真空中的静电场习题课
习题讲解1：真空中的静电场习题讲解
解： (1)取圆环ds 2rdr, dq ds, 则 dE dqx 4 r x
2
3 2 2
E
0
R
2rdrx
4 r 2 x
3 2 2
x (1 ) 2 2 2 R x
E
0
R
2rdrx
4 r 2 x
3 2 2
x (1 ) 2 R2 x2
1 求均匀带电细棒中垂线上距O为y点的场强。 设棒长为 l , 电荷线密度为 解：由对称性可知，选用如图所示的坐标系，中垂面上 一点的场强沿y 方向，在x方向抵消。 y dx
4 0 r l 2 cos dx E y ( p) dE y 2 l 2 4 0 r
解：dq dl q q ad d a 0 0
0
a
dE
1 dq 1 q dE d 2 2 4 0 a 4 0 a 0
根据对称性， O处的电场强度方向向下
0
2
O
d E
d E d E
dE y dE cos E y dE y 1 q
S 上
计算无限大均匀带电平板（厚度为d、密度为 ）的电场。
4
其中
下
E cos dS E cos dS E cos dS
前 后
上
左
E cos dS E cos dS
右
前 E cos dS 后 E cos dS 0 2
解
V0 0 q q VD 4 0 (3l ) 4 0l
C +q A
大学物理第6章真空中的静电场课后习题与答案
第6章真空中的静电场习题及答案1.电荷为q 和2q 的两个点电荷分别置于x1m 和x1m 处。
一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q 位于点电荷 0q 的右侧，它受到的合力才可能为0，所以2qqqq00224(x 1)4(x1) ππ 00故x3222.电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。
试问：(1)在这三角形的中心放 一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都 为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解：(1)以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q 为负电荷，所以2 4 1 π 0 q a 22 cos304 1 π 0 ( q 33qa 2 )3故qq3(2)与三角形边长无关。
3.如图所示，半径为R 、电荷线密度为1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。
求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。
在带电圆环上取dqdl 1，dq 在带电圆环轴 线上x 处产生的场强大小为 dE 4 dq20(xRy2 )根据电荷分布的对称性知，yE0E zdEdEcos x41xdq 1R 3 22 2O(xR) 02xl式中：为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。
E x4x 220(xR) 3 2dqzx21R R 1 x4x 2R2()3 2 2xR 2( 02 )3 2下面求直线段受到的电场力。
在直线段上取dqdx2，dq受到的电场力大小为Rx12dFxdxEdq32222(xR)0方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为Rlx12FdxdF3202220xR)(11R1121/22R22lR方向沿x轴正方向。
4.一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为。
求：（1）圆心处O点的场强；（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。
真空中的静电场习题课
例1 计算在电偶极子延长线和中垂线上任一点的电 场强度。 解： 延长线上任一点:
q E 2 4π 0 x l 2 q E 2 4π 0 x l 2 q 2 xl 1 E A E E 4 2 2 2 4π 0 x 1 l 4 x
1 dx dE 4 π 0 r 2 1 dx dEx cos 2 4π 0 r
q L
dq dx
1 dx dE y sin 2 4π 0 r
返回
退出
1 Ex cos dx 2 4π 0 r
统一变量： (r, x, )
1 Ey sin dx 2 4 π 0 r
返回
退出
若为均匀带电球面，结果如何? E内=0, E外=q/40r2
返回
退出
例6 求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密 度为） 解：轴对称分布电荷
qi SE dS 0 E dS Ψ E1 EdS Ψ E 3
S S2
E r S1
h S2 S3
Ψ E1 Ψ E 3 0
h E 2π rh 0
E dS E 2π rh
S2
E 2 π 0 r
若为均匀带电的圆柱面或圆柱体， 结果如何?
返回
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例7 无限大均匀带电平面的电场分布（电荷面密度为 ）。 解： 根据对称性分析，电场分布应具有 （1）沿平面方向的平移对称性，即
q SE dS
0
4 q π R3 3
r
R
E (r ) dS E (r ) 4π r
2 S
q
P
E
真空中的静电场(1、3)习题难点讲解
d 4 0a
指向 dq
消。故所有电荷在O点 产生的场强为零。
4. 电荷密度为 Ar 的球体的电场 解：（1）高斯面为同心球面：
4 r E
2
q
0
（i）当 r R 时，
R
dr r
O
q dV
r
r
0
2 Ar 4 r dr
O
r
P
1. 当半径从r1变到r2时，电能变化为
Q 1 1 1 2 1 2 0 r11 8 0 r2 8 0 r1 8 0 r2 r1 r2 r1 5 108 J Q
2
Q
2
2
2.
r EP E面 E洞 1 2 2 2 0 2 0 R r r 2 0 R 2 r 2
Ar 4
4 r E1
2
1
故
0
Ar 4
Ar 2 E1 er 4 0
（ii）当 r R 时，
R
q dV AR
4
Ar 4 r 2dr 0
R
dr r
O
r
4 r E2
2 r 4 0 r
dq dl ad
ad d dE 2 4 0a 4 0a
指向 dq
rd sin 这一对线元在O点的元 1 rd d dE 2 4 0 r sin 4 0 r sin 场强等值反向，相互抵 dq dl
E2 y (sin 2 sin 1 ) 4 0a 1 , 2
E2 y E2 4 0a 2 0a
22 场强电势 复习(习题)课
r≤R
r≥R
Q
R
v E
4πε 0 r Q U (r ) = 4 πε 0 R
r r dS v E
r ≤ R
U
R
0
r
r
R
电场分布具有轴对称性： 电场分布具有轴对称性： 轴对称性 无限长均匀带电细直线
λ
r n
rc λ UP = ln 2πε 0 r
无限长均匀带电圆柱面
λ E = 2πε 0 r
lr
r
Pr
是否正确?为什么 是否正确 为什么? 为什么 q
a p
σ
不正确。 势能零点不同。 答：不正确。 势能零点不同。
4. 讨论下列关于场强和电势的说法是否正确 举例说明 讨论下列关于场强和电势的说法是否正确,举例说明 (1)电势较高的地方 场强一定较大 场强较大的地方 电势 电势较高的地方,场强一定较大 场强较大的地方,电势 电势较高的地方 场强一定较大;场强较大的地方 一定较高. 一定较高 × (2) 场强大小相等的地方 电势一定相等 等势面上 电场强 场强大小相等的地方,电势一定相等 等势面上,电场强 电势一定相等;等势面上 度一定相等. 度一定相等 × (3)电势不变的空间内 场强一定为零 电势为零的地方 场 电势不变的空间内,场强一定为零 电势不变的空间内 场强一定为零; 电势为零的地方,场 √ 强不一定为零. 强不一定为零 (4)带正电的物体 电势一定为正 带负电的物体 电势一定 带正电的物体,电势一定为正 带负电的物体,电势一定 带正电的物体 电势一定为正;带负电的物体 为负;电势为零的物体一定不带电 电势为零的物体一定不带电. 为负 电势为零的物体一定不带电 × (5)空间某点 其周围带正电的物体愈多,则该点的场强愈 空间某点A,其周围带正电的物体愈多 则该点的场强愈 空间某点 其周围带正电的物体愈多 × 电势也高. 大,电势也高 电势也高 (6)如果已知电场中某点的场强 则可算出该点的电势 如果已知电场中某点的场强E,则可算出该点的电势 如果已知电场中某点的场强 则可算出该点的电势U.
太原理工大学大学物理第五版第9章课后题答案
第9章 真空中的静电场(习题选解)9-补充 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。
为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为题6-1图22221004330cos 42r q r q f πεπε=︒⨯=中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为2233200434r Qqr Qq f πεπε==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛由12f f =，得3Q q =。
6-补充 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234Th 的中心为159.010r m -=⨯。
试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？解：（1）由反应238234492902U Th+He →，可知α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==⨯Th 离子带90个单位正电荷，即1929014410Q e C -==⨯它们距离为159.010r m -=⨯由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：191991221520 3.21014410(9.010)5124(9.010)Q Q F N r πε---⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯（2） 粒子的质量为：2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=⨯⨯+⨯=⨯由牛顿第二定律得：282275127.66106.6810F a m s m α--===⨯⋅⨯ 9-1 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。
求作用在第3个点电荷上的力。
解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为2r m =。
静电场1、2库仑定律习题课
【点评】
此题关键是对称思想，既可用填补法(
等效法)解答，又可用割除法求解．如果题中不是 带电球壳，而是带电圆环，处理方法类似．
3．两个完全相同的金属球，带电荷量之比
为1∶7，两球相距为r，两者接触后再放回原
位置，则它们之间的库仑力可能是原来的
A.
C.
4/7
9/7
B.3/7
D.16/7
6．(原创题)如图所示，光滑水平面上固定金 属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与另一 个金属小球B连接，让它们带上等量同种电 荷，弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉 一半，弹簧伸长量变为x2，则有( ) A．x2＝1/2x1 B．x2＝1/4x1
[经典案例] 如图所示，一半径为R的绝
缘球壳上均匀地带有电荷量为＋Q的电荷，另一
电荷量为＋q的点电荷放在球心O上，由于对称
性，点电荷所受的电场力为零，现在球壳上挖去
半径为r(r≪R)的一个小圆孔，则此时置于球心的
点电荷所受力的大小为________，
方向为________．
【解题样板】 填补法：把挖去的一小部分补 上，则球心处的点电荷将受力平衡，即剩余部 分电荷对点电荷产生的力 F2 与挖去部分电荷 产生的力 F1 等大反向．将挖去的一部分 πr2 r2Q 看成点电荷．其电荷量 q′＝ Q＝ 2，所 4πR2 4R 以剩余部分对球心处的点电荷的力的大小为 r2Q q· 2 qq′ 4R kr2qQ F2＝k 2 ＝k 2 ＝ ， 方向指向缺口处． R R 4R4
11.一带电荷量为＋Q、半径为R的球，电 荷在其内部能均匀分布且保持不变，现在 其内部挖去一半径为R/2的小球后，如图所 示，求剩余部分对放在两球心连线上一点P 处电荷量为＋q的电荷的静电力．已知P距 大球球心距离为4R.
大学物理课后习题答案 真空中的静电场
第八章 真空中的静电场 1、[D] 2、[C]要使p 点的电场强度为零，有两种可能：1、在p 点的右侧放正电荷；2、在p 点的左侧放负电荷。
根据题意为负电荷，根据点电荷强度的公式：204rQ E πε=。
其中r=1,负电荷产生的电场：2442120210=⇒=r rQ r Q πεπε，该点在原点的左边。
3、[D]1、粒子作曲线运动的条件必须存在向心力。
2、粒子从A 点出发经C 点运动到B 点是速率递增，存在和运动方向一致的切向力。
3、依据粒子带正电荷，作出作用在质点上的静电力后，符合上诉1、2条件的是[D]。
4、[C]5、[B]6、[D]1、点电荷的电场强度：r e rq E204πε=；2、无限长均匀带电直导线：r rq e rq E r20022πεπε==；3、无限大均匀带电平面：r e E2εσ=4、半径为R 的均匀带电球面外的电场强度：r r R r R r e rq E r302230204414εσσππεπε=⋅==7、[C]对高斯定理的理解。
E是高斯面上各处的电场强度，它是由曲面内外所有静止点和产生的。
∑=0q 并不能说明E有任何特定的性质。
8、[A]应用高斯定理有:⎰=⋅sS d E 0,即:⎰⎰⎰⎰=∆Φ+⋅=⋅+⋅=⋅∆ses s s S d E S d E S d E S d E 0⎰∆Φ-=⋅seS d E9、[B]10、[C]依据公式:R r rQ E ≥=,420πε已知:,4,22σπR Q R r ==代入上式可得:2024444εσπεσπ==RR E11、[D]先构建成一个边长为a 的立方体,表面为高斯面,应用高斯定理,一个侧面的磁通量为: 0661εq S d E S d E ss=⋅=⋅⎰⎰12、[D]13、[D]半径为R 的均匀带电球面:R r R Q U <=,40πεR r r Q U >=,40πε半径为R 的均匀带电球体: R r r Q U >=,40πεR r RQ r R RQ U <+-=,4)(802230πεπε正点电荷: ,40rQ U πε=负点电荷: ,40rQ U πε-=14、[C]分析:先求以无限远处为电势的零点.则半径为R 电量为Q 的球面的电势： 0)(,4)(0=∞=U RQ R U πε,4)()(0RQ R U U U R πε-=-∞=∞对15、[B]利用电势的叠加来解。
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(A) Q1 Q 2
4 0r 2
(C)
Q1
4 0r 2
(B)
Q1
4
0
R
2 1
Q2
4
0
R
2 2
(D) 0 [D]
大学物理学A
习题课
第7章 真空中的静电场
5.真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q， 在球心 o 处有一带电量为 q 的点电荷，设 无穷远处为电势零点，则在球内离球心 o 距离的 r 的 P 点处的电势为：
x= a/2 和 x = a /2 出的两条“无限长”平行的
均匀带电细线，电荷密度分别为 和 ．求z轴
上任一点的电场强度．
Z
Y
a 2
oa
2X
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第7章 真空中的静电场
解：过 z 轴上任一点(0,0,z)分别以两条带电细线
为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示.按
高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场
例：.求无限长均匀带电直线的电势分布
场强分布 E 2 0r
由定义 V Edr
dr
P
r 2 0r
PQ
r
发散
R
选有限远为电势零点( Q )
R
R
VP r Edr 2 0r dr 2 0 ln r
讨 论
rR V 0 rR V0 rR V0
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第7章 真空中的静电场
12.如图所示，在X--Y平面内有与Y轴平行、位于
Q ln 3
8 0 a
a
Cx
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第7章 真空中的静电场
带电粒子在 C 点时，
a
a
它与带电杆相互作用 电势能为
o x dx
W qV qQ ln 3 8 0a
a
Cx
（2）带电粒子从 C 点起运动到无限远处 时，电场力作功，电势能减少。粒子动能
增加。
1 2
mv
2
1 mv 2
2
大学物理学A
a
a
o
a
Cx
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第7章 真空中的静电场
解：（1）在杆上取线元 dx，其上电量
dq Qdx 2a
设无穷远处电势为零， dq 在 C 点处产生的电 势
Q dx 2a dV 4 0 2a x
a
a
o x dx
整个带电杆在 C 点产生的电势
Q a dx
V dV
L
8 0a a 2a x
强大小为:
Z
E /(20r )
式中正负号分别表示场 强方向沿径向朝外和朝 里,如图所示.按场强叠 加原理，该处合场强的 大小为
E
E E
1 a 2
z
o 1a X 2
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第7章 真空中的静电场
E
2E cos
a/2 0r r
0
2a
(a 2
4
z
2
)
方向如图所示.
Z
E
或用矢量表示
A V
o
C V
o
B V
x
o
x
D V
[A]
x
o
x
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第7章 真空中的静电场
8.半径为 R 的均匀带电球面，总电量为 Q，设无 穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电 势 U ，随离球心的距离 r 变化的分布曲线为：
U
U
U
U
U
U 1 r
U 1 r
U 1 r
U
1 r2
U
1 r2
oR r o R r o R r oR
E
④无限长均匀带电圆柱体 E
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第7章 真空中的静电场
E
0
rR
2 0r
r 2 0 R 2
rR
rR
2 0r
rR
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第7章 真空中的静电场
⑤均匀带电球面
0
q
OR
E
q
4 0r 2
rR
rR
⑥均匀带电球体
大学物理学A
E
qr
4 0 R3
q
4 r 2 0
rR
rR
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第7章 真空中的静电场
⑦均匀带电圆环轴线上一点
qx
E
4 0
(
x2
R2
3
)2
qR
O
P
X
x
⑧均匀带电圆平面轴线上一点
x
E (1
)
2 0
x2 R2
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第7章 真空中的静电场
1.图中所示为一沿 x 轴放置的“无限长”分段
均匀带电直线，电荷线密度分别为+（x >0） 和 （x < 0），则 oxy 坐标平面上点（0，a）
处的场强 E 为：
ro R r
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
[A]
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9.下面说法正确的是
第7章 真空中的静电场
(A)等势面上各点场强的大小一定相等； (B)在电势高处，电势能也一定高； (C)场强大处，电势一定高； (D)场强的方向总是从电势高处指向低处.
[D]
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第7章 真空中的静电场
Ei dE
1
E • ds 0 qi
E V
电势的计算
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叠加法 定义法
Vi dV
VP E • dl
P
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第7章 真空中的静电场
几种特殊带电体的场强分布
①无限大带电平面 0
E
2 0 0
E
E
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②无限长均匀带电细杆
E
2 0r ③ 无限长均匀带电圆柱面
(A) q
4 0 r
(C) q Q
4 0 r
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(B)
1
4 0
q r
Q R
(D)
1
4 0
qr
Q q R
[B]
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第7章 真空中的静电场
6.半径为 r 的均匀带电球面 1，带电量为 q； 其外有一同心的半径为 R 的均匀带电球面 2，带电量为 Q ，则此两球面之间的电势差 U1U2 为：
(A)0
(B)
i
2 0 a
(C) i
4 0 a
( D ) i j
2 0 a
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y
0,a
x
o
[B]
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第7章 真空中的静电场
2.下列几个说法中哪一个是正确的？
（A）电场中某点场强的方向，就是将点 电荷放在该点所受电场力的方向。
（B）在以点电荷为中心的球面上，由 该点电荷所产生的场强处处相同。
ln
3
80a
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第7章 真空中的静电场
由此得粒子在无限远处的速率
12
v
4 0 am
ln
3
v
2
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递增的，下面关于 C 点场强方向的四个图
示中正确的是：
E
C
B
C
B C
B
B
EC
E
A
EA
A
A
（A） （B） （C）
(D)
[D]
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第7章 真空中的静电场
4.两个同心的均匀带电球面，内球面半径 为 R1、带电量 Q1，外球面半径为 R2、带电 量 Q2，则在内球面里面、距离球心为 r处 的 P 点的场强大小 E 为：
10.一带电体可作为点电荷处理的条件是 （A）电荷必须呈球形分布。 （B）带电体的线度很小。 （C）带电体的线度与其它有关长度相比 可忽略不计。 （D）电量很小。
[C]
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第7章 真空中的静电场
11、根据高斯定理的数学表达式 E dS q / 0
S
可知下述各种说法中，正确的是：
A、闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场 强一定为零。
B、闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点 场强一定处处不为零。
C、闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场 强不一定处处为零。
D、闭合面上各点场强均为0时，闭合面内一定处处 无电荷。
（C）
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第7章 真空中的静电场
“无限”带电体零电势点的选取
(A)
q
4 0
1 r
1 R
(B)
q
4 0
1 R
1 r
(C)
1
4
0
q r
Q R
q Q
(D) 40r
[A ]
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第7章 真空中的静电场
7．一“无限大”带负电荷的平面，若设平面所在 处为电势零点，取轴垂直带电平面，原点在带电 平面处，则其周围空间各点电势随距离平面的位 置坐标变化的关系曲线为:
习题课
本章内容要点：
静电场的场量 点电荷 电场叠加性
F E
q0
q
E E
4
r2
0
r0
Ei
dE
第7章 真空中的静电场
E
u 关系
VP E • dl
P
Va
Wa q0
E • dl
a
q V
4 0 r V
Vi
dV
E V
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