中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。

2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。

三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC （AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD, 展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。

小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。

引出课题。

2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B 重合，点C 落在点C'处，折痕为EF，如果∠ ABE ＝20°，则∠ EFC'＝（）A. 125 °B. 80 °C. 75 °D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。

体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。

1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知∠ ADB=20°，那么，∠ BAF 为多少度时，才能使AB' ∥BD？（∠ BAF ＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。

若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？2、如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD=2AB ，沿过点D 的折痕，将A 角翻折，使A 落在BC边上的A1处，则∠ EA1B=（本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，然后求得未知角的度数。

在难度上有所加深，其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能力。

）利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还可以求线段的长度引出。

归类二：求线段的长度例2、如图在长方形ABCD 中，AB=8,BC=10,经折叠，A 点落在BC边的F 点处，折痕DE 与AB 的交点是E ，求EF 的长。

解：连接DF，设AE ＝X根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD ＝BC ＝10所以根据勾股定理得CF＝6 所以BF＝10－6＝4因为BE＝8－X 所以根据勾股定理得：（8－X ）2＋42＝X 2所以 64－16X ＋16＝0解得X ＝5所以 EF 的长是 5（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学 知识解决问题的能力。

同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又 有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能 力。

同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。

）本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分， 连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段体验感悟：1、将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点 D ′重合，若BC = 8，CD = 9，则 EF = .2、已知矩形纸片 ABCD ， AB=2 ，AD=1 ，将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合。

（1）如果折痕 FG 分别与 AD 、AB 交与点 F 、G （如图 1），求 DE 的长；（2）如果折痕 FG 分别与 CD 、AB 交与点 F 、G （如图 2），△AED 的外接圆 与直线 BC 相切，求折痕 FG 的长。

FG 是折痕，点 A 与点 E 重合，根据折叠的对称 长，从而将求线段的长转化到求 性 , 已知线段 AFDEF 的一条直角 的长,可得到线 边 DE. 图②中 M ，连结 MO ，则 MO=DE ，且 MO ∥CD ，又 AE 为 Rt △AED 的外接圆的直 径，则 O 为圆心，延长 MO 交 BC 于 N ，则 ON ⊥ BC ，MN=AB, 又 Rt △ AED 的外接圆与直线 BC 相切，所以 ON 是 Rt △AED 的外接圆的半径，即 ON=AE ，Rt △ 平分 AE ，点 A 、 E ，则折痕FG中考数学中的折叠问题专题复习根据勾股定理可求出 DE=，OE= . 通过 Rt △FEO ∽Rt △AED ，求 得 FO= ，从而求出 EF 的长。

)对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段， 也可以构造直角三角形 , 本题把折叠问题转化为轴对称问题， 利用勾股定理和 相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。

归类三：综合运用1、将边长 OA=8，OC=10 的矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点 C 、A 分别在 X 轴和 Y 轴上。

在 OA 、OC 边上选取适当的点 E 、 F ，连接 EF ，将△EOF 沿 EF 折叠，使点 O 落在 AB 边上的点 D 处。

求证： EO=D ；T(3) 在(2) 的条件下，设 T(x ， y) ，写出 y 与x 之间的函数关系式为，自变量 x 的取值范围是 ； (4) 如图③，将矩形 OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且 OC=10，OC 边上的高等于 8，点F 与点 C 不重合，过点 D 作 DG ∥y 轴交 EF 于点T ，交 OC 于点G ，求出这时的 T(x ，y)坐标 y 与x 之间的函数关系式(不 求自变量 x 的取值范围)。

(1) 5(2) 证明：∵△ EDF 是由△ EFO 折叠得到的，∴∠ 1=∠2．又∵ DG ∥y 轴，∠ 1=∠3．∴∠ 2=∠3．∴ DE =DT ．∵DE =EO ，∴EO =DT ．(3) y 1 x 24 ．16 (4) 解：连接 OT ，1) 如图 2) 如图②，当C(F 点) x F 与点 C O O ( OC 于点 G 。

不重合时G ，过F C 点 D x 作 DG ∥O y 轴交 EF G 于F 点C T ，交x DE F 与点 C 点 图 E 的长度为重合yA D E 图③由折叠性质可得 OT =DT ．∵DG =8，TG =y ，∴ OT =DT =8- y ．∵DG ∥y 轴，∴ DG ⊥x 轴． 在 Rt △OTG 中，∵ OT 2 OG 2 TG 2, ∴(8 y)2 x 2 y 2∴y116x 2 4． 根据轴对称的性质：折叠部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，对称线段所在的夹角相等，在解题过程中要充分运用以上结论， 借助辅助线构造直角三角形，结合相似形锐角三角函数解折叠题，可以使解 题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。

体验感悟：将平行四边形纸片 ABCD ，按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合， 点 D 落在 D ′处，折痕为 EF ，（ 1）求证：∠ BAE=∠D ′AF（2）求证：△ ABE ≌△ AD′F（3）连接 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形，证明你的结论。

（通过写出分析过程，整理解题思路，根据分析过程，写出证明过程。

整个 解题过程可以简单概括为：读信息、定方法、找条件、理思路、写解题过程 五步。

使学生有章可循，从而避免学生手足无措，无处下手的现象发生。

）五、课堂小结 解决折叠问题，要认真审题，弄清那些是翻折部分，哪些是翻折后重叠 部分，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系， 充分挖掘图形中的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出 来，并迅速求解。

六、板书设计（一）折叠的性质： 课后折检叠测图：形中折叠部分在折叠前后 一1、对折应叠角后相求等角度 12、、把对一应张线矩段形相纸等片 ABCD 沿EF 对折，使 C 、3 D 点分别落在 C1、D1的位置上， EC1交 AD 于 G ，已知∠ EFG=5°8 ，那么∠ BEG=＿ ＿ 。

（二）运用：1、求角的度数；2、求线段的长度2、把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，FM为折痕，折叠后的B点、C点落在B′M或B′M 长线上，那么∠ EMF的度数是（）。

A 85°B 90°C 95°D100°3、如图Rt △ABC中，∠ B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ ABE 的周长为＿＿。

二、折叠后求点的坐标4、如图，在直角坐标系中放入一边长OC为6 的矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=34。

（1）求出B′点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式。

（3）作B′∥GAB 交CE于G，已知抛物线y= 通过G点，以O为圆心OG的长为半径的圆与抛物线是否还有除G 点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标。