清北学堂数学高联一试模拟题(12)及答案
清华大学附属中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
清华大学附属中学2025届高三下学期一模考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．43．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．25B ．5-C 5D ．25- 4．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+ C ．43 D ．3log 41-5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）A ．227B ．15750C ．289D ．337115 6．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．2 D ．37．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．338．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤9．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）A ．3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
清北学堂数学高联一试模拟题(8)及答案
2a 5
1．
2.
由
20 5x2
Байду номын сангаас
ax0
0
2 x
xa
2
，可知
a
1，且在区间
(2,1)
上
20 5x2
10(a
x)
只有一个整数解 x 1，即 2a x 2 2x 4 在区间 (2,1) 上只有一个整数解 x 1，
4 16x02 y02
2 ，化简得16x02 y02 4 ，
即所求方程为16x2 y2 4 .
P
x
O
M
又直线 MN 与曲线 C 交于两点，可知 x0 0,
4x0 y0
2.
结合方程，可算得 5 x 1 .
5
2
9．(1)
sin A cos A
3 cos 3 sin
2
2
2cos C 1 2cos2 C 2cos C 2(cos C 1)2 3 3 ,当 C 时取等.
2 22
3
10.
显然 x 0 不是方程的解，两边同除以 x2 得 x2
ax b
a x
1 x2
0.
令
y x 1 得到关于 y 的一元二次方程 y2 ay (b 2) 0 . x
由二次函数 y x2 2x 4 图像可知 2 a 5 ，经验证 2 a 5 满足条件.
2
2
2．384. 1，2，3, …,20 中 3 的倍数 6 个，除以 3 余 1 的数 7 个，除以 3 余 2 的数 7 个，
清北学堂高联一试模拟题12
清北学堂高联一试模拟题(十二)一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1、设正整数2n ≥，用n A 表示分母为n 的全体真分数所组成的集合，则集合201720181k k A A =⎛⎫ ⎪⎝⎭的元素个数为 ． 2、一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使A S A B =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S AMN -的体积最大时，BAC ∠= ．3、已知m 2cos cos =+βα，n 2sin sin =+βα，则βαc o t c o t ＝ ．4、设F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，,AB CD 为过焦点的弦，满足AB CD ⊥，则“蝶形”ACFBD ACF BDF =∆∆面积的最小值为 ．5、所有能使]5[2n 为质数的正整数n 的倒数和为 . 6、若四面体的六条棱长分别为2,3,4,5,6,，则不同的形状有 种．（若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）.7、把从1001至2000的所有正整数任作一个排列，都可以从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A ，则最大的正数A 为 .8、在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=- 没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 ．二、 解答题：本大题共3小题，满分56分。
9、（本题满分16分）给定了n 个()2n ≥二次三项式211x a x b -+，…，2n n x a x b -+，其中2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ……互不相同。
试问，是否可能1212,,,,,,,n n a a a b b b ……中的每个数都是其中某个多项式的根？10、（本题满分20分）抛物线的焦点为F ，它的三条切线两两相交，得到三个交点,,A B C ，证明:,,,A B C F 四点共圆．11、（本题满分20分）是否存在2017个共圆的点，满足任意两点之间的距离为无理数，以任意三点为三角形的顶点构成的三角形的面积为整数？。
清北学堂数学高联一试模拟题(1)及答案
清北学堂高联一试模拟题(一)答案1、|a+x|-|x+2019|的最大值是|2019-a|≤2a，解得a≥673。
2、2/√53、3i4、22005-1设集合A={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}，B=S\A。
`任取B的一个子集B1，恰有一个A的子集A1，使得B1的元素和与A1的元素和之和是2048的倍数。
于是S满足条件（但不一定是非空真子集）的子集个数等于B的子集个数22005。
去掉一个空集的情况，但是由于全集不满足条件，所以不用去掉，即为所求答案22005-1。
5、2064由容斥原理得到小于2018的完全平方数与完全5次方数共44+4-1=47个，注意到452=2025,因此a2018=2018+47+1=20646、15/57、31.从1开始逐项递推即可。
8、31.设两个账号的胜率分别是a/b＞c/d，都是最简分数。
那么0.0045≥a/b-c/d=（ad-bc）/bd≥1/bd，所以bd≥1/0.0045>222。
所以b+d≥2√222＞29。
若b+d=30，而bd＞223，所以（b-d）²≤30²-223×4=8。
而b与d同奇偶，所以（b，d）=（14,16）或（15,15）此时b与d不互素，这样的话a/b与c/d通分，分母≤bd/2<150，矛盾。
所以b+d≥31。
假设一个账号14局胜9局，另一个17局胜11局，那么两个胜率差就是(154-153)/(14×17)=1/238≈0.420%9.11.设抛物线方程为. , ,三条切线方程为, ,联立解得：, ,故的外接圆方程为：其中是三条切线方程的左边的式子.展开外接圆方程整理得：其中, ,因为该方程表示圆，故.从而，.故外接圆方程为：代入可知成立.故四点共圆.。
清北学堂数学高联一试模拟题(11)及答案
清北学堂高联一试模拟题(十一)一、 填空题1、已知函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对任意的]1,0(∈x 恒有意义，则实数a 的取值范围是 .答案：),1()1,21[+∞ .解： 显然0>a 且1≠a .由题意知01232>-++-a x ax 对一切]1,0(∈x 恒成立，即2132-->x x a 对一切]1,0(∈x 恒成立. 令213)(2--=x x x g ，则222)2(623)(--+-='x x x x g ，显然，对一切]1,0(∈x ，0)(<'x g ，所以函数213)(2--=x x x g 在]1,0(上单调递减，因此，当]1,0(∈x 时，)0()()1(g x g g <≤，即21)(2<≤-x g .因此，21≥a .综合可知：实数a 的取值范围是),1(]1,21[+∞ .2、计算3tan10+= ．．解：003tan10+=()00000003sin1030103sin1020cos10cos10+-+=)0000003sin10sin 30cos10cos30sin10cos10+-==．3、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段 对． 答案：50．解：五角星的外围是由10条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这10条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到25220C =对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有30对；因此总共有50个“异面直线段对”．314、已知双曲线以两坐标轴为对称轴，焦点在y 轴上，实轴长为2sin ,[,]43ππθθ∈，又双曲线上任一点(,)p x y 到点(1,0)M 的最短距离为1sin θ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．答案：（1,7解：设双曲线方程为22221,sin y x b θ-=则22222222222sin (1)(1)sin (1)(1)21sin .x PM x y x x x b bθθθ=-+=-++=+-++因x R ∈，故22222min1sin ,sin b PMb θθ=+-+又因22mi n1,s i n PMθ=从而64224s i n s i ns i n ,1s i nb θθθθ+-=-而20b >及[,].43ππθ∈解不等式得23sin ,4θ<<又因222222422sin sin 1(),1sin 1sin sin sin c b e a θθθθθθ+====--令2sin ,t θ=则21,1e t t=-因1()1f t t t=-在34⎤⎥⎝⎦，上是递增函数，故2121,177e e <<<≤5、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a a a a a ++++为一平方数，2468a a a a +++为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ．答案：18000．解： 设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a =，则2254m n a ==，得 2345m n = ………① 令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 231152m n =，再取122m m =，125n n =， 化为 2222225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =， 918000S a ==．6、四位数w 不能拆分为三个正整数的平方和，即方程w w z y x (222=++为四位数)没有正整数解，则w 的最大值为 ．答案：9999.解： 熟知任一奇数的平方模8余1，任一偶数的平方模8余0或4，从而任意三个正整数的平方和不可能模8余7，说明9999不能表为三个正整数的平方和，显然这是具有这一性质的最大四位数。
清北学堂数学高联一试模拟题(2)及答案
1,……②
故直线
AB
:
x0 x 2
y0
y
1过点
P(1,
1 2
)
，则有
x0 2
y0 2
1
x0
y0
2 ……③
故 Q 的轨迹方程为 x y 2
（ 2 ） 对 直 线 AB ， 当 斜 率 不 存 在 时 ， 即 为 x 1 ， 此 时
A(1, 2 ), B(1, 2 ),Q(2, 0)
2
2
1
2
SABQ
当
arg z
arg w
4
时，
z,
w 的取法有
C42
6 种．当
arg z
arg w
时，若
z
不取 2 i 和
4 2i ，则每个 z 唯一对应一个 w i z ，有 4 种情形；若 z 取 2 i 或 4 2i ，则 w 1 2i 或 2 4i ，有 2 2 4种情形．这样总共 6 4 4 14 种情形． 综上可知， zw 为纯虚数的概率为 14 7 ．
1
1
a
,
f
(x)
g(a)
1, 2
1
a
a
,
a 1 a 1 0 a 1
故对 n N* ， bn1 g(a) 恒成立.
又 b2n
2an (1 an )2
g(a) ,
注意到 0 g(a) 1 ,解上式得
2
1
g(a) g(a) 1 2g(a)
1
g(a) 1 2g(a) g(a)
an
1
3)3 1)2
令
f
(k)
(4k 2 4k 3)3 (2k 2 1)2 (2k 1)2
清北学堂一试题附答案
2 3 7 ⎪ ⎨ y⎪1+ y z3清北学堂 2021 年 5 月全国高中数学联赛模拟题一、填空题(各 8 分,共 64 分)1. 若 x>0，y>0，且 2x 2 y 28，则 x 6＋2y 2的最大值是＋ ＝ 32. 过抛物线 y 2＝2x 的焦点且与 x 轴垂直的直线与抛物线交于 M 、N 两点，O 为坐标原点，则 • ＝3. 设复数 z = (1 + i )(1 + i )(1 +i) ⋅L ⋅ (1 + i) ，则 z 的值为 ．2 2224.设正数 a = 0.123456789101112L ……，其中全体正整数从小到大顺次接成一排，形成 a 的无限小数部分，则 a 的小数点后第 2017 位数字是．5 已知点 P （0，1），椭圆+y 2＝m （m ＞1）上两点 A ，B 满足＝2，则当 m ＝时，点 B 横坐标的绝对值最大．6 在四面体 ABCD 中，顶点 D 处的 3 个面角都是直角，顶点 A处的 3 个面角之和等于 90 度，若 DB=a ，DC=b 。
则四面体 ABCD 的体积为= y 7 方程组 ⎪ = z 满足 z xyz ≠ 0的实数解为⎪ = x ⎩1+ 8. 在 坐 标 平 面 上 画 出 63 条 直 线 ：y = b , y = 3x + 2b , y = -3x + 2b , 其 中2 b = -10, -9, -8, ,8, 9,10 ，这些直线将平面分割成若干个等边三角形，其中边长为的等边三角形的个数是.⎧ ⎪x⎪1+ xn 二、解答题(共 56 分,其中第 9 题 16 分,其余两题各 20 分)9、已知函数 f (x ) = log x - 3, a > 0, a ≠ 1 ，若存在实数 m , n (m < n ) 及 a ，使得 f (x ) 的 ax + 3定义域为(m , n )，值域为(1 + log a (n -1),1 + log a (m -1)) ，分别求 m 和 a 的取值范围.10.、已知椭圆 C ：+＝1（a ＞b ＞0），四点 P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上．（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．11、设0 ≤ p ≤1，i = 1, 2, , n ，证明存在0 ≤ x ≤1 ，使 ∑1≤ 8n ⎛1 + 1++ 1 ⎫i | x - p | 32n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭42 6＋2y 21 +1 4 k i k 22 2 2 2 2 2 2 7 清北学堂 2020 年 5 月全国高中数学联赛模拟题答案2x ＋y 21. (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 3 ≤3· 22 9 2 ＝3× 2 .当且仅当 2x 2 ＝1 y 23 9 ＋ ， 即 x ＝ 3，y ＝ 时，等号成立．故 x 的最大值为 3.2. y 2＝2x 的焦点坐标是（，0），则过焦点且垂直 x 轴的直线是 ，代入 y 2＝2x 得 y ＝±1， 故 •，1）•（）＝﹣1＝﹣．3 答案：330．128 解：由于 1 + i= = 1 × k + 4 ，故2 k2 71 1k 7 k + 4 1 8 创 9 10 11 z = 照 + = k = 1 ×2 k = 1 k = × 128 1 创 234 ． 4 答案： 7 ．解：全体一位数占 9 个数位，全体两位数占 2´ 90 = 180 个数位．由于2017 - 9 - 180 = 1828 = 3´ 609+1 ，因此 a 的小数点后第 2017 位数字是从小 到大第 610 个三位数的首位数字，即 709 的首位数字 7．5. 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由＝2，可得﹣x 1＝2x 2，1﹣y 1＝2（y 2﹣1）， 即有 x 1＝﹣2x 2，y 1+2y 2＝3， 又 x 12+4y 1 ＝4m ，即为 x 2 +y 1 ＝m ，① x 2 +4y 2 ＝4m ，②①﹣②得（y 1﹣2y 2）（y 1+2y 2）＝﹣3m ，可得 y 1﹣2y 2＝﹣m ， 解 得，y 2＝， 则 m ＝x 22+（）2，1＋y 23 330 2x1 +x5 - 1 233332 2⎪ 2 2即有 x 2 ） ＝＝ ，即有 m ＝5 时，x 22 有最大值 4， 即点 B 横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．6.ab(a+b)/65 - 1 ⎫, ⎪⎭解：注意到函数 y =在[0,+∞)上单调递增x yy z若 x > y ，则 y = >= z ，从而 z = > = x ，于是 y > z > x ， 1 + x 1 + y 1 + y 1 + z矛盾，同理，若 y > x 也有矛盾⎛5 - 1 5 - 1 ⎫从而 x = y = z ，解得(x , y , z ) = , , ⎪ ⎪ ⎝⎭8.660.20六条最外面的直线决定了一个边长为 的正六边形，穿过原点O 的三条直线将这个正六边20形分成六个边长为的等边三角形.因为每个这样的大三角形的边长是小三角形边长的 10倍，且每个大三角形被分成102个小三角形，所以正六边形的内部共有边长为 2的三角形 600 个，另外，与正六边形每条边相邻的外部都有 10 个边长为 2600+60=660 个. 的正三角形，故共有9.由x - 3> 0 得 x 的取值范围为 (-∞, -3) ⋃ (3, +∞) ，因为 f (x ) 的定义域为 (m , n ) ，且 x + 3m > 1, n > 1，故 m ≥ 3 .又 m -1 < n -1, log a (n -1) < 1+ log a (m -1) ，所以0 < a < 1.7 , ⎛ 5 - 1 ⎝2 5 - 1 222 -3 x - 3 6易知u == 1-在(m , n )上单调递增，而log a u 单调递减，所以 f (x ) 在(m , n )上x + 3x + 3单 调 递 减 ， 又 f (x ) 的 值 域 为 (1 + log a (n -1),1 + log a (m -1))n - 3 ， 所 以 有1+ log a (n -1) = f (n ) = log a n + 3 ，m - 3 n - 3 m - 31+ log a (m -1) =方程f (m ) = log am + 3，故 a (n -1) =n + 3 , a (m -1) = m + 3，所以 m , n 是a (t -1) =t - 3 t + 32，即 at 2+ (2a -1)t + 3(1- a ) = 0 的两个不相等的实数根，且3 < m < n ，令 2a -1 g (t ) = at + (2a -1)t + 3(1 - a ) ，则 ∆ > 0, g (3) > 0, - > 3 ，解得0 < a < .2a 410. （1） 根 据 椭 圆 的 对 称 性 ），P 4（1，） 两 点 必 在 椭 圆 C上 ， 又 P 4 的横坐标为 1，∴椭圆必不过 P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆 C上． 把 P 2（0，1），P 3（﹣1， ）代入椭圆 C ，得：，解得 a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆 C 的方程＝1．证明：（2）①当斜率不存在时，设 l ：x ＝m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为﹣1，∴ ＝＝﹣1，解得 m ＝2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l ：y ＝kx+t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4＝0，，x 1x 2＝，n n n -1 n n n n则＝ ＝＝＝﹣1，又 t≠1，∴t ＝﹣2k ﹣1，此时△＝﹣64k ，存在 k ，使得△＞0 成立， ∴直线 l 的方程为 y ＝kx ﹣2k ﹣1， 当 x ＝2 时，y ＝﹣1， ∴l 过定点（2，﹣1）．11 证明：若否，设∀0 ≤ x ≤1， ∑1> 8n ⎛1 + 1 + + 1 ⎫ = B .| x - p | 3 2n - 1 ⎪i =1 i⎝ ⎭考察 2n 个开区间 I = ⎛ k ,k + 1⎫, k = 0,1, , 2n - 1 .至少有 n 个 I 不包含任何 p .以 x 表k 2n 2n ⎪k i j ⎝ ⎭示该区间的中点（ j = 1, 2, , n ）.令| x - p |= d ，则∀i ∈{1, 2, , n } ，d ≥ 1.对至多两个 j ， j i ijij4n3 d ij ≥ 4n 5，不成立;对至多 4 个 j ， d ij ≥ 4n，不成立；于是 ∑ 1 ≤ 2∑ 4n = B ，所以∑∑ 1 ≤ nB .j =1 d ij n =0 1 + 2n j =1 i =1 d ij而假设 ∑∑ 1> nB ，矛盾.故原命题成立.j =1 i =1 d ij。
清北学堂数学高联一试模拟题(10)及答案
④
2
又 AC ， BD 的方程为
y 0 bsin 0 x a ，
a cos a
y 0 bsin 0 x a ，
a cos a
先考虑以 P 为顶点且含有圆心的三角形，如图，显然， 这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集 A1, A2, , An ，而 另一个属于点集B1, B2, , Bn ． 且这种 PAiBj 含有圆心当且仅当 i j n 1， i, j 1, 2, , n ，今计 算合于条件的三角形个数：当i k 时，j 可取值 n,n 1, ,n k 1，
角形中，含有圆心的三角形的个数为
．
答案： 30. 解：一般地讨论圆周 2n 1 等分的 情况，任取其中一个分点，记为 P ，然
A1 A2 A3
P B1 B2
B3
An-1 An
Bn Bn-1
后将其余 2n 个分点这样标志，自 P 点后， 反时针方向的连续 n 个点依次记为 A1, A2, , An ； 顺时针方向的连续 n 个点依次记为 B1, B2, , Bn ；
有f (xy 1) f (y) f (x) f (x) y 2
f (x) f ( y) f ( y) x 2= f ( y) f (x) f (x) y 2
即 f (x) y f (y) x, 令y 0, 得f (x) x 1.
6、数列{an}是单调递增数列，且 n N 时 an 2n1 3an1 ，则首项
共计
k
个值，因此这种含有圆心的
PAi Bj
个数为
n
k 1
k
1 2
n
n
1
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DB, DC l5,l6，也有两种情况．共得 4 种情况． D
.
5
答案： 37 .
60
解： n 1,2,3 时，[ n2 ] 都不是质数；n 4 时，[ n2 ] 3 是质数；n 5
5
5
时[ n2 ] 5 是质数； n 6时，[ n2 ] 7 是质数.
5
5
当 n 8 时，可设 n 5k r （其中 k 为不小于 2 的正整数， r 0,1，
，有 koc＝mn
.
由 AB⊥OC 及 AB 过点 C（m，n），知 AB： y m x m2 n2 ，代入圆的
n
n
方程，得
1
m2 n2
x 2
2m
m2 n2
n2
x
n2 m2 2 n2 n2
0．
cos ， cos 为此方程两根，∴有 cos cos
1 SM 3
SANM
，由 SA
AB
2 得：
AM SM 2 ，而 AN NM ， AMN 为斜边长为 2 的直角三角形，面
积最大在 AN MN 1时取到，此时， BAC arccos 3 ．
3
3、已知 cos cos 2m，sin sin 2n ，则 cot cot ＝
1 e2 et42
1 x 2 e2 2
x
注意到上式在[1 1 e2,1] 上单调递增，当 x 1时，“蝶形”ACFBD 面
2
积的最大值为 b2 ，当 x 1 1 e2 时“蝶形” ACFBD 面积的最小值为
2
2b4 .
a2 b2
5、所有能使[ n2 ] 为质数的正整数 n 的倒数和为
取一点 S ，使 AS AB ，C 为半圆上一个动点，N, M 分别为 A 在 SC, SB 上
的射影．当三棱锥 S AMN 的体积最大时， BAC
．
答案： arccos 3 ．
3
解： 易知 BC 面SAC，所以 BC AN，从而 AN 面SBC，所以
AN
SM
，因此 SM
面AMN ．VSAMN
．
答案： m2 n2 2 n2 ． m2 n2 2 m2
解：令 A cos,sin ，B cos ,sin ，则知 A，B 在圆 x2 y2 1上，
AB
中点
C（m，n），其中
m
1 2
cos
cos
n
1 2
sin
sin
2
则 CFx 900 . 于是
AF ep ,CF
ep
1 e cos
1 e cos(900 )
BF
1
ep e cos(1800
)
,
DF
1
ep e cos(1800
900
)
所以
S ACFDB
SACF
SBDF
1 2
AF CF
1 2
BF FD
或 2）则 n2 1 (5k r)2 1 (25k 2 kr r 2 ) k(5k 2r) 1 r 2 ，
55
5
5
所
以
n2 [ ] k(5k 2r)
，因
为
k2
，所
以
5k 2r 2
，
所
以
5
[ n2 ] k(5k 2r) 不是质数.
5
因此，能使[ n2 ] 为质数的正整数 n 只有 4,5,6，它们的倒数和为
e2 p2 (1 e2 sin cos ) 1 e2 e4 sin2 cos2
设 sin
cos
t
，0
t
1 2
，则
S ACFDB
e2 p2 (1 e2t) 1 e2 e4t2
.
再设1
e2t
x
，1
1 2
e2
x
1，则
SBDFCA
ep2 2
x ep2 2
n2 m2 2 n2 m2 n2
，
sin sin 同理，有
m2 n2 2 m2
cot cot
m2 n2 .从而
m2 n2 2 n2
m2 n2 2 m2 ．
4、设
F
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的焦点，AB,CD
不互质的数有其中的全体偶数，以及奇数1009 ，共计1010 个，对于每
个这样的数
a
，真分数
a 2018
在化为既约分数后，都将在集合
2017 k 1
Ak
中
出现，因此 A 2018
2017
A
k
的元素个数为1010
．
k1
2、一个直径 AB 2 的半圆，过 A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上
l2 , l3 ： 情形甲： l2, l3 共面，则该面的另一边必为 l4
D
4 A3
C 2
B
10 . 若 l2,l3,l4 按顺时针方向组成三角形（如图，均指从形内向该面看
三边的绕向，下同），则边 DA 不能取 l（6 否则将使 BCD 的三边为 2,5,7 ，
矛盾）．
若 取 D A 5 l， DB, DC l6,l7 ， 有 两 种 情 况 ； 若 取 DA l7 ，
清北学堂高联一试模拟题(十二)
一、 填空题
1、设正整数 n 2 ，用 An 表示分母为 n 的全体真分数所组成的集合， 则集合
A 2018
2017
A
k
的元素个数为
．
k1
答案：1010.
解：由于 2018 21009 ，（1009 为质数），则在1, 2, , 2017 中，与 2018
5
1 1 1 37 .
4 5 6 60
6 、 若 四 面 体 的 六 条 棱 长 分 别 为 2 , 3 , 4 , 5 , 6，, 7则 不 同 的 形 状 有
种．
（若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）.
答案：10 种．
解：将长为 k 的线段记为 lk , k 2,3, 4,5,6,7 ，考虑
为过焦点的弦，满足
AB CD ， 则 “ 蝶 形 ” ACFBD ACF BDF 面 积 的 最 小 值
为
．
答案： 2b4
a2 b2
解：以 F 为极点，Fx 为极轴，则椭圆的极坐标方程为 ep
1 e cos
（ e 为离心率， p 为焦点到相应准线的距离）.设 AFx (0 ) ，