高中物理竞赛讲座3

环形圆盘可看成由 n 个窄圆环串联而成，第个窄环的电阻为
Ri
0ri
ri
2ri h
0
ri
2h
R
Ri
0 2h
ri
0 2h
(a2
a1)
（3）
③空载（i=0)达到稳定时的角速度
由（1）式知 : i＝ IR0 E R0 R
圆盘空载转动形成感应电动势E，
当E＝E0＝IR0 时，i=0，磁力矩
为零，圆盘以ω0匀速转动。
(12)
当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为
ab R22B3
(13)
同理，当长直金属杆滑到cd位置时穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为
cd R22 (B3 )
(14)
cd ab 2R22B3
(15)
小圆环中产生的感应电动势为大小为
1
t
2R22 B3
t
小圆环导线中产生的感应电流为
r R 例（A12）半径为 和 的两圆形电流环同心共面放
置， r R ，小环中电流强度为 I ，且 I 随时间的变化率
为 I ，大环中电流为 I 0 。求：1、两环的互感系数M；2、大环中的互
ε 感应电动势 ； 3、大环圆周上的切向感应（涡旋）电场强度 Ε ；4、
在大电流环圆周上某点放置一电量为Q的点电荷，然后拿走大电流环。当
I1
1 2R2r0
R2 B3 r0t
在Δt内通过小环导线横截面的电荷量为
(16) (17)
Q
I1t
R2 B3 r0
800 kmvBR2
R1r0 (4r1 r0 )
(18)
例（29j5) 如图所示，一半径为R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置， 可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为 a 的轻质 小圆线圈(a ＜＜R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等 间隔地固定4个质量均为m的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均 为 q 。此装置处在一磁感应强度大小为Bo、方向竖直向上的均匀强磁
这时的电流由（1）、（2）、（5）式得
圆盘电阻热功率为
i＝ IR0 2(R0 R)
1 2
0
（11）
P
i2R
1 4
R02RI 2 (R R0 )3
h0 (a2 a1)R02I 2 2[0 (a2 a1) 2h0 ]2
（12）
知识点：装置的电路模型；电路方程的建立；动生电动势的计算； 大块导体电阻的计算；安培力及其功率；焦耳热功率； 电动机空载和有载时的稳定转动概念。
①环形圆盘中感应电动势的计算
E
a2 vBdr
a1
a2 a1
Brdr
1 2
B(a22
a12 )
（1） （2）
或 圆盘某辐条在Δt 时间内扫过的角度为Δθ，则扫过的面积为
磁通为
s
1 2
(a22
a12
)
Bs
感应电动势为
E
t
1 2
B(a22
a12
)
t
1 2
B(a22
a12 )
（2）
②环形圆盘电阻的计算
电流产生的磁感应强度大小为
2I 200 I
B3 km R1 km 100
R1
(方向竖直向下) (9)
杆中的电流
I
R
R左 R右
(10)
R左 R右
R Rab 2R1r1 R左 R右 R1r0
(11)
利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得
B3
800 kmvB
R1(4r1 r0 )
环上，并从距环心左侧为 R1/100 （＞R2）
的位置 ab 处，以速度 v 匀速向右沿环平
面滑动到相对环心与 ab 对称的位置 cd 处
，滑动过程中金属杆始终与大圆环良好的接
触。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线
横截面的电荷量。（假设大圆环和金属杆中的电流在小圆环处产生的磁
场为匀强磁场。半径为 R、长为 l 的圆弧电流I在圆心处的磁场为
圆环所受安培力的总功率为
P
Pj
iBrj rj
1 2
iB(a22
a12 )
（4） （5）
（6） （7） （8）
圆环所受安培力的总功率和（负载）机械力功率相等时，转动达到稳定， 则电动机输出的机械功率即
P
1 2
iB(a22
a12
)
1 [ IR0 －1 2 R0 R 2
B(a22
R
a12 R0
) ]B(a22
a12
)
令
k1
IR0B(a22 a12 ) 2(R0 R)
k2
B2 (a22 a12 )2 4(R R0 )
则
P
k1
k22
k12 4k2
k2 (
k1 2k2
)2
（8）
由（8）式知输出最大机械功率最大条件为
k1
2k2
由（5）式和（9）式知
（9）
1 0 2
（10）
2、电动机输出最大功率时，圆盘转动角速度为
根据基尔霍夫第一定律，有
Iaa Icc I1 I2
(4)
Ibb Idd I1 I2
(5)
根据基尔霍夫第二定律，有
I1R IaaR I1R Ibb R 2 1 (6)
I2R IddR I2R IaaR 2 1 (7)
根据(1)—(7)解得
Iba Icd I1
s in
2Fbb
2 l cos
2
M B2l 4
2R
例（29F5) 如图所示，半径分别为 R1、 R2 的细金属圆环同心共面放置在水平桌面 上，R1>>R2，小圆环金属表面绝缘。两圆
环单位长导线的电阻均为 r0 ，磁感应强
度为 B 的匀强磁场垂直于图平面向里。一
单位长电阻来 r1 的长直金属细杆放在大圆
专题七、电磁感应
例
解
B B0 cos(t kr)
d
B
ds
B0
cos(t
kr)ldr
d
xd
x B0 cos(t kr)ldr
xd B0l cos(t kr)d (t kr)
x
k
B0l {sin[t k(x d)] sin(t kx)}
k
E(t) d B0l ( kv){cos[t k(x d )] cos(t kx)}
2 Bl 2 (cos sin )
8R
(8)
Iad Ibc I2
2 Bl 2 (cos sin )
8R
(9)
2、当正方体转动到任意位置(对角线db与磁场夹角为任意θ)时， 通过a'a、cc'、b'b、dd'的电流
Iaa Iad Iba
2 Bl 2 sin
4R
(10)
Icc Ibc Icd
F
QE
Q
0r 2 4R 2
I
Q
0r 2 4R 2
dI dt
Fdt
0r 2Q 4R 2
dI
P
t
Fdt
0
0
I
0r 2Q 4R2
dI
0r 2Q
4R2
I
5、 I nqvA
v I
nqA
P mvnlA mv nlA mIl
mIl
1
v c
2 2
q
1
v2 c2
q 1 ( I )2 nqAc
6、设正方形线框右、左两边载流子 的线密度和速度分别为λ1、ｖ1、 λ2、ｖ2，两边的洛伦兹因子分别 为γ1和γ2。则有
小环中电流强度在较短时间内从 I 变为零的过程中，点电荷Q 所受的
切向冲量ΔP；5、长为 L 、横截面积为 A 的绝缘空心管内有带电粒子沿
轴向运动形成电流，已知每个运动带电粒子的质量为 m 、电量为 q ，速
度相同，带电粒子的数密度为 n ，管内电流强度为 I 。考虑相对论效应，
试给出管内带电粒子的总动量 P ；6、用第5小题中的绝缘空心管做成的
B0
0I0
2R
小环的磁通为
B0r 2
0I0
2R
r 2
互感系数为 M 0r 2
I0
2、小环对大环的互感磁通为
2R
0
MI
0r 2I
2R
大环的互感电动势为 M d0 0r 2 dI 0r 2 I
dt
2R dt 2R
3、
E dl
2RE
0r 2
I
L
2R
E
0r 2
4R2
I
4、Q受到的冲量
q 4 0R2mc2 4 0R2c2
注意：上式中已不含载流子的微观量 ｍ、ｑ、λ、ｖ。
7、用磁矩表示第4、6小题中的ΔP和 Phid。
第4小题中： P
0r 2Q
4R2
I
0r 2Q 4R2
I
0Q 4R2
第6小题中：Phid
QIl2
4 0R2c2
0Q 4R2
我们看到，以上两式相同
r 2I l2I
Uab I1l1r0
(4)
Ucd I2l2r0
(5)
根据提示得
B1
km
I1l1 R12
(方向竖直向上) (6)
B2
km
I2l2 R12
(方向竖直向下 ) (7)
由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁
感应强度为
B0 B2 B1 0
(8)
于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场。金属杆在ab位置时，杆中