当代数学的起源与发展

极限思想的诞生与发展【摘要】极限思想谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。

它把对立统一的关系刻画得淋漓尽致，这种充满哲理的辩证关系对指导我们的工作、学习与科研都有着积极的意义.极限理论是微积分的重要理论基础，之后的导数、微分与积分等概念都是在此基础上推导出来的，如此重要的思想是怎么产生的呢？【关键词】极限诞生发展回归【综述】极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

一、极限思想的诞生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代，在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽——我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出了无限变小的过程。

但从现在的史料来看，这种思想主要局限于哲学领域，还没有应用到数学上，当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题。

直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”。

他的极限思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”。

第一个创造性地将极限思想应用到数学领域。

这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础。

刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。

公元三十节，古希腊诡辩学家安提丰在球员面积时提出了用成倍扩大圆内正多边形边数，通过内接正多边形的面积来表示圆面积的方法，即“穷竭法”。

这是一种粗糙的极限论思想，虽然获得的结果是正确的，但在逻辑上是有问题的。

这无法保证无限扩大后的正边形的边会与圆周重合。

由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

古希腊的大科学家阿基米德用“穷竭法”求抛物线的弓形面积时，发现这种方法还不够严密，因此在获得结果后再用归谬发，从逻辑上证明结果的正确性。

到了１６世纪，荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明。

如此，他在无意中将极限发展成为一个实用概念。

刘徽的方法与“穷竭法”思路一致，但与阿基米德的方法相比可以说是事半功倍，他的观点与当今极限论的观点是十分相近的。

二、极限思想的发展1、极限论初步定义极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。

牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。

他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。

但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。

牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，a n无限地接近于常数A，那么就说a n以A为极限”。

这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。

但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。

正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。

英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。

这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。

2、极限论的明确定义随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观范围。

在这种情况下，微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的极限定义就显得十分迫切需要。

Morris Kline在《古今数学思想》中说“随着微积分的概念与技巧的扩展，人们努力去补充被遗漏的基础。

在牛顿和莱布尼兹不成功地企图去解释概念并证明他们的程序是正确的之后，一些微积分方面的书出现了，他们试图澄清混乱，但实际上却更加混乱。

”经过100多年的争论，直到19世纪上半叶由于对无穷级数的研究，人们对极限概念才有了较明确的认识。

1821年法国数学家柯西在他的《分析教程》中进一步提出了极限定义的ε方法，把极限过程用不等式来刻划。

在这本书中，柯西首次对数学分析进行了系统的论述，他拜托了极限概念和几何图形及几何量的任何前置，应用变量以及函数概念一开始就给出了相当精确地极限定义：如果一个变量逐次所取得的值无限趋向于一个定值，最终使这个变量的值与该定值之差要多小就多小，那么该定值就称为所有其他值的极限。

可惜的定义仍然是粗糙的，所谓的“无限接近”、“要多小就多小”等都只能给人以一种模糊的直觉，说明它仍然没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观，建立成纯粹严整的算术基础。

虽然它不是极限定义的最终形式，但确实是知道那时为止所给的极限的最佳定义，是后来所有更好定义的基础。

为排除极限概念中的几何直观，德国数学家维尔斯特拉斯将柯西的表述进一步加工，成为现在所说的柯西极限定义或叫“εδ-”定义，即如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在一个正数 δ，使得对于适合不等式00x x δ<-<的一切x ，所对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，则常数A 就叫做 ()y f x =当0x x →时的极限，记作 0lim ()x x f x A →=。

维尔斯特拉斯用静态的方式刻画了动态的极限概念和连续概念，既排除了莱布尼兹的固定无穷小，也消除了柯西的语言叙述的繁琐，这样的定义是严格的，至今还被所有微积分的教科书普遍采用。

回顾极限论的发展历史，它经历了“静态—动态—静态”的演化，从一个侧面反映了数学发展的辩证性，也反映了数学内部的逻辑倾向与算法化倾向之间的矛盾转化。

数学本身也正是在这种矛盾的斗争和转化中不断前进的。

三、 极限思想的回归所谓数学的极限思想，即是指通过构造对应的数列通项a n 或函数f(x)，在自变量无限趋向某个方向的条件下，使得通项a n 函数f(x)在变化的过程中，最终无限趋向与某个固定常量A ，从而得以解决实际问题。

数学的极限思想是以一个发展的思想来看待和处理问题的方式，可以让我们的思想完成有限上升到无限的升华，是思考方式的质的飞跃，对我们在解决实际问题的时候具有非常重要的指导意义。

在各个知识领域内，解决难题时可以改变研究问题的研究条件，改变研究条件的趋近方向，即从原来关注一个点，变换到一个区间上去考虑研究对象的结果（即构造函数），再回到起始位置来观察问题的结果（即求极限）。

以这样动态、发展的思想来研究问题，往往能更快地找到解决问题的方法。

1、极限思想在数学分析里的应用（1）极限思想在概念里的渗透如以函数()y f x =在点0x 连续的定义。

记0x x x ∆=-称为自变量x （在点0x ）的增量或改变量，设00()y f x =，相应的函数y （在点0x ）的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-，可见，函数()y f x =在点0x 连续等价于0lim 0x y ∆→∆=，是当自变量x 得增量x ∆时，函数值得增量y ∆趋于零时的极限。

函数()y f x =在点0x 导数的定义。

设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()lim x x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则可写为0000()()limlim x x x f x x f x y x x→→+∆-∆==∆∆()0'f x ，所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比y x ∆∆的极限。

函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分的定义。

设f 是定义在[],a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对认给的正数ε，总存在某一正数δ，使对[],a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要T σ<，就有()1ni i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 为在[],a b 上的定积分，记()b a J f x dx =⎰。

是当分割细度趋于零时，积分和式1()ni i i f x ξ=∆∑的极限。

数项级数n u ∑的敛散性是用部分和数列{}n S ，n s u =∑的极限来定义的等等。

（2）极限思想在导数中的应用瞬时速度。

设一质点做直线运动，其运动规律为()t s s =，若0t 为某一确定的时刻，t 为邻近于0t 的时刻，则00()()s t s t v t t -=-是质点在时间段[]0,t t 上的平均速度。

若t →0t 时平均速度v 的极限存在，则称极限000()()lim t t s t s t v t t →-=-为质点时刻0t 的瞬时速度。

切线的斜率。

曲线)(x f y =在其上一点()00,p x y 处的切线PT 是割线PQ 当动点Q 沿此曲线无限接近于点p 时的极限位置。

由于割线PQ 斜率为00()()f x f x k x x -=- 因此当x →0x 时如果k 的极限存在，则极限000()()lim x x f x f x k x x →-=-即为切线PT 的斜率。

给出导数的定义：设函数)(x f y =在点0x 的某邻城内有定义，若极限000()()lim x x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作()0'f x 。