华农高数下期末试卷
华南农业大学15年高代下填空选择解答
华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2014-2015学年 第2学期 考试科目： 高等代数II 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设1324[],[]W P x W P x ==，则12dim()W W +=解：123121212[]dim()dim +dim -dim()=3+4-3=4W W P x W W W W W W =∴+=，.2. 在线性空间3R 中，定义线性变换σ: 12311223(,,)(,,2)x x x x x x x x σ=+-, 那么σ在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===解：1()(1,1,0)σε=，,2()(0,1,2)σε=，3()(0,0,1)σε=，()()123123100()()()110021σεσεσεεεε⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭，，，，.3. 若σ是有限维线性空间V 的线性变换, 则σ是V 上的双射的充要条件是σ的解：见课本305页,给出了判断线性变换为单射，满射，双射的方法,主要记住下列等价条件.{}-1V =V =0σσσσσσσσ⇔⇔⇔⇔⇔线性变换是满射（）， 是单射（0），是满射是单射是一一映射是可逆变换4. 已知10=52A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若B 与A 相似，则2B B E +-=解：1212222122=1=2A B B =1=2B =1+-=1=2+-==15=5A B B E B B E λλλλλλ∴+-∴+-⨯的特征值，，又，相似，所以的特征值，，为的多项式，特征值11，215，5. 设123,,εεε是欧氏空间V 的标准正交基,则12+εε与23+εε解：()12+1,1,0εε的坐标为，()23+0,1,1εε的坐标为，()()()()1,1,00,1,1cos =1,1,01,1,0θ∴=用坐标的普通内积计算二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 下列集合为线性空间R n 的子空间的是( B ). A. {}11212(,,,)0,R,1,2,,n n i W x x x x x x x i n ==∈=B. {2(,,,,,,)R n W a b a b a b n =∈为偶数｝C. {31212(,,,),,,n n W x x x x x x =是整数｝D. {}41212(,,,)+++1,R,1,2,,n n i W x x x x x x x i n ==∈=解：A 错. {}()()112121(,)0,R,1,21,00,1i W x x x x x i W ==∈=∈例如：，向量，, 但是()()()11,0+0,1=1,1.W ∉，对加法不封闭C 错.在数域中任取一个有理数0.5，则330.5.W W ∉中向量取倍后 数乘运算不封闭D 错.对数乘运算不封闭.2. 数域P 上的n 维线性空间V 有( D )个基.A. 1B. nC. ！nD. 无穷多 3. 设(){},,|,R W a a b a b a b =+-∈，这里R 为实数集，则( ) . A. W 与2R 同构 B. W 与3R 同构C. W 与2R 的一个真子空间同构D. 2R 与W 的一个真子空间同构解：()()()()(),,=1,1,10,1,1,1,1,10,1,1W dim 2.W a a b a b a b w ∀+-+--∴=中向量而，线性无关，故为的基，注意: 线性空间同构的充要条件是维数相等.4. 设σ为线性空间V 上的线性变换，则以下子空间：σ的值域，23σσ-的值域，σ的核，零空间{}0中是σ的不变子空间的有( 4 )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：课本306页，307页给出了常见的不变子空间：{}-11.;2.0,3.(),(0)V V σσσ空间零空间的值域核()-14.(),(0)5.V f στττσσ与可交换的线性变换的值域核的多项式的值域与核6.V λσλ的属于特征值的特征子空间7. σ的不变子空间的交与和所以σ的值域，σ的核，零空间{}0都是σ的不变子空间，线性变换σ与23σσ-可交换，故23σσ-的值域是σ的不变子空间.5. 关于实对称矩阵A ，下列结论中( C )正确.A. A 的特征值可能是复数B. 对A 的对应于特征值λ的特征向量α，β，有(),0αβ=C. 一定存在正交矩阵T ，使得1T AT -为对角矩阵D. A 有n 个不同的特征值三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”.）1. ( 错 )设123,,V V V 是n 维线性空间V 的子空间，并且12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕则123V V V ⊕⊕.分析：见课本264页定理11, 结论3）.()()()123123213312+=+=+=V V V V V V V V V V V V φφφ⊕⊕⇔，，，该条件显然比12,V V ⊕23,V V ⊕13,V V ⊕强.反例.设123101=0=1=2000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则()()()()()()121323,,,L L L L L L αααααα⊕⊕⊕但是()()()()123123++=L 2.L L L αααααα，，的维数是，不是直和2. ( 错 )设n 阶方阵,A B 有相同的特征值，则,A B 可以看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵.分析：,A B 有相同的特征值，不一定有,A B 相似，故,A B 可以看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵.3. ( 对 )若欧氏空间V 的向量,αβ线性无关，则 (),αβαβ<. 分析：柯西不等式(),,.αβαβαβ≤，等号成立的充要条件是线性相关4. ( 对 )若A 是正交矩阵，则齐次线性方程组0AX =的只有零解. 分析：A 是正交矩阵，则A =1±，，即从而0AX =只有零解. 5. ( 错 )若线性空间V 的线性变换σ在一组基下可以对角化，则σ在任何基 下可以对角化.。
高数(下学期)试卷及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n ∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是 （ ）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．４．计算曲面积分=++，I xdydz ydzdx zdxdy)∑其中∑为上半球面z=参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y=-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分）2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xyz z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）12d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂1.5CM3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑上a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分）而1)xdydz ydzdx zdxdy ∑++100Dzdxd y dxdy ∑===．．．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
大一数学下学期期末
华南农业大学珠江学院期末考试试卷(卷11)2009—2010学年 下 学期 考试科目：高等数学（经管类本科） 考试年级：2009级 考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟 学号 姓名 年级专业24分。
在每小1.0x y →→=（ B ）(A)1； (B)2； (C)不存在； (D)∞.2.2232d 1x x x-=+⎰（ C ） (A)2； (B)4； (C)0； (D)2-. 3.二元函数332233z x y x y =+--的极小值点为（ B ） (A)(0,0); (B)(2,2); (C)(0,2); (D)(2,0). 4.{}22(,)|4D x y x y =+≤，则二重积分22)(d d Dy x x y +=⎰⎰（ C ）(A)2π； (B)4π； (C)8π； (D)6π. 5.下列级数中，收敛的是（ D ）(A)212nn n∞=∑； (B)11n n n ∞=+∑；(C)132nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑； (D)∑∞=--111)1(n n n .6.级数21sin n nxn ∞=∑（ B ） (A)条件收敛； (B)绝对收敛；(C)发散； (D)敛散性不确定．7.微分方程222d d 2d d x y y y e x x ++=⎛⎫ ⎪⎝⎭的阶数是（ B ） (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4. 8.微分方程1y y '-=的通解是（ A ）(A) 1x y Ce =-； (B) 1x y Ce =+； (C) (1)x y C e =+； (D) x y Ce =.二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
9.已知 0 ()xf x =⎰，则()f x '=10.22ln(1)z x y =++，则在点(1,1)处的全微分d z =22d d 33x y +11.设yxz e =，则22zy ∂=∂ 21y xe x12.设 1I d (,)d yy f x y x =⎰⎰，交换积分次序后 I =11d (,)d xx f x y y ⎰⎰13.设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤,则d x y De σ+⎰⎰=_2(1)e -___________14.判断级数1!nn n n∞=∑的敛散性，得到该级数一定__发散__.(注：填收敛或发散) 15.211x -展开成x 的幂级数为 24621n x x x x++++++16.微分方程2y x ''=的通解为 412112x C x C ++三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）17、10ln(1)d e x x -+⎰解：110010ln(1)d ln(1)d 1e e e xx x x x x x ---+=++-⎰⎰（2分） 10111d 1e x e x x -+-=--+⎰ 11(1d 1)1e e x x -=---+⎰（4分）11(1d 1)1e e x x -=---+⎰101(1)l n 1e e e x -=---++ （5分）1= （6分）18.求二重积分3d d Dxye x y -⎰⎰，D 是以(00)(11)(10)，，，，，为顶点的三角形区域.解：33100d d d d x x x Dye x y x ye y --=⎰⎰⎰⎰ （2分）3211d 2xx y x e -=⋅⎰ （4分） 32101d 2x x x e-=⋅⎰31301d 6()x ex -=--⎰ （5分）31016x e-=-11(1)6e -=-- （6分）19.求幂级数20(1)(3)n nn x n∞=--∑的收敛半径与收敛域. 解: 令3t x =-，则级数化为21(1)n nn t n ∞=-∑ （1分）212lim lim 1(1)n n n n a n a n +→∞→∞==+ （2分） 故1R =，在(1,1)-级数收敛 （3分）当1t =时，级数化为21(1)nn n∞=-∑，收敛；当1t =-时，级数化为211n n∞=∑，收敛； （5分） 故级数21(1)n nn t n ∞=-∑的收敛域为[1,1]-，从而131x -≤-≤，即原级数的收敛域为24x ≤≤ （6分）20.求微分方程32xy y x '-=-的通解3(),()2xP x Q x x =-=- （1分）33d d 2(d )xx x x x y e x C e ---⎰⎰=-⋅+⎰ （3分）3ln 31(d )x xx x C e =-⋅+⎰ （4分）312()xx C =+ （5分） 将初始条件11x y ==代入通解得 12C =，因此特解为：3112(1)y x x =+ （6分）21.求5423y y y x '''++=+的通解.解：5423y y y x '''++=+对应的特征方程为2540r r ++=其特征根为 121,4r r =-=- （2分） 所以对应的齐次方程的通解为 412x x Y c e c e --=+ （3分） 由于()23,f x x =+设特解为*y ax b =+，将*y ax b =+代入所给方程，得 （4分）11,28a b ==，故*11.28y x =+ （5分） 所给方程的通解为4121128x x y c e c e x --=+++ （6分）四、综合应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）22.求由1,2,3xy y x ===所围成的图形的面积，并求由此图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.解：面积3121(2-)d A x x=⎰ （2分）312(2ln )x x =- （3分）5ln 6=- （4分）体积2231231212d d x x x x V ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⎰⎰（6分）5103ππ=-253π= （8分）23.某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。
2007年高数下册期末考试卷答参考案2022
华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k_____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a 2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2v u y v u x -=+=，从而2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR xR xR yx R dzz y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr rd d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1因此通解为)sin cos (212x C x C ey x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C.141332--=-=-z y x D.141332-=-=--z y x解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ）A.0B. eC. e1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--1111)1(edx edy xedxxxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy2（ ）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdyydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nnC. ∑∞=-11)1(n nnD. ∑∞=-121)1(n nn解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n的敛散性解答：11231lim232lim21231lim=+=+=+∞→∞→∞→nn nn n nnn ，因此该级数与等比∑∞=121n n同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yz x z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy ey dx edz zz+++=1211因此zzey yz exz +=∂∂+=∂∂12,113.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(ydxy x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。
2011高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定． 解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
高等数学下试卷及答案 2复习课程
2009高等数学下试卷及答案2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求）2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则2Lydx xdy +=⎰__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数11(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
） 1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C ．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==-仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢32．设22()z y f x y =+-，其中()f u 是可微函数,则zy∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A．1n ∞= B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑ D．1n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-12202])()([2dr r rf dr r rf π5.一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 212x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂。
高等数学B-下册-历年考试题目及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期 考试科目 高等数学（经济类）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。
2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。
3．()200sin limx y xy x→→= 。
4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。
5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。
6．320y y y '''-+=的通解为 。
7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是 。
8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为 。
9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为 。
10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。
二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（ ） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（ ）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（ ）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。
2010高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（ ）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（ ）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。
（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。
4．设x z y =，则dz =____________________。
5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。
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装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y y x---=是（）A．齐次方程B．可分离变量方程C．一阶线性方程D．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z+-==-垂直的平面方程是（）A．4250x y z+-+=B．4250x y z++-= C．42110x y z+-+=D．42110x y z++-=3．设(,)ln()2yf x y xx=+，则(1,1)yf=（）A．0 B．13C．12D．24．若lim0nnu→∞=，则级数1nnu∞=∑（）A．可能收敛，也可能发散B．一定条件收敛C．一定收敛D．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112nn∞=∑B．111(1)nn n∞-=-∑C．111n n n∞=+∑D．311(1)n n n∞=+∑得分装订线二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y-+=的通解为____________________。
2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b==-，则2a b+=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b==-，它们的夹角为θ，则c o sθ=____________________。
4．设xz y=，则dz=____________________。
5．设L是圆周229x y+=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy-+-⎰ 的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctanxzy=，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。
2．求微分方程()()0x y x x y ye e dx e e dy++-++=的通解。
3．求微分方程'cosyy x xx-=满足初始条件2|2xyππ==-的特解。
得分得分装订线4．判定级数14!nnnnn∞=⋅∑的敛散性。
5．计算二重积分Dxdxdy⎰⎰，其中D是由直线y x=和圆周22(1)1x y+-=所围成且在直线y x=下方的闭区域。
6．设区域D由,2,2y x y x xπ===围成，sin()1DA x y dxdy+=⎰⎰，其中A为常数，试求A的值。
7．计算曲线积分Lxydx⎰ ，其中L为圆周222()(0)x a y a a-+=>及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。
装订线四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1．要做一个具有体积为V的有盖圆柱形铁桶，问当高H与底半径R之比HR的值为多少时用料最省？2．设对任意的x和y,有224f fx y⎛⎫∂∂⎛⎫+=⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭,用变量代换221()2x uvy u v=⎧⎪⎨=-⎪⎩将(,)f x y变换成(,)g u v,试求满足2222g ga b u vu v∂∂⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭中的常数a和b。
3. 计已知()F x是()f x的一个原函数,而()F x是微分方程'xxy y e+=满足初始条件lim()1xy x→=的解,试将()f x展开成x的幂级数,并求1(1)!nnn∞=+∑。
得分1.5CM装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2、C 3、B 4、A 5、D二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．212(cos sin)xy e C x C x=+2．(6,1,4)-3．124．1lnx xy ydx xy dy-+5．18π-三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．22211()z yyxx x yy∂==∂++……………………………3分2222222222222()()z x y y x yx y x y x y∂+--==∂∂++……………………7分2．分离变量11y xy xe edy dxe e=--+…………………………………….4分积分ln(1)ln(1)lny xe e C-=-++…………………………….6分通解(1)(1)y xe e C-+=………………………………………….7分3．原方程化为1'cosy y x xx-=……………………………………………….2分11(cos)(cos)dx dxx xy e x x e dx Cx dx C-⎰⎰=⋅⋅+=+⎰⎰(sin)x x C=+……………………………………………5分由条件: (sin)222Cπππ-=+得: 2C=-…………………………………………………6分装订线特解为: (sin2)y x x=-………………………………….7分4．111(1)4!lim lim4(1)!n nnn nn nnu n nu n n+++→∞→∞+=⋅+…………………….5分11lim(1)144nnen→∞=+=<所以原级数收敛……………………………………………7分5．2sin400cosI d dπθθθρρ=⋅⎰⎰…………………………….5分3444821sin cos sin336dππθθθθ===⎰……………………..7分6．22sin()sin()xxDA x y dxdy A dx x y dyπ+=+⎰⎰⎰⎰………5分22200sin2sin3(cos2cos3)()233x x AA x x dx Aπππ=-=-=⎰由13A=, 得3A=……………………………………….7分7．2cos200cosaLDxydx xdxdy d dπθθρθρρ=-=-⋅⎰⎰⎰⎰⎰…..5分34328cos32a d aππθθ=-=-⎰……………………………….7分四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1、222A RH Rππ=+令2222()F RH R R H Vππλπ=++-………………….3分22242020RHF H R RHF R RR H Vπππλππλπ=++=⎧⎪=+=⎨⎪=⎩即22020H R RHRR H Vλλπ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩………………………………………..5分得: 2R H=, 即2HR=…………………………………7分1.5CM装订线2、由题意221(,)(,())2g u v f uv u v=-……………………………..1分所以''12gf v f uu∂=⋅+⋅∂，''12()gf u f vv∂=⋅+⋅-∂……………………………..3分因此有2222'222'2''121122()()()()2()g ga bu vav bu f au bv f uv a b f fu v∂∂⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+-++=+………………..5分利用'2'212()()4f f+=，即'2'221()4()f f=-得22'222'2''121122'2''2211122()()()()2()()()()2()44av bu f au bv f uv a b f fa b v u f a b uvf f au bvu v-+-++=+-+++-=+由此得14a=，14b=-……………………………………………..7分3、由'xxy y e+=得xe Cyx+=………………………………..2分根据lim()1xy x→=，有1C=-，故1()xeF xx-=……………….3分于是''1()(())()xef x F xx-==………………………………..4分而111!x nne xx n-∞=-=∑……………………………………………..5分故1''11()(())()(1)!x nne nxf x F xx n-∞=-===+∑……………………..6分于是'111[()]1(1)!xxnn en x∞==-==+∑…………………………..7分。