初二数学(秋季)讲义第4讲 立方根
八年级数学上册4.2《立方根》解读“立方根”素材苏科版
解读“立方根”立方根和平方根一样，也是数的发展的必然结果。
所以学习立方根的概念就弄清楚以下一些问题：一、正确理解立方根的意义一般地，一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）.数a a的取值可以是正数、负数或0.值得注意的是，平方根的根指数2可以省略不写，而这里立方根的根指数3是绝对不能省略的.另外，在具体运用时不能出现类似“a a都只有23＝8，(－2）3＝－8，那么2叫做8的立方根，即8的立方根是2，－2叫做－8的立方根，即－8的立方根是－2.特别地，0的平方根是0。
二、知道立方根的唯一性刚才我们说任何数a都只有一个立方根，即一个数的立方根是唯一的.因为正数的立方是唯一的正数,负数的立方是唯一的负数，0的立方仍是0，而且不同的数有不同的立方数,所以，任何一个数都有唯一的立方根，即：正数有唯一的正的立方根，负数有唯一的负的立方根，0的立方根仍是0.如，8只有一个立方根2，说：“2是8的立方根”或“8的立方根是2”。
另外,立方根等于它本身的数有三个，它们是1，0,－1三个数。
3的意义由于一个数a是a3的立方根，根据立方根定义可知a3的立方根是a a.假定x3＝a，根据立方根定义知x3＝x3＝a。
四、会求负数的立方根，知道开立方运算与立方运算的关系求一个负数的立方根有两个方法,一是由立方根定义去求，二是转化成先求负数的绝对值的立方根,再求它的相反数。
和开平方与平方运算互为逆运算一样，开立方与立方运算互为逆运算.以平方根与立方根为例，它们的相同点是:正数和零都存在平方根或立方根。
零的平方根或立方根都是零.不同点是:平方根与立方根概念不同,在性质方面也有着很大差别.正数，虽都存在平方根或立方根，但个数不同；负数，有一个立方根,是负数；但负数却没有平方根。
这是因为,正数、零、负数的平方都不得负数。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
初中数学试讲逐字稿-《立方根》
1、题目：立方根2、内容：4、教学设计板书设计：立方根一、立方根定义二、求一个数的立方根5、【答辩题目及解析】问题：在本节课的教学过程中，你是如何设计探究立方根的概念的?【参考答案】在教学过程是，我是根据学生认知的先后顺序，通过计算――讨论――观察――总结，一环扣一环的教学。
让学生分组讨论，充分参与，自己建立概念，深刻的体验使学生感受到获得新知的乐趣，从而达到本节课的教学目标。
初中数学《立方根》1、题目：《立方根》2、内容：3、基本要求:(1)让学生理解立方根和开立方的概念，掌握立方根的性质，会求一个数的立方根。
(2)教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节。
(3)要求配合教学内容有适当的板书设计。
(4)试讲时间10分钟。
4、答辩题目（1）立方根和平方根的区别与联系? [专业知识类]（2）在本节课的教学过程中，你是如何设计探究立方根的概念的? [教学实施类]初中数学《立方根》主要教学过程及板书设计教学过程板书设计答辩题目解析1.立方根和平方根的区别与联系?【专业知识问题】8的立方根是2平方根往往有2个(0的只有一个),立方根只有一个.非负数才有平方根,任何实数都有立方根.联系,平方根立方根都是乘方运算的逆运算,分别对应的是平方与立方.2.在本节课的教学过程中，你是如何设计探究立方根的概念的?【教学实施问题】【参考答案】在教学过程中，我是根据学生认知的先后顺序，通过计算――讨论――观察――总结，一环扣一环的教学。
让学生分组讨论，充分参与，自己建立概念，深刻的体验使学生感受到获得新知的乐趣，从而达到本节课的教学目标。
北师大版八年级数学上册课件：《立方根》课件
(3 27 )3 =（-27）， (3 2 )3 =（ 2 ） .
从而
得公 (3 a )3 a
式
总结：
平方根与立方根的联系，区别：
联系：都是开方运算
区别：1写法不同 2平方根的被开方数是非负数，
负数没有。立方根的被开方数是任何 数。
3平方根有两个。 立方根只有一个
2.3 立方根
( 2 )3=8 ( 3 )3=27 ( 10 )3=1000
( 0 )3= 0
( 2) 3=
3
8 27
定义
如果一个数x的立方等 于a，即x3=a，那么这个数x 就叫做a的立方根(cube root 也叫做三次方根).
定义
求一个数a立方根的运算， 叫作开立方(extraction of c root) . 其中a叫被开方 数.
5 125
125 5
(3) (0.6)3 0.216 3 0.216 0.6
(4) -5的立方根是3 5
例题
例2 求下列各式的值:
(1) 3 8
(2) 3 0.064
(3)
3
8 125
(4) (3 9 )3
解: (1) 3 8 3 (2)3 2
(2) 3 0.064 3 (0.4)3 0.4
(3) 3
8 125
3
( 2)3 5
2 5
(4) (3 9 )3 9
议一议
(1) 正数有几个立方根？ (2) 0有几个立方根？ (3) 负数呢？
一个
立方根的性质
任何数都只有一个立方根； 正数的立方根是正数；0 的立 方根是0；负数的立方根是负 数.
想一想
(3 8)3 =（ 8 ）， (3 0)3 =（ 0 ），
立方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.4 立方根（知识讲解）【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：：一个数a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a =3a =特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 【典型例题】类型一、立方根概念的理解1．如果21x -的平方根是3±，x y +是18的立方根，那么34x y +的值是多少？【答案】﹣3【分析】根据题意求出x ，y 的值，再代入所求代数式求解即可． 解：∵21x -的平方根是3±，∵21x -＝9， 解得x ＝5，∵x y +是18的立方根，∵x y +＝12，把x ＝5代入x y +＝12得， 5＋y ＝12， 解得y ＝﹣92，∵34x y +＝3×5＋4×（﹣92）＝﹣3．【点拨】此题考查了平方根、立方根、方程的解，熟记立方根、平方根的定义是解题的关键．【变式1】我们知道a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；（26的值． 【答案】（1）成立，理由见详解；（2）0． 【分析】（1）用一对互为相反数的数来验证即可，（2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出x 的值，再计算即可．解：（1）2(2)0+-=，而且328=，3(2)8-=-，有880-=， ∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1则28x -和28x --也互为相反数， 即：28280x x ---=， 36x ∴=，6660=-=．【点拨】本题主要考查了立方根的定义和性质的应用，熟悉相关性质，能根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”来解答是解题的关键．【变式2】一个正数的平方根分别是25a +和21a -，30b -的立方根是3-．求a ，b 的值．【答案】a ＝-1，b ＝3【分析】根据平方根、立方根的性质，通过求解一元一次方程，即可求出a 、b 的值； 解：由题意可知： (2a +5)+(2a −1)=0 ， b −30=(−3)³=−27 解得：a ＝-1，b ＝3．【点拨】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算数平方根、一元一次方程的性质，从而完成求解．类型二、求一个数的立方根2．一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，求m 的立方根． 【答案】m 的立方根为4【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列得2a +2+a ﹣11＝0，解方程求出a 即可得到m ，再根据立方根定义求出m 的立方根．解：∵一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，∵2a +2+a ﹣11＝0， 解得：a ＝3， ∵2a +2＝8， 故m ＝82＝64，∵m ＝4．【点拨】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】解方程：（4x）3＝﹣512．【答案】x ＝﹣32【分析】利用立方根的定义求出解即可．解：（4x）3＝﹣512，4x＝﹣8， x ＝﹣32．【点拨】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【变式22【答案】1-【分析】根据开立方，去绝对值号，开平方依次运算即可．解：原式=(425--+=425--+=1-【点拨】本题考查了开立方、开平方和去绝对值号，记住运算法则是解题的关键．类型三、已知一个数的立方根，求这个数3．已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是-2，求a 、b 的值． 【答案】a =5，b =-22【分析】根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程求出a 和b 的值即可． 解：∵2a -1的平方根是±3，∵2a -1=9， ∵a =5，又∵3a +b -1的立方根是-2， ∵3a +b -1=-8， ∵b =-22．【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】已知：2x -的平方根为2±，27x y ++的立方根为4，求：x y -的值． 【答案】－39【分析】先利用平方根求出x ，再代入立方根求出y ，最后代入代数式求解． 解：∵2x -的平方根为2±∵()2224x -=±= ∵6x =∵27x y ++的立方根为4 ∵327464x y ++== ∵45y =∵64539x y -=-=-【点拨】本题考查了平方根、立方根，关键要掌握平方根和立方根的概念，会运用已知平方根和立方根求代数式．【变式2】已知21a +的平方根是±3，324a b +-的立方根是-2方根．【答案】2【分析】先利用平方根和立方根的性质可得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值，然后代入求解即可．解：根据题意得：2193248a a b +=⎧⎨+-=-⎩，解得：48a b =⎧⎨=-⎩，=， ∵8的立方根是2，2．【点拨】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．类型四、立方根的实际运用4.【发现】2(2)0+-=1(1)0=+-=10(10)0+-=11044⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭……；(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式∵，∵，∵，∵，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a ，b 0=，则0a b +=； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：(2)210616a b -=，求a 的值．【答案】3(3)0+-=(2)10【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a 的值．解：3(3)0+-=，符合上述规律，3(3)0+-=；， ∵238620a b -+-=，解得2322a b -=，代入210616a b -=中， 解得，210a =，∵a =【点拨】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】填写下表，并回答问题：（20.1738 1.738=，求a 的值． 【答案】填表见分析；（1）见分析；（2）5.25 【分析】（1）根据被开方数a 的小数点每向右或向左移动三位，或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∵0.00525的小数点应向右移动三位，得到 5.25a =．【点拨】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 【变式2】在一个长，宽，高分别为9cm ，8cm ，3cm 的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】6cm【分析】先根据长方体体积公式求出长方体的容积，再由正方体的容积与长方体的容积相同进行求解即可．解：由题意得：长方体的容积为3983216(cm )⨯⨯=∵将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满， ∵长方体和正方体的容积相等，∵6(cm)．【点拨】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．类型五、算术平方根与立方根的实际应用5.已知：21a -的算术平方根是3，31b +的立方根是2-，c 是30的整数部分，求23a b c +-的值．【答案】8-【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a ，bc 值，代入即可．解：∵21a -的算术平方根是3，∵219a -=， ∵5a =，∵31b +的立方根是2-， ∵318b +=-， ∵3b =-，<即：56<， ∵5c =，∵2325(3)358a b c +-=⨯+--⨯=-．【点拨】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键．举一反三：【变式1】已知m A =3m n ++算术平方根，2m n B -=4620m n +-1=-【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组2{233m n m n -=-+=，再解方程组求解,m n 的值，从而可得答案.解：根据题意得：2{233m n m n -=-+=，解得：42m n ⎧=⎨=⎩，∵39m n ++=，46208m n +-=， ∵3A =；2B =， ∵1B A -=-，1=-【点拨】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解42m n ⎧=⎨=⎩是解本题的关键.【变式2】已知a 的平方根是24b +的立方根是2 （1）求,,a b c 的值；（2）求2a b c ++的算术平方根．【答案】（1）a =5、b =2、c =1或c =0；（23． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a 、b 的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c ；（2）分c =0和c =1两张情况分别解答即可．解：（1）∵a 的平方根是24b +的立方根是2∵a =5，2b +4=8，即b =2=∵c =1或c =0∵a =5、b =2、c =1或c =0；（2）当c =1=当c =0；∵2a b c ++或3．【点拨】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c 的值成为解答本题的关键．。
初二数学立方根与估算讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理1、立方根的概念，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。
一般地，如果一个数x的立方等于a，即3x a注意：每一个数a有且只有一个立方根，记为3a，读作“三次根号a”。
2、立方根的性质（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。
注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。
3、开立方求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。
注意：（1）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成；（2）开平方时，被开方数a 是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0； （3）()33a a = ，33a a = 。
4、估算（1）用估算法确定无理数的大小对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”逐级夹逼，首先确定其正数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。
（2）用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小时，一般至少有一个是无理数。
在比较大小时，通常先通过分析，估算出无理数的大致范围，在进行具体的比较。
注意：（1）0a b a b >≥⇔> ；（2）33a b a b >⇔> 。
考点一：立方根的概念 例1、﹣8的立方根是（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．﹣例、﹣64的立方根是（ ）A ．8B ．4C ．﹣4D ．﹣8例3、若是一个正整数，满足条件的最小正整数n= ．例4、计算的结果是 ．例5、已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根．例6、已知一个正数x的平方根是3a+2与2﹣5a．（1）求a的值；（2）求这个数x的立方根．考点二：实数大小比较例1、下列四个数中，最大的一个数是（）A．2 B．C．0 D．﹣2例2、下面实数比较大小正确的是（）A．3＞7 B．C．0＜﹣2 D．22＜3例3、在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（）A．﹣3 B．0C．D．﹣1例4、比较大小：﹣3．例5、先比较大小，再计算．（1）比较大小：与3，1.5与；（2）依据上述结论，比较大小：2与；（3）根据（2）的结论，计算：|﹣|﹣|﹣2|．考点三：估算无理数的大小例1、估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间例2、估计+1的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间例3、判断2﹣1之值介于下列哪两个整数之间？（）A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7例4、若a、b分别是、的整数部分，则a+b的平方根是．实战演练➢课堂狙击1．下列叙述中，不正确的是（）A．绝对值最小的实数是零B．算术平方根最小的实数是零C．平方最小的实数是零D．立方根最小的实数是零2．的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．23．在实数，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（）A．B．﹣2 C．0 D．34．下列实数中，﹣（﹣π），|﹣3|，3中，最大的是（）A．B．﹣（﹣π）C．|﹣3| D．35．已知a、b为两个连续整数，且a＜﹣＜b，则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．86．把表示成幂的形式是．7．的立方根是．8．比较大小：1（填“＜”或“＞”或“=”）．9．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是．10．若n＜＜n+1，且n是正整数，则n=．11．已知：2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，求的平方根．12．已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根．13．设A=+，B=+，试比较A，B的大小．➢课后反击1.下列说法正确的是（）A．9的倒数是﹣B．9的相反数是﹣9C．9的立方根是3 D．9的平方根是32. 设a是小于1的正数，且，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定3. 给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（）A．0 B．C．π D．﹣14. ﹣2的值在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间5. 若a2=64，则=．6. 已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为．7. 比较大小：4﹣1（填“＞”、“=”或“＜”）8．比较大小：．9．已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且，求x+y的值．10．如果A=是a +3b 的算术平方根，B=的1﹣a 2的立方根．试求：A ﹣B 的平方根．11．已知，比较a ，b 的大小．12．已知m ，n 分别表的整数部分和小数部分，则2m +n= ．1．【2016•博野】比较大小：﹣﹣（填“＞“或“＜“）2．【2010•温州】（1）用“＜”、“＞”或“=”填空： ＜， ＜ （2）由以上可知：①|1﹣|= ﹣1 ．②||=﹣．（3）计算：|1﹣|+||+||+…+||（结果保留根号）1、立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即3x a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根重点回顾直击中考（也叫做三次方根）。
初中数学八年级立方根课件(本人公开课课件,精心制作)
x 27
3
3
3 27
X=3. 正方体的棱长为3㎝
思考：(1)什么数的立方等于-8？
-2
(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体 的边长又该是多少？
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫 做a的立方根，也叫做a的三次方根．
若 x = a ，则x 是 a 的立方根 即x a
3
3
根指数 a 的立方根记为：
因为
3
343
3
=
-7
,
343 = -7 .
3
= 3 343 343 所以 3 512 -8 3 512 -8 因为 = = , 3 3 512 所以 512 =
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与 -a的立方根的关系吗? 3 3
a 互为相反数的数的立方根也互为相反数
-a
先填写下表,再回答问题: a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 3 a 0.01 0.1 1 10 100 从上面表格中你发现什么? 被开方数扩大(缩小)1000倍时,它的立 方根扩大(缩小)10倍. 被开方数的小数点向左(或向右)每 移动3位,它的立方根的小数点相应地 向左(或向右)移动1位.
3
(8) 2 的平方根为 ±2 .
3
512 的立方根为 -2 .
1.若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根 4 是 。 2. 如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根， 那么这个数是（ B ） （A）0 （B）0或1 （C）1 （D）±1或0 3. 若a2=（-5）2，b3=（-5）3，则a+b的值为 。
例: 1、求下列各式的值 (1) 3 64 (2) 3 125 (3) 3
2022年秋初二数学北师大版上册课件：立方根 (共17张PPT)
分数化成假分数再求.
解：
例4：某金属冶炼厂，将27个大小相同的立方体 钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个 长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm. 求原来立方体钢锭的边长为多少？ 解析 原来立方体钢锭体积=在炉中熔化后浇铸成的长 方：体钢锭的体积. 解： 设立方体的边长为xcm，
正数
负数
0
立方根
小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20m2 的客厅，你知道小明家需要购买边长为多少的地板砖 ，才不不会浪费，为了帮助小明家解决这问题，你得 好好研究本节课的教学内容哟.
例：已知
+|b3-27|=0,求（a-b）b的立方根.
根据已知条件如何求出a、b的值 （由非负数的性质求出a、b的值）
则27x3=160×80×40.
答：原来立方体钢锭的边长为
B
D
±1,0 ±6
11.求各数的方立根. (1)-512 (2)-0.729
解：
(5)±0.125
本节课学习了立方根、开立方等概念以及立方 根的求法、立方根的性质等内容.
解：由题意，得 于是a3+64=0，b3－27=0. 解得a=－4，b=3. 因此（a－b）b=（－4－3）3=－343. 故（a－b）b的立方根为
D
D 0
2
4
0
例1：下列语句正确的是（ A ）
解析
A
：
√
因为 =8，而2的立方等于8，故8的立 方根是2.
B
×
因为-3的立方等于-27，-3是27的立方根 的说法是错误的.
2022年秋初二数学北师 大版上册课件：立方根 (
共17张PPT)
1.理解立方根、开立性质.
初中数学知识点精讲精析 立方根 (4)
3.3 立方根学习目标1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
2.能用立方根运算求某些数的立方根。
知识详解1. 立方根概念：一般地，一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根。
立方根的表示方法：a读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数．要注意，这里的根指数“3”不能省略．例如：22. 性质：由一个正数的立方还是一个正数；0的立方仍是0；负数的立方还是一个负数。
3. 开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。
【典型例题】例1：有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0；其中错误的是( )。
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】B【解析】一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.立方根等于本身的数有0,1和－1.所以①②④都是错的，只有③正确。
例2：8的立方根是（）A．2B．-2C．±2D．【答案】A【解析】∵2的立方等于8，∴8的立方根等于2。
例3：64的立方根是（）A．4B．±4C．8D．±8【答案】A【解析】∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4。
【误区警示】易错点1：立方根1. 27的立方根是（）A．3B．-3C．9D．-9【答案】A【解析】∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3。
易错点2：倒数、相反数、算术平方根、立方根2. 下列说法正确的是（）A．-1的倒数是1B．-1的相反数是-1C．1的算术平方根是1D．1的立方根是±1【答案】C【解析】A、-1的倒数是-1，故选项A错；B、-1的相反数是1，故选项B错；C、1的算术平方根是1，故选项C正确；D、1的立方根为1，故选项D错。
北师大版八年级上册数学 立方根 讲义
立方根【知识要点】1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（也称作a的三次方根）。
即：若3x a，则x称为a的立方根，记作3a，其中a是被开方数，3是根指数。
如2是8的立方根，即38=2；2．立方根的性质：（1）任何数都有立方根，且只有一个立方根（这与平方根的性质不同）。
（2）正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
（3）求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
3．开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位。
4．n次方根的定义：如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。
5．n次方根的性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；（2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负；（3）0的任何次方根为0。
4.区分立方根与平方根的不同.联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同正数a的平方根表示为±a，a的立方根表示为3a.(4)被开方数的取值范围不同±a中的被开方数a是非负数；3a中的被开方数可以是任何数.强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.【课前热身】求下列各数的立方根【典型例题】例1 （1）求下列各数的立方根：①164- ②729 ③610-（2）求下列各式的值：例= ；= ；= 。
例3 下列各式中值为正数的是（ ）A B ． C例4例5 求下列各式中x 的值。
（1）381250x += （2）551600x -=例6 35.12=0.3512=，求x 。
初二数学立方根讲解
初二数学立方根讲解嘿，大家好！今天我们来聊聊立方根，听起来有点高深，对吧？别担心，咱们一起轻松搞定它！想象一下，如果你有一个大大的立方体，里面装满了橙汁，嘿，别流口水哦，咱们只是在做个比喻！立方体的每一边都一样长。
比如，一个边长是3厘米的立方体，里面的橙汁体积是多少呢？简单，3乘以3乘以3，没错，就是27立方厘米。
这里的27就是我们立方体的体积。
而立方根呢，实际上就是问：如果我给你一个27，问你它的边长是多少，你答得出来吗？没错，答案是3！就是这样，立方根就是把体积“还原”成边长的一种方式。
你可能会想，为什么要这么麻烦呢？立方根在生活中到处都是，听上去似乎挺抽象的，但咱们只要懂了基本概念，就可以轻松应对。
比如，买房子的时候，房子的面积和体积就是个大问题。
有些人爱研究自己的家，想知道能放下多少家具，那你就得用到立方根了。
想象一下，你的客厅有多大，能装下多少个沙发，这时候，立方根就变得超级实用，帮你算算到底能放几件大件家具。
立方根也可以和数学游戏结合起来，像是在解谜，想象一下你在玩一个找宝藏的游戏。
你找到一个大箱子，里面装着无数宝藏，箱子是个立方体，你必须解开它的边长才能得到那些宝藏。
比如，宝箱的体积是64立方米，嘿，你得知道它的边长才行！这时候，你就要用到立方根，64的立方根是4，也就是说，这个宝箱每一边的长度是4米。
多有意思啊，解谜又能学数学！说到立方根，有时候人们会搞混，常常把平方根和立方根搞混。
这就像是小孩儿们分不清哥哥和弟弟，嘿，有时候还真是令人哭笑不得。
平方根是找一个数，乘以它自己等于某个数，像是4的平方根是2，因为2乘以2是4。
而立方根呢，就是找一个数，乘以自己两次，像是3的立方根就是1，因为1乘以1乘以1还是1。
别担心，记住这个小诀窍就行了。
生活中总有很多小陷阱，让我们笑着跌倒，学习就是这么简单。
计算立方根的技巧也有不少。
比如，如果你在心里算不出，别害怕，拿出计算器，现代科技真是神奇。
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无★代表普通高中、★代表重点高中、★★代表四大名校
1．立方根的概念
（1）若
3x a =，则x a 的立方根的运算叫做开立方运算
例：若3(2)8-=, 则2-叫做 的立方根（也叫做三次方根），用符号表示为：_________.
（2）正数的立方根是_________数，负数的立方根是________数，0的立方根是___________.
（2）81643- （3）38144-+
变式练习1：(1) 3
127
19
- （2）351043.3⨯ （3）3216--
（4）2563433+- （5）64
1
8273+
例题2、求下列各式中的x .
(1)3
1258x = (2) 3
1
(1)64
x -=-
.
初二数学（秋季）讲义 第四讲 立方根
变式练习2 :(1) 3(2)216x -+=- (2) 38270x += (3) 41
516
x -= (4) 3
7(2)18
x ++=
例题3、一个正方体的体积是棱长为3厘米的立方体的8倍,求这个立方体的棱长。
★变式练习3：已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸
盒的体积大1273
cm ,求第二个纸盒的棱长.
★例题4、如果163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根；
★变式练习4：已知13+x 的平方根是4±，求199+x 的立方根；
★例题53
270b -=，求()b
a b -的立方根．
★★变式练习5、若342-y 与334x -互为相反数，求y
x
的值；
（一）选择题
1. 下列说法中正确的是（ ）
A.－4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.
36
1的立方根是61
D.－5的立方根是35-
2. 在下列各式中：327102 =3
4 3
001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个
数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 若0<m ，则m 的立方根是（ ）
A.3m
B.－
3
m
C.±3m
D.
3
m -
4. 如果39x -是x -9的三次算术根，那么（ ）
A. 9<x
B. 9=x
C. 9≤x
D.x 是
任意数
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
6．如果a 是2
)3(-的平方根，那么3a 等于（ ）
A ．－3
B ．－33
C ．±3
D ．33或－33
7．下列各式正确的是（ ）.
A ．1=±2=±6=-3=
8. 下列说法错误的是（ ）.
A. 任何一个有理数都有立方根，而且只有一个立方根
B. 开立方与立方互为逆运算
C. 3a -不一定是负数
D. 3
a -一定是负数
★9.若0x <，则332x x -等于（ ）
A ．x
B ．2x
C ．0
D ．2x
10.若23(5)a =-，33(5)b =-，则a b +的值为（ ）
A ．0
B ．±10
C ．0或10
D ．0或－10
★11. 如图1：数轴上点A 表示的数为x ，则3
13x -的立方根是（ ）
图1
A ．5－13
B ．－5－13
C ．2
D ．－2
★12. 如果3
3
2(2)6
4
x -=，则x 等于（ ） A ．
2
1
B ．
27 C ．21或2
7
D ．以上答案都不对
（二）填空题 13.
3
64的平方根是______.
14. 3
(32)0.343x -=, 则x =______. ★15. 若8
1-
x +x -81
有意义，则3x =______. ★16. 若0<x ，则2x =______,33
x =______.
17. 若3x =，则1--x =______. （三）解答题
18. 求下列各数的立方根
（1）－216125 （2）－427
17
（3）（－5）3
★19．一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长变为原来的多少倍?体积变为原来的27倍,它的棱长变为原来的多少倍?体积变为原来的1000倍,它的棱长变为原来的多少倍?体积变为原来的n 倍呢?
★20．夏日的一天，欢欢的爸爸给他买了一对话眉鸟，装在一个很小的笼子里送给了他，欢欢非常高兴，每天早晨，欢欢在话眉鸟婉转的歌声中醒来，可是没几天，话眉鸟却变得无精打采，他赶紧去问爸爸，噢，原来是笼子太小，天气太热，而话眉鸟需要嬉水、玩沙以保持清洁、散发热量.小明在爸爸的建议下，准备动手做一个鸟笼，他设想：
（1）如果做一个体积大约为0.125米3的正方体鸟笼，鸟笼的边长约为多少？ （2）如果这个正方体鸟笼的体积为0.729立方米呢？ 请你来帮他计算，好吗？
★★
1．已知、满足024242
2=+-++y x y ，则_______16522=+y x ；
★2． 若球的半径为R ，则球的体积V 与R 的关系式为34
3
V R π=
.已知一个足球的体积为6280 3
cm ,试计算足球的半径.(π取3, 答案保留根式)
查票
数学教授搭乘火车旅行，列车长前来查票时，他竟找不到票。
数学教授急得满头大汗，
列车长说：找不到就算了，再补张票好了。
数学教授说：这怎么可以，找不到那张票，我就不知道我要去哪里啊！
1. 一个数的平方根是它本身,则这个数的立方根是( )
A. 1
B. 0
C. 1-
D. 1,1-或0 2. 8-的立方根与4的平方根之和是( )
A. 0
B. 4
C. 0或4
D. 0或4- 3. 如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个偶数是( )
A. 8
B. 4
C. 0
D. 16 4.
3
a 的值是 ( )
A. 是正数
B. 是负数
C. 是零
D. 以上都可能
★★5．若
51
=+
m
m ，则
m
m 1-
的立方根
是
( )
A. 2±
B. 1±
C. 1
D. 2 6．如果3
12(1)314
x -=,则x 等于（ ）
A.
2
1
B.
2
9 C.
21或2
9 D.以上答案
都不对
7．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________.
8.
3
27
1
-
=________， (38)3=________ 9.
3
64的平方根是________. 10. 64的立方根是________.
1. 填空：（1）若a ＜0，则3-=_________. (2)若a 2=1，则3a =_________.
(3)π的5次方根是_________. (4)若3a a =±，则a _________. (5)－0.008的立方根的平方等于_________.
2. 计算：
（1）385
15 （2）327
102-
-- （3）33
87）（- （4）
6
35
6）（-
3．求下列各式中的x .
(1)
223
-=-x (2) 327(1)640x ++=
7.求下列各式的值：
(1) 31000。