第六章 无标度网络
小世界效应和无标度
小世界效应和无标度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：小世界效应和无标度网络是网络科学中两个重要的概念，它们在描述现实世界中的网络结构和特征时起着关键作用。
小世界效应指的是在一个网络中，任意两个节点之间的路径长度都很短，通常只需要经过少数几个中间节点就可以到达。
而无标度网络则是指网络中存在着少数节点连接着大量的节点，这些少数节点被称为“超级节点”，它们的度数远远大于普通节点。
小世界效应最早由美国社会学家米尔曼提出，他在研究人际关系网络时发现，人与人之间的联系非常紧密，平均只需要六步就可以将全球任何一个人与另一个人联系起来。
这就是著名的“六度分隔理论”，也是小世界效应的一个重要实例。
小世界效应在不仅仅存在于社交网络中，在科学合作网络、互联网、神经元网络等多种网络中也有着显著的表现。
小世界效应产生的原因主要有两点：首先是网络中存在一定数量的“桥梁节点”，它们连接着不同社区或簇，起到了联系不同部分的作用；其次是网络中出现了一些环路结构，使得信息传播更加迅速高效。
小世界效应在现实世界中的广泛存在说明了网络的紧密连接和高效传播的特点，为我们深入理解复杂网络结构提供了重要线索。
与小世界效应相对应的是无标度网络的概念。
无标度网络是指网络中存在着少数超级节点，它们连接着大量的普通节点。
这种网络结构不仅在度分布上呈现出幂律分布特征，而且在结构上呈现出高度离散性和不均匀性。
无标度网络的存在可以解释很多现实世界复杂系统中的现象，比如疾病传播、互联网中网页连接、社交网络中的大V用户等。
无标度网络的特点主要有两方面：一是网络中存在着极少数量的超级节点，它们的度数远远高于其他节点；二是网络中大部分节点的度数分布呈现出幂律分布，这意味着网络中有很多度数很低的节点，但同时也存在着极少数量的度数非常高的节点。
这种不均匀的分布使得网络的结构更具鲁棒性和稳定性，因为只要保留少数几个超级节点，整个网络就不会轻易瓦解。
小世界效应和无标度网络在现实世界中广泛存在，并对我们理解复杂网络结构和特性起着重要作用。
复杂网络的模型与分析
复杂网络的模型与分析随着互联网和信息技术的不断发展，复杂网络的研究逐渐成为了一个热门领域。
复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络，节点之间的联系形式多种多样，如社交网络、物流网络、电力网络、交通网络等，这些复杂网络的研究对于我们理解社会、经济、技术发展及灾难管理等方面具有重要的意义。
本文将着重介绍复杂网络的模型和分析。
一、常见的复杂网络模型在复杂网络的研究中，人们常常会使用一些常见的模型来描述节点之间的联系。
1. 随机网络随机网络是一种节点和连接完全随机的网络，节点间的连接具有随机性，因为节点和连接的排列方式没有规律。
随机网络在复杂网络的研究中是最为简单和基础的模型，它用于研究网络拓扑结构的性质和动力学行为。
2. 小世界网络小世界网络是一种介于完全随机网络和规则网络之间的网络，它是由一些高度连接的节点组成，并且加上少量的随机连接形成的。
在小世界网络上进行的信息传递速度非常快，而且路径非常短。
3. 规则网络规则网络是一种节点排列间距相等、相互连接、形成规则的复杂网络，节点之间的连接相同、简单，结构规整。
规则网络常用于研究网络的物理性质和动力学特性。
4. 无标度网络无标度网络是一种节点度数分布呈幂律分布的网络，它的节点度数较高的节点数量比较少，而节点度数较低的节点数量比较多。
无标度网络对生物、社会和科学领域中的很多现象有很好的解释，在实际应用中具有较广泛的应用。
二、复杂网络的分析方法复杂网络的分析是研究节点间联系、网络中信息传输的方式和特点，以及网络自身的属性。
以下是常见的复杂网络分析方法：1. 节点中心度节点的中心度是在复杂网络中一个节点与其他节点之间联系的度量指标。
中心度可以被分为四种类型：度中心性、接近中心性、介数中心性和特征向量中心性。
其中，度中心性是指节点连接的数量，接近中心性是指节点与其他节点的连接性质，介数中心性是指节点作为中介者在所有节点之间传递信息的能力，特征向量中心性则比较复杂。
无标度网络模型构造
课题：无标度网络模型构造姓名赵训学号201026811130班级实验班1001一、源起无标度网络（或称无尺度网络）的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。
“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。
在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”。
复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。
这样的网络会出现在简单网络中没有的特殊拓扑特性。
自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。
随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。
最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER模型。
ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有个节点，并假设每对节点之间相连的可能性都是常数。
这样构造出的网络就是ER模型网络。
科学家们最初使用这种模型来解释现实生活中的网络。
ER模型随机网络有一个重要特性，就是虽然节点之间的连接是随机形成的，但最后产生的网络的度分布是高度平等的。
度分布是指节点的度的分布情况。
在网络中，每个节点都与另外某些节点相连，这种连接的数目叫做这个节点的度。
在网络中随机抽取一个节点，它的度是多少呢？这个概率分布就称为节点的度分布。
在一般的随机网络（如ER模型）中，大部分的节点的度都集中在某个特殊值附近，成钟形的泊松分布规律（见下图）。
偏离这个特定值的概率呈指数性下降，远大于或远小于这个值的可能都是微乎其微的，就如一座城市中成年居民的身高大致的分布一样。
然而在1998年，Albert-László Barab ási、Réka Albert等人合作进行一项描绘万维网的研究时，发现通过超链接与网页、文件所构成的万维网网络并不是如一般的随机网络一样，有着均匀的度分布。
他们发现，万维网是由少数高连接性的页面串联起来的。
绝大多数（超过80%）的网页只有不超过4个超链接，但极少数页面（不到总页面数的万分之一）却拥有极多的链接，超过1000个，有一份文件甚至与超过200万个其他页面相连。
网络科学中的复杂网络理论
网络科学中的复杂网络理论网络科学是一门涵盖计算机科学、数学、物理学等多个学科的交叉学科，其研究的对象是网络，包括社交网络、物流网络、电力网络、金融网络等。
在网络科学的研究中，复杂网络理论是一个重要的分支，它能够帮助我们理解网络的特性和行为。
本文将从复杂网络的概念、网络拓扑结构、网络动力学、网络优化等方面介绍复杂网络理论。
一、复杂网络的概念复杂网络是由许多节点和边组成的网络，节点和边之间的关系可以是同性的或异性的，也可以是有向的或无向的。
复杂网络中的节点可以是人、公司、电力系统中的发电站等，边可以表示这些节点之间的联系，如社交网络中的朋友关系、电力系统中的输电线路等。
由于网络中的节点和边是多种多样的，所以复杂网络具有超过简单网络的复杂性和多样性。
复杂网络理论研究的是网络的结构和行为，通过分析网络节点和边之间的关系，可以揭示网络中的规律和特性。
复杂网络理论已被应用于许多领域，如社交网络分析、流行病模型、交通优化、生物信息学等。
二、网络拓扑结构网络的拓扑结构是指节点和边之间关系的模式，包括邻接矩阵、度分布、聚类系数、路径长度等几个方面。
1. 邻接矩阵邻接矩阵是一个方阵，其中的行和列分别对应网络的节点，矩阵中的元素为1表示对应节点之间有一条边，为0则表示没有边相连。
邻接矩阵是表示网络拓扑结构最简单的方式，但对于大规模网络，其密集的矩阵往往需要大量的存储空间，使得计算和分析变得困难。
2. 度分布节点的度是指该节点连接的边数。
度分布是一个度数与节点数量或概率的关系图，可以揭示网络节点之间关系的多样性。
常见的度分布包括泊松分布、幂律分布等。
幂律分布是指在一个网络中存在很少的高度连接的节点，多数节点的度数较低，这称为“无标度网络”。
无标度网络中的少数节点有着重要的作用，称为“超级节点”，它们是网络中的枢纽或关键节点。
3. 聚类系数聚类系数是指一个节点的邻居之间相互之间已经连接的比例。
聚类系数越高表示该节点的邻居之间越紧密。
复杂网络的结构与演化机理研究
复杂网络的结构与演化机理研究现代社会，人们生活在不断互联互通的网络中。
网络拓扑结构的研究和分析已经成为计算机科学、物理学、社会学等多个学科的交叉领域。
复杂网络便是其中一种研究的主要对象。
复杂网络较之简单网络，更为普遍和广泛，它是一种具有复杂拓扑结构，呈现出高度复杂性、鲁棒性和自组织性的系统，已经在现实世界的许多领域中得到了广泛的应用和研究。
本文将主要介绍复杂网络的结构和演化机制。
一、复杂网络的结构1.1. 随机网络结构随机网络是由很大的数量的节点和随机连边的拓扑结构所构成的网络。
这种网络的性质具有随机性，因此，节点的度数分布非常广泛。
正因为这种特性，随机网络的强健性极差，遭受外部攻击时容易瘫痪。
随机网络是复杂网络中最为简单的拓扑结构。
1.2. 规则网络结构规则网络表示的是一个节点和它的几个邻居节点之间存在固定的联系。
这种网络拓扑结构的性质表现出周期性。
规则网络的灵敏度是比较低的，随着节点数量的增加，其强健型也逐渐加强。
1.3. 无标度网络结构无标度网络是一种有特定数量节点，而且这些节点度数的分布不是均匀或随机的。
这种性质使无标度网络比其他网络拓扑结构更为复杂。
最值得注意的是，无标度网络对于节点的关键性质是十分敏感的。
一些节点的失效容易导致整个网络的崩溃。
二、复杂网络的演化机制2.1. 优先连接优先连接可以被看作是贵族效应的体现。
即网络中较有权威的节点（即度数比较高的节点）可以更容易地获得新的联系。
这导致了一些节点一开始就比较容易从随机网络中脱颖而出，和其他社区难以联系。
2.2. 调整和稳定网络的调整和稳定过程是一个非常重要的演化机制。
网络中的节点常常会因个人利益及其它因素进行策略性的连边。
如果没有稳定机制对这种操作进行限制，网络中连接将逐渐趋近于随机化，从而失去一些重要特性，例如社区结构。
节点对其他节点进行更改其邻边操作，这个操作将在适当时间被调整，同时维持网络的聚类，便是调整和稳定的重要机制之一。
网络科学中的复杂网络模型
网络科学中的复杂网络模型网络科学是一个快速发展的领域，涉及到许多重要的应用和领域，包括社交网络、生物网络、交通网络、金融网络等等。
这些网络在不同的领域和场景下都有其独特的特点和规律，而其中一个重要的方面就是复杂网络模型。
复杂网络模型是一个包含了许多不同类型节点和边的网络，它们可以呈现出高度动态和非线性的特性，在一定程度上可以反映真实世界的复杂性。
这种网络的特点往往会影响到网络的结构、动态行为和演化轨迹等方面的研究。
因此，我们对复杂网络模型的研究具有重要的理论和实践意义。
在这篇文章中，我们将深入探讨网络科学中常用的复杂网络模型，包括小世界网络、无标度网络、随机网络和人为网络等。
1、小世界网络小世界网络是基于熟人和陌生人社交网络的研究产生的，其特点是节点之间的链接比较紧密，但节点之间的距离又相当短。
实际上，我们在现实世界中所处的社交网络，可以类比为小世界网络。
在小世界网络中，每个节点与相邻节点之间的链接形成了一个固定的结构，而节点之间的链接可以通过随机连接来实现，从而形成了一种与真实世界相似的混合网络模型。
小世界网络在现实生活中得到了广泛的应用，如社交网络、电力网络、交通网络等等。
2、无标度网络在许多复杂系统中，节点之间的连接并不是随机的。
这些系统中的节点往往具有极为不平衡的度分布，即存在少数节点度较高，但绝大部分节点度较低的现象。
这种网络模型被称为无标度网络。
无标度网络在许多生物、社会和技术系统中得到了广泛的应用，如人脑神经网络、因特网、科学合作网络等。
研究人员认为，这种网络模型能够表达一种底层的组织结构，这种结构决定了网络的分布规律和演化规律。
3、随机网络随机网络是一种基于随机规律产生的网络结构，节点之间的连接是随机产生的。
这种网络模型通常不包括任何固定的结构或规则，而是依靠节点之间的随机链接来完成网络的组成。
随机网络广泛应用于电子商务、物流、通信和交通系统等领域。
这种网络模型的特点是节点和链接的随机性，因此能够表达系统中的不确定性和不稳定性。
网络拓扑知识：生物网络拓扑结构的模拟与分析
网络拓扑知识：生物网络拓扑结构的模拟与分析随着计算机技术和数据挖掘技术的不断发展，网络拓扑结构（Topology）已经成为研究生物学、社会学、经济学等学科领域的重要工具。
生物网络是指由生命体系内相互联系、相互作用的物质和表现现象组成的网络，如蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
模拟生物网络的拓扑结构是通过计算机模拟来建立生物网络的拓扑结构，可以帮助生物学家了解和探索生物系统中复杂的相互作用关系，从而更好地理解生命系统的运作机制。
网络拓扑结构的分析包括网络的性质和特征等，可以通过一系列的参数和指标来描述网络的规模、密度、中心性等。
其中，网络的规模（Size）指网络中节点（Node）的数量；网络的密度（Density）指网络中连接的数量与节点的总数量之间的比率；网络的中心性（Centrality）指网络中某些节点或连接的重要性程度。
在网络分析中，有两个重要的网络模型——小世界网络（Small World Network）和无标度网络（Scale-Free Network）。
小世界网络是指节点之间的距离相对较短，具有较高的聚集度（Clustering）和较短的平均路径长度（Average Path Length）。
无标度网络则是指节点的连接度（Degree）呈现出幂律分布，这意味着只有少数节点具有非常高的度数，而大部分节点的度数非常低。
近年来，生物网络拓扑结构的模拟和分析已经广泛应用到了生物学、医学、生态学、神经科学等领域。
例如，通过蛋白质相互作用网络的拓扑结构建立新药物开发的理论模型、分析基因网络拓扑结构和基因表达水平的关系，来研究遗传性疾病的发生机理和治疗方法等。
然而，网络拓扑结构的模拟和分析仍然面临着很多挑战和难题。
例如，如何处理网络中存在的噪声、如何解决节点和连接数过大的问题等。
总之，生物网络拓扑结构的模拟和分析有着广阔的应用前景，在未来的研究中将继续发挥着重要的作用，促进我们对生命系统的更深入理解。
无标度网络实验报告
无标度网络实验报告引言无标度网络是一种网络结构模型，其节点度数的分布服从无标度幂律分布。
在无标度网络中，只有少部分节点拥有较高的度数，而大多数节点的度数相对较低。
无标度网络在许多领域有着广泛的应用，包括社交网络、互联网、生物网络等。
本实验旨在通过构建一个简单的无标度网络模型，在实践中深入了解无标度网络的特性和行为。
方法本实验使用Python编程语言进行网络模型的构建和实验分析。
首先，我们使用NetworkX库创建一个空的无向图对象。
然后，我们按照无标度网络的特性，逐步添加节点和边，以构建一个无标度网络模型。
具体步骤如下：1. 添加一个初始节点。
2. 每次添加一个新节点时，与网络中已存在的节点建立m条边连接。
3. 按照无标度网络的幂律分布特性，选择一个已存在的节点加入边的目标节点。
4. 重复步骤3，直到网络中的节点数达到指定的数量。
使用以上方法，我们可以创建一个包含N个节点的无标度网络。
接下来，我们将对该网络进行实验分析。
实验结果与分析我们首先构建了一个包含100个节点的无标度网络，并计算了节点的度数分布。
如下图所示：![Degree Distribution](根据图中的节点度数分布图，我们可以观察到较少节点的度数较高，而绝大多数节点的度数相对较低，呈现出无标度网络的特性。
我们进一步对网络的聚类系数进行了分析。
聚类系数反映了网络中节点之间的紧密程度。
经过计算，我们得到了该无标度网络的平均聚类系数为0.25。
这意味着网络中的节点之间存在着较高的聚类效应，即节点之间的联系更为紧密。
我们还对无标度网络进行了连通性分析。
通过计算网络的最大连通子图大小，我们发现网络的最大连通子图包含了95%的节点。
这说明无标度网络具有较好的连通性，即节点之间更容易通过路径相互连接。
结论通过本实验，我们成功构建了一个简单的无标度网络模型，并对其进行了实验分析。
在我们的实验中，该无标度网络表现出了特有的度数分布、聚类系数和连通性。
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• SW：
L=2.17, Close=0.30(P.112);
• SF：
L=1.75, Close=0.07(P.135);
6.2.5 无标度网络聚类系数
• scale-free networks have large hubs and small clustering. Small-world networks have large clusters and small hubs.
• Scale-free network structure is vested in highdegree hubs, while small world structure is vested in high-degree clustering.
第6章 无标度网络
6.1 生成一个无标度网络 6.1.1 barabasi albert（ba）网络 6.1.2 生成ba网络 6.1.3 无标度网络幂律分布 6.2 无标度网络的属性 6.2.1 ba网络熵 6.2.2 hub度与密度对应关系 6.2.3 ba网络平均路径长度 6.2.4 ba网络紧度 6.2.5 无标度网络聚类系数 6.3 无标度网络中的导航 6.3.1 最大度导航与密度对应关系 6.3.2 最大度导航与hub度的对应关系 6.3.3 在无标度pointville网络中的弱联系 6.4 分析 6.4.1 熵 6.4.2 路径长度和通信 6.4.3 聚类系数 6.4.4 hub度 练习
• 6.1.3 Scale-Free Network Power Law(p.186189)(中文p.122-123)
• 运行网络平台之scalefree.m（参考“基于 Matlab的无标度网络仿真.pdf ”），取教材 图6-2之参数。可得网络的邻接矩阵。
• 然后用Ucinet绘图。
• 用Degree_Distribution.m给出度分布图。
6.2 无标度网络的属性
• 6.2.1 ba网络熵 6.2.2 hub度与密度对应关系 6.2.3 ba网络平均路径长度 6.2.4 ba网络紧度 6.2.5 无标度网络聚类系数
6.2.1 ba网络熵
6.2.2 hub度与密度对应关系
6.2.3 ba网络平均路径长度
6.2.4 ba网络紧度
有大量连接的节点上。
• 增长和择优连接这两种要素激励了Barabási－Albert模型的 提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变化的网络。
• 模型的算法如下：
（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间间 隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个新节 点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。
（2）择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点连 接到节点i的概率p取决于节点i的度数即
p(ki )
ki jk j
• 经过t时间间隔后，该算法程序产生一具有 N=t+m0个节点，mt条边的网络。
• 数量模拟表明具有k条边的节点的概率服从 指数为r=3的幂指数分布。
P(k) ~k-3
A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
6.1.2 生成ba网络
6.1.3 无标度网络幂律分布
• A.-L. Barabási, R. Albert. Emergence of scaling
in random networks. Science 286, 509–512
(1999)
• 可参考《复杂网络度分布的研究》文。
• BA模型构造的网络度符合幂指形式的证明
P(k)
P(ki(m0
t)
1 k11/
P(k ) m 1 1/ k (11/ )
1 P(k) 2m2k 3
2
• Newman, M. E. J., The structure and function of complex networks, SIAM Rev. Soci. Industr. Appl. Math. 45(2):167–256 (2003).
目录
• 第1章 网络科学的起源 • 第2章 图 • 第3章 规则网络 • 第4章 随机网络 • 第5章 小世界网络 • 第6章 无标度网络 • 第7章 涌现 • 第8章 传染病 • 第9章 同步 • 第10章 影响网络 • 第11章 脆弱性 • 第12章 NetGain网络 • 第13章 生物学 • 第14章 最新动态
6.1.1 barabasi albert（ba）网络
• 无标度模型由Albert-László Barabási和Réka Albert在1999年首先提出，现实网络的无标 度特性源于众多网络所共有的两种生成机 制：
• （ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩张； • （ⅱ）新节点择优连接（偏好连接）到具
6.3 无标度网络中的导航
6.3.1 最大度导航与密度对应关系 6.3.2 最大度导航与hub度的对应关系 6.3.3 在无标度pointville网络中的弱联系
最大度导航与密度、hub度的对应关系
无标度pointville网络中的弱联系
• 随机：D=3.18, R=2.77, Close=0.427(P.84);
• 无标度网络是度分布服从幂律分布的网络
• 无标度网络具有少量高度节点、大量低度 节点。
• Scale-free网络的特性： • 度分布呈幂率分布 • 中枢节点出现 • 稳健性 • 脆弱性
6.1 生成一个无标度网络
6.1.1 barabasi albert（ba）网络 6.1.2 生成ba网络 6.1.3 无标度网络幂律分布
•
Density No. of Ties
• 6-2 0.0579 562.0000
• clustering coefficient: 0.168
• Average distance
= 2.577
• 可对此网络的度分布拟合给出幂律分布表 达式。
• 关于无标度网络的进一步认识，可参考： • 《无标度网络的争议》 • 《复杂网络的随机刻画和演化规律》 • 等网络教学平台文献。