无线通信系统的平均容量和误码率

无线通信系统的平均容量和误码率Ferkan Yilmaz and Mohamed-Slim Alouini沙乌地阿拉伯麦加省图沃村，阿卜杜拉国王科技大学，物理科学与工程电气工程项目邮箱：{ferkan.yilmaz, slim.alouini}@.sa摘要：在过去，平均二进制错误概率和平均容量的无线通信系统的广义衰落信道的分析被认为是分开的。

本文介绍了一种新的以矩生成函数为基础的单一和多链路通信中平均二进制错误概率和平均容量的的最大比例组合的统一表达。

要注意的是，本文中所提供的通用统一表达，容易计算并适用于各种各样的衰落情况，而且数学形式体系可以用广义伽玛衰落分布来解释说明足以验证我们新得出的结果的正确性。

Abstract—Analysis of the average binary error probabilities and average capacity of wireless communications systems over generalized fading channels have been considered separately in the past. This paper introduces a novel moment generating function-based unified expression for both average binary error probabilities and average capacity of single and multiple link communication with maximal ratio combining. It is a matter to note that the generic unified expression offered in this paper can be easily calculated and that is applicable to a wide variety of fading scenarios, and the mathematical formalism is illustrated with the generalized Gamma fading distribution in order to validate the correctness of our newly derived results.一、简介平均误码率（ABEP ）和平均容量（AC ）是无线通信系统在衰落信道的重要性能指标。

因此，到目前为止相当大的努力已经投入到开发分析工具/框架中，以评估这些性能指标[ 1，其中的引用]。

然而，据作者所知，这些工具/框架分别开发和计算这两个性能指标被视为是两个独立的问题。

例如，基于克雷格的互补误差函数的表示，开发出一个统一的以矩母函数（MGF ）为基础的方法来计算各种调制技术的广义衰落ABEP[ 1、其中的引用]。

最近，基于方法[ 2 ] [ 4 ]的其他MGF 也提出了广义衰落信道下无线信道容量的计算。

相比之下，本文提出了一种基于统一表达的新MGF 用于精确评价在单个和多个广义褪色的链接中的ABEP 和AC 。

本文的其余部分组成如下：在第二节中，介绍了一种对加性高斯白噪声信道的分集接收机进行统一的性能测试分析，并给出了一些关键结果。

在第三节中，介绍了单链路和多链路接收的新结果，该结果可应用于新提出的广义伽玛衰落模型。

最后，对主要结果进行了总结，并在最后一节得出了一些结论。

由于空间的限制，本文所提出的结果（这些结果都通过计算机模拟仔细复核过）的证明在这里就省略，但在本文件的杂志版本可以找到[ 5 ]。

二、统一条件性能表达式一种条件误码率的紧致形式相当于不同二进制调制的瞬时信噪比的一定价值是，这一理论由Wojnar 提出，如下所示：()()()，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈ΓΓ=21,1,,2,end end b a b a b P BEP γγ（1） 在这里，a 取决于调制类型（1/2代表正交频移键控（FSK ），1代表相移键控（PSK ）），b 取决于检测类型（1/2代表相干，1代表不相干），()，Γ表示互补不完全伽马函数[7,Eq.(6.5.3)]。

在下面的定理中，我们引入了另一种使用不完整的测试函数的方法来表示（1）。

定理1：（不完全β函数统一的BEP 表达）（1）中给出的紧凑形式的条件误码率的另一种表示形式有以下这个表达式给出：()()，⎪⎭⎫⎝⎛--Γ--=∞→d b d a B d b b i b d BEP 1,;lim 2)(exp 21P end end γπγ（2） 如上所述,其中的参数a 和b 取决于特定的调制和检测形式1-=i 是12-=i 的虚数单位。

()()du u u b a z B b za 111,;---=⎰表示不完全β函数[7, Eq. (6.6.1)]。

除了BEP 性能测量，还有另一个重要性能指标——条件容量，常用于文献。

条件容量可以测量有多少无差错信号可以通过信道传输和接收。

这个表达式可以得出，有条件的归一化信道容量()end C P γNAT /秒/赫兹与在接收器输出端的瞬时信噪比是一个特定值。

()(),//,1log Hz s nats a P end end C γγ+=（3）式中，+∈R a 表示传输功率，()⋅log 为自然对数（即以e 为底的对数）[7, Eq. (4.1.1)].我们使用不完全β函数的一个新的替代表示来引入定理（3）。

定理2：（不完全β函数的表达能力）定理（2）中条件容量的另一种表示()end C P γ是由下面的结论得出：()()0,1;e e nd nd C a B P γγ--=（4） 据作者所知，定理（2）和（4）在文献中是不可用的。

更重要的是，使用这两种不完全β表示的BEP 和信道容量的测量，人们可以很容易地给出一个其特殊情况包括BEP 和信道容量的统一的性能表达式，如下面的推论。

推论1：（使用不完全β函数的统一性能表达）条件性能测量()end UP P γ的一个紧凑而统一的形式（包括条件BEP 和条件信道容量）由以下得出()()(),1,;2exp ⎪⎭⎫⎝⎛--Γ-+=d b d a B b d b i P end bend UP γπβαγ （5） 这样可以减少（1）中∞→==d -11，，βα也可以减少(3)，，20==βα1,1,1===d b a 。

在极限∞→d （5）中，由于标准数学软件包的数值计算可能会产生近似结果。

在这种情况下，使用[ 8，式（2 / 13）]和[ 8，式（1 / 28）]，由推论1得出的统一表达可以没有限制，如以下推论。

推论2：（超几何函数的统一表现）统一性能指标()end UP Pγ也可以表示为 ()()()()()[],;1;111211⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+Λ⨯+Γ-+-=end n b n end n endUP a b F b a n P γγγ（6）可减少（1）中1=n ，（3）中2,1,1===n b a ，此外，在（6）中，系数()m a Λ被定义为 ()n t i m e s n aa a a ,,...,,≡Λ （7），[]⋅⋅⋅,,q p F 指的是广义超几何函数[8, Eq. (7.2.3/1)]。

需要注意的是，除了由推论2中给出的超几何函数表示，统一的表达，也可以用在其他特殊函数如罗伯特E 函数和梅耶尔的G 函数，如下面所示的推论。

这些表达式是有用的因为它们会在第三节中为统一分析BEP 和广义的衰落环境下的容量给予帮助。

推论3：（麦克罗伯特函数的统一表达）统一性能指标()end UP Pγ也可以写成()()()()(),1;1;1121⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Λ⨯Γ---=end n b bend n end UP a b E b a n P γγγ（8）式中，[]⋅⋅⋅,,E 表示罗伯特E 函数[9, Sec. (9.4)], [8, Sec. (2.23)]。

而且，（8）式减少（1）中1=n ，（3）中2,1,1===n b a 。

推论4：（梅耶尔的G 函数的统一表达）统一性能指标有这种基于梅耶尔G 函数的表示，如下()()()()[],|112110,,12,⎭⎬⎫⎩⎨⎧Γ---=Λn b end n n nend UP a G b n P γγ（9） 值得一提的是，梅耶尔G 函数是一种特殊的函数，由包括欧拉伽玛函数的乘积和商的梅林巴尼斯型积分定义，它被认为是一个概括的超几何函数和其他特殊函数，如指数、贝塞尔、对数、正弦/余弦积分函数。

因此，一些著名的衰落分布的PDF 可以在梅耶尔G 函数中表示。

在这样的背景下，参照[8, Eq. (2.24.1/1)],从数值的简单性和计算为出发点看，推论4的表示比推论1、2、3中给出的陈述更有用。

接下来的部分，在广义的衰落环境下，我们用BEP 和容量测量分析法的新的陈述方式。

三、衰落信道的统一性能表示在过去的四年间，ABEP 和AC 措施被认为是两个不同的问题,因此，对于各种不同的调制方案，多样性相结合的技术，和衰落分布的这两种不同措施，有许多不同的解决方案应运而生，范围从边界近似，积分表达式，和封闭形式的公式。

在这一点上，我们还想再次强调，这两种不同性能的措施可以紧密结合在前面的章节中所提到的，也可以认为是一个单一的问题。

因此，在接收机的输出端的瞬时信噪比的某些非负分布（i.e.,end γ根据概率密度函数（PDF ）()γγend P ，end γ分布在()∞，0），平均统一的性能（AUP ）表达式可完全表示为()[]()()γγγγγd p P P IE P end UP end UP AUP ⎰∞==0（10）式中[]⋅IE 表示期望算子，正如第二节提出的，AUP P 就是条件统一性能表达。

1、单一链路接收我们认为采用二进制调制在一个缓慢的非选择性衰落环境下通过AWGN 噪声会损坏最佳接收机。

在这种情况下， γγ=end 就是接收机的输出瞬时信噪比，根据概率密度函数（PDF ）()γγend P ，该信噪比分布在()∞，0，考虑到（10），AUP 的表达式可以写成()()()[](),|112100,,12,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧Γ---=⎰∞Λγγγγd p a G b n P n b nn nAUP（11） 例如广义Nakagami-m （GNM ）衰落信道，其瞬时信噪比遵循如下给出的广义Gamma PDF()()ξξξγγβξγγγβξγ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=em p m m 1 （12）式中，∞<≥γ0，参数0,0,2/1>>≥ γξm 分别是ℓth GNM 分布的衰落参数、成型参数和当地平均功率，且()() m m Γ+Γ=//1ξβ。