2021年郴州市中考数学试卷及答案解析
2021年郴州市中考数学试卷及答案解析2021年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3.00分）下列实数：3，0，，A．3B．0C．D．0.35，0.35，其中最小的实数是（）2．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2021年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示*****（）A．1.25×105 B．0.125×106 C．12.5×104D．1.25×1063．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3?a2=a6 B．a2=C．32=D．（a+2）（a2）=a2+44．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠35．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：相应的函数（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=求y1+y2+3的值．的图象上的两点，且x1+x2=0，试25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A （1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S 关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD 于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．2021年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3.00分）下列实数：3，0，，A．3B．0C．D．0.35，0.35，其中最小的实数是（）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．解：根据实数比较大小的方法，可得＜0＜0.35＜＜3，．所以最小的实数是故选：C．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2021年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示*****（）A．1.25×105 B．0.125×106 C．12.5×104D．1.25×106根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．解：*****=1.25×105，故选：A．本题考查科学记数法表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．3．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3?a2=a6 B．a2= C．32=D．（a+2）（a2）=a2+4直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．解：A、a3?a2=a5，故此选项错误；B、a2=C、3，故此选项错误；=，故此选项正确；2D、（a+2）（a2）=a24，故此选项错误．故选：C．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选：D．本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．找到几何体的上面看所得到的图形即可．解：从几何体的上面看可得故选：B．，此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1解：如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4．又∵∠1=60°，∴∠2=30°．sin∠2=∴CD=2．cos∠2=cos30°=OD=2∴C（2 ，，2）．=，=，设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，x+4，直线AC的表达式是y=故答案为：y=x+4．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1|2sin45°+21（1）2018．首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．解：|1=12×|2sin45°+21（1）2018+0.51=1.5此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．解：解不等式①，得：x＞4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．（6.00分）如图，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型人数A 12 B 10 AB 5 O 23 （1）这次随机抽取的献血者人数为50 人，m= 20 ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20；故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为***-*****=12（人），如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率=3000×=720，=，估计这3000人中大约有720人是A型血．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：解得：．，答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100a）件，根据题意得：16a+4（100a）≤900，解得：a≤∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于a的一元一次不等式．22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）．四边形．∵抛物线的表达式为y=x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×20=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD?tan∠CAD=∴BC=CDBD=∴AD=15AD，BD=AD?tan∠BAD=AD，AD=30，≈25.98．本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．AD、BD=AD是解题的关键．（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA?sin∠AOM=4×sin60°=2∴AE=2AM=4 ．，此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=性质．因为y=列表：x … 4 3 2 1 的图象与，即y=+1，所以我们对比函数y=来探究．1 2 3 4 … y= … 1 2 4 4 1 1 … y= … 2 3 5 3 1 0 … 相应的函数描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=的图象向上平移1 个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A （x1，y1），B（x2，y2）是函数y=求y1+y2+3的值．的图象上的两点，且x1+x2=0，试（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=的图象是由y=的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2=0，∴x1=x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5．本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A （1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F 的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行。
湖南省郴州市2021年中考数学试卷(I)卷
湖南省郴州市 2021 年中考数学试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2017·青岛模拟) A . ﹣3 B.3的相反数是（ ）C.D. 2. （2 分） (2016 八上·锡山期末) 已知点 A（m+2，3m-6）在第一象限角平分线上，则 m 的值为（ ） A.2 B . -1 C.4 D . -2 3. （2 分） (2020·九江模拟) 在水平的桌面上放置着如图所示的实物，则它的左视图是（ ）A.B. C.D.4. （2 分） 10 名同学分成 A、B 两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如表：队员 1队员 2队员 3队员 4队员 5A队177176175172175B队170175173174183第 1 页 共 18 页设 A、B 两队队员身高的平均数分别为 ， 确的是（ ）A . = ， S2A＞S2B， 身高的方差分别为 S2A ， S2B ， 则下列关系中完全正B . = ， S2A＜S2BC.， S2A＞S2BD.， S2A＜S2B5. （2 分） 下列运算中，结果是 a 的式子是（ ）A . a .aB.a -aC.(a )D . (-a) 6. （2 分） (2019 七下·龙岗期末) 一个不透明的袋子中只装有 1 个黄球和 3 个红球，它们除颜色外完全相 同，从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（ ） A . 摸到黄球是不可能事件B . 摸到黄球的概率是C . 摸到红球是随机事件D . 摸到红球是必然事件7. （2 分） (2020 八下·和平月考) 如图，边长为 的正方形的对角线交于点在边上（ ），且的延长线交于点恰为的中点．下列结论：①；②；，点分别的延长线交于点③．其中，正确结论的个数是（ ）第 2 页 共 18 页A. 个B. 个C. 个D. 个8. （2 分） (2013·常州) 二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 012345y1250 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：1）二次函数 y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；2）当时，y＜0；3）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ）A.3B.2C.1D.0二、 填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） (共 8 题；共 8 分)9. （1 分） (2017·东湖模拟) 计算+=________．10. （1 分） (2019 七下·北京期中) 若式子有意义，那么 x 的取值范围是________.11. （1 分） 若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为________．12. （1 分） (2019 九上·临沧期末) 如图，点 A，B，C 是⊙O 上的三点，∠B＝75°，则∠AOC 的大小为________度．第 3 页 共 18 页13. （1 分） (2020·广西) 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中 环以上”的次数 “射中 环以上”的频率(结果保留小数点后两位)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是________(结果保留小数点后一位). 14. （1 分） (2018 九上·大洼月考) 已知关于 x 的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是________. 15. （1 分） 在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示），已知立杆 AB 的高度 是 6 米，从侧面 D 测到路况警示牌顶端 C 点和低端 B 点的仰角分别是 60°和 45°，则路况警示牌宽 BC 的值为 ________ .16. （1 分） (2019 八上·杭州期末) 如图，AD 是的中线，，把AD 对折，点 C 落在点 E 的位置，如果，那么线段 BE 的长度为________.沿着直线三、 解答题（本题共 4 小题，其中 17、18、19 题各 9 分，20 题 1 (共 4 题；共 46 分)17. （20 分） (2019 八上·保定期中) 计算 （1） （2）（3） （4）第 4 页 共 18 页18. （10 分） (2020 八下·镇平月考) 解方程：（1）－＝0（2）＋＝.19. （5 分） (2015 八上·宜昌期中) 如图，在△ABD 和△ACD 中，已知 AB=AC，∠B=∠C，求证：AD 是∠BAC的平分线．20. （11 分） (2018 九上·深圳期末) 感恩是中华民族的传统美德，在 4 月份某校提出了“感恩父母、感恩 老师、感恩他人”的“三感”教育活动．感恩事例有：A.给父母过一次生日；B .为父母做一次家务活，让父母休 息一天；C.给老师一个发自内心的拥抱，并且与老师谈心；D.帮助有困难的同学度过难关．为了解学生对这四种感 恩事例的情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学在 4 种感恩事例中选择最想 做的一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．（1） 这次调查中，一共查了________名学生； （2） 请补全扇形统计图中的数据及条形统计图； （3） 若有 3 名选 A 的学生，1 名选 C 的学生组成志愿服务队外出参加联谊活动，欲从中随机选出 2 人担任活 动负责人，请通过树状图或列表求两人均是选 A 的学生的概率．四、 解答题（本题共 3 小题，其中 21、22 题各 9 分，23 题 10 分， (共 3 题；共 42 分)21. （15 分） (2020·温州模拟) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数（a，b 为常数，且）与反比例函数（m 为常数，且）的图象交于点 A（﹣2，1）、B（1，n）.第 5 页 共 18 页（1） 求反比例函数和一次函数的解析式； （2） 连结 OA、OB，求△AOB 的面积；（3） 直接写出当时，自变量 x 的取值范围.22. （15 分） (2016·黔南) 都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打 7.5 折，已知所有人员都买一等座单程火车票需 6175 元，都买二等座单程火车票需 3150 元；如果家长代表与教师的人数之比为 2：1．运行区间 起点站 终点站 都匀 桂林票价 一等座 95（元）二等座 60（元）（1） 参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？（2） 由于各种原因，二等座单程火车票只能买 x 张（x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用 y 与 x 之 间的函数关系式．（3） 在（2）的方案下，请求出当 x=30 时，购买单程火车票的总费用．23. （12 分） (2020·房山模拟) 过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．（1） 如图，在等腰中，，．①在下图中画出一条的形内弧________；②在中，其形内弧的长度最长为________．（2） 在平面直角坐标系中，点 点 M 纵坐标 的取值范围；，，．点 M 为形内弧所在圆的圆心．求第 6 页 共 18 页（3） 在平面直角坐标系中，点，点 G 为 x 轴上一点．点 P 为最长形内弧所在圆的圆心，求点 P 纵坐标 的取值范围．五、 解答题（本题共 3 小题，其中 23 题 11 分，25、26 题各 12 分 (共 3 题；共 35 分)24. （10 分） 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是 1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：（1） 在网格中画出长为 的线段 AB．（2） 在网格中画出一个腰长为、面积为 3 的等腰△DEF．25. （10 分） (2017·徐汇模拟) 如图，已知△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠DAB=∠B，点 E 在边 AC 上，满足AE•CD=AD•CE．（1） 求证：DE∥AB； （2） 如果点 F 是 DE 延长线上一点，且 BD 是 DF 和 AB 的比例中项，联结 AF．求证：DF=AF．26. （15 分） (2018 九上·长兴月考) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中,直线与抛物线(b，c 为常数)交于点 A(-1，0)和 B(3，3)，点 C 是直线下方抛物线上的一个动点·第 7 页 共 18 页（1） 求抛物线的函数解析式; （2） 过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D。
[2021年]郴州市中考数学试卷及解析
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2021年郴州市初中毕业学业考试试卷数 学（试题卷）注意事项：1。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；2。
选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3。
非选择题部分请按题号用0。
5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效； 4。
在草稿纸、试题卷上答题无效；5。
请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6。
答题完成后，请将试卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回。
本试卷共4页，分为六道大题，共26小题，满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1。
13的相反数是 A ．3B ．－3C ．13D ．13-2。
今年5月的某一天，参观上海世博会的人数达到450000，用科学记数法表示这个数为 A ．44510⨯ B 。
64.510⨯ C 。
54.510⨯ D 。
60.4510⨯ 3。
如图，直线l 1与l 2相交于点O ，1OM l ⊥，若44α∠=︒，则β∠等于 A ．56︒ B ．46︒ C ．45︒ D ．44︒ 4。
下列运算，正确的是A ．523a a a =⋅ B ．ab b a 532=+ C ．326a a a =÷ D ．523a a a =+ 5。
下列图形中，由AB CD ，能得到12∠=∠的是A B C D21DC BA21DCBA21DCBA D21CBA O l 2l 1βα第3题6。
要判断小刚的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的 A ．方差 B ．中位数C ．平均数D ．众数7。
如图，AB 是O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立．．．的是 Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．CE DE = Ｃ．90ACB ∠= Ｄ．CE BD =8． 某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计， 4月份与则4月份这．100．．．户．节电量．．．的平均数、中位数、众数分别是 A 。
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．立方根（共1小题）1．（2023•郴州）计算＝ ．二．代数式求值（共1小题）2．（2022•郴州）若＝，则＝ ．三．二次根式有意义的条件（共2小题）3．（2022•郴州）二次根式中，x的取值范围是 ．4．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是 ．四．根的判别式（共1小题）5．（2021•郴州）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m ＝ ．五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）6．（2023•郴州）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．六．反比例函数的性质（共1小题）7．（2021•郴州）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 ．七．反比例函数的应用（共1小题）8．（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝，测得数据如下：R（Ω）100200220400I（A） 2.2 1.110.55那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝ A．八．抛物线与x轴的交点（共1小题）9．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．九．直角三角形斜边上的中线（共1小题）10．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝ ．一十．多边形内角与外角（共1小题）11．（2021•郴州）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 度．一十一．圆周角定理（共2小题）12．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．13．（2022•郴州）如图，点A．B，C在⊙O上，∠AOB＝62°，则∠ACB＝ 度．一十二．扇形面积的计算（共1小题）14．（2021•郴州）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 cm2（结果用含π的式子表示）．一十三．圆锥的计算（共1小题）15．（2022•郴州）如图，圆锥的母线长AB＝12cm，底面圆的直径BC＝10cm，则该圆锥的侧面积等于 cm2．（结果用含π的式子表示）一十四．作图—基本作图（共1小题）16．（2022•郴州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 cm．一十五．轨迹（共1小题）17．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是 cm（结果用含π的式子表示）．一十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）18．（2022•郴州）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 ．一十七．胡不归问题（共1小题）19．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 ．一十八．平行线分线段成比例（共1小题）20．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m．一十九．加权平均数（共2小题）21．（2023•郴州）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是 分．22．（2021•郴州）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为 分．二十．方差（共1小题）23．（2022•郴州）甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为＝＝160cm，身高的方差分别为s甲2＝10.5，s乙2＝1.2．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是 ．（填“甲队”或“乙队”）二十一．概率公式（共1小题）24．（2023•郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 ．湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．立方根（共1小题）1．（2023•郴州）计算＝ 3 ．【答案】3．【解答】解：＝3．故答案为：3．二．代数式求值（共1小题）2．（2022•郴州）若＝，则＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．故答案为：．三．二次根式有意义的条件（共2小题）3．（2022•郴州）二次根式中，x的取值范围是 x≥5 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由x﹣5≥0得x≥5．4．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是 x＞0 ．【答案】x＞0．【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，解得：x＞0．故答案为：x＞0．四．根的判别式（共1小题）5．（2021•郴州）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4m＝0，解得：m＝．故答案为：．五．一次函数图象与系数的关系（共1小题）6．（2023•郴州）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 3（答案不唯一） （任写一个符合条件的数即可）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象中，y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得：k＞2．∴k值可以为3．故答案为：3（答案不唯一）．六．反比例函数的性质（共1小题）7．（2021•郴州）在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 m＜3 ．【答案】m＜3．【解答】解：反比例函数y＝图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，∴m﹣3＜0，∴m＜3．故答案为：m＜3．七．反比例函数的应用（共1小题）8．（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝，测得数据如下：R（Ω）100200220400I（A） 2.2 1.110.55那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝ 4 A．【答案】4．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．八．抛物线与x轴的交点（共1小题）9．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 ．【答案】9．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故答案为：9．九．直角三角形斜边上的中线（共1小题）10．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝ 5 ．【答案】5．【解答】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．一十．多边形内角与外角（共1小题）11．（2021•郴州）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 720 度．【答案】720．【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，∴它的边数为：360°÷60°＝6，∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°，故答案为：720．一十一．圆周角定理（共2小题）12．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台．【答案】4．【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．13．（2022•郴州）如图，点A．B，C在⊙O上，∠AOB＝62°，则∠ACB＝ 31 度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠AOB＝62°，∴∠ACB＝∠AOB＝31°，故答案为：31．一十二．扇形面积的计算（共1小题）14．（2021•郴州）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 180π cm2（结果用含π的式子表示）．【答案】180π．【解答】解：这张扇形纸板的面积＝×2π×10×18＝180π（cm2）．故答案为180π．一十三．圆锥的计算（共1小题）15．（2022•郴州）如图，圆锥的母线长AB＝12cm，底面圆的直径BC＝10cm，则该圆锥的侧面积等于 60π cm2．（结果用含π的式子表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意该圆锥的侧面积＝×10π×12＝60π（cm2）．故答案为：60π．一十四．作图—基本作图（共1小题）16．（2022•郴州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 8 cm．【答案】8．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴FC⊥AC，∵FG⊥AB，由作图方法可得：AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG，在Rt△ACF和Rt△AGF中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AG，∵AC＝BC，∴AG＝BC，∴△BFG的周长＝GF+BF+BG＝CF+BF+BG＝BC+BG＝AG+BG＝AB＝8cm．故答案为：8．一十五．轨迹（共1小题）17．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是 cm（结果用含π的式子表示）．【答案】．【解答】解：以A为圆心作圆弧CC′，如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝2×3＝6（cm），∴AB＝＝＝3（cm），∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∵∠B＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴点C的运动路径长为＝（cm）．故答案为：．一十六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）18．（2022•郴州）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣3，﹣2） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．一十七．胡不归问题（共1小题）19．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 ．【答案】．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sin A＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，∵S△ABC＝，∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．一十八．平行线分线段成比例（共1小题）20．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ 1.2 m．【答案】1.2．【解答】解：∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2．一十九．加权平均数（共2小题）21．（2023•郴州）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是 93 分．【答案】93．【解答】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：30%×90+20%×95+50%×94＝93（分）．故答案为：93．22．（2021•郴州）为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛．比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4：3：3的比例计算．若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为 89 分．【答案】89．【解答】解：选手甲的最终得分为：＝＝89（分）．故答案为：89．二十．方差（共1小题）23．（2022•郴州）甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为＝＝160cm，身高的方差分别为s甲2＝10.5，s乙2＝1.2．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是 乙队 ．（填“甲队”或“乙队”）【答案】乙队．【解答】解：∵两队队员的平均身高为＝＝160cm，s甲2＝10.5，s乙2＝1.2，即s甲2＞s乙2．∴如果单从队员的身高考虑，演出形象效果较好的队是乙队．故答案为：乙队．二十一．概率公式（共1小题）24．（2023•郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 ．【答案】．【解答】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为．故选：．。
2021年中考数学试题及解析：湖南郴州-解析版
湖南省郴州市2021年中考数学试卷一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、(2021•郴州)的绝对值是()A、B、C、﹣2 D、22、(2021•郴州)函数自变量x的取值范围是()A、x≥﹣3B、x≥3C、x＞3D、x＞﹣33、(2021•郴州)图中所给的三视图表示的物体是()A、B、C、D、4、(2021•郴州)我市“十二五”规划耕地保有量指标为4050000亩，4050000用科学记数法表示正确的是()A、4.05×107B、4.05×106C、4.05×105D、405×1055、(2021•郴州)如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A、AB=DC，AD=BCB、AB∥DC，AD∥BCC、AB∥DC，AD=BCD、AB∥DC，AB=DC6、(2021•郴州)下列计算，正确的是()A、x2+x3=x5B、x2•x3=x6C、(x2)3=x5D、2x﹣3x=﹣x7、(2021•郴州)观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A、B、C、D、8、(2021•郴州)已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是()A、R=4，r=2B、R=3，r=2C、R=4，r=3D、R=3，r=1二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)9、分解因式:x2﹣4x+4=_________．10、(2021•郴州)当x=_________时，分式的值为0．11、(2021•郴州)一元一次方程2x+4=0解是_________．12、(2021•郴州)不等式组的解集是_________．13、写出一个不可能事件_________．14、(2021•郴州)小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为_________．15、(2021•郴州)小亮同学为了估计全县九年级学生的人数，他对自己所在乡的人口和全乡九年级学生人数做了调查:全乡人口约2万，九年级学生人数为300．全县人口约35万，由此他推断全县九年级人数约为5250，但县教育局提供的全县九年级学生人数为3000，与估计数据有很大偏差，根据所学的统计知识，你认为产生偏差的原因是_________．16、(2021•郴州)如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形．三、解答题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)17、(2021•郴州)计算:．18、(2021•郴州)当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？19、(2021•郴州)作图题:在方格纸中，将△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．20、(2021•郴州)求与直线y=x平行，并且经过点P(1，2)的一次函数的解析式．21、(2021•郴州)如图是从《郴州市国民和社会发展第十二个五年规划纲要》中得到的郴州市2000～2021年城乡居民收入统计图，请根据统计图回答下列问题:(1)城镇居民人均收入超过12000元的有哪几年？(2)十一年来，城镇居民人均收入与农民人均收入增长速度哪一个快？(3)如果今年城镇居民人均收入与农民人居年收入分别以10%与8%的增长率增长，今年城镇居民人均收入与农民人居年收入各是多少？(结果保留整数)22、(2021•郴州)如图，李军在A处测得风筝(C处)的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．(结果保留根号)四、证明题(本题8分)23、(2021•郴州)在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC．求证:梯形ABCD是一个等腰梯形．五、应用题(本题8分)24、(2021•郴州)用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水(约10升)，小敏每次用半盆水(约5升)，如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．(1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；(2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？六、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25、(2021•郴州)如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA 上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ 交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．(1)求证:△PQE∽△PMF；(2)当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；(3)设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．26、(2021•郴州)如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是(0，1)和(1，0)，P是线段AB上的一动点(不与A、B重合)，坐标为(m，1﹣m)(m为常数)．(1)求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；(2)当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；(3)当P移动到点()时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．答案与评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、(2021•郴州)的绝对值是()A、B、C、﹣2 D、2考点:绝对值。
湖南省郴州市2021年中考数学试卷(II)卷
湖南省郴州市2021年中考数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）计算25－3×[32＋2×(－3)]＋5的结果是（）A . 21B . 30C . 39D . 712. （2分）已知-25a2mb和7b3-na4是同类项，则m+n的值是（）A . 2B . 3C . 4D . 63. （2分）(2017·龙华模拟) 一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成该几何体的小立方块至少需要（）A . 5 块B . 6 块C . 7 块D . 8 块4. （2分） (2017八下·高阳期末) 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）A .B . .C .D .5. （2分）(2018·随州) 某同学连续6次考试的数学成绩分别是85，97，93，79，85，95，则这组数据的众数和中位数分别为（）A . 85 和 89B . 85 和 86C . 89 和 85D . 89 和 866. （2分）在文具店里，王伟买5本笔记本，3支钢笔，老板少拿2元，只要50元．李明买了11本笔记本，5支钢笔，老板以售价的九折优待，只要90元．若笔记本每本x元，钢笔每支y元，则下列能够表示题目中的数量关系的二元一次方程组为（）A .B .C .D .7. （2分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A . a＞0B . 当x＞1时，y随x的增大而增大C . c＜0D . 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根8. （2分）(2017·湖州模拟) 不等式组的最小整数解是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2017·乌拉特前旗模拟) 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A . 6B . 2 +1C . 9D .10. （2分）一元二次方程x2-2x-1=0，经过配方可变形为（）A . （x+1）2=0B . （x-1）2=0C . （x+1）2=2D . （x-1）2=211. （2分） (2016八上·揭阳期末) 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（）A . 33B .C .D . 712. （2分）已知圆O的直径是方程x2﹣5x﹣24=0的根，且点A到圆心O的距离为6，则点A在（）A . 圆O上B . 圆O内C . 圆O外D . 无法确定二、填空题 (共6题；共8分)13. （1分）(2019·宁洱模拟) 某种病毒变异后的直径约为0.000 000 56米，将这个数用科学记数法表示为________米.14. （2分）(2017·桥西模拟) 如图，直线l经过平面直角坐标系的原点O，且与x轴正方向的夹角是30°，点A的坐标是（0，1），点B在直线l上，且AB∥x轴，则点B的坐标是________，现将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线l上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线l上，顺次旋转下去…，则点A6的横坐标是________．15. （1分）(2020·长宁模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是________．16. （2分）(2018·遵义模拟) 如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为________；抛物线C8的顶点坐标为________．17. （1分） (2016九上·吴中期末) 在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cosB= ，则BC的长是________．18. （1分）(2017·天津模拟) 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为________cm．三、解答题 (共7题；共77分)19. （5分） (2017八下·洪湖期中) 先化简，再求值：（）÷ ，其中x= ．20. （10分） (2017九下·丹阳期中) 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？，21. （7分）小明和小乐玩猜牌游戏，小明手中有红桃、黑桃、梅花扑克牌共24张，其中红桃8张，黑桃是梅花的2倍少2张.（1）黑桃________张，梅花________张 .（2）小乐从小明手中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是多少？抽到哪种花样扑克牌的概率最大？最大概率是多少？22. （15分）(2017·潮南模拟) 如图，直线y=2x与反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα= ．（1）求k的值．（2）求点B的坐标．（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值．23. （15分） (2019八上·连云港期末) 如图1，和都是边长为1的等边三角形．（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？（2）如图2，将沿射线BD方向平移到的位置，则四边形是平行四边形吗？为什么？（3）在移动过程中，四边形有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离写出过程；如果不是，请说明理由图3供操作时使用．24. （15分）(2018·江苏模拟) 重庆市的重大惠民工程--公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积单位：百万平方米，与时间x的关系是单位：年，且x为整数；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积单位：百万平方米，与时间x的关系是单位：年，且x为整数假设每年的公租房全部出租完另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金单位：元与时间单位：年，且x为整数满足一次函数关系如下表：元5052545658年12345参考数据：（1）求出z与x的函数关系式；（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高，这样可解决住房的人数将比第6年减少，求a的值．25. （10分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1 ，连接AD1、BC1 ．（1）求证：△A1AD1≌△CC1B；（2）若∠ACB=30°，BC=2时，试问的当△ACD沿CA方向平移多远距离时（C1在线段AC上），四边形ABC1D1是菱形？（直接写出答案）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共7题；共77分)19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、。
2021年湖南省郴州市中考数学仿真试卷(一)(含解析)
2021年湖南省郴州市中考数学仿真试卷（一）一、单选题（共8小题）.1．下列各组数中，互为相反数的是（）A．和2B．﹣1和1C．﹣2和D．﹣和﹣2 2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣93．下列图形是疫情导视标识牌，在这些导视标识牌中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列计算中，结果是a7的是（）A．a3﹣a4B．a3•a4C．a3+a4D．a3÷a45．如图，下列四个图中∠1＝∠2，不能判断不能判定a∥b的是（）A．B．C．D．6．某商场对上周女装的销售情况进行了统计，如表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）颜色黄色绿色白色紫色红色数量（件）10018022080520 A．平均数B．中位数C．众数D．方差7．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）＝a2﹣ab8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P和点Q．若△POQ的面积为10，则k的值为（）A．10B．12C．﹣10D．﹣12二、填空题（本大题共8小题，每小题各3分，满分24分）9．当x＝时，分式没有意义．10．若关于x的方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是．11．某工厂生产了一批零件共2000件，从中任意抽取了100件进行检查，其中不合格产品2件，则可估计这批零件中约有件不合格．12．已知一组数据a，b，c的方差为4，那么数据3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2的方差是．13．端午期间，王老师一家自驾游去了离家170km的某地，如图是他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象，当他们离目的地还有20km时，汽车一共行驶的时间是．14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC ＝9，则S△A'B'C′＝．15．如图，从直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC．使点A、B、C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是．16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为．三、解答题（本大题共10小题，满分72分）17．计算：．18．解方程：+2＝．19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE．（1）求证：四边形DCEB为菱形；（2）若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．20．某中学为了解七年级学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面随机调查了部分七年级学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）求被抽查学生人数，将条形统计图补充完整；（2）求出扇形统计图中，排球部分对应的圆心角度数；（3）如果该中学七年级共有1200名学生，请你估计七年级学生中喜欢排球的学生有多少名？21．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，他们从家A处出发，向正西行驶160km到达B处，测得C处在B处的北偏西15°方向上，出发时测得C处在A处的北偏西60°方向上．（1）填空：∠C＝度；（2）求B处到C处的距离即BC的长度（结果保留根号）．22．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．23．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F ＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．24．阅读下列材料：实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x 表示饮酒后的时间（小时）．下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况．饮酒后的…123456…时间x（小时）血液中酒精含量y （毫克/百毫升）…150********…下面是小带的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；（2）观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式；（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：30在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．25．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为（用含a的式子表示）．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）连接BC，求△ABC的面积；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题各3分，满分24分）1．下列各组数中，互为相反数的是（）A．和2B．﹣1和1C．﹣2和D．﹣和﹣2【分析】直接利用互为相反数以及互为倒数的意义分别判断得出答案．解：A、和2互为倒数，不合题意；B、﹣1和1互为相反数，符合题意；C、﹣2和互为负倒数，不合题意；D、﹣和﹣2互为倒数，不合题意．故选：B．2．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣9【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．故选：B．3．下列图形是疫情导视标识牌，在这些导视标识牌中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．4．下列计算中，结果是a7的是（）A．a3﹣a4B．a3•a4C．a3+a4D．a3÷a4【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可．解：A、a3与a4不能合并；B、a3•a4＝a7，C、a3与a4不能合并；D、a3÷a4＝；故选：B．5．如图，下列四个图中∠1＝∠2，不能判断不能判定a∥b的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线的判定定理进行解答．解：A、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；B、根据“同位角相等，两直线平行”可以判定a∥b，故本选项不符合题意；C、如图，根据“同位角相等，两直线平行”可以判定c∥d，故本选项符合题意；D、如图，∵∠2＝∠3，1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴a∥b（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；故选：C．6．某商场对上周女装的销售情况进行了统计，如表，经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（）颜色黄色绿色白色紫色红色数量（件）10018022080520 A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．故选：C．7．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）＝a2﹣ab【分析】分别表示出图1，图2阴影部分的面积，根据面积相等得到等式．解：图1的阴影部分面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，即a2﹣b2，图2的阴影部分的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积为（a+b）（a﹣b），根据面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P和点Q．若△POQ的面积为10，则k的值为（）A．10B．12C．﹣10D．﹣12【分析】由于S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|8|＝10，然后解方程得到满足条件的k的值．解：∵S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，∴|k|+×|8|＝10，∴|k|＝12，而k＜0，∴k＝﹣12，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题各3分，满分24分）9．当x＝3时，分式没有意义．【分析】分式无意义的条件是分母等于0．解：若分式没有意义，则x﹣3＝0，解得：x＝3．故答案为：3．10．若关于x的方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是a≤3且a≠1．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝4（a+1）2﹣4（a﹣1）（a+5）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：根据题意得a﹣1≠0且△＝4（a+1）2﹣4（a﹣1）（a+5）≥0，解得a≤3且a≠1．故答案为a≤3且a≠1．11．某工厂生产了一批零件共2000件，从中任意抽取了100件进行检查，其中不合格产品2件，则可估计这批零件中约有40件不合格．【分析】用样本中不合格所占比例乘以总数量即可得．解：根据题意，估计该厂这批零件中不合格产品约有×2000＝40（件），故答案为：40．12．已知一组数据a，b，c的方差为4，那么数据3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2的方差是36．【分析】根据“当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍”求解可得．解：∵数据a，b，c的方差为4，∴数据3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2的方差32×4＝36，故答案为：36．13．端午期间，王老师一家自驾游去了离家170km的某地，如图是他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象，当他们离目的地还有20km时，汽车一共行驶的时间是 2.25h．【分析】根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．解：设AB段的函数解析式是y＝kx+b，y＝kx+b的图象过A（1.5，90），B（2.5，170），，解得，∴AB段函数的解析式是y＝80x﹣30，离目的地还有20千米时，即y＝170﹣20＝150km，当y＝150时，80x﹣30＝150解得：x＝2.25h，故答案为：2.25h14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC ＝9，则S△A'B'C′＝．【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA＝2AA′可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方．解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA＝2AA′．可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，又S△ABC＝9，∴S△A'B'C′＝．故答案为：．15．如图，从直径为的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC．使点A、B、C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是2．【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到BC为⊙O的直径，则AB＝8，设这个圆锥的底面半径为r，利用弧长公式得到2πr＝，然后解关于r的方程即可．解：连接BC，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝8，∴AB＝BC＝8，设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝2，即这个圆锥的底面半径为2．故答案为2．16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为6﹣4．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，AE＝AC，根据垂直平分线的性质得到AF＝DF，根据平行线的判定和性质可得△BDF、△BED是等腰直角三角形，在Rt△BED中，根据勾股定理可得DE的长，进一步得到EF的长，再根据三角形面积公式即可求解．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点F，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF＝BE＝x，BD＝DF＝2﹣x，在Rt△BED中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+x2＝（2﹣x）2，解得x1＝﹣2﹣2（负值舍去），x2＝﹣2+2，∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2＝6﹣4．故答案为：6﹣4．三、解答题（本大题共10小题，满分72分）17．计算：．【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意（3﹣π）0＝1，（）﹣1＝2．解：原式＝2+1﹣2﹣2×＝﹣1．18．解方程：+2＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：方程两边都乘以x（x+1）去分母得：1+2x2+2x＝2x2+x，解得x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝﹣1×（﹣1+1）＝0，所以，x＝﹣1不是原方程的解，所以，原分式方程无解．19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE．（1）求证：四边形DCEB为菱形；（2）若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．【分析】（1）根据线段中点的定义得到OC＝OB，根据平行四边形的判定定理得到四边形DCEB是平行四边形．根据直角三角形的性质得到CD＝BD，于是得到结论；（2）根据已知条件得到∠ABC＝∠DCB＝30°，解直角三角形得到AB＝12，BC＝．根据三角形中位线定理得到DO＝AC＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵O是BC边中点，∴OC＝OB，又∵OE＝OD，∴四边形DCEB是平行四边形．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形DCEB为菱形；（2）解：∵CD＝BD，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝∠DCB＝30°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，∴AB＝12，BC＝．∵D为AB中点，O是BC中点，∴DO＝AC＝3，∴S菱形DCEB＝BC•DO＝．20．某中学为了解七年级学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面随机调查了部分七年级学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）求被抽查学生人数，将条形统计图补充完整；（2）求出扇形统计图中，排球部分对应的圆心角度数；（3）如果该中学七年级共有1200名学生，请你估计七年级学生中喜欢排球的学生有多少名？【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它球类的人数，求出足球的人数，从而补全统计图；（2）用360°乘以排球所占的百分比即可得出答案；（3）用七年级总人数乘以喜欢排球的学生所占的百分比即可．解：（1）被抽查学生人数是：12÷30%＝40（人）；足球的人数有40﹣4﹣12﹣16＝8（人），补全统计图如下：（2）扇形统计图中，排球部分对应的圆心角度数：360°×＝36°；（3）根据题意得：1200×＝120（名），答：七年级学生中喜欢排球的学生有120名．21．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，他们从家A处出发，向正西行驶160km到达B处，测得C处在B处的北偏西15°方向上，出发时测得C处在A处的北偏西60°方向上．（1）填空：∠C＝45度；（2）求B处到C处的距离即BC的长度（结果保留根号）．【分析】（1）根据方向角的概念、三角形内角和定理求出∠C；（2）作BP⊥AC，根据直角三角形的性质求出BP，根据正弦的定义求出BC．解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠CBA＝105°，∴∠C＝180°﹣30°﹣105°＝45°，故答案为：45；（2）过点B作BP⊥AC于点P，在Rt△ABP中，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∴PB＝AB＝×160＝80，在Rt△BPC中，∠C＝45°．∴CB＝＝80（km），答：B处到C处的距离即BC的长度是80km．22．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，依题意，得：，解得：20＜m≤22．又∵m为正整数，∴m可以为21，22．∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．23．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA＝OB，∠POA＝∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．（2）先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF＝20A代入关系式即可．（3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD＝x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2＝OD•OP，代入数据即可得出PE的长．解：（1）连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴OA⊥PA，∴直线PA为⊙O的切线．（2）EF2＝4OD•OP．证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OPA，∴△OAD∽△OPA，∴＝，即OA2＝OD•OP，又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD•OP．（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3（三角形中位线定理），设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC＝90°，又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB ＝＝．∵OA2＝OD•OP，∴3（PE+5）＝25，∴PE ＝．24．阅读下列材料：实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x 表示饮酒后的时间（小时）．下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况．饮酒后的时间x（小时）…123456…血液中酒精含量y （毫克/百毫升）…150********…下面是小带的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；（2）观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式；（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：30在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【分析】（1）将坐标系中的点按照自左向右的顺序用平滑的曲线顺次连接即可得；（2）由图象知x＝左侧符合二次函数关系、右侧符合反比例函数关系，利用待定系数法求解可得；（3）求出反比例函数中y＝20时x的值，据此可判断．解：（1）图象如图所示，（2）由函数图象知当x＞时，y与x成反比例函数关系，设y＝，将点（5，45）代入，得：k＝225，∴y＝；（3）不能．理由如下：把y＝20代入反比例函数y＝得x＝11.25．∵晚上20：30经过11.25小时为第二天早上7：45，∴第二天早上7：45以后才可以驾车上路，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．25．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为60°；②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为2α（用含a的式子表示）．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD＝2∠B即可解决问题．（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．解：（1）①∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°，∵CA＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴旋转角为60°，故答案为60°．②如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA＝CD，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠DCH，∵∠ACH+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠ACH＝∠B，∴∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α，∴旋转角为2α．故答案为2α．（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC＝∠EMC＝90°，∵△ACB≌△DCE，∴BC＝EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，∴△CBN≌△CEM（AAS），∴BN＝EM，∵S△BDC＝•CD•BN，S△ACE＝•AC•EM，∵CD＝AC，∴S△BDC＝S△ACE．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）连接BC，求△ABC的面积；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．【分析】（1）利用直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，再用待定系数法即可求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）由A、B、C坐标可知AB、OC的长，根据△ABC面积等于AB与OC乘积的一半即求得答案．（3）过点M作x轴的垂线段MD，故△ABM面积等于AB与MD乘积的一半．由△ABM 面积为△ABC的面积的倍列式可求得MD＝OC＝4，即点M纵坐标绝对值等于4．把y＝4和y＝﹣4分别代入抛物线解析式，解方程即求得点M的横坐标．解：（1）∵直线y＝﹣5x+5中当x＝0时，y＝5∴C（0，5）当y＝0时，﹣5x+5＝0，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10（3）如图2，过点M作MD⊥x轴于点D∴S△ABM＝AB•MD∵△ABM面积为△ABC的面积的倍∴AB•MD＝AB•OC∴|y M|＝MD＝OC＝4当y M＝4时，x2﹣6x+5＝4解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2当y M＝﹣4时，x2﹣6x+5＝﹣4解得：x1＝x2＝3∴点M的坐标为（3+2，4），（3﹣2，4），（3，﹣4）．。
湖南省郴州市2021年中考数学试卷(含解析)
湖南省郴州市2021年中考数学试卷第Ⅰ卷（共24分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图表示互为相反数的两个点是（ ）A. 点A 与点BB. 点A 与点DC. 点C 与点BD. 点C 与点D【答案】B【解析】【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A 与点D 表示互为相反数的两个点． 故选：B ．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（秒=1000000000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（ ）A. 8110-⨯秒B. 9110-⨯秒C. 91010-⨯秒D. 90.110-⨯秒 【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】∵1秒=1000000000纳秒，∴10纳秒=10÷1000000000秒=0.000 00001秒=1×10-8秒． 故选：A ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.下列运算正确的是（ ）A. 44()a a -=B. 236a a a ⋅=C. 826=D. 325235a a a +=【答案】A【解析】【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可．【详解】A. 44()a a -=，计算正确，符合题意； B. 232+35=a a a a ⋅=，故本选项错误； C. 822222==D. 3223a a +不能计算，故本选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解答此题的关键．5.如图，直线,a b 被直线,c d 所截下列条件能判定//a b 的是（ ）A. 13∠=∠B. 24180∠+∠= C. 45∠=∠ D. 12∠=∠【答案】D【解析】【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．【详解】A 、当∠1=∠3时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意；B 、当∠2+∠4=180°时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意；C 、当∠4=∠5时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意；D 、当∠1=∠2时，a ∥b ，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（cm ） 24 24.5 25 25.5 26 26.5销售数量（双） 2 7 18 10 8 3则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差 【答案】C【解析】【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：C ．【点睛】本题考查对统计量的意义的理解与运用，能对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键．7.如图，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A. 2221(1)x x x -+=-B. 21(1)(1)x x x -=+-C. 2221(1)x x x ++=+D. 2(1)x x x x -=-【答案】B【解析】【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【详解】第一个图形空白部分的面积是x 2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x 2-1=（x+1）（x-1）．故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键． 8.在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AO BO =，则12k k =（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】B【解析】【分析】 分别作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，证明△AOE ∽△OBF 得到2()4AOE BOF S AO S BO∆∆==，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案．【详解】解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，如图，则∠AEO=∠BFO=90°，∴∠AOE+∠OAE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOF+∠AOE=90°，∴∠OAE=∠BOF ，∴△AOE ∽△OBF ， ∴2()4AOE BOF S AO S BO ∆∆==，即121||2=41||2k k ， ∴12||=4||k k∵10k ＞，20k ＜， ∴124k k =-． 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出4AOE BOFS S ∆∆=是解题的关键． 第Ⅱ卷（共106分）二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9.若分式11x +的值不存在，则x =__________． 【答案】-1【解析】【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【详解】∵分式11x +的值不存在， ∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 10.已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c =__________． 【答案】258 【解析】【分析】利用判别式的意义得到()2245420b ac c =-=--⨯=，然后解关于c 的方程即可．【详解】∵2a =，5b =-，c c =，根据题意得()2245420b ac c =-=--⨯=， 解得258c =，故答案为：258． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根与24b ac =-有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．11.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品．【答案】20【解析】【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可．【详解】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，∴次品所占的百分比是：2100%2%100⨯=， ∴这一批次产品中的次品件数是：：10002%20⨯=(件)，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键． 12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94，方差为28.0s =．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s =新__________．【答案】8.0【解析】分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S 新2=8.0；故答案为：8.0．【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．13.小红在练习仰卧起坐，本月日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x （日）2 3 4 成绩y （个）40 43 46 49小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________．【答案】y=3x+37．【解析】【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝， ∴该函数表达式为y=3x+37．故答案为：y=3x+37．【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 14.在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11AOB ∆．已知(2,3)A ，则点1A 的坐标是__________．【答案】243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．【详解】解：∵将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：232323⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，，即A 1243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 故答案为：243⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．【答案】48【解析】【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl 代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl ，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π=π×10×r ，解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高=22106-=8∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积=1128=482⨯⨯， 故答案为：48【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键． 16.如图，在矩形ABCD 中，4,8AD AB ==．分别以点,B D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与,,DC DB AB 交于点,,M O N ，则MN =__________．【答案】25．【解析】【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD 的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．【详解】如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴225+=，AB AD根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN=BN，5∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得225DN OD-=，∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵OD=OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴∴故答案为：【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.计算：101()2cos 4511)3--+- 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可．【详解】101()2cos 4511)3--+-3211=---131=--1=．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的余弦值等，灵活运用是解题关键． 18.解方程：24111x x x =+-- 【答案】x=3． 【解析】 【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 【详解】解：24111x x x =+-- 去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．．连接19.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE CFDE DF BE BF．求证：四边形BEDF是菱形．,,,【答案】见解析【解析】【分析】连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形．【详解】证明：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“人认为效果很好，人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率）【答案】（1）200；（2）补全条形统计图见解析，72°；（3）1 6 .【解析】【分析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数；（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到∠∝；（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“人认为效果很好，人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.【详解】（1）80÷40%=200（人），故答案为：200；（2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人），补全条形统计图如下：∠∝=40360=72 200⨯︒︒；（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，①画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中“人认为效果很好，人认为效果较好”的有2种，∴P（人认为效果很好，人认为效果较好）=21 126=；②列表如下认为效果很好认为效果较好A B C DA AB AC ADB BA BC BDC CA CB CDD DA DB DC共有12种可能出现的结果，其中“人认为效果很好，人认为效果较好”的有2种，∴P（人认为效果很好，人认为效果较好）=21 126=；【点睛】本题考查了从条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，要把两图形结合在一起进行解答．同时还考查了画树状图或列表求概率．21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地AD=米，仰角为30．3秒后，火箭直线面O处发射、当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得4000上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45︒．已知,C D两处相距460米，求火箭从A≈≈）到B处的平均速度（结果精确到米，参考数据：3 1.732,2 1.414【答案】火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【解析】【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，3，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得3-460，进而解得x的值．【详解】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，∴AO=2000，∴3∵CD=460，∴3，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x，∴3-460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?（2）现在计划安排,A B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排,A B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．【解析】【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．【详解】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540 321380 x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，解得：300240 xy⎧⎨⎩＝＝．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，依题意，得：()() 7550300 3750240 m mm m⎧+-≥⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：25≤m≤2712．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B 型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23.如图，ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．直线与⊙O 相切于点A ，在上取一点D 使得DA DC =．线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC 是⊙O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）见解析；（2）233π- 【解析】 【分析】（1）连接OC ，根据OA ＝OC ，DA ＝DC 可得∠O A C ＝∠OCA ，∠DAC ＝∠D CA ，再根据直线与⊙O 相切于点A 可得∠DAO ＝90°，进而可得∠DCO ＝90°，由此可证得直线DC 是⊙O 的切线；（2）先证明BOC 为等边三角形，可得OB ＝OC ＝BC ＝2，根据扇形面积公式可求得23BOC S π=扇形，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得23CE =，由此可求得3COE S =△，最后便可得2=233COE BOC S S S π=--△阴影扇形．【详解】（1）证明：连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠O A C ＝∠OCA ， ∵DA ＝DC ， ∴∠DAC ＝∠D CA ， ∵直线与⊙O 相切于点A ， ∴∠DAO ＝90°，∴∠DAC+∠OAC＝90°，∴∠DCA+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥DC，又∵点C在⊙O上，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OB＝OC，∴BOC为等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，∴26022=3603BOCSππ⋅⋅=扇形，∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，∴∠E＝90°－∠COB＝30°，∴OE＝2OC＝4，∴在Rt COE中，2223CE OE OC=-=，∴12COES OC OE=⋅△12232=⨯⨯23 =，∴2=233COE BOCS S Sπ=--△阴影扇形∴阴影部分的面积为2233π-．【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键． 24.为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表：x14 13 122 34 5y174 10352252 103174265描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<≤，则1y 2y ； 若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元． ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内? 【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①11y x x =++；②122x ≤≤． 【解析】 【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围． 【详解】（1）如图1所示；（2）根据图象和表格可知，当1201x x <<≤时，1y ＞2y ；当121x x <<，则1y ＜2y ；当121x x ⋅=，则1y ＝2y ；（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米， ∴与之相邻的另一边长为1x米， ∴水池侧面面积的和为：1112122()x x x x⨯⨯+⨯⨯=+ ∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，∴11112()0.51y x x xx=⨯++⨯=++ 即：y 与x 的函数关系式为：11y x x=++；②∵该农户预算不超过3.5千元，即y ≤3.5∴11 3.5x x ++≤ ∴12.5x x+≤，根据图象或表格可知，当2≤y ≤2.5时，122x ≤≤， 因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在122x ≤≤． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25.如图，在等腰直角三角形ADC 中，90,4ADC AD ∠==．点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接,AG CE ．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为(090)αα<<．（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由；②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长．（2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①全等，证明见解析；81515；（2）①证明见解析；②232． 【解析】【分析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理（SAS ）即可证明；②过A 点作AM ⊥GD ，垂足为M ，交FE 与N ，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM 的长，进而得出15cos cos 4GAM AGF ∠=∠=，再由cos FG GH AGF =∠求出结果； （2）①根据全等三角形性质可得C GAD E D ∠=∠，再在APC △和ADC 中由三角形内角和定理得出90GAD ECA DAC ++∠=∠∠︒，从而证明结论；②根据∠APC =90°得出PC 最大值是∠GAD 最大时，即GD ⊥AG 时，进而可知CEF 三点共线，F 与P 重合，求出此时CE 长，继而可得CP 最大值．【详解】解：（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC 中，AD =CD ，90ADC ∠=，在正方形DEFG 中，GD =ED ，90GDE ∠=，又∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90ADE ADG ∠+∠=︒，∴ADG CDE ∠=∠在AGD △和CED 中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴C AGD ED ≅（SAS ）；②如解图2，过A 点作AM ⊥GD ，垂足为M ，交FE 与N ，∵点E 是AD 的中点，∴在正方形DEFG 中，DE =GD =GF =EF =2，由①得C AGD ED ≅，∴AG CE =，又∵CE CD =，∴4AG AD CD ===，∵AM ⊥GD ， ∴112GM GD ==， 又∵90D F ∠=∠=︒ ，∴四边形GMNF 是矩形，∴2MN GF ==，在Rt AGM 中，22224115AM AG GM =-=-=， ∴15cos 4AM GAM AG ∠== ∵//FG AM ，∴GAM AGF ∠=∠ ∴15cos 4FG AGF GH ∠==，∴2815cos 15154FG GH AGF ===∠． （2）①由①得C AGD ED ≅，∴C GAD E D ∠=∠，又∵90ECD ECA DAC ++∠=∠∠︒，∴90GAD ECA DAC ++∠=∠∠︒，∴90APC ∠=︒，即：AG CP ⊥；②∵90APC ∠=︒，∴sin PC AP PAC =∠，∴当PAC ∠最大时，PC 最大，∵∠DAC =45°，是定值，∴GAD ∠最大时，PAC ∠最大，PC 最大，∵AD =4，GD =2，∴当GD ⊥AG ，30GAD ∠=︒最大，如解图3，此时22224223AG AD GD =-=-=，又∵AG CP ⊥，EF FG ⊥，∴F 点与P 点重合，∴CEFP 四点共线，∴CP =CE +EF =AG +EF =232+，∴线段PC 得最大值为：232．【点睛】本题考查了三角形的综合；涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，能够准确画出旋转后满足条件的两个图形，构造直角三角形求解是关键．26.如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过,B C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点，①如图，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ．点Q 是对称轴上的一个动点，是否存在以点,,,E F P Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点,P Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，3y x =-+；（2）①925；②存在，点P 的坐标为(2，3)，点Q 的坐标为(1，2)或(1，2-)【解析】【分析】 （1）把A(-1，0)，B(3，0)代入2()30y ax bx a =++≠可求得抛物线的表达式，再求得点C 的坐标，把B(3，0)，C 的坐标代入y kx n =+即可求解； （2）①设点D 的坐标为(m ，3m -+)，利用待定系数法求得直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，解方程2332311m m x x x m m -+-++=-++++，求得点P 的横坐标为41m m +，利用平等线分线段成比例定理求得411m m PD MN m DA AM m -+==+，得到()212239241m S S m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+，利用二次函数的性质即可求解； ②根据等腰直角三角形的性质求得点F 的坐标为(2，)，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入23y ax bx =++得：309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++，令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入y kx n =+得：303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为3y x =-+；（2）①∵PA 交直线BC 于点D ，∴设点D 的坐标为(m ，3m -+)，设直线PA 的表达式为11y k x b =+，∴111103k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩， 解得：113131m k m m b m -+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， ∴直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++， ∴2332311m m x x x m m -+-++=-++++， 整理得：()4101m x x m ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭， 解得：12411m x x m ==-+，(不合题意，舍去)，∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为41m m +， 分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图：∴DM ∥PN ，OM=m ，ON=41m m +，OA=1， ∴PDC12ADC 411m m S S PD MN m S S DA AM m -+====+ ()2231m mm -+=+()2239241m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+， ∵10-<，∴当32m =时，分子取得最大值，即12S S 有最大值，最大值为925； ②存在，理由如下：作FG AB ⊥于G ，如图，∵2y x 2x 3=-++的对称轴为：12b x a=-=， ∴OE=1，∵B(3，0)，C(0，3)∵OC=OB=3，∠OCB=90，∴△OCB 是等腰直角三角形，∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，∴△OCB 是等腰直角三角形，∴EG=GB=EG=1，∴点F 的坐标为(2，)，当EF 为边时，∵EFPQ 为平行四边形，∴QE=PF ，QE ∥PF ∥y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2，当2x =时，222233y =-+⨯+=，∴点P 的坐标为(2，3)，∴QE=PF=3-1=2，点Q 的坐标为(1，2)；当EF 为对角线时，如图，∵PEQF 为平行四边形，∴QE=PF ，QE ∥PF ∥y 轴，同理求得：点P 的坐标为(2，3)，∴QE=PF=3-1=2，点Q 的坐标为(1，2-)；综上，点P 的坐标为(2，3)，点Q 的坐标为(1，2)或(1，2-)；【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB 是对角线与边两种情况讨论．。
2021年湖南省郴州市中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
2021年湖南省郴州市中考数学总复习：二次函数
一．选择题（共50小题）
1．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2B．y＝2（x+1）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
2．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴有两个交点，且交点位于y轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法中不正
确的是（）
A．a＞0
B．若b＞0，则当x＞0时，y随x的增大而增大
C．a+b＜3
D．一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号
3．如图，在平面直角坐标系中2条直线，分别为l1：y＝3x+3，l2：y＝3x﹣3，直线l1交x 轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．
下列判断中：
①a+b+c＝0；
②抛物线关于直线x＝1轴对称；
③点（a+b，c）在抛物线上方；
④S△BCD＝3；
⑤4a（c﹣4）＝b2．
其中正确的个数有（）
A．5B．4C．3D．2
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2023年湖南省郴州市中考数学真题+答案解析
2023年湖南省郴州市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2 B．C．﹣2 D．2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．（a2）3＝a5C．3a2﹣a2＝2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．B．C．D．x+1.5x＝2408．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/ninC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算＝．10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是（任写一个符合条件的数即可）．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是分．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝．15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm（结果用含π的式子表示）．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm30 25 20 15 10容器与水的总质量y1/g10 12 15 20 30加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2023年湖南省郴州市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2 B．C．﹣2 D．【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解析】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．2．（3分）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的定义逐个判断即可．【解析】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，观察图形可知，选项B中图形是由图形a通过平移得到，A，C，D均不能由图形a通过平移得到，故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a4•a3＝a7B．（a2）3＝a5C．3a2﹣a2＝2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】根据完全平方公式及多项式的计算得出结论即可．【解析】解：A选项中，a4•a3＝a7，结论正确；B选项中，（a2）3＝a6，故B选项结论错误；C选项中，3a2﹣a2＝2a2，故C选项结论错误；D选项中，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D选项结论错误；故选：A．4．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．【解析】解：A．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．故选：D．5．（3分）下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解析】解：A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故选项不符合题意；B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；C．了解郴江河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故选项符合题意；故选：D．6．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：C．7．（3分）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．B．C．D．x+1.5x＝240【分析】设原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度为（1+50%）x＝1.5xkm/h，根据走过相同的距离时间缩短了1小时，列方程即可．【解析】解：设原计划平均速度为xkm/h，由题意得，﹣＝1，故选：B．8．（3分）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/ninC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．【解析】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算＝3．【分析】如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：，由此即可得到答案．【解析】解：＝3．故答案为：3．10．（3分）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是3（答案不唯一）（任写一个符合条件的数即可）．【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k﹣2＞0，解之即可得出k的值，再取其内的任意一值即可得出结论．【解析】解：∵在一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象中，y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得：k＞2．∴k值可以为3．故答案为：3（答案不唯一）．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．【分析】从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，再根据概率公式求解即可．【解析】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为．故选：．12．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝9．【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故答案为：9．13．（3分）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是93分．【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．【解析】解：根据题意，该参赛队的最终成绩是：30%×90+20%×95+50%×94＝93（分）．故答案为：93．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．【解析】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．15．（3分）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3≈4台．【解析】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm（结果用含π的式子表示）．【分析】根据旋转的性质得到点C的运动路径是CC′圆弧的长度，根据弧长公式计算即可．【解析】解：以A为圆心作圆弧CC′，如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝2×3＝6（cm），∴AB＝＝＝3（cm），∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∵∠B＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴点C的运动路径长为＝（cm）．故答案为：．三、解答题（17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解析】解：原式＝2﹣×+1+2＝2﹣1+1+2＝4．18．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．【分析】根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．【解析】解：原式＝•+＝+＝＝，当x＝1+时，原式＝＝．19．（6分）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．【分析】（1）用B的人数除以20%求得本次调查的学生总数，进而得出最喜欢去A地的人数；（2）用360°乘“C”所占比例可以求得“C”部分所占圆心角的度数；（3）用1200乘样本中D所占比例即可．【解析】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20%＝100（人），最喜欢去A地的人数为：100﹣20﹣40﹣25﹣5＝10（人），补全条形统计图如下：（2）研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°；（3）1200×＝300（名），答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约300名．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【解析】（1）解：如图，直线MN即为所求；（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是平行四边形．21．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．【分析】由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：由题意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴，∵AB＝80海里，∴CD+CD＝80，解得CD＝40﹣40≈29.2，答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2海里．22．（8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．【解析】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+a≤2.5（1+25%），解得：a≤1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再证∠OCA＝∠A＝∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可证明．（2）由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt △OCD 中，tan ∠AOC ＝＝tan60°，CD ＝2，∴，解得OC ＝2，∴阴影部分的面积＝S △ACD ﹣S 扇形BOC ＝﹣＝2﹣．24．（10分）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A （固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（0＜x ≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B 与点C 的距离x /cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y 1/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量y 2/g57101525把上表中的x 与y 1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y 1关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y 2关于x 的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y 1与x 之间的函数关系，并求y 1关于x 的函数表达式； ②求y 2关于x 的函数表达式；③当0＜x ≤60时，y 1随x 的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y 2随x 的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y 2的图象可以由y 1的图象向 下 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量y 2（g ）满足19≤y 2≤45，求托盘B 与点C 的距离x （cm ）的取值范围．【分析】（1）描点作出图象即可；（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；②由y2与y1关系，结合①可得答案；③观察图象可得答案；（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．【解析】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，设y1＝，把（30，10）代入得：10＝，∴k＝300，∴y1关于x的函数表达式是y1＝；②∵y1＝y2+5，∴y2+5＝；∴y2＝﹣5；③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下；（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，∴19≤﹣5≤45，∴24≤≤50，∴6≤x≤12.5．25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．【分析】（1）由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF＝GF＝CG＝BD；（2）①由“AAS”可证△DGF≌△ECF，得到CF＝FG＝CG＝BD；②根据已知条件推出tan∠AEH＝tan∠MDN，得到，证明△ABC∽△ADG，得到，可以DG的长，由面积的和差关系可求解．【解析】解：（1），理由如下：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF＝CG＝BD；（2）①成立，理由如下：如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG＝CG＝BD；②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE 于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴，∵△ABC为等边三角形，，，∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MEE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴，，∵△DGF≌ECF，∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴，设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，，∴①，∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴，即：，联立①②可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，∴，，，∴，∴S△ACE＝CE•AH＝×（4+4）×2＝4+4，∴＝＝，∴S△CEF＝（4）＝4+2，∴四边形BDFC的面积为＝S△ADG ﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝＝．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据△P AC的周长等于P A+PC+AC，以及AC为定长，得到当P A+PC的值最小时，△P AC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：P A+PC＝PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，P A+PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解；（3）求出D点坐标为（0，2），进而得到，得到∠QDB＝∠OBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线，∵△P AC的周长等于P A+PC+AC，AC为定长，∴当P A+PC的值最小时，△P AC的周长最小，∵A，B关于抛物线的对称轴对称，∴P A+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，P A+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：y＝mx+n，则：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，当时，，∴，∵A（1，0），C（0，4），∴P A＝＝，PC＝＝，∴；（2）存在，∵D为OC的中点，∴D（0，2），∴OD＝2，∵B（4，0），∴OB＝4，在Rt△BOD中，，，∴∠QDB＝∠OBD；①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q 点纵坐标为2，设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：，∴Q（，2）或（，2）；②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，则：DE＝BE，设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，∴p2+4＝（4﹣p）2，解得：，∴，设DE的解析式为：y＝kx+q，则：，解得：，∴，联立，解得：或，∴Q（3，﹣2）或；综上所述，或或Q（3，﹣2）或．。
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类(含答案)
湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共3小题）1．（2023•郴州）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．2．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．3．（2022•郴州）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1．二．分式的化简求值（共2小题）4．（2023•郴州）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．5．（2022•郴州）先化简，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．三．一元二次方程的应用（共1小题）6．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？四．一元一次不等式的应用（共1小题）7．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？五．反比例函数的应用（共1小题）8．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x （cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入的水的质量y2/g5*******把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x （cm）的取值范围．六．平行四边形的判定（共1小题）9．（2021•郴州）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．七．菱形的判定与性质（共1小题）10．（2022•郴州）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．八．切线的判定与性质（共2小题）11．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．12．（2021•郴州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）13．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．一十．条形统计图（共1小题）14．（2023•郴州）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．湖南省郴州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共3小题）1．（2023•郴州）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|．【答案】4．【解答】解：原式＝2﹣×+1+2＝2﹣1+1+2＝4．2．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．【答案】3．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣2）+2×＝1﹣2+2+2＝3．3．（2022•郴州）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1．【答案】3．【解答】解：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1﹣|+（）﹣1＝1﹣2×+﹣1+3＝1﹣+﹣1+3＝3．二．分式的化简求值（共2小题）4．（2023•郴州）先化简，再求值：•+，其中x＝1+．【答案】，．【解答】解：原式＝•+＝+＝＝，当x＝1+时，原式＝＝．5．（2022•郴州）先化简，再求值：÷（+），其中a＝+1，b＝﹣1．【答案】ab，原式＝4．【解答】解：÷（+）＝÷＝•＝ab，当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）＝5﹣1＝4．三．一元二次方程的应用（共1小题）6．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．四．一元一次不等式的应用（共1小题）7．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？【答案】（1）甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元；（2）小姣最多能购买甲种有机肥6吨．【解答】解：（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，依题意得：，解得：．答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，依题意得：600m+500（10﹣m）≤5600，解得：m≤6．答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨．五．反比例函数的应用（共1小题）8．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x （cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入的水的质量y2/g5*******把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 下 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x （cm）的取值范围．【答案】（1）作出y2关于x的函数图象见解答过程；（2）①y1是x的反比例函数，y1＝；②y2＝﹣5；③减小，减小，下；（3）6≤x≤12.5．【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，设y1＝，把（30，10）代入得：10＝，∴k＝300，∴y1关于x的函数表达式是y1＝；②∵y1＝y2+5，∴y2+5＝；∴y2＝﹣5；③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下；（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，∴19≤﹣5≤45，∴24≤≤50，∴6≤x≤12.5．六．平行四边形的判定（共1小题）9．（2021•郴州）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明见解答部分．【解答】证明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（SSS），∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC，∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．七．菱形的判定与性质（共1小题）10．（2022•郴州）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平分∠DCB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB，∠DCA＝∠ACB＝∠DCB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB，∵AE＝CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF（SAS），∴DE＝BE＝BF＝DF，∴四边形DEBF是菱形．八．切线的判定与性质（共2小题）11．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即PE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，连接OD，如图：∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵⊙O的半径为6，∴BC＝AB＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD＝BC＝6，在Rt△CDE中，CE＝CD•cos C＝6×cos60°＝3，答：CE的长是3．12．（2021•郴州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE＝OD＝5，∴CE＝OE﹣OC＝5﹣5．九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）13．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．【答案】该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2km．【解答】解：由题意得，AB＝40×2＝80（km），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴，∵AB＝80km，∴CD+CD＝80，解得CD＝40﹣40≈29.2，答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2km．一十．条形统计图（共1小题）14．（2023•郴州）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．【答案】（1）见解答；（2）144°；（3）300名．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20%＝100（人），最喜欢去A地的人数为：100﹣20﹣40﹣25﹣5＝10（人），补全条形统计图如下：（2）研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°；（3）1200×＝300（名），答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约300名．。