高数下期末考试试题和答案解析

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2y x =2x y =y2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ． 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散； （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散； （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。

2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=_______1_____3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰=π ．5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 223920d d ()d f z πρθρρρ-⎰⎰⎰6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 (,)-∞+∞ . 7.函数21,0()1,0x f x xx ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于22π .三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解：12u x f xf f x y ∂''=++∂ ………………4分222u xf y y∂'=-∂ . ………………7分 2．求曲面3z e z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：令(),,e 3z F x y z z xy =++-，………………2分(,,)(,,e 1)z x y z F F F y x n ==+，(2,1,0)(1,2,2)n= ，………………4分所以在点(2,1,0)处的切平面方程为 (2)2(1)20x y z -+-+=， 即 2240x y z ++-=；………………6分 法线方程为21122x y z--==. ………………7分 3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰； 解：0sin d d xyx y y ππ⎰⎰=00sin d d y y y x yπ⎰⎰ ………………4分=0sin d 2y y π=⎰………………7分4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰ 解：注意到曲面z xy =经过x 轴、y 轴，………………2分Ω={(,,):0,0,01}x y z z xy y x x ≤≤≤≤≤≤ ………………4分故12323000d d d d d d x xy I xy z x y z x y xy z z Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=3641． ………………7分5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：11()n n S x nx∞-==∑， (0)1S =，由已知的马克劳林展式：11,||11n n x x x ∞==<-∑，………………2分有11()()(1)1n n S x x x ∞===-''-∑=21(1)x -，||1x <，………………5分12nn n ∞=∑=11122n n n ∞-=∑=11()22S =2 ………………7分四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解 设两个直角边的边长分别为x ，y ，则221x y +=，周长1C x y =++， 需求1C x y =++在约束条件221x y +=下的极值问题． ………………2分设拉格朗日函数22(,,)1(1)L x y x y x y λλ=++++-，………………4分令22120,120,1,x y F x F y x y λλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪+=⎩解方程组得x y ==………………6分又最大周长一定存在，故当2x y ==时有最大周长. ………………7分2．计算积分22()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：L 的极坐标方程为 cos a ρθ=，22ππθ-≤≤；………………2分则d d s a θθ==，………………4分所以3222322222()d d cos d 2La x y s a a πππππρθθθ--+===⎰⎰⎰．………………7分或解：L 的形心(,)(,0)2ax y =，L 的周长a π，22()d Lx y s +⎰=d Lax s ⎰=ax a π=32a π3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI x y x x xy y =+++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线． 解：22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰Ddxdy =⎰⎰ ………………3分21d xx y =⎰………………5分13= ………………7分4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：∑在xoy 面上的投影区域为)0,0(1:≥≥≤+y x y x D xy ，………………2分xO 2y x =2x y =yD又,1,1,1:-=∂∂-=∂∂--=∑yz x z y x z 故dxdy dS 3=，………………4分所以1106xyxD xdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰. ………………7分或解：由对称性，11()336xdS x y z dS dS ∑∑∑=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为锥面222zx y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧。