《概率论与数理统计》讲义
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计讲义
概率论与数理统计讲义概率论与数理统计知识体系结构第一章概率论的基本概念 1.随机试验2.样本空间、样本点、事件、基本事件、必然事件、不可能事件3.事件间的关系4.事件的运算5.事件运算的规律6.概率的定义7.概率的运算性质 8．等可能概型(古典概型) 9.几何概型 10.条件概率 11.事件的独立性 12.全概率公式 13.贝叶斯公式第二章随机变量及其分布一.随机变量1.随机变量的定义2.离散型随机变量3.随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义(2)分布函数的性质(3)离散型随机变量的分布函数 4.连续型随机变量及其概率密度 (1)连续型随机变量的定义 (2)概率密度函数的性质(3)连续型随机变量分布函数的性质 (4)几种常见的连续型随机变量 5.随机变量的函数的分布 (1)随机变量的函数的定义(2)离散型随机变量的函数的分布律 (3)连续型随机变量的函数的分布①连续型随机变量的函数的分布函数②连续型随机变量的函数的概率密度函数4 45 5 5 5 56 67 789 9 11 12 13 13 13 13 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 19 19 19 191第三章多维随机变量及其分布一.二维随机变量1.二维随机变量的定义2.二维随机变量的联合分布函数3.二维随机变量联合分布函数的几条性质4.二维离散型随机变量5.二维连续型随机变量二.边缘分布1.边缘分布函数的定义2.边缘分布函数的计算3.二维离散型随机变量的边缘分布律 3.二维连续型随机变量的边缘概率密度三.二维随机变量的条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布律2.二维连续型随机变量的条件概率密度四.相互独立的随机变量1.随机变量独立的定义2.离散型随机变量相互独立的充分必要条件3.连续型随机变量相互独立的充要条件五.两个随机变量函数的分布1.随机变量和的分布2.随机变量差的分布3.随机变量积的分布4.随机变量商的分布5.随机变量的最值的分布第四章随机变量的数字特征一.期望1.离散型随机变量期望的定义2.连续型随机变量的数学期望的定义3.随机变量的函数的数学期望的求法4.多维随机变量的函数的数学期望的求法5.随机变量的数学期望的性质二.随机变量的方差1.方差的定义2.标准差(均方差)的定义3.方差的计算 5.方差的性质 6.切比雪夫不等式三.随机变量的协方差1.协方差、相关系数的定义20 20 20 20 21 21 22 22 22 22 23 23 24 24 24 25 25 25 25 25 25 26 26 28 28 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 33 34 3422.协方差的计算3.协方差的性质4.相关四.矩与协方差矩阵1.原点矩定义2.中心矩定义3.混合矩定义4.混合中心矩第五章大数定律和中心极限定理一.大数定律1.辛钦大数定律(弱大数定律)2.依概率收敛3.伯努利大数定律4.切比雪夫大数定律二.中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理(林德伯格-列维定理)2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理3.李雅普诺夫中心极限定理34 34 36 36 36 36 36 36 38 38 38 38 39 39 40 40 40 413概率论与数理统计知识体系结构第一章概率论的基本概念第二章一维随机变量及其概率分布第三章二维随机变量及其概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理第六章样本及其抽象分布第七章参数估计第八章假设检验4第一章概率论的基本概念1.随机试验满足以下三大条件的试验叫做随机试验： (1) 可以在相同的条件下重复地进行；(2) 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； (3) 在进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.2.样本空间、样本点、事件、基本事件、必然事件、不可能事件(1) 将试验E的所有可能结果组成的集合成为样本空间，记为S. (2) 样本空间的元素，即试验E的每个结果，称为样本点. (3) 试验E的样本空间S的子集，称为随机事件，简称事件. (4) 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.(5) 样本空间S包含其所有样本点，是其自身的子集，在每次试验时它总会发生，S称为必然事件.(6) 空集?不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验时它总不会发生，?称为不可能事件.3.事件间的关系(1) 若事件A发生，事件B就发生，则称事件B包含A，记为A?B. (2) 若事件A、B满足A?B，且B?A，则称事件A与B相等.4.事件的运算(1) 事件A?B?xx?A?or?x?B称为事件A，B的和事件。
概率论与数理统计讲义 (27)
原点矩
由矩法,
0
X 1
2
总体矩
样本矩
2
从中解得 ˆ 2X 1 , 即为 的矩估计.
1 X
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(
x)
1
e( x
)
,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解: 由密度函数知
X 具有均值为 的指数分布
故 E(X- )= 即 E(X)=
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时， 选取那些总体矩用相应样本矩代替带 有一定的随意性 .
第 七 章第一节 矩估计
矩是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律
记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
参数估计问题的一般提法
设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )，其中为未知参数 ( 可以是
向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1, X2 , … , Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g( ) .
这类问题称为参数估计.
点估计
参数估计
区间估计
假如我们要估计某队男生的平均身高.
1
n
n i 1
X
m i
概率论与数理统计完整ppt课件
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计课件(共199张PPT)
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
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例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计讲义
概率论与数理统计讲义一、概率论1.1 引言概率论是研究随机现象的理论，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域。
它通过量化随机事件发生的可能性，帮助我们理解事件之间的关系和规律。
1.2 随机变量与概率分布随机变量是描述随机事件的事物，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
概率分布则是描述随机变量取值的概率情况，包括离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。
1.3 期望与方差期望是随机变量取值的平均值，用来描述随机变量的集中程度。
方差则是随机变量与其期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。
1.4 概率分布函数的性质概率分布函数有许多重要的性质，包括非负性、归一性、单调性、可加性等。
这些性质能够帮助我们更好地理解随机事件的规律和特征。
二、数理统计2.1 统计学概述统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，通过对样本数据的研究，推断出总体的一些特征和规律。
统计学广泛应用于社会调查、市场研究以及科学实验等领域。
2.2 描述统计学描述统计学是对数据进行总结和描述的统计学方法。
它包括数据的集中趋势度量、离散程度度量以及数据分布特征等内容。
2.3 参数估计参数估计是根据样本数据推断总体参数的一种统计学方法。
点估计通过寻找最优参数估计量来描述总体参数的真实值，区间估计则给出了参数估计的置信区间。
2.4 假设检验假设检验是用来判断总体参数是否满足某种假设的统计学方法。
它将原假设和备择假设相比较，通过计算统计量的值来判断是否拒绝原假设。
2.5 方差分析与回归分析方差分析和回归分析是用来研究多个变量之间关系的统计学方法。
方差分析用于比较多个总体均值是否相等，而回归分析则用于建立变量之间的数学模型。
三、应用案例3.1 金融风险管理概率论与数理统计在金融风险管理中发挥着重要作用。
通过对金融市场的随机波动性进行建模和分析，可以帮助投资者制定更合理的投资策略，降低风险。
3.2 医学研究数理统计在医学研究中具有广泛的应用。
概率论与数理统计(茆诗松)第四章讲义
⎡ T eit ( X − x1 ) − eit ( X − x2 ) ⎤ e − itx1 − e − itx2 ( ) ϕ t dt E dt ⎥ = ⎢ ∫−T ∫−T it it ⎦ ⎣
T
⎡ T cos t ( X − x1 ) + i sin t ( X − x1 ) − cos t ( X − x2 ) − i sin t ( X − x2 ) ⎤ dt ⎥ = E ⎢∫ it ⎦ ⎣ −T cos t ( X − x1 ) − cos t ( X − x2 ) ⎤ ⎡ T sin t ( X − x1 ) − sin t ( X − x2 ) dt ⎥ = E ⎢∫ −i −T t t ⎦ ⎣ ⎡ T sin t ( X − x1 ) − sin t ( X − x2 ) ⎤ dt ⎥ ， = E ⎢2∫ t ⎦ ⎣ 0
itx 0
+∞
−λ x
dx = ∫ λ e
0
+∞
−( λ −it ) x
e −( λ −it ) x λ ； dx = λ ⋅ = − (λ − it ) 0 λ − it
x2
+∞
1 −2 （6）标准正态分布 N (0, 1)：密度函数 p ( x) = e , − ∞ < x < +∞ ，特征函数为 2π
1 1 e itx dx = ⋅ ϕ (t ) = ∫ e ⋅ a b−a b − a it
b itx b
=
a
e ibt − e iat ； it (b − a )
⎧λ e − λx , （5）指数分布 Exp(λ)：密度函数 p ( x) = ⎨ ⎩0,
x > 0; x ≤ 0.
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在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
（1）两只球是颜色相同的事件 ，
（2）两只球是颜色不同的事件 ，
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ，
（2）至少有一次正面朝上的事件 ，
（3）前两次正面朝上的事件 。
3、概率的定义和性质
A． B． C． D．
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）
1重复排列和非重复排列（有序）
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
2对立事件
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
④顺序一定和不可分辨
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？
①3个舞蹈节目排在一起；
②3个舞蹈节目彼此隔开；
③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法
A．120种B．140种C．160种D．180种
(4)一些常见排列
①进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
（1）概率的公理化定义
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？
3顺序问题
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）
2、随机试验、随机事件及其运算
（1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。
为必然事件，Ø为不可能事件。
（2）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： ，
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白色的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表示下列事件：
第一章 随机事件和概率
第一节 基本概念
1、排列组合初步
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
例1．1：方程 的解是
A．4B．3C．2D． 1
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
P(A)= =
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是