第五届小学《祖冲之杯》数学邀请赛

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小学五年级奥数—数论之同余问题之欧阳语创编

一、带余除法的定义及性质：时间：2021.03.01 创作：欧阳语一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d 本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a －b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

行程问题

行程问题一般行程问题D10–002一辆货车以每小时65千米的速度前进，一辆客车在它后面1500米，以每小时80千米速度同向行驶，客车超过货车前1分钟，两车相距__米。

[题说] 南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛C卷第9题答案：250(米)D10–003 两辆汽车同时从某地出发到同一目的地，路程165千米，甲车比乙车早到0.8小时，当甲车到达目的地时，乙车离目的地24千米。

甲车行驶全程用了多少小时？[题说] 第一届《小数报》数学竞赛第二试第4题答案：4.7小时D10–006一个人从县城骑车去乡办厂。

他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程。

然后，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。

又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。

[题说] 第五届《小数报》数学竞赛决赛第2题答案：18000(千米)D10–007小明每天早晨6:50从家出发，7:20到校。

老师要求他明天提早6分钟到校。

如果小明明天早晨还是6:50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。

问：小明家距学校多远？[题说] 第六届《小数报》数学竞赛初赛第1题答案：3000(米)D10–010一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多飞出__千米，就需往回飞？[题说] 北京市第一届“迎春杯”刊赛第48题答案：4000(千米)D10–036光的速度是每小时30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。

问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？[题说] 第三届“华杯赛”初赛第1题答案：813≈8.3（分）D10–043某公共汽车线路中间有10个站。

车有快车及慢车两种。

快车的车速是慢车车速的1.2倍。

慢车每站都停，快车则只停靠中间1个站。

每站停留时间都是3分钟。

当某次慢车出发40分钟后，快车从同一始发站开车，两车恰同时到达终点。

五年级奥数-数论之余数问题

数论之余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理0r =0r ≠a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

2024年第五届《鹏程杯》数学邀请赛小学高年级试卷评分标准

鹏程杯数学邀请赛是一个面向小学高年级学生的数学竞赛活动，旨在
激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

以下
是针对2024年第五届《鹏程杯》数学邀请赛小学高年级试卷的评分标准，分为知识与技能、思维与策略、解题质量三个方面。

一、知识与技能（40分）
1.熟练掌握基本数学概念和运算规则，如四则运算、分数运算等（10分）
2.能正确应用所学知识解决各类数学问题，如算术运算、比例、图形
等（15分）
3.准确运用解题技巧，如找到关键信息、简化问题、利用图表等（10分）
4.使用合适的计算工具解题，如计算器、尺子等（5分）
二、思维与策略（40分）
1.运用逻辑思维分析问题，提出解题思路和方法（10分）
3.在解题过程中灵活应用各类数学思维方法，如归纳、推理、逆向思
维等（10分）
4.能面对陌生情境并迅速适应，寻找解题对策（10分）
三、解题质量（20分）
1.解题过程清晰，步骤完整，符合数学表达规范（5分）
2.答案准确、全面，答题过程正确无误（5分）
3.解题方法简洁明了，条理清晰（5分）
4.有独特的解题思路和新颖的解题方法（5分）
总分100分。

此评分标准强调学生对数学知识的熟练应用，注重学生的思维训练和解题策略，以及对解题质量的评价。

通过评分标准的制定，可以准确、客观地评价学生在数学邀请赛中的表现，并为学生的进一步学习提供有针对性的指导。

几何08不规则多边形

【例 1】 (第三届”华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【例 2】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【例 3】如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的A 点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B 点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？BA 1米1米【例 4】 (第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．6厘米8厘米4厘米【巩固】如图，平行四边形ABCD 种，10BC cm =，直角三角形ECB 的边8EC cm =，已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大210cm ，求平行四边形ABCD 的面积．G FEDCBA【例 5】如图，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求BCO 与EFO 的面积差．O BC D GFE A【例 6】有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？680平方米2720平方米60【巩固】(希望杯培训题)如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米．原正方形的边长是______分米．11【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？5【例7】如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【例8】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？44 4【例9】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？?【巩固】(2008年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是．第6题【例10】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为226cm，最小的正方形的边长为多少厘米？【例11】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？【例12】(2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．第2题【例13】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)6【巩固】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【例14】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？108 6丙乙甲【例15】有2个大小不同的正方形A和B．如下左图所示的那样，在将B正方形的对角线的交点与A正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的19．求A与B的边长之比．如果当按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是B的几分之几？左图右图【例16】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？【例17】(2008年北京”数学解题能力展示”读者评选活动复赛)如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池．水池长8米、宽3米．水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺．恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈．水池【巩固】(2008年”陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米．第19题【例18】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道(如图)，如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的水池，水池面积为300平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？【巩固】（第四届《小数报》数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？【例19】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1)(2)【例20】计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？(2)(1)【例21】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？图a【例 22】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米．求乙正方形的面积．【例 23】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？图a图b【例 24】（第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB 为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是平方厘米．A BCDEF 488【例 25】如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【例 26】长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【巩固】(第四届华杯复赛试题)如图，长方形ABCD 的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD 的面积？AB C DIH G FEAB C D【例27】一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【例28】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？图１图2【例29】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【例 30】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．B【例 31】若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 32】一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？ABA BCDE FGH【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为281cm ，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？第2题【例 33】图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是．？51215【例 34】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米？1230201636G FEDC B AS 3S 2S 11230201636G FEDC B A【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？【巩固】(南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛决赛试题)如图，矩形ABCD 被分割成9个小矩形．其中有5个小矩形的面积如图所示．矩形ABCD 的面积为．164221CBD A【例 35】有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见下图)．已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10．求正方形盒底的面积．绿黄红绿黄红【例 36】如图所示，在正方形ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是．DCBA绿黄红 312【巩固】如图所示，在正方形ABCD 中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积.绿黄红D C BA【例37】如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形的重叠部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5，那么这个长方形的长与宽之比是________．【例38】(2005全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)如图如果长方形的面积为56平方厘米，且2MD=厘米、3QC=厘米、5CP=厘米、6BN=厘米，那么请你求出四边形MNPQ的面积是多少厘米？CP2552PC【巩固】(南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛预赛)长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A，B，C，D分别在四条边上，并且C比A低5米，D在B的左边2米，四边形ABCD的面积是平方米．DCB ADCBA【例39】(2004全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少？D FCCF D【例 40】如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是232cm ，四边形ABCD 的面积是220cm ．⑴求正方形EFGH 的边长？⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？FE GD BBDGEF gfc图1 图2 图3【例 41】如图，平面上CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD =厘米，下底35BC =厘米．求三角形ADE 的面积．FECB DAH 2H 1HADBCEF08奥数天天练——不规则图形面积21【例 42】右图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?【例 43】把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形．如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积．图a中中中大图b。

初中数学《巧求周长与面积》讲义及练习

1、巩固三四年级学习的几何图形并深化构造思想2、将等量代换等解题方法用到解题中本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．模块一、旋转平移变换【例 1】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1) (2)【解析】方法一：本题就此图来看计算起来比较麻烦，但是我们可以把图⑴经过旋转后变成图⑵这样我们就可以根据我们学过的知识来解决这道题了．八条虚线的长度正好是大小两个正方形的周长差，空白处即为两个正方形的面积差，所以虚线长为：1682÷=(厘米)从图中可以看出上、下、左、右四个长方形的面积相等为：(96224-⨯⨯)420÷=(平方厘米)，所以小正方的边长为：20210÷=(厘米)，即小正方形的面积为：1010100⨯=(平方厘米)方法二：本题还可以将里面的正方形移到一角上来计算，由右图可知虚线长度为：1644÷=(厘米)所以小正方形的面积为：4416⨯=(平方厘米)白色长方形的面积为：(9616-)240÷=(平方厘米)，所以小正方形的边长为：40410÷=(厘米)，正方形的面积为：1010100⨯=(平方厘米)．【巩固】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？知识点拨教学目标例题精讲第二讲：巧求周长与面积c b ca图a图b【解析】根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图(如图a )，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形(如图b )．由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40410÷=米，即图b 中的长方形的宽是10米．又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：2201022÷=(米)．由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：(2210)26-÷=(米)．所以小正方形的面积为：6636⨯=(平方米)．【例 2】长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【解析】从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以1A B 和1BC 为边能构成大正方形111A BC E (如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘米，面积为：1515225⨯=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形1ADEA 的面积之和为：2902145÷=(平方厘米)．长方形ABCD 与长方形11EDD E 的面积相等．所以，长方形ABCD 的面积为：(225145)240-÷=(平方厘米)．【例 3】一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【解析】方法一：由于手帕边长是18厘米，所以手帕的面积是1818324⨯=(平方厘米)．要求白色部分的面积，只需减去红色部分的面积就可以了．红色部分是四个长为18厘米，宽为2厘米的红色长条，所以这四个红色长条面积是：4182144⨯⨯=(平方厘米)，但每个横红条与每个竖红条在交叉处重叠一个边长为2厘米的正方形，即多计算了224⨯=(平方厘米)，因此两个横红条与两个竖红条共重叠4416⨯=(平方厘米)，所以两个横红条与两个竖红条覆盖的面积为14416128-=(平方厘米)，所以这块白手帕白色部分的面积是324128196-=(平方厘米)方法二：换个方式思考：把竖的两个红条平行移动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的左端边上，把横的两个红条也做同样的位置平移，使它们紧贴在正方形下端的边上，如图所示．这样通过平移横、竖红条后使原来分散的白色部分集中起来了，而且所得图形的白色部分的面积不变．这时白色部分面积一目了然，它等于变成为14厘米的正方形面积，即1414196⨯=(平方厘米)【例 4】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】由图可知，长方形的长是宽的4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是4厘米，故图中空白部分的面积是44232⨯⨯=(平方厘米)．【巩固】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．B【解析】由图中可以看出小长方形的长3+⨯小长方形的宽14=，小长方形的长-小长方形的宽6=．第二式乘以3再与第一式相加得 4⨯小长方形的长146332=+⨯=．所以小长方形的长8=，小长方形的宽2=，小长方形的面积8216⨯=，大长方形的面积14(622)140=⨯+⨯=，阴影面积14061644=-⨯=．模块二、完美长方形【例 5】（第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是平方厘米．A BCDE F 488【解析】根据题意，有48AD AF ⨯=且8AF AD +=，又AD 、AF 都是整数，于是根据尝试可得，12AD =厘米，4AF =厘米．所以1212144ABCDS=⨯=（平方厘米）．【例 6】如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【解析】为了方便叙述，将某些点标上字母，如右上图。

与分数有关的行程问题

与分数、比例有关的行程问题1、甲﹑乙﹑丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。

如果甲﹑乙﹑丙赛跑时的速度都不变，那么，当乙到终点时，丙离终点还有____米。

（1993年学数学奥林匹克初赛题）2、某厂长总是在上午七点钟离家乘工厂的汽车上班，有一天，他在上午六点钟就步行上班，而汽车仍按以前的时间去接厂长，结果在途中接到了厂长，因此厂长比平时提前12分钟到达工厂，那么汽车的速度是厂长步行速度的__ 倍。

（第五届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）3、小明早上从家步行到学校去，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书。

追上时，小明还有310的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。

这样，小明比独自步行提早5分钟到校。

小明从家到学校全部步行需多少时间？（第十届《小数报》数学竞赛决赛题）4、甲、乙两车分别从AB两地出发，在AB之间不断的往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第3次与第4次相遇点恰好为100千米（这里指面对面的相遇），那么AB两地之间的距离是多少千米？5、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶。

甲、乙两车的速度比为3：7，并且甲、乙两车第1996次相遇的地点和1997次相遇的地点恰好相距120千米（这里指面对面的相遇），那么A、B两地之间的距离是多少千米？6.甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。

学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。

为了使两班学生在最短的时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？7、有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车，并直接开往少年宫，学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速每小时40千米，空车每小时50千米。