中考二次函数复习要点
中考二次函数复习要点
一、把握要点（也是中考的考点及要求）
1．理解二次函数概念、性质、含画二次函数的图像。
2．能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。
3．含根据不同条件确定二次函数的解析式。
4．灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。
二、要掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件灵活运用，确定二次函数的解析式，适当做一些二次函数的实际应用问题，来提高分析和解决问题的能力。
三、二次函数是体现综合性的重点内容，从容易题到较难题中都会出现，也就是说每年中考试卷中即有相对稳定的基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题。
四、学习二次函数注意如下几点
1．函数图像中点的横纵坐标与二条线段之间的转化。
2．函数题目中有关”函数语言“的理解及表达，例如二次函数图象过原点，将二次函数以轴翻折，系数即改变符号等等。
3．当绘画出函数图象后，一定要分析图像的性质及基本图形的特征，例如出现等腰直角三角形，平行四边形等等。
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
九年级二次函数知识点
九年级二次函数知识点一、二次函数的定义和表示方式二次函数是指具有以下形式的函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
一般常用的表示方式有标准形式、顶点形式和描点法。
标准形式：y = ax^2 + bx + c，常用于确定二次函数的参数和特征。
顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h,k)为函数的顶点坐标。
描点法：通过确定函数的一些特定点求得二次函数的表达式。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：- 当a>0时，二次函数开口向上；- 当a<0时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：对称轴是二次函数图像的镜像轴，其方程为x = -b/(2a)。
3. 零点：零点是指使二次函数取值为0的x的值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
4. 最值：- 当a>0时，二次函数有最小值，最小值为函数的顶点值；- 当a<0时，二次函数有最大值，最大值为函数的顶点值。
三、二次函数的性质1. 函数增减性：- 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；- 当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
2. 函数的最值：- 当a>0时，函数的最小值为顶点值；- 当a<0时，函数的最大值为顶点值。
3. 零点与因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解或求根公式求得，形式为(x - x1)(x - x2) = 0。
4. 判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断二次函数的零点个数和开口方向。
- 当Δ > 0时，有两个不相等的实根，函数图像与x轴相交于两点；- 当Δ = 0时，有两个相等的实根，函数图像与x轴相切于一个点；- 当Δ < 0时，无实根，函数图像与x轴无交点。
四、二次函数的应用1. 抛物线运动：二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹，如抛体自由落体运动的轨迹等。
2. 最值问题：对于一些实际问题，二次函数可以用来求解最值问题，例如求解最大面积、最小花费等。
中考数学二次函数基础知识
中考数学二次函数基础知识
二次函数
正比例函数是：y=kx(k≠0) 两个数的商是常数(x/y=k,k≠0)一次函数是：y=kx+b(k≠0)
反比例函数： 两个数的积是常数(xy=k,k≠0)二次函数：y=ax 2+bx+c
1、二次函数y=ax 2+bx+c 一些基本概念①
二次函数是一条关于 x=- 对称的抛物线。
此抛物线有三大特征：有开口方向，有对称轴，有顶点。
考点一、 二次函数的概念
a
b
2
考点五、二次函数的解析式的几种应用例1
例2例3
解法1用一般式方法，由于顶点D点的横坐标为-1，所以是以 x=- = -1为对称轴的
解法2知道顶点和交点就可利用顶点式方法：再把BC点代入
a
b
2
解法
知道和x轴的两个交点，可直接用交点式方法：
3
解析：由于抛物线是以D为顶点（-1，？）为对称轴的，又和x轴交于两点AB,因为B点坐标是（-3，0），就可推出A的坐标是（1，0）
例4知道最值和对称轴，可直接用顶点法。
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。
一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。
2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。
3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。
5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。
二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。
2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。
3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。
三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。
3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。
中考二次函数知识点汇总
中考二次函数知识点汇总二次函数是一种常见的数学函数，它的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
在中考中，掌握二次函数的相关知识点及其应用是非常重要的。
下面是关于中考二次函数的知识点的详细汇总。
一、二次函数的图像特点1.开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2.对称轴：二次函数的对称轴为直线x=-b/2a。
3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为y=f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为y=f(-b/2a)。
4. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的x值，可通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。
二、二次函数的性质1.单调性：当a>0时，二次函数是开口向上的，即可知函数在开区间(-∞,-b/2a)上是递增的，在开区间(-b/2a,+∞)上是递减的；当a<0时，二次函数是开口向下的，即可知函数在开区间(-∞,-b/2a)上是递减的，在开区间(-b/2a,+∞)上是递增的。
2. 零点：根据二次函数的定义，可求出二次函数的零点为x = (-b± √(b^2-4ac))/2a。
当判别式（即b^2-4ac）大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于零时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于零时，二次函数没有实根。
3.达到最值的条件：当a>0时，二次函数取得最小值的横坐标是x=-b/2a；当a<0时，二次函数取得最大值的横坐标是x=-b/2a。
三、二次函数与一次函数的关系1. 平移：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c可以通过平移来得到一次函数g(x) = mx + n。
二次函数f(x)与一次函数g(x)的图像关系为：将二次函数的图像向上平移c个单位，然后将平移后的图像沿y轴方向压缩或拉伸，直到到达一次函数g(x)的图像。
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：oo结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。
总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：总结： a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。
中考复习二次函数知识点总结
中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。
一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。
在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。
二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。
3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。
三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。
2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。
四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。
2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。
3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。
4.求单调性：根据图像特征可以判断。
5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。
初中二次函数知识点总结(全面)
二次函数知识点二次函数概念:1. 二次函数的概念: 一般地, 形如y=ax2+bx+c（是常数, a≠0）的函数, 叫做二次函数。
这里需要强调: 和一元二次方程类似, 二次项系数a≠0, 而可以为零. 二次函数的定义域是全体实数。
<＜＞≤≥2.二次函数y=ax2+bx+c的性质1）当a＞0时, 抛物线开口向上, 对称轴为, 顶点坐标为.当时, 随的增大而减小；当时, 随的增大而增大；当时, 有最小值..2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式: （, , 为常数, ）；2.顶点式: （, , 为常数, ）；3.两根式: （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与轴有交点, 即时, 抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中, 属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是(). A.(1, -4.. B.(-1, 2...C.(1, 2... D.(0, 3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在..)A.第一象....B.第二象...C.x轴....D.y轴上4.抛物... 的对称轴是.. )9、 A.x=-....B.x=.... C.x=-.....D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列结论中, 正确的是(.)A.ab>0, c>0B.ab>0, c<0C.ab<0, c>0D.ab<0, c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则点在第_.象限()A.一B.二C.三D.四7.如图所示, 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4, 图象交x轴于点A(m, 0)和点B, 且m>4, 则AB的长是()A.4+.B.mC.2m-8D.8-2m10、8.若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是.)11、 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A.直线B.直线C.直线D.直线10.把抛物线的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 所得的抛物线的函数关系式是()A. B.C. D.二、填空题1、下列函数中, 哪些是二次函数？（1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+=（4）322-+=x x y 2.二次函数的图象开口方向, 顶点坐标是, 对称轴是； 3.当k 为何值时, 函数为二次函数？ 画出其函数的图象.3.函数, 当为时, 函数的最大值是；4、二次函数, 当时, ;且随的增大而减小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式, 则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A.B 两点, 则AB 的长为_________..8.抛物线y=x2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数的对称轴是.10二次函数的图象的顶点是, 当x 时, y 随x 的增大而减小.11抛物线的顶点横坐标是-2, 则=.12、抛物线的顶点是, 则、c 的值是多少？（１） 13. 已知抛物线y=﹣x －３x －（２） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（３） 求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；（４） 画出草图观察草图, 指出x 为何值时, y ＞0,y ＝0,y ＜0.14.（2010年宁波市）如图, 已知二次函数的图象经过A（2, 0）、B（0, －6）两点。
中考专题复习二次函数知识点总结
中考专题复习二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（2）2=+的图象与性质：上加下减y ax c（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：，已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：，已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：，已知图象与轴的交点坐标、.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴；如果0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx n y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题。
中考考点二次函数知识点汇总全
中考考点二次函数知识点汇总全二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是中考考试的重点内容。
它是由一次项、常数项和二次项组成的一元二次方程的图像，其函数关系为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
下面将汇总全面介绍中考中二次函数的知识点。
1.二次函数的图像特点：-当a>0时，二次函数的开口向上，图像是一个U型，顶点在下方；-当a<0时，二次函数的开口向下，图像是一个倒U型，顶点在上方；-函数的图像关于顶点对称。
2.顶点坐标与轴对称：-二次函数的顶点坐标是(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数的定义域；-二次函数的轴对称是x=-b/2a。
3.判断二次函数的开口方向及平移：-当a>0时，二次函数的开口向上；-当a<0时，二次函数的开口向下；-平移后的二次函数的顶点坐标为(x-h,f(x-h))，其中h为平移的横坐标单位，f(x)为原二次函数。
4.与坐标轴的交点与函数值：- 与x轴的交点（零点）是二次方程ax²+bx+c=0的解；-与y轴的交点是二次函数的常数项c；-函数值f(x)是二次函数在x处的y值。
5.最值及取值范围：-当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标，没有最大值，取值范围是[最小值,+∞)；-当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标，没有最小值，取值范围是(-∞,最大值]。
6.对称轴的方程及关于顶点的对称点：-对称轴的方程是x=-b/2a；-对于点P(x,y)，在对称轴上的对称点是P'(-b/a-x,y)。
7.解析式与一般式转换：- 一般式：y=ax²+bx+c，解析式则为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标；- 解析式：y=a(x-p)(x-q)，则一般式为y=ax²-(ap+aq)x+apq，其中p、q是解析式的两个根。
8.方程与二次函数的关系：- 二次函数y=ax²+bx+c的解析式的自变量x和函数值y满足方程y=ax²+bx+c；- 方程y=ax²+bx+c=0的解是对应二次函数的图像在x轴上的交点。