折叠问题强化练习
折叠问题练习题(含答案)
折叠问题练习题1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求EOF ∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小． 解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则2EG FH ==，22GH =．因为二面角D －AC －B 为直二面角， 22222cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅222(22)(2)(2)012.=++-=又在EOF ∆中，2OE OF ==，22222222(23)1cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯．120EOF ∴∠= ．（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角． 在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=，2EG =，112GM OE ==， ∴tan 2EGEMG GM∠==．∴arctan 2EMG ∠=． 所以，二面角E OF A --的大小为arctan 2． 2.（2009福建卷文）（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD（I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。
（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=2222222cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE∴=+-⋅∠=∴+=∴⊥又 平面EBD ⊥平面ABD平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBDDF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥ （Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥在Rt DBE ∆中，23,2DB DE DC AB ====ABCDEFOOFABCDEC DMHGO FA BEGHMABCDEFO1232ABE S DB DE ∆∴=⋅=又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥ 14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD 而AD ⊂平面1,,42ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=综上，三棱锥E ABD -的侧面积，823S =+3.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。
折叠数学练习题
折叠数学练习题一、折纸问题折纸问题是一个有趣而又富有挑战性的数学问题。
假设我们有一张纸，初始状态下它是平铺在桌子上的。
现在我们要对这张纸进行一系列的折叠操作。
1. 折叠一次：将纸的左下角折叠到右上角。
这样纸上面会有两个角，下面会有一个角。
2. 折叠两次：再将纸的左下角折叠到右上角。
这样纸上面会有四个角，下面会有一个角。
3. 折叠三次：再将纸的左下角折叠到右上角。
这样纸上面会有八个角，下面会有一个角。
以此类推，我们可以发现每次折叠，纸上面的角的数量都是前一次折叠的两倍。
假设我们折叠纸的次数为n，那么最终纸上面的角的数量是2^n。
二、应用折纸问题不仅仅是一个数学问题，它还有许多实际应用。
1. 地图折叠：在地图制作过程中，为了将较大的地图装入更小的空间，常常需要对地图进行折叠。
折纸问题可以帮助我们计算折叠后地图上角的数量，从而设计更紧凑的地图。
2. 空间展开：在一些工程领域，为了研究或测试某些结构的性质，需要将其展开成平面状态进行观察。
折纸问题可以帮助我们计算展开后的结构上角的数量，从而为工程设计提供参考。
3. 材料优化：通过折纸问题的研究，我们可以探索如何将一定面积的材料最大限度地利用起来。
根据角的数量，我们可以计算出所需材料的面积，并进行优化。
三、拓展问题除了折纸问题，还有一些与之相关的数学拓展问题。
1. 折纸长度：相信许多人在小时候都玩过将一张长方形纸张对折，然后剪开，得到两个等长的矩形纸张的游戏。
那么问题来了，如果我们有一张长方形纸张，以及一段给定的长度，该如何通过折叠来得到这段给定长度的纸张呢？这个问题可以通过折纸问题的原理进行解答。
2. 折纸形状：如果我们将一张纸对折多次，能否得到一个特定的形状？比如三角形、正方形或者五角星等。
这个问题可以帮助我们更深入地理解折纸问题，并进行进一步的研究。
折纸数学练习题就介绍到这里，希望能够帮助你对折纸问题有一个更深入的理解，并激发你对数学的兴趣和探索欲望。
折叠问题专项训练【范本模板】
折叠问题专项训练【知识提要】折叠问题在中考中经常出现，它能很好的考察学生的动手操作能力，空间想象能力和综合解决问题的能力。
折叠问题中所蕴含的数学知识主要有_____________。
让我们在训练中感悟，积累，提升。
【典型例题1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在B 上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC 上的点B1重合,则AC＝_______cm。
2.（2011台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE=________.3.(2011重庆）如图,正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF;④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44. 已知（如图所示）,ABCD是一矩形纸片，E是AB上一点，把⊿BCE沿EC所在的直线向上翻折,点B恰好落在AD上的F处。
已知BC=5， CD=4,求CE的长。
【巩固训练】1．如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为_________。
2。
(2011福建）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F 分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C 落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M,BM与EF 交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有( ）A、1个B、2个C、3个D、4个3. 如图，矩形ABCD中,AB=6，BC=8,将该矩形折叠,使B点与D点重合，则折痕EF=__________，四边形BEDF的形状是__________。
初中折叠的练习题
初中折叠的练习题练习一：折叠长方形1. 折叠一张纸使两个对边平行，并用手指沿着对角线将纸折叠。
展开后纸上留下了一条明显的线。
解析：这条线是纸张对角线的痕迹。
折叠纸张时，我们将纸张沿对角线对折，使两侧的边缘完全重合。
在对角线折叠后，我们可以观察到两侧边缘的堆叠，形成一条明显的线。
练习二：折叠正方形1. 以一张方形纸为例，将其对折并展开，然后将四个顶点分别折叠至纸的中心点。
解析：这个过程中我们可以观察到纸张被分割成四块相等的小正方形，并且每个小正方形都是对称堆叠的。
这种折叠方法可以用于制作纸盒等日常用品。
练习三：折叠三角形1. 将一张纸对折，使两个对边边缘完全重合，并展开。
然后将纸的两个顶点分别折叠至纸的中心点。
解析：我们可以观察到纸的折痕形成了一个等边三角形。
在这个过程中，我们将纸的两个顶点折叠至中心点，形成了一个对称三角形。
这种折叠方法可以用于制作纸飞机等游戏工具。
练习四：折叠多边形1. 以一个等边三角形为例，将其两边的顶点向内折叠至底边的中点。
解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小等边三角形，它嵌套在原始的等边三角形内部。
这样的折叠方法可以被应用于设计艺术、3D模型制作等方面。
练习五：折叠圆1. 以一个正方形纸为例，将其对角线相交的两个顶点折叠至纸的中心点，并展开。
解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小圆，它完美地嵌套在原始的正方形内部。
这里展示了如何利用纸张折叠技巧来近似表示一个圆。
练习六：折叠动物1. 以一张正方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种动物形状，例如鸟、狗等。
解析：这个练习是一个创意练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种动物形状。
这个过程需要一定的想象力和手工技巧，可以激发创造力和动手能力。
练习七：折叠建筑1. 以一个长方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种建筑形状，例如房屋、桥梁等。
解析：这个练习是一个设计练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种建筑形状。
第2章 三角形折叠问题专题练习（答案）
三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。
正方形的折叠问题
连结 BF 并延长交 CD 于点 G，若 AB 10 ，则 EG 的长为（ ）
4
A．
3
B． 2
5
C．
3
D． 3
7．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一点，DE 4 ， AE 8 ，将正方形边 CD
沿 CE 折叠到 CF ，延长 EF 交 AB 于点 G ，连接 CG ， AF ，如下 4 个结论：
D．（
3 2
，
4
2
3）
14．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 对折至 AFE ，
延长交 BC 于点 G，连接 AG. 则 BG 的长（ ）
A．1
B．2
C． 3
D．3
二、填空题
15．在矩形纸片 ABCD 中， AE CG 2 3 ，点 P，Q 分别是在边 AB，CD 上， BP DQ ， 将 BGP 和 DEQ 分别沿 PG，EQ 翻折，点 D，B 的对应点分别是 D ，B ，若四边形 EDGB
10．如图．已知正方形 ABCD 的边长为12 ．BE EC ，将正方形的边 CD 沿 DE 折叠到 DF ， 延长 EF 交 AB 于 G ，连接 DG ．现有如下 3 个结论；① AG EC GE ；② GDE 45 ； ③ △BGE 的周长是 24 ．其中正确的个数为（ ）
3
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
11．如图，已知在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，将正方形的边 CD 沿 DE 折叠到 DF，
延长 EF 交 AB 于点 G，连接 DG．现有如下 4 个结论：①AG＝GF；②AG 与 EC 一定不相
等；③ GDE 45 ；④△BGE 的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
高中数学必修二专题强化练8 折叠问题 (2)
专题强化练8折叠问题一、选择题1.(2020内蒙古呼和浩特第二中学高一上期末,)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.(2020湖南常德高三上期末,)将各边长均为2√3,锐角为60°的菱形沿较短的对角线翻折成120°的二面角,若该菱形翻折后所得到的三棱锥内接于一球,则该球的表面积为()A.7πB.28πC.36πD.52π3.(2020四川德阳高三二模,)△ABC是边长为2√3的等边三角形,E、F分别为AB、AC的中点,沿EF把△AEF折起,使点A翻折到点P的位置,连接PB、PC,当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时,四棱锥P-BCFE的体积为()A.5√34B.3√34C.√64D.3√644.(多选)(2020山东菏泽一中高三下月考,)如图,矩形ABCD中,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折成△B1AM,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.存在某个位置,使得CN⊥AB1B.翻折过程中,CN的长是定值C.若AB=BM,则AM⊥B1DD.若AB=BM=1,则当三棱锥B1-AMD的体积最大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π二、填空题5.(2020浙江绍兴上虞高二上期末,)在Rt△ABC中,AC=√3,BC=1,点D是斜边AB上的动点,且不与两端点重合,将△BCD沿着CD翻折至△B'CD,使得点B'在平面ACD内的射影H恰好落在线段CD上,则翻折后AB'的最小值是.6.(2020河南信阳高一上期末,)已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=8,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE沿直线DE翻折至△PDE,形成四棱锥P-BCED,在翻折过程中,给出下列结论:①∠DPE=∠BPC;②PE⊥BC;③PD⊥EC;④平面PDE⊥平面PBC.其中不可能成立的结论是(填序号).三、解答题7.(2020安徽铜陵高二上期末,)如图,边长为4的正方形ABCD中,点E,F 分别为AB,BC的中点.将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点P.(1)求证:PD⊥平面PEF;(2)求二面角P-EF-D的余弦值.8.(2020浙江宁波镇海中学高二上期中,)如图1,△ABC为正三角形,且BC=CD=2,CD⊥BC,将△ABC沿BC翻折(如图2).(1)在翻折后的图形中,当AD=2时,求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)若点A 的射影在△BCD 内(包括边界),且直线AB 与平面ACD 所成的角为60°,求AD 的长.9.(2020陕西西安高新一中、交大附中、师大附中高三上联考,)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1-BCDE.(1)证明:CD ⊥平面A 1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36√2,求a的值.10.(2020吉林延边第二中学高一上第二次阶段检测,)如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=4,AD=2,DC=3,点E在CD上,且DE=2,将△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2),G为AE的中点.(1)证明:DG⊥平面ABCE;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP∥平面ADE?若存在,求出BP的值,并BD加以证明;若不存在,请说明理由.答案全解全析一、选择题1.B当平面BAC与平面DAC垂直时,三棱锥的高最大,由于底面积S△ACD为定值,所以此时其体积最大.取AC的中点E,连接BE,DE,如图,因为DE ⊥AC,所以由面面垂直的性质可得DE ⊥平面ABC, 所以∠DBE 是直线BD 和平面ABC 所成的角, 因为BE=DE, 所以∠DBE=45°. 故选B.2.B 根据题意,作出菱形ABCD,且AB=2√3,∠BCD=60°,按照题意翻折成三棱锥C-ABD,取BD 的中点F,且∠AFC=120°,如下图所示:设O 为△ABD 的中心,作CE ⊥平面ABD 于E, 易知CE 与AF 的延长线交于E. ∵BC=CD=2√3, ∴CF=2√3cos 30°=3,由∠AFC=120°,可知∠CFE=60°, ∴CE=CF×sin 60°=3×√32=3√32,EF=CF×cos 60°=3×12=32.易得OF=13AF=13×3=1,AO=23AF=23×3=2,由球的性质可知,球心O'在过O且与平面ABD垂直的直线上,作CG⊥OO'于G,连接O'A,O'C,则四边形CEOG为矩形,设OO'=h,O'A=O'C=r,则CG=EO=52,OG=CE=3√32,在Rt△O'CG与Rt△O'OA中,由勾股定理可得{CG2+O'G2=O'C2, OA2+OO'2=O'A2,即{(52)2+(ℎ-3√32)2=r2, 22+ℎ2=r2,解得{ℎ=√3, r=√7,∴球的表面积S=4πr2=28π.故选B.3.D如图1所示,取BC的中点O,连接EF、EO、FO,图1则△AEF、△EBO、△FOC、△EFO均为边长为√3的等边三角形,连接AO,交EF于G,则G为EF的中点,且AO⊥EF,AO⊥BC,AG=OG=32.当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时,球的半径最小.∵球心到E、F、B、C的距离相等,∴球心在过O且与平面BCFE垂直的直线上,故当球心为O时,球的半径取得最小值,为√3,如图2所示,图2此时,OP=√3,OG=PG=32,在△POG中,由余弦定理可得cos∠OGP=(32)2+(32)2-(√3)22×(32)2=13,∵GO⊥EF,GP⊥EF,GO∩GP=G,∴EF⊥平面OPG,又EF⊂平面BCFE,∴平面OPG⊥平面BCFE,∴点P到平面BCFE的距离d=PG·sin∠OGP=32×√1−(13)2=√2,∴V P-BCFE=13×12×(2√3+√3)×32×√2=3√64.4.BD对于A,取AD的中点E,连接CE、NE,设CE∩MD=F,连接NF,如图1所示,图1则NE∥AB1,∵NE⊄平面B1AM,B1A⊂平面B1AM,∴NE∥平面B1AM.易得四边形AMCE是平行四边形,∴CE∥AM,同理可证CE∥平面B1AM,又CE∩NE=E,且CE,NE⊂平面CNE,∴平面CNE∥平面B1AM,∴MB1∥平面CNE,又MB1⊂平面B1MD,平面B1MD∩平面CNE=NF,∴NF∥MB1,在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∴∠AB1M=90°,∴AB1⊥MB1,∴EN⊥NF,若CN⊥AB1,则EN⊥CN.∵NE、NF、NC共面且共点,∴这是不可能的,故A不正确.对于B,由等角定理可得∠NEC=∠MAB1,又NE=12AB1,AM=EC,∴在△CEN中,由余弦定理得NC2=NE2+EC2-2NE·EC·cos∠NEC是定值,∴NC的长是定值,故B正确.对于C,取AM的中点O,连接B1O,OD,如图2所示,图2若AB=BM,则AB1=B1M,∴AM⊥B1O,若AM⊥B1D,由于B1O∩B1D=B1,且B1O,B1D⊂平面ODB1,∴AM⊥平面ODB1,∵OD⊂平面ODB1,∴OD⊥AM,则AD=MD,易知AD≠MD,故AM⊥B1D不成立,故C不正确.对于D,根据题意知,只有当平面B1AM⊥平面AMD时,三棱锥B1-AMD的体积最大,取AD的中点E,连接OE、B1E、ME,如图2所示.易知B1O⊥AM,∵平面B1AM⊥平面AMD,平面B1AM∩平面AMD=AM,B1O⊂平面B1AM,∴B1O⊥平面AMD,∴B1O⊥OE,又AB1⊥B1M,AB1=B1M=1,∴AM=√2,B1O=12AM=√22,OE=12DM=12AM=√22,∴EB1=√(√22)2+(√22)2=1,∴EA=ED=EM=EB1=1,∴AD的中点E就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心,球的半径为1,表面积是4π,故D 正确.故选BD.二、填空题5.答案√4−√3解析如图,易知B'H⊥平面ACD,连接AH,设∠BCD=∠B'CD=α,α∈(0,π2),则有B'H=sinα,CH=cosα,∠ACH=π2-α,在△AHC中,由余弦定理得AH2=AC2+CH2-2CH×AC×cos∠ACH=3+cos2α-2√3cosαcos(π2-α)=3+cos2α-2√3sinαcosα,在Rt△AHB'中,由勾股定理得AB'2=AH2+B'H2=3+cos2α-2√3sinαcosα+sin2α=4-√3sin2α,∴当α=π4时,AB'取得最小值,为√4−√3.6.答案 ①②④解析 如图所示:①易知tan ∠DPE=DE PD =23,∵DE ⊥PD,DE ⊥BD,PD ∩BD=D,∴DE ⊥平面PBD,∴BC ⊥平面PBD,∴BC ⊥PB,即∠PBC=90°,∵PB<PD+DB=12,∴tan ∠BPC=BC PB =8PB >23,∴①不成立;②∵DE ∥BC,∴PE 与BC 所成角即为∠PED,易知∠PED<90°,∴②不成立;③当PD ⊥BD 时,可得PD ⊥平面DBCE,∴PD ⊥EC,即③可能成立;④平面PDE 和平面PBC 交于点P,设两个平面的交线为l,由线面平行性质定理可知l ∥BC ∥DE,∴l ⊥PB,l ⊥PD,∴∠BPD 就是两个平面所成二面角的平面角,又∵PD=BD,∴∠BPD 为锐角,∴④不成立.综上所述,不可能成立的是①②④.三、解答题7.解析 (1)证明:因为四边形ABCD 是正方形,所以AD ⊥AE,CD ⊥CF,折起后即有PD ⊥PE,PD ⊥PF,又PE ∩PF=P,PE 、PF ⊂平面PEF,所以PD ⊥平面PEF.(2)如图,取线段EF 的中点G,连接PG 、DG.因为PE=PF,DE=DF,所以PG ⊥EF,DG ⊥EF,所以∠PGD 即为二面角P-EF-D 的平面角.由(1)可得PD ⊥PG,又PG=√2,DG=3√2,所以cos ∠PGD=PG DG =13.所以二面角P-EF-D 的余弦值为13.8.解析 (1)证明:若AD=2,又AB=AC=2,则A 在底面BCD 内的射影即为△BCD 的外心, 由题意知△BCD 为直角三角形,且∠BCD=90°,∴A 在底面BCD 内的射影即为BD 的中点,记射影为M,则AM ⊥平面BCD,而AM ⊂平面ABD,∴平面ABD ⊥平面BCD.(2)取BC 的中点O,BD 的中点E,连接AO 、OE 、AE,可得BC ⊥平面AOE,过A 作AH ⊥OE 于H,过H 作HN ∥BC 交CD 于N,连接AN,作HQ ⊥AN 于Q,得HQ ⊥平面ACD,点B 到平面ACD 的距离为2HQ,则sin 60°=2HQ AB =2HQ 2=√32,∴HQ=√32, 设AH=x,则√x 2+1×√32=x×1,解得x=√3,即AH=√3,又AO=√3,∴H 与O 重合,则AD=√22+12+(√3)2=2√2.9.解析 (1)证明:在题图1中,∵AB=BC=12AD=a,E 是AD 的中点,∠BAD=π2,∴易得BE ⊥AC,即在题图2中,BE ⊥A 1O,BE ⊥OC,又A 1O ∩OC=O,∴BE ⊥平面A 1OC.易知四边形BCDE 是平行四边形,∴BE ∥CD,∴CD⊥平面A1OC.(2)已知平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE.又由(1)知,A1O⊥BE,∴A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.易知A1O=√22a,S四边形BCDE=a·a=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=13×S四边形BCDE×A1O=13×a2×√22a=√26a3=36√2,解得a=6.10.解析(1)证明:∵G为AE的中点,AD=DE=2,∴DG⊥AE.∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DG⊂平面ADE,∴DG⊥平面ABCE.(2)存在,且BPBD =34.证明如下:过点C作CF∥AE交AB于点F,过点F作FP∥AD交DB于点P,连接PC.∵CF∥AE,AE⊂平面ADE,CF⊄平面ADE,∴CF∥平面ADE,同理可得PF∥平面ADE.又∵CF∩PF=F,∴平面PCF∥平面ADE.∵CP⊂平面CFP,∴CP∥平面ADE.∴在BD上存在点P,使得CP∥平面ADE.∵AE∥CF,AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形,∴AF=CE=1,∴FB=3,又PF∥AD,∴BPBD =BF AB=34.。
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自
选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练题（自选）附答案
问题一
已知平行四边形ABCD，其边长分别为AB = 8 cm，BC = 10 cm，AD = 6 cm。
在平行四边形的内部选取一点P，使得AP = 3 cm，BP = 4 cm，CP = 5 cm，DP = x cm。
求x的值。
解答一
根据平行四边形的性质，对角线互相平分。
由题意，可以得到
以下等式：
AP + CP = BP + DP
3 + 5 =
4 + x
8 = 4 + x
x = 4
所以，DP的值为4 cm。
问题二
已知平行四边形EFGH，其边长分别为EF = 6 cm，FG = 8 cm，GH = 12 cm。
在平行四边形的内部选取一点Q，使得EQ = 2 cm，FQ = 3 cm，GQ = x cm，HQ = 9 cm。
求x的值。
解答二
同样根据平行四边形的性质，由题意可以得到以下等式：
EQ + GQ = FQ + HQ
2 + x =
3 + 9
x + 2 = 12
x = 10
所以，GQ的值为10 cm。
总结
通过以上两个问题的解答，我们可以发现在平行四边形中的折叠问题中，如果在平行四边形内部选取的点与已知点之间的距离相等，那么可以利用平行四边形的性质求解未知量。
请注意，在实际折叠过程中，要确保折叠线与平行四边形的边平行，以保证折叠的正确性。
希望以上练习题对你有所帮助！。
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折叠问题强化练习1．如图，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为（）A．10 B．4C．D．2．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．5．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）A．B．C．D．6．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（）A．+1 B．+1 C．2.5 D．7．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A．3B．2C．2D．29．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）A．2B．4C．D．10．如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．11．如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M是边BC上的点，连接AM．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是（）A．1.5 B．2C．2.5 D．3 12．矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（）个①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．A．2B．3C．4D．5 13．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 14．如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）A．B．C．D．15．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB 边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（）A．6B．4C．2D．116．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为（）A．B．6C．D．17．在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（）A．B．C．D．18．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF ∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF•DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．解答题（共12小题）19．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．20．（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G 在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．21．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．23．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．24．阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）25．问题情境：如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连结AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．①CF的长为；②求证：AM=FM．（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为，=．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．26．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；（3）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=，求点G到BE的距离．27．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m 的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．28．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．29．问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D 旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．问题探究：（1）在旋转过程中，①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为（直接写出结论，不必证明）（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S 是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．30．问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°∴∠ACB=∠DCE∴∠ACB=∠DCB=∠DCE﹣∠DCB即∠ACD=∠BCE∵CE是由CD旋转得到．∴CE=CD则在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（依据1）∴AD=BE（依据2）∵AB=AD+BD∴AB=BE+BD反思与交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系是．②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是．（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．。