数的整除(整理)-课件
小学数学六年级总复习课件-2.数的整除
（这里面的数一般指非0自然数。） 整除: 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数， 我们就说数a能被数b整除，或数b能整除a。
十、整除 1.整除与除尽
6÷3＝2 6能被数3整除， 或3能整除6。
除尽: 数a除以数b(b≠0)，除得的商是整数或是有限小数， 这就叫做除尽。 除尽 区别: 整除是除尽的一种特殊情况, 整除 整除也可以说是除尽， 但除尽不一定是整除。 说说下面 算式是整除算式吗？ 2.4÷0.6＝4( × ) 5÷2＝2.5 ( × ) 9÷4＝2……1( × )
一个能同时被3、5整除的最小三位数是（ 105 ）。 9 6 3 0 1 2 5 8
3.
想一想
十、整除 能被2、3、5整除的数的特征
）。 31 ）。
能同时被3、5整除的最大的两位数是（90 一个数被2、3、5除都余1，这个数最小的是（
先假设一个数被2、3、5除都没有余数，这个数最小的是 【即求2、3、5的最小公倍数】， 再+1。
能同时被2,3,5整除的数的特征: 要先考虑2和5， 再考虑3。
个位上是0,
而且各位上的数字的和要能被3整除。
）。
一个能同时被2、3、5整除的最小三位数是（ 120 8 1 5 0 ①要先考虑2和5，个位上应该是？
√
2
②考虑最小三位数,百位上应该是？ ③考虑能否被3整除,十位上可填哪些数？ ④要最小三位数,那么十位上只能填什么数？
×)
。
。
既是奇数又是合数的有 ( 9
15 )
十、整除 4.质数和合数
1-20中质数有（ 2、3、5、7、11、13、17、19 ）
在括号里填上质数。
30＝( 7 30＝( 2 )＋( 23 )＝( 11 )＋( 19 )＝( 13 )＋( 17 ) )×( 3 ) ×( 5 )
整除规则（原理，性质）
整除规则（原理，性质）各种被整除的数的特征（放在这里以备以后查阅方便）（1）被2整除的数的特征：一个整数的末位是偶数（0、2、4、6、8）的数能被2整除。
（2）被3整除的数的特征：一个整数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除。
（3）被4整除的数的特征：一个整数的末尾两位数能被4整除则这个数能被4整除。
可以这样快速判断：最后两位数，要是十位是单数，个位就是2或6，要是十位是双数，个位就是0、4、8。
（4）被5整除的数的特征：一个整数的末位是0或者5的数能被5整除。
（5）被6整除的数的特征：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（6）被7整除的数的特征：“割减法”。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果差是7的倍数（包括0），则这个数能被7整除。
过程为：截尾、倍大、相减、验差。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）被8整除的数的特征：一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（8）被9整除的数的特征：一个整数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除。
（9）被10整除的数的特征：一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（10）被11整除的数的特征：“奇偶位差法”。
一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数（包括0），则这个数能被11整除。
（隔位和相减）例如，判断491678能不能被11整除的过程如下：奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12。
23-12=11。
因此491678能被11整除。
（11）被12整除的数的特征：一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（12）被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是13的倍数（包括0），则这个数能被13整除。
数的整除课件
如果一个数能被另一个数整除，则它们的最大公约数等于被除数与 商的最大公约数。
最大公约数的整除应用
在数学、计算机科学等领域中，最大公约数的整除性质有着广泛的 应用。
最小公倍数的整除
01
最小公倍数的定义
两个或多个整数的最小正整数倍数。
02
最小公倍数的整除性质
如果一个数能被另一个数整除，则它们的最小公倍数等于被除数与商的
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广 泛的应用。例如，在计算机算法中，整 除的概念可以帮助我们快速准确地完成
各种计算和数据处理任务。
在计算机图形学中，整除的概念也经常 被用到。例如，当我们需要将图像分成 若干等份时，整除的概念可以帮助我们 确保每个图像的像素和比例都是相同的
。
在网络安全领域，整除的概念也具有广 泛的应用。例如，在加密算法中，整除 的概念可以帮助我们快速准确地完成各
者进行练习。
1. 题目
2. 题目
3. 题目
判断以下哪个数字可以 被7整除：14、28、35
、42。
一个数被12整除，那么 这个数的个位数字是多
少？
如果一个数除以8的余数 是5，那么这个数是多少
？
进阶练习题
总结词
这些题目难度稍有提升，需要 掌握一些整除的性质和规律。
1. 题目
求出以下数字的最大互质数的整除
互质数的整除
如果两个数的最大公约数为1，则它 们互质，互质数的两数相除，商为1 。
互质数的整除性质
互质数的整除应用
在数学、计算机科学、密码学等领域 中，互质数的整除性质有着广泛的应 用。
互质的两个数相乘，其积能被这两个 数整除。
§2初等数论--整除
2019/11/16
阜阳师范学院 数科院
3
5. 100个正整数之和为101101，则它们的最大公约 数的最大可能值是多少?证明你的结论。
6. 证明T 1 1 1 1 (n 1)不是整数.
23
n
7. 求自然数n，使得28 211 2n是一个整数的平方。
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定理2 在上面的表达式( * )中，有 (a,b) rn , (rn1 0).
证明：令 (a,b) d , 则 d a ,d b.
a bq1 r1 b r1q2 r2
由r1 a bq1 d r1 ; 由r2 b r1q2 d r2 ;
4
§1.1 整除的概念 带余数除法 一、整除的概念
定义1：设a,b是整数，b 0,如果存在整数q,使得 a bq成立，则称b整除a,或a能被b整除.记作：b a .
相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。 注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个 数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
rn2 rn1 qn (余rn )
b r1q2 r2 , 0 r2 r1 (*)
rn2 rn1qn rn , 0 rn rn1
rn1 rn qn1 ,(rn1 0) rn1 rnqn1 rn1 , rn1 0.
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二、辗转相除法
定义：设有整数 a,b(b 0)，在a b 的带余数除法中， 每次用余数去除除数，直到余数为0停止，这种运算 方法称为辗转相除法。即有
a b q1 (余r1 )
(1)数的整除
(1)数的整除数的整除（一）【知识精读】如果整数a除以整数b(b≠0)税金的商a/b就是整数,那么叫作a被b相乘.0能够被所有非零的整数相乘.一些数的整除特征除数2或54或253或9117,11,13能被整除的数的特征末位数能被2或5整除末两位数能被4或25整除各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)8或125末三位数能被8或125整除能被7整除的数的特征：①抹去个位数②乘以原个位数的2倍③其差能被7相乘。
如1001100－2＝98（能被7整除）又例如7007700－14＝686，68－12＝56（能够被7相乘）能够被11相乘的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又例如102851028－5＝1023102－3＝99（能够11相乘）【分类解析】基准1未知两个三位数328和2x9的和仍就是三位数5y7且能够被9相乘。
求x,y求解：x,y都就是0至9的整数，∵5y7能够被9相乘，∴y=6.∵328＋2x9＝567，∴x=3例2己知五位数1234x能被12整除，求x求解：∵五位数能够被12相乘，必然同时能够被3和4相乘，当1＋2＋3＋4＋x能够被3相乘时，x=2，5，8当末两位4x能够被4相乘时，x＝0，4，8∴x＝8基准3头序被11相乘且各位字都不相同的最轻五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，无法被11相乘，只调整末位数仍没用调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【空战演示】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的b乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥102962若四位数987a能够被3相乘，那么a=_______________3若五位数12x34能够被11相乘，那么x＝__________-4当m=_________时，35m5能够被25相乘5当n=__________时，9610n能够被7相乘6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能够被4相乘的最小四位数就是____________，能够被8相乘的最轻四位数就是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1至100这100个自然数中，能够同时被2和3相乘的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
数的整除知识点整理
数的整除知识点整理
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
第一讲数的整除(1—3)
第一讲 数的整除知识清单：1.1整数与整除的意义1、整数整数：正整数、零、负正整统称为整数。
零和正整数统称为自然数。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，没有最大的整数。
2、整除的意义整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。
确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。
1.2 因数与倍数1、如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（或a 的约数）。
倍数和因数是相互依存的。
2、因数和倍数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数时它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
1.3 能被2、5整除的数1、偶数：能被2 整除的整数是偶数；奇数：不能被2 整除的整数是奇数．2、通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k 为整数，偶数可以表示为2k 的形式，其中k 是整数．3、正整数按照能否被2整除分为奇数和偶数2、能被2、5 、3、9整除的数的特征（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。
（2）一个数的个位数字如果是0 或5，那么这个数就能被5 整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
人教版高中数学选修4-6-第一讲-整数的整除(一)整数的整除-课件(共33张PPT)
观察
12，21，24，30，33，51可同时被什么数整除， 有什么规律？
分析：以上6个数均可同时被3整除，并且各位 数字之和也能被3整除.
由此猜想：一个正整数的各位数字之和能被3 整除，那么这个正整数能被3整除.
带余除法
在生活中并不是什么情况下都可以整除， 很多情况都是不能除尽的.如：13÷2=6…1,在 整数集中这种表示法依然成立，叫做带余除法 （或欧氏除法算式）.
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
导入新课
从以前学过的乘法中我们知道
若A×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
第一讲整数的整除
教学目标
知识与能力
1．在熟悉整数的基础上充分理解整除 的概念和性质；熟练掌握带余除法的运算， 且能进行运算.
2．理解什么是素数的概念，并掌握素数 的判别方法.
过程与方法
1.通过复习以前的乘法、除法的知识，让 学生合作探讨，老师启迪，自然引出整除的概 念及性质.•
2.在整除的基础上通过生活中的实例，引 导学生考虑不能整除的情况，并让学生自己进 一步思考不能整除情况的解决方法并总结带余 除法的概念.
共六条鱼，平均一只猫咪得几条鱼？
若是再多一条鱼，平均一只猫咪又各 得几条鱼呢？
想一想
在上一页第一种情况下，平均每 只猫咪得到 6÷2 = 3（条）；第二种 情况下每只猫咪在得到3条鱼后还剩一条，就是 说这种情况下鱼并不能平均分给两只猫咪. 生活中这样的例子还有很多，我们从数 学的角度该怎样理解，又怎样定义呢？它们 又有怎样的性质？下面我们将具体的分析.
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你知道吗？
１、0是所有非零自然数的倍数。（0能被任何非零自 然数整除，所以0是任何非零自然数的倍数，任何非 零自然数都是0的约数）
２、0不是合数。（一个数除了1和它本身还有别的约 数，这样的数叫做合数。而0没有本身这个约数，而 且不能用质因数相乘的形式表示出来，所以有1的两个数叫做互 质数。0和1只有公约数1，所以0和1是互质数。）
最小公倍数 最大公约数
偶数 奇数
过关测验A
相信你是最棒的！
找出每行中与众不同的数并说理由 42、 3 、 33 、 15 、 22 2 、 13 、 21 、 31 、 11
过关测验B
动动脑，相信你一定行！
有三根小棒，分别长12厘米、44厘 米、56厘米，要把它们都截成同样 长的小棒，不许剩余，每根小棒最 长能有多少厘米？
数的整除（整理）
下面是我家的电话号码： ①最小的质数 ② 5的最小倍数 ③有约数2和4的最大一位数 ④既不是质数也不是合数的数 ⑤最小合数 ⑥比最小质数多2的数 ⑦最小的偶数
同学们想一想要猜出这个电话号码 需要用到我们学过的哪些知识？
数的整除
质数
互质数
倍数
整除 公约数
合数 公倍数
最小公倍数
奇数 偶数
约数
质因数
最大公约数
能被2,3,5整除的数的特征
分解质因数
温馨提示：
抓住各知识点的内在联系，根 据自己对知识的理解，用自己喜欢 的方式进行整理。如：树状结构图， 表格，枝形图等。
整
倍数
公倍数
除
约数
公约数
质数 合数 互质数
质因数
分解质因数
能被2整除的数的特征 能被3整除的数的特征 能被5整除的数的特征
我的电话号码是七位数,每个数字依次（ 高位到低位）是： ①最小的质数 ② 5的最小倍数 ③有约数2和4的最大一位数 ④既不是质数也不是合数的数 ⑤最小合数 ⑥比最小质数多2的数 ⑦最小的偶数