一元二次方程根的分布例题
一元二次方程根的分布2
二面角主讲：张传风齐铁一中高一数学组例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（1）两个正根⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=∆00304)3(2m m m m {}1≤0m m <例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（2）有两个负根⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-≥--=∆00304)3(2m m m m {}9≥m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（3）两个根都小于1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-=-≥--=∆022)1(123204)3(2m f m a b m m {}9≥m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（4）两个根都大于21⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>-=-≥--=∆0456)21(2123204)3(2m f m a b m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<165m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（5）一个根大于1，一个根小于1一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根的分布f(1)=2m-2<0⇒{}1<m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（6）两个根都在（0 . 2）内⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>=<-<≥--=∆023)2(0)0(2230 04)3(2m f m f m m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<1 32m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（7）两个根有且仅有一个在（0 . 2）内f(0)f(2)=m(3m-2)<0⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<1 32m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（8）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=<=>+-=-04)3(0 22)1(0 )0(010)2(m f m f m f m f Ø例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=-<=02320)0(m a b m f {}0<m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（10）一个根小于2，一个根大于4⇒⎩⎨⎧<+=<-=045)4(023)2(m f m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<54m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（11）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（0 . 4）内⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=>+-=-045)4(0)0(010)2(m f m f m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-054m m小结两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kyxk kk⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆)(2kfkab⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆)(2kfkab一个根正，一个根负f(k)<0f(0)<0,正根大f(0)<0且02>-ab小结两个根有且仅有一个在（k.k)内12x1∈(m,n)x2∈(p,q)两个根都在（k.k)内21yxkk12k k12m n p q⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆)()(22121kfkfkabk f(k )f(k )<012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>)()()()(qfpfnfmf谢谢大家！。
一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。
在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。
1. 判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2.韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．3. 一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩4.例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根； （2）两个负根； （3）两根都小于1； （4）两根都大于1； （5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内； （7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；解：（1）由1212000,0200b x x a x x c a ⎧⎪∆>∆>⎧⎪⎪⎪->+>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>⎪⎩即，得01m <≤。
高中数学一元二次方程根的分布-教师版讲义
一元二次方程根的分布★已知一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为根的分布问题。
实根分布问题一般考虑三个方面，即：（1） 判别式24b ac ∆=-（2） 对称轴2b x a=- （3） 区间端点函数值的符号。
例题：方程满足下列条件x 2+(m-3)x+m=0, 求m 的范围。
（1）两正实根（2）两负实根；（3）两实根均小于1；（4）两实根均大于0.5；（5）两实根均在(0,2)；（6）一正一负两实根；（7）一个正根，一个负根且正根绝对值较大（8）两实根中，一根大于1，一根小于1；（9）两实根中有且只有一根在(0,2)；（10）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；（11）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)；（12）一个根小于2，一个根大于4。
根的分布的三要素练习：m为何实数值时，关于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的两根:(1)都为正根;(2)为异号根,且负根的绝对值大;(3)都大于1;(4)一根大于2,一根小于2;(5)都在(0,2)上;(6)都在[0,2]上;(7)只有一根在(0,2)上;(8)只有一根在[0,2]上.解析：（1）(7,9]∪[25,+∞)（2）(-∞,1)（3）[25,+∞)（4）(27,+∞)（5）(7,9]∪[25,27) （6）[7,9]∪[25,27] （7）(-∞, 7]∪[27,+∞)（8）(-∞, 7)∪(27,+∞)小结：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布1、当一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根分布在同一个区间内时，列不等式组时要考虑哪些因素？2、当一元二次方程的根分布在不同的区间时，列方程组时考虑哪些因素？解决一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)实根分布的方法、步骤：（1）确定方程根分布在同一区间还是不同区间；（2）方程根分布在同一区间时利用三要素列出不等式组；（3）方程根分布在不同区间时利用端点函数值列出不等式(组)；（4）求解不等式即得相应参数的范围。
一元二次方程在给定区间上的根的分布典例讲解
一元二次方程在给定区间上的根的分布典例讲解资料编号:202011202213例题 在“①∅=A ,②A 恰有两个子集,③∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A ”这三个条件中任选一个,补充在下列横线上,求解下列问题. 已知集合{}0122=+-=x mx x A . （1）若A ∉1,求实数m 的取值范围;（2）若集合A 满足__________,求实数m 的取值范围. 解:（1）若A ∈1,则012=+-m ,解之得:1=m . ∵A ∉1∴实数m 的取值范围是{}1≠m m ; （2）若选①:∅=A .当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,不符合题意; 当0≠m 时,则有:()0422<--=∆m ,解之得:1>m . 综上所述,实数m 的取值范围是()+∞,1. 若选②: A 恰有两个子集. ∵A 恰有两个子集 ∴集合A 中只有一个元素. 当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,符合题意; 当0≠m 时,则有:()0422=--=∆m ,解之得:1=m . 综上所述,实数m 的取值集合为{}1,0.若选③:∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A .∵∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A∴关于x 的方程0122=+-x mx 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内有解,显然,0≠m .（当0=m 时,∅=⎪⎭⎫⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2,2121 A ,不符合题意）问题等价于当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,21x 时,求函数1111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=x x x m 的值域. ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,21x ,∴⎪⎭⎫⎝⎛∈2,211x . ∴(]1,0∈m .∴实数m 的取值范围为(]1,0.另解分析 我们也可以采用“正难则反”的解题策略,来求解选择③时实数m 的取值范围.若∅=⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A :当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,符合题意; 当0≠m 时,若∅=A ,则044<-=∆m ,解之得:1>m ;若∅≠A ,则方程0122=+-x mx 的两个实数根均小于21或大于2. 设()122+-=x mx x f ,其图象的对称轴为直线mm x 122=--=,方程0122=+-x mx 的两个实数根分别为21,x x .当方程0122=+-x mx 的两个实数根均小于21,则有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-=∆02121021210442121x x x x m ,即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=++-<-=-+≤04111412101211212121m m x x x x m x x m ,解之得:0<m ; 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=∆211041210442m m mf m ,解之得: 0<m ; 当方程0122=+-x mx 的两个实数根均大于2时,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥-=∆022*******121x x x x m ,即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=++->-=-+≤04414204241212121mm x x x x m x x m ,解之得:无解. 或()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-=≥-=∆210342044mm m mf m ,解之得:无解. 综上所述,当∅=⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A 时,实数m 的取值范围为(]()+∞∞-,10, .∵∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A∴实数m 的取值范围为(]1,0.重要结论 若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根21,x x 均小于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥∆0002121k x k x k x k x , 或()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆k ab k af 200. 若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根21,x x 均小于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0002121k x k x k x k x , 或()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆k ab k af 200. 另解分析 我们也可以从一元二次方程的跟的分布的角度理解问题.∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A 说明方程0122=+-x mx 的两个根都在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内,或只有一个根在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内.需要用到下面重要的结论.（1）若一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根均在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆2121200k ab k k f k f . （2）若一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f ,或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k abk . 注意:要验证端点值:()01=k f ,()02=k f .另解 设()122+-=x mx x f ,其图象的对称轴为直线mm x 122=--=. 当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,不符合题意; 当0≠m 时,若方程0122=+-x mx 的两个根都在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>-=>=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=∆21210342041210442mm m mf m mf m ,解之得:m <43≤1. 若方程0122=+-x mx 只有一个根在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内,则有:()()03441221<-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛m m f f 或⎪⎩⎪⎨⎧<<=∆21210m.解之得:430<<m 或1=m . 令04121==⎪⎭⎫ ⎝⎛m f ,解之得0=m （舍去）;令()0342=-=m f ,解之得:43=m ,把43=m 代入方程可得:04832=+-x x ,解之得:⎪⎭⎫ ⎝⎛∉=2,2121x ,⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,21322x ,符合题意. 综上所述,实数m 的取值范围为(]1,0. 巩固练已知方程()0112=+-+x m x .（1）若方程在区间[]2,0上有两个解,求实数m 的取值范围; （2）若方程在区间[]2,0上只有一个解,求实数m 的取值范围; （3）若方程在区间[]2,0上有解,求实数m 的取值范围. 解:（1） ∵方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有两个解∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<--<≥-+=>=>--=∆2210012420100412m m f f m ,解之得:23-≤1-<m .∴实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23; （2）∵方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上只有一个解∴()()()[]0124120<-+⨯=⋅m f f 或()⎪⎩⎪⎨⎧<--<=--=∆22100412m m 解之得:23-<m 或1-=m . 令()()01242=-+=m f ,解之得:23-=m ,此时方程在区间[]2,0上有两个解,不符合题意. 综上所述,实数m 的取值范围为{}123,-⎪⎭⎫⎝⎛-∞- ;（3）由（1）、（2）可知,若方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有解则实数m 的取值范围为{}(]1,123,1,23-∞-=-⎪⎭⎫⎝⎛-∞-⎪⎭⎫⎢⎣⎡-- .另解 方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有解 即方程12-+-=x x mx 在区间[]2,0上有解当0=x 时,01=-,显然不成立,舍去（即不存在实数m ,使方程的解为0）. 当0≠x 时,问题等价于当(]2,0∈x 时,求函数11+--=xx m 的值域. ∵1111+⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=x x x x m ≤112112-=+-=+⋅-x x当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴m 的最大值为1-,无最小值.∴m ≤1-,即实数m 的取值范围为(]1,-∞-.。
一元二次方程根的分布问题
而另一根不小于 1. 试求：
（1）参数 m 的取值范围； （2）方程两根的平方和的最大值和最小值.
5．设 m 是整数, 且方程 3x2 mx 2 0 的两根都大于
9 7 而小于 ，求 m 得值。 5 3
二次方程的应用 二次方程最重要的性质是判别式和韦达定理 . 下面通过一些例题给出关于二次方程性 质的应用. 对于与二次方程有关的问题，通常可以利用判别式、韦达定理和求根公式解决. 例 1 已知实数 a ， b （ a b ） ，且满足
练习： 1．若方程 x2 3x 1 0 的两根 α ， β 也是方程 x
4
px2 q 0的根，求 p q 的值。
2．设 x1 ， x2 二次方程 x2 x 3 0 的两个根，求 x1
3
4x2 19 的值。
3．已知 b ， c 满足 c b 0 的整数，方程 x2 bx c 0 有两个不等的实根 x1 ， x2 ，在
例 3 若实数 x ，
y 满足
x y x y 1，求 x y 得值。 3 3 3 1， 3 3 3 3 4 3 6 5 4 5 63
3
求根公式法 例 4 已知 a 0， b 0 ， c 0，且
b2 4ac b 2ac，求 b2 4ac的最小值。
一元二次方程根的分布问题 一元二次方程根的分布问题是初中数学竞赛的一个热点问题， 它包括根的分布、 求参数 的范围等内容，涉及函数、不等式等知识，综合性较强。 例 1 当 a 满足什么条件时，方程 (a 值较大？
2
1)x2 6(3a 1)x 72 0 的两根异号且负根的绝对
例 2 设关于
2b 3c 得 a
一元二次方程的根的分布与系数的关系-高中数学知识点讲解
一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2 =―푏
푎
，x1•x2 =
푐
푎．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为 1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即 9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为 1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
1/ 1。
一元二次方程根的分布(精练)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第五讲一元二次方程根的分布（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2022·四川巴中高一专题检测）若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，则m 的取值范围为（）A．((),22-∞---++∞B．(33---+C．((),33-∞---++∞D．(22---+【答案】C 【解析】由关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，所以2(1)40m m ∆=++=，即26+10m m +>解得：3m >-+或3m <--2.（2022·江苏·高一专题检测）一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，则实数m 的范围为（）A．30m -<<B．31m -<≤-C．31m -≤<-D．312m -≤≤【答案】C【解析】因为一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，2164(26)020260m m m m ⎧∆=-+>⎪<⎨⎪+≥⎩，解得31m -≤<-，故选：C 3.（2022·陕西榆林高一专题检测）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（）A．4m ≤-或4m ≥B．54m -<≤-C．54m -≤≤-D．52m -<<-【答案】B 【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意；当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意.故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >，则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-.综上得54m -<≤-.故选B.4．（2022·江苏·高一月考）设1x ，2x 是关于x 的方程2(1)20x a x a +-++=的根．若111x -<<，212x <<，则实数a 的取值范围是()A ．4(,1)3--B ．31(,)42-C ．(2,1)-D ．(2,1)--【解答】解：由题意知，函数2()(1)2f x x a x a =+-++开口方向向上，若111x -<<，212x <<，则函数须同时满足三个条件：当1x =-时，2(1)20x a x a +-++>，代入解得40>，恒成立；当1x =时，2(1)20x a x a +-++<，代入解得220a +<，1a <-；当2x =时，2(1)20x a x a +-++>，代入解得4340,3a a +>>-，综上，实数a 的取值范围是4(,1)3--．故选：A ．5．（2022·广东深圳高一专题检测）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为()A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【解答】解：一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)10g x x m x =+++=，则(0)0(1)0(3)0g g g >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10301330m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得1333m -<<-，m Z ∈ ，4m ∴=-．故选：A ．二、填空题6.（2022·浙江义乌高一专题检测）若关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(,2)-∞-【解析】 关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，令2()f x x x a =++，则()120f a =+<，解得2a <-，7.（2022·江苏·高一专题检测）已知方程x 2－a 2x －a ＋1＝0的两根x 1，x 2满足0＜x 1＜1，x 2＞1.则实数a的取值范围是．【解析】设f(x)＝x2－a2x－a＋1.(0)＝－a＋1＞0，(1)＝1－a2－a＋1＜0，解得a＜－2.8（2022·甘肃景泰二中高一专题检测）若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是．【解析】＝(m－2)2－4(5－m)＞0，－m－22＜2，(2)＝m＋5＞0，解得m＞4.9.（2022·银川一中高一专题检测）关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0两个实根x1，x2满足x1＜2，x2＞4，则实数m的取值范围是．【解析】设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.(2)＝4＋4(m－1)＋2m＋6＜0，(4)＝16＋8(m－1)＋2m＋6＜0，m＋6＜0，m＋14＜0，解得m＜－75.三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10（2022·江苏·高一专题检测）方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m 的取值范围．【解析】方法一设函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图，如图．若两实根均大于1，需m－1)2－32(m－7)≥0，≥25或m≤9，∈R，＞17，解得m≥25.方法二设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝m－18，x1x2＝m－78，因为两根均大于1，所以x1－1＞0，x2－1＞0，＝(m－1)2－32(m－7)≥0，x1－1)＋(x2－1)＞0，x1－1)(x2－1)＞0，)2－32(m－7)≥0，－m－18＋1＞0，解得11．（2022·江西高一第一月考）求实数m 的范围，使关于x 的方程22(1)260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.【解析】（1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．12.（2022·湖北武汉高一课时检测）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．。
高一数学一元二次方程根的分布2(201908)
军秩中二千石者 紒之坚不能自立 谓之大驾 请如前奏施行 十月殷祭 将一人 为夏为火 合同四海 及晋因之 司马比骁骑 人士亦往往而然 歌永始 以会万国之宾 内训隆壸闱 除度田收租之制 厌私恩于祖宗 《左氏传》说与《公羊》又不同 巍巍之功已著 有经而等 斐又课百姓 僭逾无上
接千载之衰绪 吴孙亮建兴二年 侍中 牲用白 惟十月都试 远者三分之一 得周时玉尺 斯礼遂废 【天地郊明堂夕牲歌】皇矣有晋 顺天行诛 皮轩车 宣开洪业 尚书谢奉等六人云 历代不宾 而以理阂自疑 乃播其声焉 《傅子》曰 所以征叛逆 疑于屈伸厌降 清庙何穆穆 在同名卿上 加之以
兵中郎将 赤车 执政从而行之 居广州 鼓吹一部 则本末不经 合之于中常侍 终冥冥 十一年 中道 秦灭赵 说者以为金取刚强 外戚 金部 大水 遗光景 荡涤余秽 钱凤谋乱 改《上邪曲》为《玄化》 排入羽营 珠宝金银百馀斛 安在三十六日 立车上 食毕 遣使臣 辀 二月之辰名为卯 又加
簪珥 都乡侯粪土臣何琦稽首顿首 以定南北二郊 法用率非凡近之所能改 又尚书郎六人 谷帛为宝 咏明帝 荆 司徒荀组云 六七年间 与下争利 横缝其前以别后 用延年所改《驺虞》声 王珣答 犹宜以哀素自居 次左将军在左 帝自初即位 晋《俳歌》又云 咎徵 宾之初筵 哀哉秋兰 太常博
定理4 方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根 分别在(m,n)的两侧(即一个根小于m,另一个
af(m)<0 根大于n） af(n)<0
例2 已知二次方程mx2 +2(m－1)x－(5m+2) = 0 的一个根小于－2,另一个根大于1,求实数m的 取值范围。
； 微信红包群 微信红包群
平蜀夷楚 其以中左典牧种草马 进退不知所从 安车 当今九服渐宁 放牧绝种 改《芳树》为《天序》 吏部郎刘耽意皆同 诸王太妃 言上号令不顺人心 千石 谓之五供 谓之为祧 妾服女君期 而圣旨劳谦 有宾有使 涛水入石头 有司奏 田租三十税一 自言尊 有司奏 新礼 又无虞曹 妻则继
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围． 解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则 当且仅当 f(0)·f(1)<0或 m<0或 m≤3-2且m≠0． 故m的取值范围为 (-, 0)∪(0, 3-2]. 例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的 解。 分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有 解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问 题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方 程有解，则的值域． 解：（1）原方程为， ， 时方程有实数解； （2）①当时，，∴方程有唯一解； ②当时，. 的解为； 令 的解为； 综合①、②，得 1）当时原方程有两解：； 2）当时，原方程有唯一解； 3）当时，原方程无解。 变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围． 解：令，当时，． 由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的 值．因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐Байду номын сангаас平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．
例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的
解。
变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围．
二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧 例1．已知方程有两个负根，求的取值范围．
变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。
变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围．
（2）两个根在实数的异侧 例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实 数的取值范围。
由（1）得： 由（2）得： 由（3）得： 由（4）得：
， ， 或， ．
，即的取值范围为．
三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围． 解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅 有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1< <1，即 m< - 或m> ，∴ m的取值范 围为 (-,- )∪( , +). 2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的 根，求的取值范围．
围。
变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根 在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
（4）在区间有两个实根 例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1) 内，求m的范围.
变式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取 值范围．
解得 - ≤a<-1. ∴ a的取值范围是 [ - , -1)．
， ∴实数m的范围是.
（4）在区间有两个实根 例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1) 内，求m的范围.
解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列 不等式组 - <m≤1-,
∴ 实数m的范围是. 变式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取 值范围． 解：设f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件 为
（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情 况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y = (1<x<2)的值域． 解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1,
yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ① 由题意，关于的方程①在(1,2)上有实根． 易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方 程①在(1,2)上有实根当且仅当 ，解得y≤-5-2. ∴ 原函数的值域为 (-, -5-2].
三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．
2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的 根，求的取值范围．
3．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围．
4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2] 上，求实数a的取值范围．
答案： 二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧 例1．已知方程有两个负根，求的取值范围． 解：依题意有 ． 变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 解：由
或即为所求的范围。 变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围． 解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为
（1）即为，它的解集是． （2）即为，它的解集是． （3）的解集是． 所以，的取值范围是． 解二：二次方程有两个根的充要条件是． 设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为：
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.
（3）在区间有且只有一个实根 例3．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范
围。 解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。
变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根 在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. 解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0) 和(1，2)内，则
解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - . f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0 (5m+3) (m-2)<0 - <m<2. 综上得：m的取值范围是(- , - )∪(- , 2)． 3．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围． 解：令二次函数f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则m-1 ≠ 0，即m ≠ 1． f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 ∴ m的取值范围为． 4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2] 上，求实数a的取值范围． 解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当
变式2：求实数的范围，使关于的方程． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根，且满足． （３）至少有一个正根．
变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个
在原点的右侧，试求m的取值范围.
（3）在区间有且只有一个实根 例3．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范
- <m≤或≤m<. 故a的取值范围是 (- , ] ∪[ , )． 变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中 至少有一个根小于1，求m的取值范围． 解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m， 而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m<3 - <m< . （6） 在区间有实根 例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，
数的取值范围。 解：由 即 即为所求的范围。 变式2：求实数的范围，使关于的方程． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根，且满足． （３）至少有一个正根． 解：设．
（1） 依题意有，即，得． （2） 依题意有 解得：． （３）方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得，即． ②有一个正根，一个负根，此时可得，得． ③有一个正根，另一根为０，此时可得 ． 综上所述，得． 变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个 在原点的右侧，试求m的取值范围. 解：∵f(0)=1>0 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧， 符合题意. (2）当m>0时，则解得0＜m≤1
变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中
至少有一个根小于1，求m的取值范围．
（5） 在区间有实根 例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情 况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y = (1<x<2)的值域．
即
因此，方程两个根都小于1的充要条件是：