《工程电磁场》何小祥 第二章
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工程电磁场导论第二章优秀课件
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实际电源
1. 干电池和钮扣电池（化学电源）
干电池电动势1.5V，仅取决于（糊状）化学材料，其大小 决定储存的能量，化学反应不可逆。
钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学反应不可逆。
干电池
钮扣电池
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2. 燃料电池（化学电源）
电池电动势1.23V。以氢、氧作为燃料。约40-45%的化学能转 变为电能。实验阶段加燃料可继续工作。
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2. 电流密度（Current Density)
① 电流面密度 J
体电荷 以速度 v 运动形成的电流。
电流密度 J v A m2
电流
I s J dS
电流面密度矢量
电流的计算
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交流电流密度在触头上的分布
上页 下页
② 电流线密度 K
面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流
电流线密度 K v A m
电流
I l(K en ) dl
en 是垂直于dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量
电流线密度及其通量
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面电流的实例 媒质磁化后的表面磁化电流； 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； 高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。
③ 元电流的概念
线电荷 在曲线上以速度 v 运动形成的电流
② 上式也适用于非线性情况
上页 下页
4. 焦尔定律的微分形式
导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为
P UI W
设小块导体
dP (J dS) (E dl) J EdV
功率密度
J 与 E 之关系
p J E γE 2 J 2 γ
W/m 3
Joule’s Law微分形式
实际电源
1. 干电池和钮扣电池（化学电源）
干电池电动势1.5V，仅取决于（糊状）化学材料，其大小 决定储存的能量，化学反应不可逆。
钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学反应不可逆。
干电池
钮扣电池
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2. 燃料电池（化学电源）
电池电动势1.23V。以氢、氧作为燃料。约40-45%的化学能转 变为电能。实验阶段加燃料可继续工作。
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2. 电流密度（Current Density)
① 电流面密度 J
体电荷 以速度 v 运动形成的电流。
电流密度 J v A m2
电流
I s J dS
电流面密度矢量
电流的计算
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交流电流密度在触头上的分布
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② 电流线密度 K
面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流
电流线密度 K v A m
电流
I l(K en ) dl
en 是垂直于dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量
电流线密度及其通量
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面电流的实例 媒质磁化后的表面磁化电流； 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； 高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。
③ 元电流的概念
线电荷 在曲线上以速度 v 运动形成的电流
② 上式也适用于非线性情况
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4. 焦尔定律的微分形式
导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为
P UI W
设小块导体
dP (J dS) (E dl) J EdV
功率密度
J 与 E 之关系
p J E γE 2 J 2 γ
W/m 3
Joule’s Law微分形式
《工程电磁场》何小祥第二章
1 r2
q
4 0
r2 r1 r1r2
E
E
r1 r2 (d / 2)2 rd cos , r2 r2 (d / 2)2 rd cos
r θ
dO
r2
r
ez
d 2
q
r1
r
d 2
cos , r2
r
d 2
cos ,
r2 r1 d cos , r1r2 r 2
电子工业出版社
第二章 静态电磁场
2.1 静电场
2.1.1 电荷及电荷密度
e 1.6021019 C
任何带电体的电荷量都只能是一个基本电荷量的整数倍，也就 是说，严格讲带电体上的电荷是以离散的方式分布的。
认为电荷是以一定形式连续分布在带电体上，并用电荷密 度来描述这种分布。
一、电荷体密度
(r) lim q dq
O2 H H
H H O2
O2 H H
O2 H H
H O2 H
H H O2
O2
O2
H H H H
O2 H H
O2 H H
O2 H H
O2 H H
O2 H H
E
O2 H H
E E0 E
pi
电极化强度 P = lim i V 0 V
2）电场强度是空间坐标的函数，所以是一种场； 3）E 是矢量，所以静电场是矢量场，既有大小，又有方向； 4）E 大小与电荷量 q 成正比，因而电场关于源满足叠加原理； 5）产生电场的源是电荷，是一个标量函数； 6）由于点电荷模型要求带电体尺寸远小于观察点到源点的距离，所以上述公式对点电荷的近
工程电磁场第八版课后答案第02章汇编
So
10 9 25 ⇥ ( E=
4⇡✏0
3ax + 4ay (41)1.5
4az )
+
60
⇥
(4ax 2ay (45)1.5
+
5az )
= 4.58ax 0.15ay + 5.51az
b) At what point on the y axis is Ex = 0? P3 is now pat (0, y, 0), so R13 = 4ax +p(y + 2)ay 7az and R23 = 3ax + (y 4)ay + 2az. Also, |R13| = 65 + (y + 2)2 and |R23| = 13 + (y 4)2.
[z
1 (d/2)]2
+
[z
+
1 (d/2)]2
az
V/m
(2)
b) find the electric field everywhere on the x axis: We proceed as in part a, except that now r = xax.
Eq. (1) becomes
q ET (x) = 4⇡✏0
2qd az
4⇡✏0 [x2 + (d/2)2]3/2
14
2.7. A 2 µC point charge is located at A(4, 3, 5) in free space. Find E⇢, E , and Ez at P (8, 12, 2). Have
ET (z)
=
q 4⇡✏0
[z
1 (d/2)]2
工程电磁场0022解读
1 E 40
1 dV R V 1 dV C R V
1 40
上式中，常数 C 的梯度为零。
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
6
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
可知，电场强度可表示为 某个标量函数的负梯度。 把这个标量函数定义为电位，用 来表示。
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9
工程电磁场
电位的唯一性问题
主讲人： 王泽忠
可以由选择电位参考点来解决。 电位的参考点就是强迫电位为零的点。 在电荷分布于有限区域的情况下， 选择无穷远处为电位参考点，计算比较方便。 这时，前面电位计算式中的常数 C 为零。
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华北电力大学电气与电子工程学院
z l r z l
2 2
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
33
工程电磁场
cos 2 zl r z l
2
主讲人： 王泽忠
2
r z l z l ln 2 2 4 0 r z l z l
2 2
当 z l 时
主讲人： 王泽忠
E
P
Q
dl
两点之间的电位差，又称为电压， 等于电场强度在这两点之间的线积分。 如果 Q 点的电位已知，则
P Q E dl
P
Q
2018/9/28
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13
工程电磁场
选择 Q 点为参考点， 令 Q 0 ， 则 P 点的电位为
主讲人： 王泽忠
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华北电力大学电气与电子工程学院
工程电磁场教案国家精品课华北电力学院崔翔第2章(第二部分)
x, y A1nchmn x A2nshmn xB1n cos mn y B2n sin mn y n1 A1n cos mn x A2n sin mn xB1nchmn y B2nshmn y n1 A10 A20 xB10 B20 y
最后，可根据给定的定解条件，通过傅里叶级数展开方法，确定各个待定常数。
一般而言，当场域边界和某一正交曲线坐标系的坐标面相吻合时，分离变量法往往
是一种简便而有效的方法。 直角坐标系中的平行平面场问题：设电位函数为(x，y)，满足拉普拉斯方程：
2 x,
y
2 x2
2 y 2
0
设电位函数有分离变量形式，即 (x，y) =X(x)Y(y)
代入拉普拉斯方程，整理得
1 d2 X 1 d2Y X dx 2 Y dy 2
崔翔
第8页
2020-4-22
《电磁场》讲稿（2）-B
En
40 n
,
Cn
40 n
sh
1 nb
,
n 2k 1 (k 0,1,2,...)
崔翔
第1页
2020-4-22
图 D 法向分量的边界条件3．边Βιβλιοθήκη 条件《电磁场》讲稿（2）-B
介质分界面上的边界条件：
跨越分界面的一狭小的矩形回路 l 如图所示，且令 l2→0 而 l1 足够地短。求电场 强度在 l 上的环量，有
E dl E1 dl E2 dl E1t l1 E2t l1 0
使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为r2，则空气层中电场
崔翔
第3页
2020-4-22
《电磁场》讲稿（2）-B
强度 E1 将为绝缘材料中电场强度 E2 的 r2 倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容 器的损坏。
《工程电磁场》何小祥第二章-精品文档
三、 多电荷的电场强度 电场强度与点电荷量的正比关系，可利用叠加原理
1 N q i Er ( ) ( r r i) 3 4 r 1 r 0 i i
电偶极子 电偶极矩矢量 p = q d
四、分布电荷激励的静电场
如果电荷是连续分布，密度 为 (r ) 。它在空间任意一点产 生的电场为： (ri ' )V ’ iRi E (r ) lim 3 V 0 4 R i 1 0 i
1 1 E () r ( r ) d V V 4 R 0
自由空间的静电 场是无旋场
E=0
二、自由空间内静电场的散度 静电场是一个有散场， 静电荷是静电场的通 量源
1 1 E () r ( r ) d V V 4 R 0
q d q r)l im l( l 0 l d l
C/m
q r)d l l(
l
四、点电荷
( r ) q ( r r )
0 , r r (rr) , rr
0 ,不 包 含 r r ' ( r r) d V V ' 1 ,包 含 r r
i
极化体电荷密度 极化面电荷密度
i
P P
V 0
V
S P Pe n
Pr ( )= E ( r ) e 0
1 rr 1 rr ' E ( r ) ( r ) d V ( r ) d S P ' 3P 3S V S ' ' 4 4 0 rr 0 rr
1 E () r ( r ) r r d V '
工程电磁场第二章静电场二精品文档8页
第2章 静电场(二)2.1 静电场的唯一性定理及其应用静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。
静电场求解方法：(1) 直接由电场强度公式计算；(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。
唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。
2.1.1 唯一性定理静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。
2.1.2 导体边界时，边界条件的分类(1) 自然边界条件：有限值参考点=∞→ϕr r lim(相当于指定电位参考点的值)(2) 边界衔接条件：σϕεϕεϕϕ=∂∂-∂∂=nn 221121 (该条件主要用于求解区域内部)(3) 导体表面边界条件(a) 给定各导体表面的电位值。
(第一类边界条件)(b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。
该条件相当于给定了第二类边界条件。
在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。
Sn ∂∂-=ϕεσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。
相当于给定了第三类边界条件。
思考？为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。
条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。
2.1.3 静电场唯一性定理的意义唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4 等位面法1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。
2 等位面法成立的理论解释：等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：(1)边界k 的等位性不变；(2)边界k 内的总电荷量不变。
(相当于给定了第二类边界条件)3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。
武汉工程大学工程电磁场第2章 静电场(二)
D 2 2 2 2 x0 R0 x0 R0 2
2
x0 －x0 d
2 R 0 R0 d x0 2d
静电场的唯一性定理及其应用
第二种情形：设封闭导体壳的内 表面为S2，对于壳内区域而言它是 一个边界面。首先，S2是一个等位 面。其次，如在壳内紧贴S2作一高 斯面S，则有
S n dS q1
（电位移矢量 D 的通量为q1）
以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅 决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯 一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可 以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外 电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。
2.1
静电场的唯一性定理及其应用
1、唯一性定理
唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件 给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉 普拉斯方程的解是唯一的。
◇ 可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理 ◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论 依据。
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
E
0
h
R'
q
q 1 1 4 0 R R '
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P P
用？？？？？简化
SP P en
一、 电位移矢量的边界条件
en
S1
D1
Dd S
S
S1
D d S＋ D d S＋ D d S
0
0 Ε(r ) P
0 Ε(r ) P(r )
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + -
D( r )
+ + + + + + + + + + + + + + + -
V
V
V
E
D
P
四、基本方程的积分形式
本例题也可以直接通过多电荷系统的电场表达式(2.1.12)求解
例题2-3 半径为 a 的带电导体球，已知球体电位为 U （无穷远处电位为零）， 试计算球外空间的电位函数。
解： 电位及其电场均具有对称性
(r )
1 d 2 d 2 r 0 r dr dr
2
C1 C2 r
P
Q
u = 0
(r )
Ε (r ) (r )
(r )
1 4
4
i 1
1
N
qi C r ri
s (r )
r ri dS C
l (r )
r ri
l
d l C
1 (r ) 4
S
(r )
4
线电荷密度 E (r ) 点电荷密度 E (r2 )
1 4 0
q
3
l
r r l (r )dl 3 r r
q 4 0 r2 r1 r2 r1
3
4 0 R
R
H
O 2
H
O 2
H H
O 2
H H
O 2
H H
O 2
H
H
H
H
= r 0 E (r ) = E (r )
r 0 = 称为电介质的介电常数 F / m
r 1+ e 称为电介质的相对介电常数
(1) 均匀电介质是指其介电常数 处处相等，不是空间坐标的函数；非均匀电介质则指 是空间坐标 的函数； (2) 线性电介质是指 与 E 的大小无关；反之，则是非线性电介质； (3) 色散电介质是指电介质特性是时间或空间导数的函数，否则是非色散电介质； (4) 稳定介质指介质特性不是时间的函数； (5) 各向同性电介质，是指 与 E 的方向无关， 是标量， D 和 E 的方向相同。另有一类电介质称为 各向异性电介质，在这类电介质中， D 和 E 的方向不同，介电常数 是一个张量，表示为 。 这时， D 和 E 的关系可写为如下形式
1 dV R
自由空间的静电 场是无旋场
E = 0
二、自由空间内静电场的散度 静电场是一个有散场， 静电荷是静电场的通 量源
E (r ) 1
V (r ) R dV 4 0
1 4 0
1
E= 0
0, E (r ) 1 (r ), 0 r V r V
k Dr 0 r
k Er 0 r
a r a Dr Er 2 0 r 0 r2
2.1.5电位函数与泊松方程
一、电位和电位差
E = 0
Q
P
Ε (r ) dl d (r ) (P) (Q)
k er r
r a
k a
D
D ( 0 E P ) 0 E P 0
0 D P
D =
P
0
P
k 0 r2
电荷密度和电场具有一定的对称性时，电位移在所选择的闭合 面上大小恒定，方向要么一致要么垂直，则积分过程非常简单， 从而可以对某一些特定的具有对称性的场分布问题进行求解
O 2
H
O 2
O 2 O 2
H H H H
O 2
H
H
H
H
O
2
H H
H
H
O 2
H H
O O
H
2
2
E
2.1.3 电介质的极化
H
O
2
O
2
H
H
H
E E0 E
电极化强度 P = lim
p
i
极化体电荷密度 极化面电荷密度
P P
E (r )
V'
(r )2 d V R
1
1 2 4 r r R
E (r )
1
0
V
'
(r ) r r d V
Ε (r )
三、电位移矢量和电介质中的高斯定律 D(r ) 0 E(r ) P (r ) P
l
q dq l 0 l dl
C/m
q l (r )dl
四、点电荷
(r ) q (r r )
0, r r (r r ) , r r
0, 不包含r r ) d V ' V ' (r r 1, 包含 r r
三、 多电荷的电场强度 电场强度与点电荷量的正比关系，可利用叠加原理
E (r ) 1 4 0
r r
i 1 i
N
qi
3
(r ri)
电偶极子 电偶极矩矢量 p = qd
四、分布电荷激励的静电场
如果电荷是连续分布，密度 为 (r ) 。它在空间任意一点产 生的电场为： (ri ' )V ’R i i E(r ) lim V 0 4 0 Ri3 i 1
P (r,θ, )
E
z
r1 r e z
d 2
q 1 1 q r2 r1 (r ) 4 0 r1 r2 4 0 r1r2
q θ d O
r2 r e z q
r
E
E
r1 r 2 (d / 2) 2 rd cos , r2 r 2 (d / 2) 2 rd cos
1
(r )
r ri
V
dV C
均匀介质
二、泊松方程和拉普拉斯方程
D(r ) E(r ) = (r ) (r )
泊松方程
(r ) (r )
2
拉普拉斯方程
2 (r ) 0
三、例题 例题2-2 电偶极子是相距很小距离d的两个等值异号的点电荷组成 的电荷系统，如图2.1.4所示，试求电偶极子的电位及电场强度。
(ri ' )Vi’
(r ' )R ’ dV 3 4 0 R V
‘
小体积元中的电荷产生的电场
体电荷密度 E (r )
1 4 0
1 4 0
V
r r (r )dV 3 r r
r r r r
' 3
面电荷密度 E (r )
S
s (r )dS
∵ r a ， U , r → ， 0
C1 C aU U 1 a aU aU ra er 2 r E (r ) (r ) er r r U ra 0
ra ra
2.1.6 静电场的边界条件
用 r 1+ e 简化
Dx xx D E , Dy yx Dz zx
xy xz Ex yy yz E y zy zz Ez
例题 2-1 半径为 a 、介电常数为 的球形电介质内的极化强度为 P e r
(r ) lim
V
q dq V 0 V dV
C/m
3
q (r ) d V
二、电荷面密度
S (r ) lim
S
q dq S 0 S dS
C / m2
q S (r )dS
三、电荷线密度
l (r ) lim
z
q1 r1
R
q2
r2
y
2.1.2 库仑定律与电场强度
一、库仑定律
x
q1q2 q1q2 F12 eR R 2 3 4 0 R 4 0 R
二、点电荷的电场强度 试验电荷
0
1 109 F / m 8.85 10 12 F / m 36π
q2 q1
3
F E lim q2 0 q 2
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第二章 静态电磁场
2.1 静电场
2.1.1 电荷及电荷密度
e 1.602 1019 C
任何带电体的电荷量都只能是一个基本电荷量的整数倍，也就 是说，严格讲带电体上的电荷是以离散的方式分布的。 认为电荷是以一定形式连续分布在带电体上，并用电荷密 度来描述这种分布。
一、电荷体密度
k ，式中的 k 为 r
常数。(1)计算极化电荷体密度和面密度；(2)计算电介质球内自由电荷体密度；(3)根据高斯定 律求介质球内外的电场强度。