2003年考研数学三真题及答案

Yn =
1 n 1 1 n 2 依概率收敛于 X EX i2 = . ∑ ∑ i 2 n i =1 n i =1
二、
选择题
(1)【答案】D 【解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有
lim g ( x) = lim
x →0 x →0
f ( x) f ( x) − f (0) = lim = f ′(0) 存在，故 x=0 为可去间 x → 0 x x−0
2
设
f ( x) =
1 1 1 1 + − , x ∈ [ ,1). πx sin πx π (1 − x) 2
试补充定义 f(1)使得 f(x)在 [ ,1] 上连续.
1 2
四 、 （本题满分 8 分）
1 2 ∂2 f ∂2 f 2 设 f(u,v)具有二阶连续偏导数， 且满足 又 g ( x, y ) = f [ xy, ( x − y )] , + 2 = 1， 2 2 ∂u ∂v
断点. (2)【答案】A 【 解 】 可 微 函 数 f(x,y) 在 点 ( x0 , y 0 ) 取 得 极 小 值 ， 根 据 取 极 值 的 必 要 条 件 知
f y′ ( x 0 , y 0 ) = 0 ，即 f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数等于零, 故应选 A.
(3) 【答案】B 【解】 若
1 n 2 ∑ X i 依概率收敛于 ＿＿＿. n i =1
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f ′(0) 存在，则函数 g ( x) = (A) 在 x=0 处左极限不存在. (C) 在 x=0 处右极限不存在.
一、填空题
(1)【答案】 λ > 2 【解】 当 λ > 1 时，有
1 1 ⎧ λ −1 ⎪λx cos + x λ − 2 sin , 若x ≠ 0, ′ f ( x) = ⎨ x x 若x = 0, ⎪ 0 , ⎩
显然当 λ > 2 时，有 lim f ′( x) = 0 = f ′(0) ，即其导函数在 x=0 处连续.源自∞n都收敛.
(B) 若
∑ a n 绝对收敛，则 ∑ p n 与 ∑ q n 都收敛. ∑ a n 条件收敛，则 ∑ p n 与 ∑ q n 敛散性都不定.
n =1 ∞ n =1 ∞ n =1 ∞
(C) 若
(D) 若
∑ a n 绝对收敛，则 ∑ p n 与 ∑ q n 敛散性都不定.
n =1 n =1 n =1
D
（4）设 n 维向量 α = (a,0, L,0, a) , a < 0 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵
T
1 A = E − αα T ， B = E + αα T ， a
其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=＿＿＿. （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 Z = X − 0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 ＿＿＿. （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X 1 , X 2 , L, X n 为来自总体 X 的简单随机样 本，则当 n → ∞ 时， Yn =
3 2
2 2
（2）已知曲线 y = x − 3a x + b 与 x 轴相切，则 b 可以通过 a 表示为 b = ＿＿ . （ 3 ） 设 a>0 ， f ( x) = g ( x) = ⎨
⎧a, 若0 ≤ x ≤ 1, 而 D 表 示 全 平 面 ， 则 ⎩0, 其他，
I = ∫∫ f ( x) g ( y − x)dxdy = ＿＿＿.
f ( x) （ x
）
(B) 有跳跃间断点 x=0. (D) 有可去间断点 x=0.
（2）设可微函数 f(x,y)在点 ( x0 , y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是( (A) f ( x 0 , y ) 在 y = y 0 处的导数等于零. (C)
)
（B） f ( x 0 , y ) 在 y = y 0 处的导数大于零. (D) f ( x 0 , y ) 在 y = y 0 处的导数不存在.
∑ a n 绝对收敛，即 ∑ an 收敛，当然也有级数 ∑ a n 收敛，再根据
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
pn =
an + an 2
， qn =
an − an 2
及收敛级数的运算性质知，
∑ p n 与 ∑ q n 都收
n =1 n =1
∞
∞
敛，故应选(B). (4)【答案】C 【解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有
n =1
∞
x 2n ( x < 1) 的和函数 f(x)及其极值. 2n
七、 （本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x) , g(x)在 (−∞,+∞) 内满足以下条件：
f ′( x) = g ( x) ， g ′( x) = f ( x) ，且 f(0)=0, f ( x) + g ( x) = 2e x .
f ( x0 , y ) 在 y = y 0 处的导数小于零.
1
（3）设 p n =
an + an 2
， qn =
an − an 2
， n = 1,2, L ，则下列命题正确的是(
)
(A) 若
∑a
n =1 ∞ n =1 ∞
∞
n
条件收敛，则
∑p
n =1 ∞ n =1 ∞
∞
n
与
∑q
n =1 ∞ n =1 ∞
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 f ( x ) = ⎨
1 ⎧ λ ⎪ x cos , 若x ≠ 0, 其导函数在 x=0 处连续，则 λ 的取值范围是＿. x 若 = 0 , x ⎪ ⎩ 0,
⎧(a1 + b) x1 + a 2 x 2 + a3 x3 + L + a n x n ⎪a x + ( a + b ) x + a x + L + a x 1 1 2 2 3 3 n n ⎪ ⎪ ⎨a1 x1 + a 2 x 2 + (a 3 + b) x3 + L + a n x n ⎪ LLLLLLLLLL ⎪ ⎪ ⎩a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x3 + L + (a n + b) x n
F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 十二、 （本题满分 13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为
2 ⎞ ⎛ 1 X ~⎜ ⎜ 0.3 0.7 ⎟ ⎟， ⎝ ⎠
而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三答案
⎡a b b ⎤ ⎢ ⎥ （4）设三阶矩阵 A = b a b ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ b b a ⎣ ⎦
(A) a=b 或 a+2b=0. (C) a ≠ b 且 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b ≠ 0. (D) a ≠ b 且 a+2b ≠ 0.
（5）设 α 1 , α 2 , L, α s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 k1 , k 2 , L, k s ，都有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k sα s ≠ 0 ， 则 α 1 , α 2 , L, α s 线性无关. (B) 若 α 1 , α 2 , L, α s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1 , k 2 , L, k s ，都有
中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、 （本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为
⎧ 1 , 若x ∈ [1,8], ⎪ f ( x) = ⎨ 33 x 2 其他; ⎪ ⎩ 0,
(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 八、 （本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在
ξ ∈ (0,3) ，使 f ′(ξ ) = 0.
九、 （本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组
k1α 1 + k 2α 2 + L + k sα s = 0.
(C) (D)
α 1 , α 2 ,L,α s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. α 1 , α 2 ,L,α s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次出现 正面}， A3 ={正、反面各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则事件 (A) A1 , A2 , A3 相互独立. (C) A1 , A2 , A3 两两独立. 三 、 （本题满分 8 分） (B) A2 , A3 , A4 相互独立. (D) A2 , A3 , A4 两两独立.
cov(Y , Z ) DY DZ