视线与水平线的夹角叫做仰角
解直角三角形知识点及跟踪习题
解直角三角形知识点及跟踪习题 考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 知识点二．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.知识点三。
锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）补充：sin tan cos AAA，cos cot sin AA A （视情况定） （4）补充：已知锐角∠A ，则22sin cos 1AA（视情况定）（5）锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，①.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ②.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ③.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ④.余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大 知识点四、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3不存在 cot α不存在3133 0︒15020米30米从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度 （或坡比）.记作i ,即i =lh . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡. 知识点六．1.解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。
视线与水平线的夹角叫做仰角
——仰角俯角
平望二中 徐丽美
怎样测学设计了这样一个方案： 先在地面上距塔底B的适当地方， 比如100米的A处，架一个测角 仪，如测角仪高1.52米，那么 从C点可测出∠ECD=27°此时 CD⊥BE, 显然DE＋BD即为铁 塔的高。
27°
C
D
sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89, tan 27°≈0.51
.
例题1:如图，AB和CD是同一地面上的两座相距 36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼 顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼 CD的高。
C
A 45° 30°
36
B
D
例题2：在山顶上点D处有一铁塔，在塔顶B 处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底D 测得点A的俯角β=45°，已知塔高为30米，求 山高CD。
B α
D β
C
A
1.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔 顶A的仰角为30°，前进 20米到D处， 又测得塔顶A的仰角为60°. 求塔高AB.
A
30°
60°
C
D
B
2.如图，在山脚C处测得山顶A的仰角为 45°，沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高 AB。
1.52米
B
100米
A
视线 铅
仰角
垂O
俯角
水平线
线 视线
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 的夹角叫做仰角；
当从高处观测低处的目标时, 视线与水平线 的夹角叫做俯角。
如图，在地面上距塔底B的100米的A 处，架一个测角仪，测角仪高1.52米， 从C点测得仰角∠ECD=27°，求铁 塔的高度。（精确到1米）
视线与水平线的夹角叫做仰角
D β
C
A
1.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔 顶A的仰角为30°，前进 20米到D处， 又测得塔顶A的仰角为60°. 求塔高AB.
A
30°
60°
C
D
B
2.如图，在山脚C处测得山顶A的仰角为 45°，沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高 AB。
A
45° 60°
C
D
B
变式练习：
在山脚C处测得山顶A的仰角为45°， 沿着坡角 为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得 山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
D
F
30°
C
EB
小结：
1.本节例题学习以后，我们可以得到解
直角三角形的两种基本图形：
A
A
B
C
D
B
D
C
2.学会把实际问题转化成数学问题;会用 方程思想解决问题.
怎样测出一座 铁塔的高度呢？
E
张磊同学设计了这样一个方案： 先在地面上距塔底B的适当地方， 比如100米的A处，架一个测角 仪，如测角仪高1.52米，那么 从C点可测出∠ECD=27°此时 CD⊥BE, 显然DE＋BD即为铁 塔的高。
27°
C
D
1.52米
B
100米
A
视线 铅
仰角
垂O
俯角
水平线
线 视线
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 的夹角叫做仰角；
当从高处观测低处的目标时, 视线与水平线 的夹角叫做俯角。
如图，在地面上距塔底B的100米的A 处，架一个测角仪，测角仪高1.52米， 从C点测得仰角∠ECD=27°，求铁 塔的高度。（精确到1米）
三角函数应用举例(1)仰角俯角
28.2.2解直角三角形的应用（仰角和俯角）教案
中，
D
设计意图：通过分析题意，引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过
一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到
处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这
BC有多高？
A
E
尽管实际问题的背景发生了变化，
C E。
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角）一、知识点讲解1、仰角和俯角的定义：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
二、典例分析利用解直角三角形解决仰角、俯角问题例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为A、50B、51C、50+1D、101第1题第2题第3题2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。
3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）反馈练习 基础夯实1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1200m D 、 2400m第1题 第2题 第3题 第4题2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。
第02课时 仰角、俯角、方位角
1．(5 分)如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道(B，
C 在同一水平面上)，为了测量 B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热
气球从 C 地出发，垂直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地俯角为
30°，则 B，C 两地之间的距离为( A )
A．100 3 m
B．50 2 m
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分)
7．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30°，45°，
如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，
则 A，B 两点的距离是( D )
A．200 米
B．200 3 米
C．220 3 米
D．100( 3＋1)米
CED＝60°，sin∠CED＝CCDE ，∴CE＝ sinC6D0°＝ 2
3＋1.5 3 ＝(4＋
3)
2
≈5.7(米)，答：拉线CE的长约为5.7米
11．(14分)(2014·黔东南州)黔东南州某校九年级某班开展数学活 动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得 旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为 30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身 高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，
三、解答题(共42分) 10．(14分)(2014·钦州)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF 固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米 的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30 °，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据： 2 ≈ 1.414， 3≈1.732)
仰角、俯角 方位角概要
A 30˚ 60˚ D X
N1
N
60˚ 30˚
24海里
C
B
答：货轮无触礁危险。
1 某海防哨所(O)发现在它的北偏西30°,距离500m的 Ａ处有一艘船．该船向正东方向航行，经过３分钟到达 哨所东北方向的Ｂ处．求这船的航速是每时多少km?
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
A
B
D
40
C
例２ 河对岸有水塔ＡＢ．在Ｃ处测得塔顶的仰角为 ３０°，向塔前进１２m到达Ｄ，在Ｄ处测得Ａ的仰 角为４５°，求塔高．
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α =60o，在塔底D测得点A的俯角β =45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
D
β
C
A
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了 一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300 的三角板去度量旗杆的高度。 （ （ 3）此时他的数学老师来了一看，建 2 ）若王同学分别在点C、点D处将 （ 1 ）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角 0、 议王同学只准用卷尺去量，你能给王 旗杆上绳子分别拉成仰角为 60 为 600，如图用卷尺量得BC=4 米，则 同学设计方案完成任务吗？ 300，如图量出 CD=8米，你能求出 旗杆 AB的高多少？ 旗杆AB的长吗？
仰角俯角和方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向或南偏西 45°）
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？
B
A
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
x
O
x
45°
30°
B
400米
A
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆30米的C处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线 杆AB的高．
C
60° 45°
A
2km D
B
例3.如图，小岛P的周围20√2海里内有暗礁， 某渔船沿北偏东60°的AM方向航行，在A处测得 小岛P的方向为北偏东30°，距A处40海里，该 渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有， 渔船在A处应再向北偏东偏离多大角度才能脱险？
①弄清已知条件及要求解的问题。 ②画图将实际问题转化为数学问题。 ③寻找解题途径。 ⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂 线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为 解直角三角形问题。 （3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知 数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设 图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三 角形联系密切的特殊线段为未知数。
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CD=24米,已知甲同学高1.75米,乙
同学高1.50米, A
请你求树AB
的高度. E M N
F
CB
D
商厦上从A到B悬挂了一条幅,小明和
小红家正好住在商厦对面的家属楼,
小明在四楼D点测得条幅端点A的仰
角为30°端点B的俯角 A
为45°小红在三楼C点 测得端点A的仰角为
商
D
45°端点B的俯角30° 厦
A
D
B
C
AB是一棵古树, 某同学在古树同
侧选取了C,D两点, C处测得树顶
A仰角为60° ,在D处测得树顶A
的仰角为30 °,又量得CD=24米,
已知此同学高1.5米,请你求树AB
的高度.
A
F
EH
D
CB
AB是一古树,甲同学在古树左侧C
处测得树顶A仰角为45°,乙同学
在D处测得树顶A仰角为30°量得
显示,看一栋高楼顶部C的仰角为
60°,看三楼D的仰角为45°C
已知二楼的高度为5 3
米 上升到空中
A时显示,看这栋高楼顶部C的仰角
为30°,看楼底
C
部B的俯角为60°
热气球与高楼 A
的水平距离为
D
12米求这栋楼
BC有多高?
B
变式:热气球的探
测器上升到空中时
显示,观测这栋楼 A
D
顶部的俯角为30°
C
底部的俯角为60°
若楼高为12 3 米,
求此时气球有多高?
B
练习1山CD上有一电视放射塔山高 CD为20米,在B处测得D,A的仰角分 别为45°60°求放射塔AD的高度
A
D
B
C
练习2山CD上有一电视放射塔,放 射塔高100米,在B处测得D,A的仰 角分别为45°60°,求山CD高度
老师站在二楼看到对面大树的顶
点C, 大树在楼的对面15米处,老
师在A处需测出
哪些量,根据哪 些知识就可以求 出大树的高度呢?
C
15米
AA
D
B
仰角和俯角
当视线在水平线
上方，视线与水
平线的夹角叫做 铅
仰角；
直
线
当视线在水平线下
方，视线与水平线
的夹角叫做俯角；
视 线
仰角 俯角
水平线
视 线
例1:热气球的探测器在地面A时
C
CD高3米,你能求出
条幅AB的长吗
B
广场上一充满氢气的气球P挂着广
告悬在空中,甲乙两人站在E,F处
测得气球的仰角分别为30度和45
度,E,F的高度
P
差AB为1m,水平
距离CD=5m,FD
高度为0.5m, E
A
问气球P的
F
B
高度.
CD
小结