高二数学竞赛模拟试题及答案
安徽高二高中数学竞赛测试带答案解析
安徽高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．86.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．二、填空题1.不等式的解集为__________．2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.2.解关于的不等式组.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.安徽高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】命题“若，则”是真命题，则根据逆否命题的等价性可知：命题“若，则”是真命题，故选C.2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线的，，可得渐近线方程为，即有，故选B.3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使【解析】因为，故其最大值为，所以存在，使不正确，故选D.4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，所以，解得，故选D5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】由题意可得，解得，∴，故选A.6.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若且，则对任意，有，反之，则不一定成立．如，且时，也有对任意，有．故“且”是“对任意，有”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系.7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点在椭圆上，线段的中点在轴上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选A.8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．【解析】不等式对应的平面区域如图：由得，若时，直线，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得，综上满足条件的或，故实数的取值集合是，故选B.点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，结合取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据；作出不等式组对应的平面区域，利用取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论.9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴∴，，故不正确；，，故不正确；，，故C正确；，，故不正确；故选C.10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个【答案】B【解析】设正方体的棱长为2，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，设，则，∴，∵直线与平面垂直，∴，解得，∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面垂直的直线有1条，故选B.11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．【答案】C【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，代入椭圆方程得，相减得，∴，∵，，．∴，化为，又，解得，．∴椭圆的方程为，故选C.点睛：点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程，还可用于求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题等.二、填空题1.不等式的解集为__________．【答案】【解析】∵，∴原不等式等价于，其解集为，故答案为.2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．【答案】【解析】在正四面中，设向量，，，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，则∵中，，，∴，，，，∵，∴，即直线和所成角的余弦值为，故答案为.3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．【答案】2【解析】由，，得到，解得，根据余弦定理得：，解得，根据正弦定理得：（为外接圆半径），则，故答案为.点睛：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题；由度数和的值，利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，让等于即可求出的值，由及的值，根据余弦定理即可求出的值，然后由和的值，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆的半径.4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．【答案】10【解析】∵，∴取最小值为1，取最大值为2．所以最大值，又∵，即最小值，所以，故答案为.三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.【答案】（1）见解析; （2）18.【解析】（1）根据每天生产甲乙两种产品分别为，吨，然后根据题目条件建立约束条件，列出不等式组即可；（2）根据（1）中的约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值.试题解析：（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域：（2）设该企业每天可获得的利润为万元，则.当直线过点时，取得最大值，所以.即该企业每天可获得的最大利润18万元.2.解关于的不等式组.【答案】①当时，不等式组的解集为；②当时，不等式组的解集为；③当时，不等式组的解集为；④当时，不等式组的解集为；⑤当时，不等式组的解集为.【解析】依据指数函数的单调性将不等式转化为，分为，和三种情形得其解；由于对应的两个零点为，应比较两零点的大小，结合第一个不等式，故而应分为，，，，五种情形.试题解析：由，得，当时，；当时，不存在；当时，；由，得.①当时，，又，所以原不等式组的解集为；②当时，，又，所以原不等式组的解集为；③当时，，又，所以原不等式组的解集为；④当时，，又不等式的解集为，所以原不等式组的解集为；⑤当时，，又，所以原不等式组的解集为；点睛：本题主要考查了分类讨论思想在解不等式中的应用，解题的关键是做到不重复不遗漏，确定讨论的标准；对于，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不变，同时除以一个负数不等号改变的性质，故对其分为，和三种情形；对于含有参数的一元二次不等式，按照以下三种情形进行分类：1、二次项系数的符号；2、对应函数零点的个数；3、对应函数零点的大小进行比较.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）依据向量平行的坐标运算公式，利用正弦定理将边化为角，故可转化为，再根据三角形内角和以及诱导公式可得，故得；（2）余弦定理和基本不等式相结合可得面积最值.试题解析：（1）由得，，由正弦定理可得，，，，，又，.（2）的面积.由已知及余弦定理，得.又，故，当且仅当时，等号成立.因此面积的最大值为.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】（1）结合由已知等式易得递推式，可得，，的值，由等比数列的性质可得的值；（2）结合（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式；（3）由（2）得，利用裂项相消法得其前项和.试题解析：（1）由，得，当时，，即，所以，，依题意，，解得.（2）有（2）知，所以，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.（3）由（2）知，则.点睛：本题主要考查了等比数列的概念及其构造，等式以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析; （2）.【解析】（1）取的中点为，由已知得，，从而面，由此能证明平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：由题意可得为等边三角形，取的中点为，则，，，，又，，面，又，所以平面平面.（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，设面的法向量为，面的法向量，由，即，取，则，，；由，即，取，则，，，，所以二面角的余弦值为.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.【答案】（1），，;（2）或;（3）为定值.【解析】（1）将代入，得，由此能求出抛物线方程和焦点坐标；（2）设，及直线的方程，联立方程组结合韦达定理得，，由即，代入得的值，故可得其直线方程；（3）设，，写出直线的点斜式方程，将代入得，同理可得，利用整体代换思想得可得结果.试题解析：（1）将代入，得，所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.（2）设，，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得：，则由韦达定理得：，.由得，，又，，所以，，所以，，所以，，解得，所以，所求直线方程为或.（3）设，，直线的方程为：，即，令，得，同理可得：，又，，.所以，即为定值.。
高二数学竞赛题
高二数学竞赛题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5a =673a +=，则5S 的值为( )2、在等差数列{}n a 中，31124a a +=，则678a a a ++的值是( ) A.36B.48C.72D.243、数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A.103B.10818C.11038D.1084、两直线1:10l ax y ++=和22:10l x a y --=互相垂直，则a 的值是( ) A.0B.1C.0或1D.1或1-5、直线10ax y +-=平分圆2224130x y x y +-+-=的面积，则a =( ) A.1B.3C.3D.26、如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，点N 在BC 上，且2OM MA =，2BN NC =，则MN =( )A.212333a b c -++B.22133b c -+C.212333a b c --+D.22133b c --7、若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.230x y +-=B.210x y -+=C.230x y +-=D.210x y --=8、直线1y x =+被圆221x y +=截得的弦长为( )A.1C.2D.9、已知直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，则m 的值为( )A.-B.C.3D.3-10、判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系为( ) A.相交B.内切C.外切D.内含11、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，b =2a c =，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的周长为( ) A.4B.8C.16D.3212、已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线与直线23y x =-平行，则双曲线的离心率为( ) A.2D.5二、填空题13、已知数列{}n a 的前n 项和为2223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.14、圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为__________.15、双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________.16、已知函数()ln x f x e x =,()'f x 为()f x 的导函数,则()'1f 的值为__________三、解答题17、已知圆C 经过原点和点(2,1)A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程.18、数列{}n b 的前n 项和21n n S =-，数列{}n a 为等差数列，且11a b =，43a b = （1）求数列{}n b 的通项公式. （2）求证数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.19、在四棱锥A BCFE -中，底面BCFE 为梯形﹐BC BE ⊥，//EF BC ，1BC BE ==，3AE =，34EF =，AB ⊥平面BCFE .（1）证明：平面AEF ⊥平面ABE ； （2）求直线AE 与平面AFC 所成角的正弦值.20、在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，////AD EF EF BC ，，24BC AD ==，32EF AE BE ===，，G 是BC 的中点．(1)求证：//AB 平面DEG ； (2)求二面角C DF E --的余弦值． 21、已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.22、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为4，直线2y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点且AOB ∠为直角，O 为坐标原点(1)求椭圆C 的方程 (2)求AB 的长度参考答案1、答案：C解析：设公比为q ，由题意知0q >，65a a q =⋅=22752q a q =⋅=，2322q q ∴+=，化简得260q q +-=， 解得2q =，514a a q ==()5511213132(31)123232S ⨯-==-⨯-=-.故选：C. 2、答案：A解析：由题设，1137224a a a +==，则712a =， 所以6787336a a a a =++=. 故选：A.3、答案：D解析：把22293n a n n =-++看成二次函数，对称轴为291744n ==，7n ∴=时7a 最大，最大项的值是27272973108a =-⨯+⨯+=.故选D.4、答案：C解析：直线1:10l ax y ++=l 1:ax +y +1=0和直线22:10l x a y --=x -a 2y -1=0互相垂直，则20a a -=a -a 2=0，解得：0a =或1a =a =1，故选：C. 5、答案：B解析：根据题意，圆的方程为2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0，其圆心为()1,2-(1,-2)，若直线10ax y +-=ax +y -1=0平分圆2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0的面积，则圆心在直线10ax y +-=ax +y -1=0上，则有210a --=a -2-1=0，解可得3a =a =3；故选B. 6、答案：A解析：连接MB ，如图所示：()222333MN MB BN OB OM BC OB OA OC OB =+=-+=-+-()2221233333b ac b a b c =-+-=-++.故选：A 7、答案：D解析：圆的标准方程为()2239x y +=-，圆心()3,0A .因为点()1,1P 为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥.又AP 的斜率101132k -==-，直线MN 的斜率为2，弦MN 所在直线的方程为(11)2y x -=-，即210x y --=. 8、答案：B解析：圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，则圆心(0,0)O 到直线1y x =+的距离2d ==，所以直线1y x =+被圆221x y +=所截得的弦长为== 故选：B. 9、答案：A解析：第一步：将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径由22430x y x my +-++=，得222(2)124m m x y ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭，所以圆心2,2m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =. 第二步：结合点到直线的距离公式列关于m 的方程并求解因为直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，所以=m =- A. 10、答案：B解析：因为圆2264120x y x y +-++=的圆心为(3,2)-，半径11r =， 圆22142140x y x y +--+=的圆心为(7,1)，半径26r =，215r r ==-， 所以两圆内切. 故选：B. 11、答案：C解析：23b =2a c =，222a b c =+，22212a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，216a ∴=，4a ∴=，2ABF ∴△的周长为121222416AF AF BF BF a a a +++=+==.故选：C. 12、答案：B解析：由双曲线的渐近线与直线23y x =-y =2x -3平行知，双曲线的一条渐近线方程为20x y -=Error! Digit expected.，2b a ∴=， 2b a ∴=， c ∴=，∴离心率ce a==. 故选：B.13、答案：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：2223n S n n =-+，故当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2121212n S n n -=---+，144n n n a S S n -∴=-=-113a S ==不适合上式，3,144,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故答案为：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩.14、答案：22解析：圆O 的圆心为()0,0，()0,0到直线l的距离为1025=> 所以圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为2.故答案为：215、答案：解析：根据题意，双曲线222:1(0)4x y C b b -=>C :x 24-y 2b 2=1(b >0)的焦点在x轴上，则其渐近线方程为2by x =±，又由该双曲线的一条渐近线方程为320xy +=，即32y =-=3=；所以2c ==16、答案：e解析：函数()ln x f x e x =, 则()1'ln x x f x e x e x=+;()'1ln11f e e e ∴=⋅+⋅=.故答案为: e 根据导数的运算法则求出函数()f x 的导函数,再计算()'1f 的值.17、答案：22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：(方法一)设所求圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=.由题设，得222222,(2)(1), 210.a b r a b r a b ⎧+=⎪-+-=⎨⎪--=⎩解此方程组，得26,51,1029.20a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以，所求圆C的标准方程是2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(方法二)因为圆心在直线210x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(21,)b b +. 因为圆C 经过原点和点(2,1)A ，所以||||CO CA r ==.==所以圆心坐标为2261,,||510r CO ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以圆C的标准方程为2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18、答案：（1）12n n b -= （2）证明见解析解析：（1）当1n =时，111b S ==当2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S ---=-=---=11121b -==∴数列{}n b 的通项公式为12n n b -=（2）{}n a 为等差数列，111a b ==，434a b == n a n ∴=设111(1)n n n c a a n n +==⋅+ {}n c ∴的前n 项和为n T 123n n T c c c c =++++1111122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+11111111223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+19、（1）答案：证明见解析解析：由题意知BC BE ⊥，//EF BC ，所以EF BE ⊥，AB ⊥平面BCFE ， AB EF ∴⊥，又知ABBE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥平面ABE ， 又因为EF ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面ABE . （2解析：由题可知AB =由（1）知BA ，BC ，BE 两两互相垂直，分别以EB ，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,1,0C，(A ，()1,0,0E ，31,,04F ⎛⎫⎪⎝⎭.则31,,4AF ⎛=- ⎝，11,04,CF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，(1,0,AE =-.设平面ACF 的法向量为(),,m x y z =，则0m AF m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即304104x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1x =，则(m =，所以1cos ,m AE -==所以直线AE 与平面AFC .20、答案： (1)见解析（2） 解析： (1)证明：因为////AD EF EF BC ，， 所以/AD BC ，又2BC AD =，G 是BC 的中点，所以//AD BG 且AD BG =，所以四边形ADGB 是平行四边形，所以//AB DG . 因为AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， 所以//AB 平面DEG .(2)因为EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， 所以EF AE EF BE ⊥⊥，，又AE EB ⊥， 所以EB EF EA ，，两两垂直．以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，所在的直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则0,0,02,0,02,4()()()(,00,3,)()00,2,2E B C F D ，，，，． 由已知得()2,0,0EB =是平面EFDA 的一个法向量． 设平面DCF 的法向量为,(),n x y z =，则00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩因为(0,1,2)FD =-，(2,1,0)FC =，所以2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩令1z =，得21y x ==-，，所以可取1,(1)2,n -=．设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,n EB θ=〈〉==. 易知二面角C DF E --为钝二面角，所以二面角C DF E --的余弦值为. 21、（1）答案：ln 1x +解析：(ln )ln (ln )ln 1y x x x x x x x ''''==⋅+=+； （2）答案：1y x =-解析：1ln111x k y ='==+=.∴切线方程为1y x =-.22、答案：(1) 2214x y +=解析：(1)由题意22224a c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆的方程为2214x y += (2)设()()1122,,,,A x y B x y 把2y kx =+代入2214x y +=得 ()2212122216124116120,,4141k kx kx x x x x k k +++=∴+=⋅=++ AOB ∠为直角，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=（或斜率乘积为1-） ()()1212220OA OB x x kx kx ∴⋅=+++= 解得24k =AB ∴=AB ∴。
高二数学竞赛试题及答案
⾼⼆数学竞赛试题及答案⾼⼆年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）⼀、填空题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分）1．命题:p ⽅程11522=-+-m y m x 表⽰焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成⽴的充分不必要条件是 A ．53<m C ．51<2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ??=>，则A B = （）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满⾜()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则该双曲线的标准⽅程为（）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（）①若,m ααβ⊥⊥，则//m β；②若,//,m n ααββ⊥?，则m n ⊥；③若,,//m n m n αβ??，则//αβ；④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成⽴的是（）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ω?=+（0A >，0ω>，02π<<）的部分图像如图所⽰，则函数()f x 的解析式为（） A．())3f x x π=+ B．())6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正⽅体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底⾯ABCD 的中⼼，P 为棱11A B 上的任意⼀点，则直线OP 与直线AM 所成的⾓为（）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．⼀只蚂蚁从正⽅体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正⽅体的表⾯，按最短路线爬⾏到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表⽰正⽅体及蚂蚁最短爬⾏路线的正视图是（）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ??=-<< 的图象是（）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等⽐数列，则椭圆的离⼼率e 的取值范围是（）A.)1,1B.1,1??C.(1?? D.0,2? ??12．已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中⼼为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ?周长的最⼩值为（）A ．24BC ．14 D第II 卷（⾮选择题）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹⾓为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满⾜22=+y x ，则xyyx 8+的最⼩值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于⼀切[)0,x ∈+∞恒成⽴；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ?∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所⽰，已知⼆⾯⾓α-MN -β的⼤⼩为60°，菱形ABCD 在⾯β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥⾯α，垂⾜为O .(1)证明：AB ⊥平⾯ODE ；(2)求异⾯直线BC 与OD 所成⾓的余弦值．19．（12分）如图所⽰，在ABC ?中, 点D 为BC 边上⼀点，且1,BD E =为AC 的中点（1）求AD 的长；（2）求ADE ?的⾯积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成⽴，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线y x =. ⑴求椭圆的⽅程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN ⾯积的最⼤值和最⼩值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满⾜1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满⾜()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前⾯；当n 为偶数时，n b 放在前⾯”的要求进⾏“交叉排列”，得到⼀个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n项和n S ．参考答案⼀、选择题1．D 解析：⽅程表⽰焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->??->??->-?，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ??=-= ，故10,2A B ??=.3.D 解析：由已知1n n a a +=4. A解析：,e c a =?==，渐近线⽅程222202x y x b b -=?=±，因此左顶点到⼀条2a b =?==，即该双曲线的标准⽅程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β?，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代⼊验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所⽰建⽴空间直⾓坐标系，不妨设正⽅体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =--- ，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ?=-?-?+-?-= ，即OP AM ⊥，故夹⾓为2π，故选C.9．D 解析：最短距离是正⽅体侧⾯展开图，即矩形111ABCC B A A 的对⾓线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对⾓线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥?≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线c o s (4)s i n x y θθ+-=的距离直线c o s (4)s i n x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表⽰除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合，∴集合A C U 表⽰圆()2241x y +-=，其对称中⼼()0,4M如图所⽰：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =??=?，可得M '（4，8）．设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ?的周长为⼩值，⼆、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所⽰，①)(x f 的最⼤值为1，最⼩值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成⽴，正确；②，故不正确；③如图所⽰，函数()()ln 1y f x x =--有证，所以对任意0>x ，不等.三、解答题17. 解析：若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ?>??<120,240,a a a a a ?+->?<01,,a x a x a g x a a x a x a --≥??=>?-++即()g x在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最⼩值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴实数a 的取值范围为18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ?α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三⾓形，⼜E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .⽽DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平⾯ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的⾓．由(1)知，AB ⊥平⾯ODE ，所以AB ⊥OE .⼜DE ⊥AB ，于是∠DEO 是⼆⾯⾓α-MN -β的平⾯⾓，从⽽∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ?中，知2250DCDC ∴--=,.20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ?-∈-?=?∈??，所以()()max 13f x f ==，因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ?∈-都成⽴，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ?∈-恒成⽴，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ?-+≥?++≥?，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ?+≤?-≤?，所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的⽅程为()222210x y a b a b+=>>；联⽴22221x y a by x ?+==?得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯⼀根；所以()()()2222222430b a a a b =--+-= ，得223b a +=⼜221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的⽅程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的⽅程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联⽴()22222212142202x y k x k x k y kx k+=+++-==+得，则12PQ x =-=同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ?? ?++===- ?++++ =2211442410k k- ++，因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k∈++，所以2211164,2429410k k ??-∈++，所以四边形PQMN ⾯积的最⼩值为169，最⼤值为2。
高二数学竞赛(含答案)
高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分） 1．复数()()212z i i =++的虚部为()A. 2i -B. 2-C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( ) A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（ ）A. 208B. 216C. 217D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ∧∧=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为( ) A. 4.5亿元 B. 4.4亿元 C. 4.3亿元 D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -= ）的点的个数的估计值为( )A. 5000B. 6667C. 7500D. 78546. 函数2cos 3sin cos y x x x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 122,3⎡-⎢⎣⎦C. 0,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,301⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（ ）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.21.52.02.53.8A.94πB. 9πC. 4πD. π 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（ ） 开始结束是,,n v x1i n =-0?i ≥输出v 1i i =-1v v x =⋅+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2 B. 3 C.32 D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ≠， 0b ≠）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3OA OB k k ⋅=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（ ）A. ()3,0B. ()23,0- C. 3p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.23,0p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A.B.C.D.二、填空题 （本题满分20分，每题5分）13.已知实数,x y 满足约束条件222441 x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为 .14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使 MB 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b -= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥ ，若1512PQ PF =，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 .三、解答题（本题满分70分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx nf x x x-=-，,m n R ∈. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+∞上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>.高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 1516．18000 17．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去）得5,412A B ππ== ．.................. 6分(2)1sin 32ABC S ac B ∆===， 又sin sin a cA C =, 即22=， ．.................. 8分得a c == .................. 10分（1）由已知6B π=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A π<<，所以2A π=， 3C π=．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =， 联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C ∆==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k k n k k kn a a ++---=<==-⋅---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分 故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030C P X C ===， ()12643103110C C P X C ===， ()2164310122C C P X C ===， ()36310136C P X C ===．故X 的Y 0 1 2 3P130 310 12 16.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线； ．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠∠=∠=⎪⎨⎩=⎧⎪， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90°∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HFBF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA ∠=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA ∠==,∴545OA = ∴254OA =∴255544AF =-=. ．..................12分21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分 （2）'2()(0)n xf x x x-=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <，所以①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，故()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减， 故()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=， 可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=. 令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x tx t t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+∞递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x =>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。
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高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
高二数学竞赛试题参考答案
参考答案：一、选择题：CBCDB ABDCB BD 二、填空题： 13. 5 -15； 14. 0；15．130 16．)1,21[-三、解答题： 17．解: (Ⅰ)由cos C =C是三角形内角，得sin C ==∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+22== (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC ACA B=，sin sin AC BC A B ==6=132AC CD BC ===, cos 5C =, 由余弦定理得:AD ==18．解：（1(2)(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.9219．设所求的圆C 与直线y=x 交于AB∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22|3|||a a a CD =-=又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a ∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。
故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；连结MO ，,O M 分别为1,DB DD 的中点，1//OM BD ∴，OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM1//BD ∴平面ACM ． （II ）AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1AC DD ⊥；且1BDDD D =，∴ AC ⊥平面11BDD B1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥，连结1B M ，在1B MO ∆中，22213MO =+=，222126B O =+=，(222119B M =+=，∴22211B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；法二：211==BB DO BO MD, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒∠+∠=，∴1B O OM ⊥．（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积∴111111332O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，11132==． 法二：可证AO ⊥平面1OB M ，则111111111133232O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯=21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<<c ，由题设知)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ，则1)(='c f 与已知矛盾。
高二数学竞赛试题及答案
高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。
______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。
______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。
______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。
______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。
高二数学竞赛试题附答案(1)
大学区高二数学竞赛试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共计50分）1、设P,Q 是两个非空数集，定义集合P+Q=｛a+b|a ∈P ,b ∈Q ｝,若P=｛0，2，5｝，,Q=｛1，2，6｝，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A 6B 7C 8D 9 2、一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是 （ ）A 102659+．B 84142+．C 8412017+．D 150.3、 如果 (0,)a π∈, 1lg(1cos ),lg()1cos m nαα-==+, 那么 lgsin α=( )A m n -.B 1m n +． C 1()2m n -． D 11()2m n +． 4、对任意的函数()y f x =，在同一个直角坐标系中，函数()-1y f x =与函数()-+1y f x = 的图像 （ ）A 关于x 轴对称.B 关于直线1x =对称．C 关于直线-1x =对称．D 关于y 轴对称5、若11x F x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列等式中正确的是 （ ）A ()()22F x F x --=--.B ()1-1x F x F x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭． C ()1F F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． D ()F F x x =-⎡⎤⎣⎦6、 已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y 十2=0平行，则tan 2α的值为（ ）A ．45B ．43C ．34D ．237、 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8、若圆222)5(3r y x =++-）（有且仅有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A 、［4,6］B 、[4, 6 ）C 、（4,6 ］D 、（4,6）9、等比数列{}n a的前n 项和为n s ，若1030=1070s =，s ，则40s 等于（ ） A 150. B -200． C 150或-200． D 400或-5010、．已知()1122,,(,)A x yB x y 是函数2()12xf x x =-图像上不同的两点，若AB 的中点落在x 轴上，则2212x x +的取值范围为 （ ）A ．1(,)16+∞ B ．1(,)8+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1(,)2+∞二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共计25分）11、已知1+sin 1cos 2x x=-，那么cos sin 1xx -的值是 。
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高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）(A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．162．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于( )﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ）（A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）(A)．100 (B). 101 (C).200 (D).2018．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）(A)．()f x 的图像关于x ＝2对称 (B)．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 (C)．()f x 的周期为4 (D)．()f x 的周期为8 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分42分． 9．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，5|1,2Px x Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则P M 等于 10．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4122<+y x 的概率等于11.已知函数()()()()()2110,11xa x x f x a a a x -+<⎧⎪=>≠⎨≥⎪⎩且是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .12．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,35250,0.x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩||OA （O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .14．已知函数()2xf x =,等差数列{}n a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤C 1B 1A16. (本小题12分) 在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1=∙=∙BC BA AC AB . (1)求证：A=B ； (2)求边长c 的值；(3)6=+，求⊿ABC 的面积。
17．（本小题12分）已知向量()11,,2,cos 2sin sin x x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭a b ，其中⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πx ． （1）试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？ （2）求函数()f x =a b 的最小值．18.( 本小题12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ． （1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．19. （本小题12分）已知数列)2(,122,5}{11+-∈≥-+==N ，n n a a a a n n n n 满足 （Ⅰ）若nn n a b 21-=，)(+∈N n 为等差数列数列求证}{:n b ； （Ⅱ）设数列{}n a n S n 项和的前，求n S20. (本小题12分) 已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx （a 、b 是常数且a ≠0）满足条件：f （2）＝0且方程f （x ）＝x 有等根． （1）求f （x ）的解析式；（2）问是否存在实数m 、n （m ＜n ）使f （x ）的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］，如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．高二数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题：。
每小题6分，满分48分。
1．D 2．C 3．A 4．A 5.B 6.B 7A. 8.C二、填空题：。
每小题6分，满分42分。
9．{}1,0,1,2,3- 10．16π11.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12. 213. 5 14. －6 15. 三．解答题.满分60分16解(1)由1=∙=∙，得bccosA=accosB,sinBcosA=sinAcosB, sin(A-B)=0,则A=B.----------（4分）(2) 1=∙,得bccosA=1,又12222=-+∙bca cb bc ，则b 2+c 2-a 2=2,c 2=2,所以2=c 。
-----------8分）6=+,得2+b 2+2=6, 2=b ,s=23.-------------------（12分） 17解：（1）若ab ，则有02sin 12cos sin 1=⋅+⋅xx x ． ∵0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴sin 0x ≠．∴22cos -=x ，这与cos21x ≤矛盾． ∴a 与b 不能平行． ……………………6分（2）∵2cos 2()sin sin x f x x x==-a b xx x x sin sin 21sin 2cos 22+=-=xx sin 1sin 2+=，∵0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴(]sin 0,1x ∈，∴22sin 1sin 22sin 1sin 2)(=⋅≥+=x x x x x f ．当x x sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号，故函数)(x f 的最小值为22．……………………12分18.解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ． （1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1相切的概率；（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．---------------------------- （2分） ∵直线ax ＋by ＋c=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是1=即：a 2＋b 2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5；或a=4,b=3,c=5两种情况．∴直线ax ＋by ＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是213618=----------- （6分）（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36． ∵三角形的一边长为5∴当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种 当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5）， （5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1873614=．---------------（12分）19. 解：（I ）∵nn n a b 21-=，∴12+⋅=n n n b a 又∵,1221-+=-n n n a a ∴12)12(21211-++⋅=+⋅--n n n n n b b ， 即11=--n n b b ，()+∈≥Nn n ,2，且21=b……………………3分所以，为等差数列数列}{n b …………………………5分 （II ）由（I ）可得1)1(1+=-+=n d n b b n 又∵12+⋅=n n n b a ，∴ )(12)1(+∈++=N n n a n n,2)1(n n n T n n b 项和为且其前令+=n n n T 2)1(24232232+++⨯+⨯+⨯=∴ ①1322)1(223222+++⨯++⨯+⨯=n n n n n T ②……………………10分①－②得11322)1()22(22)1(2224+++-+++=+-++++=-n n n nn n n T11122)1(2+++⋅-=+-=n n n n n.2,211n n S n T n n n n +⋅=∴⋅=∴++………………………………12分20.解：（1）∵方程ax 2＋（b －1）x ＝0（a ≠0）有等根， ∴1004)1(2＝＝－－＝b a b ⇒⨯∆． 又f （2）＝0，∴4a ＋2b ＝0．∴21＝－a ．∴x x x f ＋＝－221)(．………… 5分（2）∵2121)1(21)(2≤＋－＝－x x f ，∴212≤n ，即41≤n ． 又二次函数21)1(212＋－＝－x y 的对称轴方程为x ＝1，∴当41≤n 时，f （x ）在［m ，n ］上为增函数，设m 、n 存在，则⎪⎩⎪⎨⎧n n f m m f 2)(2)(＝＝ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒．＝－或＝＝－－，＝－或＝＝－－200212002122n n n n m m m m∵41≤n m ＜，∴⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝－02n m 即存在实数m ＝－2，n ＝0使f （x ）的定义域为［－2，0］，值域为［－4，0］．……………………12分。