电场分布的第一种方法（如何计算矢量积分？）7. 电场线及其性质发自正电荷（无穷远），终止于负电荷（无穷远），不在没有电荷处中断。
在静电场中，电场线不构成闭合曲线。
两条电场线不相交。
8. 高斯定理 电场的通量ε∑⎰⎰=⋅isqS d E（积分形式）ερ=⋅∇E （微分形式）电场的散度 E⋅∇=Ed i v ， 有源场和无源场 高斯定理的意义——反映一般电场性质的规律。
哈密顿算符 z k y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ˆˆˆ，θϕθθϕ∂∂+∂∂⋅+∂∂=∇r e r e r er 1ˆsin 1ˆˆ计算电场分布的第二种方法（有条件的）9. 静电场的环路定理 电场的环量0l d =⋅⎰E L（积分形式）0=⨯∇E（微分形式）电场的旋度 E⨯∇=Er o t ，有旋场和无旋场 反映静电场性质的规律。
静电力是保守力，静电场是有势场。
10. 静电势能 l d 0⋅==-⎰QPPQ Q P E q A W W代表0q 与场源电荷之间的相互作用能 11. 电势差和电势l d 0⋅==-=-=⎰QPPQ QP Q P PQ E q A q W W U U Ul d ⋅=-=⎰o Po P p E U U U电势U 和静电势能W 参考零点的选择：（A ）场源电荷分布于有限空间内，无穷远；（B ）地面、金属外壳。
大学物理-静电场习题课PPT课件
★场强E是高斯面上任一点的电场强度。当高斯面内无电荷时，高斯面上的场
强并不一定处处为零;当高斯面上的场强处处为零时,高斯面内一定无电荷或代 数和为零。
★高斯面可任意选取，但解题中应充分利用对称性。
★适用于任何静电场，也适用于变化的电场，是电磁场的基本定理之一。
4
第10章 恒定磁场
常见应用高斯定理求解的问题
补偿法：均匀带点球+小面元（视为点电荷）
点 电 荷u q 4πε0r
带 电 球 面u(R) Q 4πε0 R
Q 4πR 2
q S Q S
4πR2
1
Q
S
E 4πε0R (Q q) 4πε0R (1 4R2 )
13
第10章 恒定磁场
个人观点供参考，欢迎讨论
高斯定理：
1
s
E
• ds
0
qi
静电场是有源场
3
第10章 恒定磁场
高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面(高斯面）所包围的电
荷的代数和除以 0 ,而与闭合曲面外的电荷无关。
真空中
1
e s E • ds 0
qi
q1 S
注意:
q3
q2
★过曲面的通量由曲面内的电荷决定
★高斯面上的场强 E 是由全部电荷（面内外电荷）共同产生
5 如图所示，在边长为的正方形平面的中垂线上， 距中心O点a/2处，
有一电量为q的正电荷，则通过 该平面的电场强度通量为______________
a
a/2 q
a/2q
a
由高斯定理 q 0
a
q 60
9
第10章 恒定磁场
P30 计算题1.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =A r (r≤R) ， ρ =0 (r＞R) A为一常量．试求球体内外的场强分布．
静电场的基础知识课后习题(仅供参考)
4.4解：如图所示建立坐标系，在半圆 环上取一小段圆弧，其长度为θRd则其带电量为θλ=Rd q d此段圆弧在环心O 点产生的电场强度为R4d R 4dq dE 020πεθλ=πε=由半圆环的对称性可知0点的场强E沿y 轴负向，所以有R4d sin sin dE dE 0y πεθθλ=θ=故环心处的电场强度大小R2R 4d sin dE E E 000y y πελ=πεθθλ===⎰⎰π所以 j R2E 0πελ-=4.5解：（1）两电荷同号时，在其连线外侧电场强度方向相同，内侧电场强度方向相反，故电场强度为零的点在两电荷连线内侧，设该点与q 1距离为r 1 ,(r 1>0)，由场强叠加原理有0)(4421022101=--r d q rq πεπε 可得2111q q d q r +=（2）两电荷异号时，在其连线内侧电场强度方向相同，外侧电场强度方向相反。
故电场强度为零的点在两电荷连线外侧，又由于q 2>q 1 ,所以电场强度为零的点在q 1的外侧，设该点与q 1的距离为2r ，由场强叠加原理得0)r d (4q r 4q 22022201=+πε-πε可得 1212q q d q r -=4.7 解：建立如图所示的坐标系。
将带电 线分成两部分半圆环和两条半无 限长直线进行考虑。
设带电线线电荷密度为λ，分析半圆环部分：在半圆环上取一小段圆弧，其长度为dl ，则其带电量为 θλ=λ=d R dl dq 此段圆弧在环心0点产生的电场强度为： 20Rd R 41E d θλπε=电场分布关于x 轴对称：0=y E ,θθλπε=θ=sin R d R 41sin dE dE 20x所以R2d sin R 4sin R rd 41sin E E 000020πελ=θθπελ=θθλπε=θ=⎰⎰⎰ππ 方向沿x 轴正方向 分析两个半无限长直线：建立如图所示的坐标系，在带电直线上取电荷元dx dq λ=，它在O 点产生的电场强度大小为O ′)(4422020R x dxr dq dE +==πελπε 由带电线的对称性可知O 点的电场强度E沿x 轴负方向，所以有2/322022220)(4)(4cos R x xdxRx x R x dxdE dE x +=++==πελπελθ所以剩下部分在O 点产生的场强大小RR x xdxdE E E x x 002/32202)(4πελπελ=+===⎰⎰∞方向水平向左。
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(0) (1) (2)
(0)
( x)
q 40 R
1 (~ ) R
q
V
( x)dV
单极项(0)有球对称性，相当于系统的净电荷量 q集中于坐标原点产生的电势。
p R (1) ( x) 40 R3
偶极项 p V ( x) xdV 1 3( p R) p [ 3] 5 40 R R
(0 ) V0 边界条件为 (b, ) ( 2 ) V0
n 1
b
=V0
z
=V0
(b, ) ( A0 ln B0 )(C0 D0 ) ( An n Bn n )(Cn cosn Dn sin n )
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习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Bn Dnb sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
Bn Dn b n
0 4V0 n
4、静电场边值问题的求解方法 （1）分离变量法 ①自由电荷全聚集在边界上，方程是齐次的。
②边界应该是简单的几何面。 2 2 2 2 (a)在直角坐标系中 2 2 2 0 x y z ( x , y, z ) ( A1 cos k x x A2 sink x x ) ( B1 cos k y y B2 sink y y )
4V0 n n ( b ) sinn n 奇 数
在圆管外部(>b)，为使时，电位保持有限值， 通解中不能有n因子和ln 因子，即
A0 0, An 0
(n 1,2,)
(b, ) B0 D0 Bn Dn n sinn
n 1
B0D0和BnDn可以由边界条件确定。
习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Anb Dn sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
0 An Dn b n 4V0 n
圆管内部的电位为 ( , )
n
(Γ为伽马函数 )
cos(m )J m ( kr) J m ( kr) N m ( kr) sin( m )
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习题课
第二章 静电 场
如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区
域是02，故通解为
(r , ) Ao B0 ln r ( An r Bn r ) cos(n ) (C n r n Dn r n ) sin( n )
(C1 cos k z z C2 sink z z )
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第二章 静电 场 2 2 1 1 2 (b)在柱坐标系中 (r ) 2 2 0 2 r r r r z (r , , z ) R(r )( ) Z ( z ) 习题课
(b, ) 是的奇函数，通解式中不应该有余弦项。
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习题课
第二章 静电 场
Cn 0
又电位分布的周期性 ( , ) ( , 2n )
C0 0
(b, ) ( A0 ln B0 ) D0 ( An n Bn n )Dn sinn
(r ) A
B r
（2）镜像法 ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线。 ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面 （球面、柱面、平面）。
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习题课
第二章 静电 场
5、静电能、外电场对电荷系的作用能
（1）电荷体系的静电能
1 1 We E DdV f dV 2 V 2
D ji Dij 对称张量
Dxx Dyy Dzz 0
电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而 各级矩的电势按距离R的负幂次衰减，高级矩的电势 比低级矩的电势衰减更迅速。因此任何电荷系统在其
外部的场，均以其最低级的场为主。
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习题课 3、静电场边值问题
第二章 静电 场
Wi p e p Ee F Wi p Ee
L p Ee
习题课 二、典型例题
第二章 静电 场
例1 一无限长，半径为b的薄导体圆管，被分成两半， 且相互绝缘，上半圆柱面的电位=V0，下半圆柱面的 电位=V0。试求管内外的电位分布。 解：由于假设圆管无限长，故电位 为和的函数，与z无关。
其中无穷远处为电势零点，积分遍及电荷分布区域 V。 2、电势多极展开 任何一个电荷系统在其外部的电场，原则上均 可表示成一系列多极矩场的叠加。
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习题课 对于电荷系统在远处的场
第二章 静电 场
1 q p R 1 3 2 1 ( x) [ 3 Dij ] 40 R R 6 i , j 1 xi x j R
两个体积分的积分区域不同！
（2）外电场对电荷体系的作用能
1 Wi ( x ) e ( x )dV V 2 1 Wi q e (0) p e (0) D : e (0) 6
当电荷分布在小区域
电偶极子
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( R R0 )
(5 )
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第二章 静电 场 习题课 p f 的电势P是泊松方程（1）的一个特解。 p
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1 d 0 E en 0 E e 0 | r d
0V0
习题课
第二章 静电 场
例3 均匀介质球（电容率为1）中心置一自由电偶极子 ， 球外充满了另一种电容率为 2的介质，求空间各点的电势 pf z 和极化电荷分布。
1 (~ 2 ) R
E (1)
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习题课
Dij
V V
第二章 静电 场
2 3 xi x j ( x )dV (3 xi x j r ij ) ( x)dV
x 2 y 2 z 2
r
习题课 一、内容小结 1、静电场与静电势
E
第二章 静电 场
x ( x ) ( x0 ) E dl x0
当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远为势能零点。 泊松方程 2 / 0
泊松方程在无界空间中的解为 ( x ) V ( x ) dV 40 r
2
)
锥面上的电荷面密度
r sin ln(tan ) 2 2 r0 0V0 20 r0V0 r sinddr 锥面上的总电荷 Q r 0 0 sin ln(tan ) ln(tan ) 2 2 20 r0 Q C V0 ln(tan ) 2
n n n 1 n 1
(c)在球坐标系中
2 1 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r r sin r sin
(r , , ) R(r )Y ( , )
Bnm m Dnm m n (r , , ) ( Anm r n1 ) Pn (cos ) cos(m ) (Cnm r n1 ) Pn (cos ) sin( m ) r r n,m n,m
n
Pnm (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
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习题课
第二章 静电 场
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴），则
( r , ) ( An r n
n0
Bn ) Pn (cos ) n1 r
Pn (cos ) 为勒让德函数
对于球对称的问题，m=0 , n=0，则
唯一性定理定解条件
（1）满足各求解区域内电势（或电场）的微分方程 （2）满足相邻区域的边值关系及给定的边界条件
静电势方程和边值关系
f 2 i
j i f j i n n (线性均匀介质界面) j i
的电势，或给定每个导体所带的净电量。 ds Q n S
解 从导体的形状可推知，给出导体上的总 电荷后，不可能由此求导体间的电位差及电 容。 先指定导体上的电位，解2=0，求出 导体间的电位分布，再确定导体上的总电 荷，从而求得电容。 以锥轴线为z轴，则令锥面(=)上的电位为V0，平 面(=/2)上的电位为零。当忽略边缘效应时，电位与 坐标r和无关，仅与有关。
4V0 b n 圆管外部的电位为 ( , ) ( ) sinn n 奇 数 n
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习题课
第二章 静电 场
例2 圆锥形导体电极尖端无限接近一导体平面（两者相互 绝缘），锥轴线与平面垂直，轮廓线与轴线夹角为。忽 略边缘效应及锥底电容，求圆锥与平面间的电容。
(r , , z ) [ A1J m (kr) A2 N m (kr)] [ B1 cos(n ) B2 sin( n )]
[C1 cosh( kz) C2 sinh( kz)]
Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。
kr m 2 n ) ( 1) ( 2 J m ( kr ) n 0 n! ( m n 1)
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r0
习题课
2
第二章 静电 场
1 d d 2 (sin ) 0 由边界条件 , 0 B 0 r sin d d 2
(0)
( x)
q 40 R
1 (~ ) R
q
V
( x)dV
单极项(0)有球对称性，相当于系统的净电荷量 q集中于坐标原点产生的电势。
p R (1) ( x) 40 R3
偶极项 p V ( x) xdV 1 3( p R) p [ 3] 5 40 R R
(0 ) V0 边界条件为 (b, ) ( 2 ) V0
n 1
b
=V0
z
=V0
(b, ) ( A0 ln B0 )(C0 D0 ) ( An n Bn n )(Cn cosn Dn sin n )
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习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Bn Dnb sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
Bn Dn b n
0 4V0 n
4、静电场边值问题的求解方法 （1）分离变量法 ①自由电荷全聚集在边界上，方程是齐次的。
②边界应该是简单的几何面。 2 2 2 2 (a)在直角坐标系中 2 2 2 0 x y z ( x , y, z ) ( A1 cos k x x A2 sink x x ) ( B1 cos k y y B2 sink y y )
4V0 n n ( b ) sinn n 奇 数
在圆管外部(>b)，为使时，电位保持有限值， 通解中不能有n因子和ln 因子，即
A0 0, An 0
(n 1,2,)
(b, ) B0 D0 Bn Dn n sinn
n 1
B0D0和BnDn可以由边界条件确定。
习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Anb Dn sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
0 An Dn b n 4V0 n
圆管内部的电位为 ( , )
n
(Γ为伽马函数 )
cos(m )J m ( kr) J m ( kr) N m ( kr) sin( m )
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习题课
第二章 静电 场
如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区
域是02，故通解为
(r , ) Ao B0 ln r ( An r Bn r ) cos(n ) (C n r n Dn r n ) sin( n )
(C1 cos k z z C2 sink z z )
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第二章 静电 场 2 2 1 1 2 (b)在柱坐标系中 (r ) 2 2 0 2 r r r r z (r , , z ) R(r )( ) Z ( z ) 习题课
(b, ) 是的奇函数，通解式中不应该有余弦项。
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习题课
第二章 静电 场
Cn 0
又电位分布的周期性 ( , ) ( , 2n )
C0 0
(b, ) ( A0 ln B0 ) D0 ( An n Bn n )Dn sinn
(r ) A
B r
（2）镜像法 ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线。 ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面 （球面、柱面、平面）。
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习题课
第二章 静电 场
5、静电能、外电场对电荷系的作用能
（1）电荷体系的静电能
1 1 We E DdV f dV 2 V 2
D ji Dij 对称张量
Dxx Dyy Dzz 0
电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而 各级矩的电势按距离R的负幂次衰减，高级矩的电势 比低级矩的电势衰减更迅速。因此任何电荷系统在其
外部的场，均以其最低级的场为主。
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习题课 3、静电场边值问题
第二章 静电 场
Wi p e p Ee F Wi p Ee
L p Ee
习题课 二、典型例题
第二章 静电 场
例1 一无限长，半径为b的薄导体圆管，被分成两半， 且相互绝缘，上半圆柱面的电位=V0，下半圆柱面的 电位=V0。试求管内外的电位分布。 解：由于假设圆管无限长，故电位 为和的函数，与z无关。
其中无穷远处为电势零点，积分遍及电荷分布区域 V。 2、电势多极展开 任何一个电荷系统在其外部的电场，原则上均 可表示成一系列多极矩场的叠加。
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习题课 对于电荷系统在远处的场
第二章 静电 场
1 q p R 1 3 2 1 ( x) [ 3 Dij ] 40 R R 6 i , j 1 xi x j R
两个体积分的积分区域不同！
（2）外电场对电荷体系的作用能
1 Wi ( x ) e ( x )dV V 2 1 Wi q e (0) p e (0) D : e (0) 6
当电荷分布在小区域
电偶极子
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( R R0 )
(5 )
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第二章 静电 场 习题课 p f 的电势P是泊松方程（1）的一个特解。 p
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1 d 0 E en 0 E e 0 | r d
0V0
习题课
第二章 静电 场
例3 均匀介质球（电容率为1）中心置一自由电偶极子 ， 球外充满了另一种电容率为 2的介质，求空间各点的电势 pf z 和极化电荷分布。
1 (~ 2 ) R
E (1)
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Dij
V V
第二章 静电 场
2 3 xi x j ( x )dV (3 xi x j r ij ) ( x)dV
x 2 y 2 z 2
r
习题课 一、内容小结 1、静电场与静电势
E
第二章 静电 场
x ( x ) ( x0 ) E dl x0
当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远为势能零点。 泊松方程 2 / 0
泊松方程在无界空间中的解为 ( x ) V ( x ) dV 40 r
2
)
锥面上的电荷面密度
r sin ln(tan ) 2 2 r0 0V0 20 r0V0 r sinddr 锥面上的总电荷 Q r 0 0 sin ln(tan ) ln(tan ) 2 2 20 r0 Q C V0 ln(tan ) 2
n n n 1 n 1
(c)在球坐标系中
2 1 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r r sin r sin
(r , , ) R(r )Y ( , )
Bnm m Dnm m n (r , , ) ( Anm r n1 ) Pn (cos ) cos(m ) (Cnm r n1 ) Pn (cos ) sin( m ) r r n,m n,m
n
Pnm (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
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习题课
第二章 静电 场
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴），则
( r , ) ( An r n
n0
Bn ) Pn (cos ) n1 r
Pn (cos ) 为勒让德函数
对于球对称的问题，m=0 , n=0，则
唯一性定理定解条件
（1）满足各求解区域内电势（或电场）的微分方程 （2）满足相邻区域的边值关系及给定的边界条件
静电势方程和边值关系
f 2 i
j i f j i n n (线性均匀介质界面) j i
的电势，或给定每个导体所带的净电量。 ds Q n S
解 从导体的形状可推知，给出导体上的总 电荷后，不可能由此求导体间的电位差及电 容。 先指定导体上的电位，解2=0，求出 导体间的电位分布，再确定导体上的总电 荷，从而求得电容。 以锥轴线为z轴，则令锥面(=)上的电位为V0，平 面(=/2)上的电位为零。当忽略边缘效应时，电位与 坐标r和无关，仅与有关。
4V0 b n 圆管外部的电位为 ( , ) ( ) sinn n 奇 数 n
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第二章 静电 场
例2 圆锥形导体电极尖端无限接近一导体平面（两者相互 绝缘），锥轴线与平面垂直，轮廓线与轴线夹角为。忽 略边缘效应及锥底电容，求圆锥与平面间的电容。
(r , , z ) [ A1J m (kr) A2 N m (kr)] [ B1 cos(n ) B2 sin( n )]
[C1 cosh( kz) C2 sinh( kz)]
Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。
kr m 2 n ) ( 1) ( 2 J m ( kr ) n 0 n! ( m n 1)
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r0
习题课
2
第二章 静电 场
1 d d 2 (sin ) 0 由边界条件 , 0 B 0 r sin d d 2