真空中静电场
第一章 真空静电场
2） 对高斯定理中各量的理 解
q 0 S内 q 0 S内 不 意 味 着 S内 无 电 荷 不意味着 （曲面上）为零 E
E由S内 外的电荷决定 E 由 S内 电荷决定
曲 面 上 的 电 荷 对 E的 贡 献 ， 将 其 分 为 内 外 分 布 的荷 电 内 部 电 荷 对 E 有 贡 献 ， 外 部 的 电 荷 对 E无 贡 献
证明： 从特殊到一般
(1)点电荷q被任意球面包围 设q >0，场具有球对称性
q E E d S EdS dS 2 4 0 r S S S 4r 2 1 q q 1 q dS E 2 2 4 0 r 4 0 r S 0
1
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为 q 中心的任意球面的电通量等于
ˆ n
dS ˆ n
(2)电 通
量
电通量电场强度 ( x. y.z )的通量。 E
面元的通量 :
dS E
d E EdS
E
dS
dS
d E E dS
E
ˆ n
有限曲面的电通量 E d E E dS 闭合曲面的电通量 E d E E dS
互作用
(1)电场
带电体周围客观存在的一种特殊物质
电 荷 电 场 电 荷
物质性:具有能量，质量,动量可与实粒子相 转化 (2)静电场
相对于观察者静止的电荷所激发的电场
1.2.2电场强度
(1)试 探 电 荷 ： 带 电 量 很 ,小 何 线 度 几 可忽略
对外界影响
的点电荷 试探内容:电场对电荷的作用 与 哪 些 因 素 有 关 力的作用 用 何 物 理 量 描 述 源电荷:产生电场的电荷 场 点:电场中所要研究的点
真空中的静电场
r0
场强迭加原理： EP E1P E2P EnP
电势迭加原理： Ua U1a U2a Una
（3）电荷守恒定律
电荷在没有与外界交换的系统内，只能从一个物体转 移到另一个物体，从物体的一部分转移到另一部分，但电 荷总量不变。
二、两个概念
电场强度矢量
E
F
q0
电势
Ua
Wa q0
E1 4
r2
1
o
Q
4 R3
3
4 r3
3
E
S
dS
1
o
qi
当 r≤R 时： 当 r>R 时：
E1
Qr
4o R3
Q
E2 4or 2
Q r R
当 r≤R 时：
R
U1 r E1dr R E2dr
q
R Qr
Q
R
r 4oR3 dr R 4or 2 dr
Q
8 o R3
(R2
r2)
Q
4 o R
E ds E ds
S S1
E ds E ds
E ds E ds
S2
S3
E 2rh
S3
S3
S3
P
S2
由高斯定理有
E 2 0 r
E 2rh h
或
E
0
2 0 r
r0
第一章 真空中的静电场1
一、实验基础—三条基本规律
（1）库仑定律： （2）迭加原理：
F
1
4 0
q1q2 r2
3. 常用高斯面
同心球面 圆柱形闭合面 长方形闭合面
[例1-1]求均匀带正电球体内外的场强分布。设球体半 径为R，带电量为Q。
真空中静电场的高斯定理表达式
真空中静电场的高斯定理表达式
高斯定理（Gauss' Law）是一种在物理学中用来描述电磁场和电势场分布相互关系的理论性原理。
在真空中，根据高斯定理，电荷的静电场分布满足以下条件：
首先，静电场从电荷衰减到空间无穷远处，其分布具有反正切特性，即电势
V=q/4pi∊₀r，其中q为电荷，4πε₀为真空介电常数，r为电荷与场点的距离。
其次，对于有一个定向的电荷，电荷的静电势随距离的改变而改变：r正方向上的集流总量等于空间负区域上的电荷的正向集流量的总和；r负方向上的集流量总和等于正向电荷的负集流量总和。
也就是说，电势等效分布称为电荷的集流面，它具有封闭的面形，从电荷中出发，沿着斯特兰奇-平流线或几何线路循环，恢复到电荷本身。
最后，由于负集流等效于正集流，因此总集流量的总和为零。
由此可知，静电场的分布满足“积分等积准则”，即在电磁场的体积内，曲面的电势等效分布与电荷分布相等。
几十年来，高斯定理以其准确方便的计算过程和深刻精辟的理论正确性，为研究电磁场特性提供了有效的分析工具，在数学物理、电化学以及信息科学等领域都得到了广泛阐释与应用。
因而，被公认为是影响世界各个领域物理学研究的伟大原理之一，被教育作为研究领域的重要组成部分，在学校的物理课程中，受到广大学生的认可与喜爱，有助于学生培养独立思考的能力，增强学习的信心与热情。
真空中的静电场总复习
5、关于高斯定理，下列说法中正确的是：
A）高斯面内不包围电荷，则面上各点场强为零。 B）高斯面上的 E 处处为零，则面内一定不存在电荷。
C）高斯面的电通量仅与面内净电荷有关。 √
D）以上说法都不正确。
6、静电场中某点电势的数值等于 A）试探电荷 q0 置于该点时具有的电势能． B）单位试验电荷置于该点时具有的电势能． C）单位正电荷置于该点时具有的电势能． D）把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功．
U
ln r (U ( r 1) 0) 20
r E er ; U 2 0 2 0
E
(U ( r 0) 0)
均匀带电球面 E0 在球内 q U 4 0 R
在球外
q er 2 4 0 r 1 1
q U 4 0 r
d
x
Ez
2
0
/2 1 d sin cos d 0 4 0 2 0 2 4 0
解2 取图示微元，则有:
d q 2r d l 2R sin d
2
r
R
O
圆环对O点的场强： E
qx i 2 2 3/ 2 4 0 ( r x ) 1
dE
x
d q R cos cos dE dq 3 2 4 0 R 4 0 R 1
cos ( 2R si nR d ) si n cos d 2 40 R 2 0
E 2 0
/2
0
1 si n cos d 2 0 2 4 0
0
+Q产生的电势为： U 1
Q 40d
－Q产生的电势为： U 2 Q
真空中的静电场
第一章真空中的静电场§1. 库仑定律§2. 电场与电场强度§3. 高斯定理§4. 静电场的环路定理与电势§1. 库仑定律一. 物理定律建立的一般过程z观察现象、提出问题；z猜测答案；z设计实验、测量；z归纳寻找关系、发现规律；z形成定理、定律（常常需要引进新的物理量或模型，找出新的内容，正确表述）；z考察成立条件、适用范围、精度、理论地位及现代含义等。
. 库仑定律的建立二观察现象、提出问题Array z Franklin 首先发现金属小杯内的软木小球完全不受杯上电荷的影响——观察现象z在Franklin的建议下，Priestley做了实验——提出问题¾Cavendish 实验1773年Cavendish 遵循Priestley 的思想设计了实验“验证电力平方反比律”，如果实验测定带电的空腔导体的内表面确实没有电荷，就可以确定电力定律是遵从平方反比律的，即他测出不大于0.02（未发表，100年以后Maxwell 整理他的大量手稿，才将此结果公诸于世。
越小，内表面电荷越少δδ±−∝2r f 设计实验vv1923年诺贝尔物理学奖授予美国加利福尼亚州帕萨迪那加州理工学院的密立根（RobertAndrews Millikan ，1868—1953），以表彰他对基本电荷和光电效应的工作。
补充：密立根油滴实验和电荷的量子性1909年密立根通过直接测量油滴的电荷，直接证实了电荷的量子性。
gV）空ρC 19−使油滴带不同电量，重复测量得油滴所带电量总ne q =z 静止：点电荷相对静止，且相对于观察者也静止作为运动源，有一个推迟效应z 真空：如果真空条件破坏会如何？由于力的独立作用原理，两个点电荷之间的力仍遵循库仑定律，因此可以推广到介质、导体z点电荷：忽略了带电体形状、大小以及电荷分布情况的电荷。
（理想模型：质点，刚体，平衡态）四. 库仑定律成立条件、适用范围和精度1. 条件: 静止、真空、点电荷2. 适用范围和精度原子核尺度——地球物理尺度天体物理、空间物理大概无问题cmcm 91310~10−210−<δ1610−<δz 精度：Coulomb 时代1971年Williams z 适用范围：3. 理论地位和现代含义z 理论地位：库仑定律是静电学的基础，说明了带电体的相互作用问题原子结构，分子结构，固体、液体的结构化学作用的微观本质都与电磁力有关，其中主要部分是库仑力z 现代含义：02≠∝±−δδ若r f 静电场的基本定理———高斯定理将不成立———动摇了电磁理论的基础r r dq ˆ4120r πε要化成标量积分rl <<例题1：计算电偶极子臂的延长线上和中垂线上的场强分布,设两点电荷+q 和-q ，相距，的方向由-q 指向+q ，当考察点至两电荷的距离r >>l 时，两点电荷可视为一电荷对，称为电偶极子(electric dipole ).l r定义电偶极矩：（简称电矩）l q p r r=l2)(41l r qE +=−πε(3) 电偶极子电场线例题2: 求均匀带电棒中垂面上的场强分布，设棒长为2l，带电总量为q.微元法步骤：z取微元z对称性分析z积分z讨论1 2dz rλπε34λrdz3例题6：1) 求均匀带电球面外任一点的场强;(R, σ)2) 求均匀带电球体外任一点的场强. (R, ρ)结论：一个均匀带电球面（或球体）外任一点的场强，等于带电球面（或球体）上的电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电场强度。
第一章-第二讲(真空中的静电场)
K 1 9 10 9 N.m2 C 2
4 0
0
1
4K
8.851012
F m
• 根据库仑作用力可用迭加原理求得：
多个点电荷q1,q2……qk作用在点电荷q上库仑作用力为：
F
1
4
0
K n1
qn rn2
rn
静电场
• 什么是静电场？
1. 对观察者来说是静止的；
2. 电量不随时间变化的电荷引起的电场。
电位
比较后：
E(
x
y
z)
(
dx
dy
dz)
grad
(x
y
z)
(r)
x y z
E(x
y
z)
grad (
x
y
z)
(r )
任一点电场强度等于该点电位梯度的负值，
即电场强度在数值上等于电位随距离变化的 最大减少率，其方向沿电位最大减少率的方向。
电位
➢ 真空中的高斯定理（Gauss定理）及微分形式：
P
Q
参考点电位为： Q E dl 0
Q
对于有限大小的电荷体系，常取无限远处作为参考点，则P点电位为：
P E dl
Q
电位
在实际工程中，选大地作为参考点，故电场中某点电位等于单位 正电荷自该点移至无限远处或接地导体上时电场力所作的功。
✓位于原点的点电荷q在场点 r处的电位
r q
电位
➢ 电势差——电场强度的线积分：
1. P点到Q点的电位差为：将试验电荷qt沿某一路线从P 点移到Q点电场力所作的功Wpq与qt比值
WPQ
Q E dl
qt
P
Q
U PQ E dl
真空中静电场(高斯定理)
QR
电场方向、大小
Q P
o
r
E
S
dS
• 选取合适的高斯面(闭合面)
E dS EdS E dS E4 r 2
S
S
S
• 再根据高斯定理解方程
qi内
E4r 2 i 0
E 1
4 0
qi
i
r2
E 1
4 0
qi
ir2ຫໍສະໝຸດ ds E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出 E
ds r
l
Eds
E 2rl l 0
E 1 2 0 r
例三. 无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
讨论
Q P
Ro r
E
S
dS
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
1
4 0
Q r2
如何理解面内场强为0 ?
dE1 dE2
P
第10章 真空中的静电场
尚未找到自由状态的夸克。但无论今后实验上是否能发现自由夸克，均不改变电荷的量 子性这一基本性质。
10.1.2 电荷守恒定律
大量实验证明，在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论其内部发生怎样的物理过 程，系统内正负电荷量的代数和保持不变，即孤立系统内的电荷是守恒的。电荷守恒定律 说明，电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从 物体的一个部分转移到另一个部分。
3
Fi F1i F2i
Fni
n
F ji
j 1
n j 1
qiq j 4π 0 rj2i
r joi
ji
ji
式中 F ji 是第 j 个点电荷 q j 对 qi 的静电力， Fi 是点电荷 qi 受到的总静电力。
（10.4）
§10.2 电场 电场强度
10.2.1 电场
实验指出，电荷与电荷之间存在相互作用力。那么这种作用力是通过什么途径传递 的呢？历史上关于这个问题曾长期有两种不同的观点。一种观点认为：电荷与电荷之间 的相互作用不需要任何中间物质来传递，也不需要时间，这称为“超距作用”观点。另一 种观点认为：电荷与电荷之间的相互作用是通过一种特殊的物质----电场（electric field） 来传递的。根据这种观点，任何电荷的周围都存在着电场，当一个电荷处于另一个电荷 产生的电场中时，它就会受到另一个电荷通过电场对它的作用力。因此这种观点可形象 地表示为
(dipole moment)。 电偶极子是一个重要的物理模型。电介质中的原子或分子都有正、负电荷中心，如
§10.1 库仑定律
10.1.1 电荷的量子性
人类认识电现象，是从摩擦起电开始的，比如，毛皮摩擦过的橡胶棒（或梳子）、 丝绸摩擦过的玻璃棒，可以吸引纸屑、羽毛等轻小物体，这是因为橡胶棒、玻璃棒带上 了电荷。这一现象至今仍在催生一些新奇的应用，如在静电复印机和激光打印机中，带 上静电荷的纸张可以吸附细微的墨粉。带有较强静电的陶瓷片还能用作静电吸盘，吸住 大面积的晶圆（硅片）。
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真空静电场习题解答：12-1 将以长带电细线弯成如图形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，圆弧的半径分别为R 1和R 2，直线部分长度为l 。
试求，圆心O 处的电场强度。
解：将所有的电荷当作正电荷来处理，在处θ取一电荷元dq,它在O 点处产生的场强为： 将其分解为二分量：对各分量进行积分得：同理，下半圆积分得：所以合场强为：x00xxdx Edx U ax a εσ=εσ-==≤≤-⎰⎰dldq λ=210210R 4dlR 4dq dE πελ=πε=θπελ=θπε=θ=cos R 4dl cos R 4dq cos dE dE 210210x θπελ=θπε=θ=sin R 4dlsin R 4dq sin dE dE 210210y +πελ=θθπελ==⎰⎰π方向2002202y R 2d sin R 4R dE E y 0d cos R 4R dE E x 02101x ⎰⎰π=θθπελ==jR 2d sin R 4R dE E y 1002101y -πελ=θθπελ==⎰⎰π方向0d cos R 4R dE E x 02202x ⎰⎰π=θθπελ==12-2 一半径为R 的半球面，均匀的带有电荷，其面密度为σ。
求球心处的场强的大小。
解：可将半球面分割成无限多个细同轴圆环，由圆环轴线上的场强公式合场强迭加原理，求得球心处的场强。
取如图的细圆环，其在O 处产生的场强大小为： 其中x 为圆环中心至球心距离，r 为圆环半径将带入上式得到：所以球心处的场强为：12-3 用场强迭加原理求证无限大均匀带电板外一点的场强大小为：由圆环轴线上的场强公式：对无限大平板X →∞,所以：12-4 有一带电球壳内外半径分别为R 1和R 2，电荷体密度为ρ=A/r ，A 为正数，在球心处放置一点电荷Q 。
求： （1）空间任一点的场强；（2）当A 为多少时，球壳区域内的场强的大小与r 无关； 解：（1）球壳所带的电量为：()irx 4Xd qE d 2/322+πε=Rdx2dq πσ=d xR 2xd E 20εσ=⎰⎰εσ=εσ==R204d x R 2x d E E 方向向右2E εσ=()ir x 4Xd qE d 2/3220 +πε=()2202/3220o2X X12r x 4XdqdE E εσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-εσ=+πε==⎰⎰∞∞4r 34d r A d v d q 3π=⎪⎭⎫⎝⎛π=ρ=()2122R R v3vR R A 2Ard r 4r 34d r A d v d q q 21-π=π=⎪⎭⎫⎝⎛π=ρ==⎰⎰⎰⎰j R 1R 12E 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πελ=由高斯定理得各区间的场强分为：（2）当A 为多少，球壳区域内的场强的大小与r 无关？由题意知，此区域内的场强随r 的一阶导数为零。
解得：12-5 一无限大平面，开有一个半径为R 的圆孔，设平面均匀带电，电荷面密度为σ。
求孔的轴线上离孔心为X 处的场强。
解：无限大平面在其周围形成的场强为：半径为R 的圆盘在其轴线X 处形成的场强为：孔的轴线上离孔心为X 处的场强可看成为以上二者的迭加：12-6 两个同心球面，其半径分别为0.10m 和0.30m ，小球上带有电荷q 1=-1.0⨯10-8C ，大球上带有电荷q 2=-+1.5⨯10-8C 。
求离球心为：（1）0.05m ； （2）0.20m ； （3）0.50m 各处的场强。
解：由高斯定理得： 代入数值得：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧〉πε-π+〈〈πε-π+〈πε=22021222120212120R r r 4R R A 2Q R r R r 4R r A 2Q R r r4QE 21R 2Q A π=2E εσ=i R x x 12E 220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-εσ=i R x 2xi R x x12i 2E 2202200 +εσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-εσ-εσ=∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧〉πε+≤≤πε〈=m30.0r r4qq m 30.0r m 10.0r 4q m10.0r 0E 202120112-7 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1<R 2)，单位长度上的电量为τ，求离轴为r 处的电场强度。
r 分以下三种情况：（1）r <R 1 (2) R 1<r <R 2 (3)r >R 2解：设内柱面带正电，外柱面带负电，作柱状高斯面，由高斯定理得：12-9 据量子理论，氢原子中心是一带正电e云，在正常状态下，电子云的电荷密度分布是球对称的，求原子内电场强度的分布。
已知：解：由高斯定理：12-10 两条相互平行的，无限长均匀带有相反电荷的导线，相距为a ，电荷线密度为λ。
（1）求由导线构成的平面上，任一点的场强（设该点到其一线的垂直距离为x ）；（2）求每根导线上，单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
解：（1）一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离r 处的场强为： 根据上式及场强迭加原理得两直线间的场强为：a⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯=πε+=⨯=πε==--m 50.0r m .v 109r4q q m 20.0r m .v 1025.2r 4q m 05.0r 0E 12202113201⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〉≤≤πετ〈=21201R r 0R r R r 2R r 0E ())a (ea q r 0a r 23e 0是玻尔半径-π-=ρ()dre a r q 4dr r 4e a q dv r dq 0a r 232e 2a r 23e---=ππ-=ρ=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=ρ==--⎰⎰⎰1a R 2a R 2eq d r r ea q 4v d r d q q 0202a R 2e R2a r230evv 0=⇒ε-=πE qe r4E 02r2E 0πελ=()220021x 4a a 2x 2a 1x 2a 12E E E -πελ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-πελ=+=⎰⎰-=vdu uv udv（2）两直线间单位长度的相互吸引力为：12-11如图所示：在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面，设点电荷q 在垂直平面并通过圆心O 的轴线上。
试求通过此平面的电场强度通量。
以P 点为球心，r 为半径作一球面。
可以看出通过半径为R 的圆平面达到电通量与通过以它为周界的球冠面的电通量相等。
球冠的面积为： 整个球的面积为：通过球面的电通量为：通过球冠面的电通量12-12 半径为R 的半球面置于场强为E 的匀强电场中，如图：试计算通过此半球面的电场强度通量。
如果半球面以OO'为轴转过90少？。
解：通过此半球面的电场强度通量与通过半径为的圆面相同。
半球面以OO'为轴转过90度，通过此半球面的电场强度通量少0。
12-13 有一非均匀电场，其场强为下式。
试求：通过如图所示的边长为a 的立方体的高斯面的电场强度通量。
已知：场强仅沿方向。
因场强为非匀强场，所以穿过立方体左、右面的电通量不等。
由题意知： 穿过立方体左面的电通量：穿过立方体右面的电通量Ra2E F 02πελ=λ=()h r r 2S -π=20r 4S π=00q ε=ϕ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ε=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ε=π-π⋅ε=ϕ=ϕ22002000h R h 12qr h 12q r 4h r r 2q S S 2e R E π=φ()ikx E E 0+=20e a E -=φ()20e a ka E +=φ其它方向为0。
所以通过整个高斯面的电通量为： 12-14 见例612-15 正电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求球内任一点r a 处和球外任一点r b 处的电势差。
解：由高斯定理：由电势的定义式：12-16 两共轴圆柱面（R 1=3⨯10-2m ，R 2=0.1m ）带有等量异号电荷，两者的电势差为450v ，求（1）圆柱面单位长度上带的电量多少。
（2）两圆柱面之间的电场强度。
解：设圆柱面单位长度上带的电量λ，由高斯定理：两圆柱面之间的电场强度12-17 圆盘半径为8.0⨯10-2m ，均匀带电，电荷面密度为σ=2.0⨯10-5C.m -2。
（1）求轴线上任一点的电势。
（2）从场强与电势的关系，求轴线上任一点的场强。
（3）计算离盘心0.10m 处的电势和场强。
解：(1)在圆盘上取电荷元dq ，它在轴线处形成的电势为： 圆盘在轴线处形成的电势为：(2)根据场强与电势的关系：()32020e ka a ka E a E =++-=φ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥πε〈ερ=Rr r4Q R r 3r E 200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πε+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πε=⋅πε+⋅ερ=⋅=⎰⎰⎰b 02a 230r R20Rr 0r r r 1R 14Q 2r 2R R 4Qd r r4Qd r 3rl d E U babar2E 0πελ=450R R ln 2dr r 2l d E U 120R R 0R R 2121=πελ=πελ=⋅=⎰⎰18m.C 1008.2--⨯=λ∴()12m V r /1074.3U -⋅⨯=rd r 2d q πσ=22022x r 2rdrxr 4dq dU +εσ=+πε=zUE ,y U E ,x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=()xx R 2U 220-+εσ=（3）带入数值得：12-18 两根半径为a ，相距为d 的无限长直导线(d >a)，带有等量而异号的电荷，单位长度上的电量为τ，求两根导线的电势差。
（每一根导线为一等势体）解：建立如图的坐标系，在两导线间的坐标轴上取一点x ，其合场强为： 则两导线间的电势差为：12-19 求电偶极子电势的直角坐标表达式，并用梯度求场强的直角坐标表达式。
坐标选取如图。
已知：解：由电势迭加原理，P 点的电势为：12-20 如图所示：有一长为l 的均匀带电细棒，电荷线密度为λ，试求任一点P 的电势和场强。
解：取电荷元dq它在点形成的电势为：τ L Y P b l O a dx X0E ,0E ,x R x 12x U E z y220x ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-εσ=∂∂-=∴154m V 1048.2E ;V 1017.3U -⋅⨯=⨯=()x d 2x2E E E 00-πετ+πετ=+=-+aa d ln dx x d 1x 12Edx U 0a d aad a-πετ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πετ==⎰⎰--l q P =3020000r 4r 4cos ql r r r r 4q r 4q r 4q U πε=πεθ≅-⋅πε=πε+πε=+-+--+()2/3220yx 4qlxU +πε=∴zUE ,y U E ,x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-= dq λ=()()2222y x4dx y x4dqdU +πελ=+πε==zUE ,y U E ,x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-= ()()⎰⎰++=+πελ==22220y x x ln yx 4dx dU U ()()()E ,yx 4xy 3ql E ,yx 4qlxE z 2/5220y 2/5220x =+πε--=+πε-=由电势迭加原理：12-21 如图所示：两根均匀带电的无限长平行直线（与纸面垂直），电荷的线密度分别为+λ和-λ，两根直线相距为2a ，求空间任一点P(x,y)的电势。