典型相关分析(1)
第4章 典型相关分析
-1.4787
X2
0.2721
1.6443
Y组典型变量的系数
V1
V2
Y1
0.0491
1.0003
Y2
0.8975
-0.5837
Y3
0.1900
0.2956
u1 0.7689 x1 0.2721x2 v1 0.0491y1 0.8975 y2 0.1900 y3 u2 1.4787 x1 1.6443x2 v2 1.0003 y1 0.5837 y2 0.2956 y3
三、样本典型相关系数
在实际应用中，总体的协方差矩阵常常是未知的， 类似于其他的统计分析方法，需要从总体中抽出一个样 本，根据样本对总体的协方差阵或相关系数阵进行估计， 然后利用估计得到的协方差阵或相关系数阵进行分析。 由于估计中有抽样误差的存在，所以估计以后还需要进 行有关的假设检验。
23
1、假设有X组和Y组变量，样本容量为n。假设( X1, Y1), ( X2, Y2),…, ( Xn, Yn)，观测值矩阵为：
所以，典型相关分析就是求1和1，使二者的相关系
数 u1达,v1到最大。
（二）典型相关系数和典型变量的求法
在约束条件 Var(u1) 1111 1 Var(v1) 1221 1 下，求1和1，使u1v1达到最大。
根据数学分析中条件极值的求法，引入Lagrange乘数， 求极值问题，则可以转化为求
U (u1,, ur ) V (v1,, vr )
从而达到降维的目的。
二、典型相关的数学描述
（一）想法 考虑两组变量的向量
Z (x1, x2,, xp , y1, y2,, yq )
其协方差阵为
Σ
Σ11 Σ21
相关性分析(相关系数) (1)
相关系数是变量之间相关程度的指标。
样本相关系数用r表示,总体相关系数用ρ表示,相关系数的取值一般介于-1～1之间。
相关系数不是等距度量值,而只是一个顺序数据。
计算相关系数一般需大样本.相关系数又称皮（尔生）氏积矩相关系数，说明两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标。
相关系数用希腊字母γ表示，γ值的范围在-1和+1之间。
γ＞0为正相关，γ＜0为负相关。
γ＝0表示不相关；γ的绝对值越大，相关程度越高。
两个现象之间的相关程度，一般划分为四级：如两者呈正相关，r呈正值，r=1时为完全正相关；如两者呈负相关则r呈负值，而r=-1时为完全负相关。
完全正相关或负相关时，所有图点都在直线回归线上；点子的分布在直线回归线上下越离散，r的绝对值越小。
当例数相等时，相关系数的绝对值越接近1，相关越密切；越接近于0，相关越不密切。
当r=0时，说明X和Y两个变量之间无直线关系。
相关系数的计算公式为<见参考资料>.其中xi为自变量的标志值；i＝1，2，…n；■为自变量的平均值，为因变量数列的标志值；■为因变量数列的平均值。
为自变量数列的项数。
对于单变量分组表的资料，相关系数的计算公式<见参考资料>.其中fi为权数，即自变量每组的次数。
在使用具有统计功能的电子计算机时，可以用一种简捷的方法计算相关系数，其公式<见参考资料>.使用这种计算方法时，当计算机在输入x、y数据之后，可以直接得出n、■、∑xi、∑yi、∑■、∑xiy1、γ等数值，不必再列计算表。
简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数。
它一般用字母r 表示。
它是用来度量定量变量间的线性相关关系。
复相关系数:又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。
偏相关系数：又叫部分相关系数：部分相关系数反映校正其它变量后某一变量与另一变量的相关关系，校正的意思可以理解为假定其它变量都取值为均数。
典型相关分析
典型相关分析简介典型相关分析（canonical correlation analysis, CCA）是一种多变量统计分析方法，用于研究两组观测变量之间的相关性。
该方法可以帮助我们理解两组变量之间的线性关系，并找出两组变量中最相关的部分。
在机器学习、数据挖掘以及统计学中，典型相关分析被广泛应用于特征选择、降维和模式识别等领域。
方法典型相关分析是基于矩阵分解的方法，通过将两组变量转化成低秩的典型变量来寻找相关性。
典型相关分析的基本思想是找出两组变量的线性组合，使得这两个组合能够达到最大的相关性。
具体而言，给定两组变量X和Y，我们可以得到X的线性组合u和Y的线性组合v，使得cor(u,v)达到最大。
其中cor(u,v)表示两个向量u和v的相关系数。
典型相关分析的目标即是求解出使得cor(u,v)最大的u和v。
下面是典型相关分析的数学表示形式:max cor(u,v)subject to u = Xa, v = Yb其中，X和Y分别是两组变量的矩阵，u和v是X和Y的线性组合，a和b是权重向量。
通过求解最优化问题，我们可以得到最相关的线性组合u和v，从而得到最相关的部分。
应用典型相关分析广泛应用于多个领域，下面列举了几个常见的应用场景：特征选择在特征选择中，我们经常面临着从大量的特征中选取最相关的特征集合。
典型相关分析可以帮助我们通过寻找两组变量之间的相关性，筛选出对目标变量有着较强相关性的特征。
通过选择最相关的特征，我们可以提高模型的泛化能力，并降低过拟合的风险。
降维在大数据时代，数据维度高维且复杂。
降维可以帮助我们减少计算负担，并去除冗余信息。
典型相关分析可以通过找出两组变量最相关的部分，将原始多维数据降到低维空间。
这样做可以减少计算复杂度，提高模型的训练速度，并帮助我们更好地理解数据之间的关系。
模式识别典型相关分析在模式识别领域也有着重要的应用。
通过找出两组变量之间的最相关部分，我们可以构建更加精确和可靠的模式识别模型。
典型相关性分析1
典型相关性分析典型相关分析是借助主成分分析降维的思想，分别对两组变量提取主成分，且使得两组变量提取的主成分之间的相关程度达到最大，而从同一组内部提取的各主成分之间互不相关，用从两组之间分别提取的主成分的相关性来描述两组变量整体的线性相关关系。
代码如下：INCLUDE 'E:\SPSSInc\PASWStatistics18\Samples\English\Canonical correlation.sps'.cancorr set1=x1 x2 x3/set2=y1 y2 y3.Run MATRIX procedure:Correlations for Set-1x1 x2 x3x1 1.0000 .8702 -.3658x2 .8702 1.0000 -.3529x3 -.3658 -.3529 1.0000数据集1中变量x1-x3的相关关系，有相关系数知，x1与x2有较强的相关性。
Correlations for Set-2y1 y2 y3y1 1.0000 .6957 .4958y2 .6957 1.0000 .6692y3 .4958 .6692 1.0000数据集2中变量y1-y3的相关关系，有相关系数知，y1与y2有较强的相关性。
Correlations Between Set-1 and Set-2y1 y2 y3x1 -.3897 -.4931 -.2263x2 -.5522 -.6456 -.1915x3 .1506 .2250 .0349x1-x3与y1-y3的相关关系，x1,x2与y1-y3是负相关关系，说明体重和腰围较大对运动能力具有负影响。
Canonical Correlations1 .7962 .2013 .073表示三个典型相关系数Test that remaining correlations are zero:Wilk's Chi-SQ DF Sig.1 .350 16.255 9.000 .0622 .955 .718 4.000 .9493 .995 .082 1.000 .775对三个典型相关系数的显著性检验，原假设是相关系数为0，在显著性水平为0.1上，第一个典型相关系数对应的Sig.为0.062<0.1,拒绝原假设，认为第一个典型相关系数不为0.第二和第三个典型相关系数对应的Sig.>0.1，认为二者均为0。
多元统计分析——典型相关分析
多元统计分析——典型相关分析典型相关分析（Canonical correlation analysis）是一种多元统计分析方法，用于研究两组变量之间的关联性。
与传统的相关分析不同，典型相关分析可以同时考虑多组变量，找出最佳的线性组合，使得两组变量之间的相关性最大化。
它主要用于探索一组自变量与另一组因变量之间的线性关系，并且可以提供详细的相关性系数、特征向量和特征值等信息。
典型相关分析的基本原理是将两组变量分别投影到最佳的线性组合上，使得投影后的变量之间的相关性最大。
这种投影是通过求解特征值问题来实现的，其中特征值表示相关系数的大小，特征向量表示两组变量的线性组合。
通常情况下，我们希望保留具有最大特征值的特征向量，因为它们对应着最强的相关性。
典型相关分析的应用广泛，可以用于众多领域，如心理学、社会科学、经济学等。
例如，在心理学研究中，我们可能对人们的人格特征和行为方式进行测量，然后使用典型相关分析来探索它们之间的关系。
在经济学研究中，我们可以将宏观经济指标与企业盈利能力进行比较，以评估它们之间的相关性。
典型相关分析的步骤如下：1.收集数据：首先，我们需要收集两组变量的数据。
这些数据可以是定量数据（如收入、年龄）或定性数据（如性别、职业）。
2.建立模型：然后，我们需要建立一个数学模型，用于描述两组变量之间的关系。
这可以通过线性回归、主成分分析等方法来实现。
3.求解特征值问题：接下来，我们需要求解特征值问题，以获得相关系数和特征向量。
在实际计算中，我们可以使用统计软件来完成这一步骤。
4.解释结果：最后，我们需要解释典型相关分析的结果。
通常情况下，我们会关注最大的特征值和对应的特征向量，因为它们表示着最强的相关性。
典型相关分析的结果提供了一组线性组合，这些组合可以最大化两组变量之间的相关性。
通过分析这些组合，我们可以洞察两组变量之间的潜在关系，并提供有关如何解释和预测这种关系的指导。
总结而言，典型相关分析是一种强大的多元统计分析方法，可以用于研究两组变量之间的关联性。
典型相关分析
1典型相关分析内涵1.1典型相关分析基本概念典型相关分析（c anonical c orrelation analysis ）是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。
它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1（分别为两个变量组中各变量的线性组合），利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。
典型相关分析是由霍特林(Hotelling,1935,1936)首先提出的。
典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系，将两组变量相关关系的分析，转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系分析。
目前，典型相关分析已被广泛应用于心理学、市场营销等领域，如用于研究个人性格与职业兴趣的关系，市场促销活动与消费者响应之间的关系等。
1.2 典型相关分析的基本思想典型相关分析的基本思想和主成分分析非常相似。
首先在每组变量中找出变量的一个线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。
然后选取相关系数仅次于第一对线性组合并且与第一对线性组合不相关的第二对线性组合，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止。
被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。
典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度。
一般情况，设(1)(1)(1)(1)12(,,,)pX X X= X、(2)(2)(2)(2)12(,,,)q X X X = X是两个相互关联的随机向量，分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使得每一个综合变量是原变量的线性组合，即：()(1)()(1)()(1)()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++aX()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q qV b X b X b X '=+++bX为了确保典型变量的唯一性，我们只考虑方差为1的(1)X 、(2)X 的线性函数()(1)i 'aX与()(2)i 'b X ，求使得它们相关系数达到最大的这一组。
典型相关分析(CCA)简介
典型相关分析(CCA)简介一、引言在多变量统计分析中，典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，简称CCA）是一种用于研究两个多变量之间关系的有效方法。
这种方法最早由哈罗德·霍特林（Harold Hotelling）于1936年提出。
随着数据科学和统计学的发展，CCA逐渐成为多个领域分析数据的重要工具。
本文将对典型相关分析的基本原理、应用场景以及与其他相关方法的比较进行详细阐述。
二、典型相关分析的基本概念1. 什么是典型相关分析典型相关分析是一种分析两个多变量集合之间关系的方法。
设有两个随机向量 (X) 和 (Y)，它们分别包含 (p) 和 (q) 个变量。
CCA旨在寻找一种线性组合，使得这两个集合在新的空间中具有最大的相关性。
换句话说，它通过最优化两个集合的线性组合，来揭示它们之间的关系。
2. 数学模型假设我们有两个数据集：(X = [X_1, X_2, …, X_p])(Y = [Y_1, Y_2, …, Y_q])我们可以表示为：(U = a^T X)(V = b^T Y)其中 (a) 和 (b) 是待求解的权重向量。
通过最大化协方差 ((U, V))，我们得到最大典型相关系数 ()，公式如下：[ ^2 = ]通过求解多组 (a) 和 (b)，我们可以获得多个典型变量，从而得到不同维度的相关信息。
三、典型相关分析的步骤1. 数据准备在进行CCA之前，需要确保数据集满足一定条件。
一般来说，应对数据进行标准化处理，以消除可能存在的量纲差异。
可以使用z-score标准化的方法来处理数据。
2. 求解协方差矩阵需要计算两个集合的协方差矩阵，并进一步求出其逆矩阵。
给定随机向量 (X) 和 (Y)，我们需要计算如下协方差矩阵：[ S_{xx} = (X, X) ] [ S_{yy} = (Y, Y) ] [ S_{xy} = (X, Y) ]同时，求出逆矩阵 (S_{xx}^{-1}) 和 (S_{yy}^{-1})。
典型相关分析
引言在一元统计分析中，用相关系数来衡量两个随机变量之间的线性相关关系；用复相关系数研究一个随机变量和多个随机变量的线性相关关系。
然而，这些统计方法在研究两组变量之间的相关关系时却无能为力。
比如要研究生理指标与训练指标的关系，居民生活环境与健康状况的关系，人口统计变量与消费变量（之间是否具有相关关系。
阅读能力变量（阅读速度、阅读才能）与数学运算能力变量（数学运算速度、数学运算才能）是否相关。
典型相关分析（Canonical Correlation ）是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。
它能够揭示出两组变量之间的内在联系。
1936年霍特林（Hotelling ）最早就“大学表现”和“入学前成绩”的关系、政府政策变量与经济目标变量的关系等问题进行了研究，提出了典型相关分析技术。
之后，Cooley 和Hohnes （1971），Tatsuoka （1971）及Mardia ，Kent 和Bibby （1979）等人对典型相关分析的应用进行了讨论，Kshirsagar （1972）则从理论上给出了最好的分析。
典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系，将两组变量相关关系的分析，转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系分析。
目前，典型相关分析已被应用于心理学、市场营销等领域。
如用于研究个人性格与职业兴趣的关系，市场促销活动与消费者响应之间的关系等问题的分析研究。
第一章、典型相关的基本理论 1.1 典型相关分析的基本概念典型相关分析由Hotelling 提出，其基本思想和主成分分析非常相似。
首先在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。
然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。
被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。
典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度。
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i 1,2,, min( p, q) m
CanRi Corr (U i ,Vi ) 典型相关系数 典型变量系数或典型权重 a、b
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
X*1，X*2，…，X*p和Y*1，Y*2，…，Y*q分别为X1，X2， …，Xp和Y1，Y2，…，Yq的正态离差标准化值。 记第一对典型相关变量间的典型相关系数为： CanR1＝Corr（U1，V1）（使U1与V1 间最大相关） 第二对典型相关变量间的典型相关系数为： CanR2＝Corr（U2，V2）（与U1、V1 无关； 使U2 与V2 间最大相关）…… 第五对典型相关变量间的典型相关系数为： CanR5＝Corr（U5，V5） （与U1、V1 、…、 U4、 V4无关； U5与V5 间最大相关） 有： 1≥CanR1≥CanR2≥……≥CanR5≥0
（二）典型相关系数计算实例
1. 求X，Y变量组的相关阵R=
R11 R 21 R12 R22
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
Corr（X）＝R11
Corr（X，Y）＝R12
Corr（Y，X）＝R21
Corr（Y）＝R22
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
4. 求A、B关于λi的变量系数 （求解第1典型变量系数）
Aa a 如矩阵A关于第一特征根0.7643的矩阵为： 0.4586 0.3053 0.3986 0.2919 0.5298 0.0912 0.0701 0.1669 0.1939 0.0007 0.2274 0.2739 0.5489 0.0840 0.5238 0.0376 0.0510 0.3877 0.2523 0.0966 0.0915 0.0979 0.0669 0.03770 0.0061 0.0948 0.1421 0.1757 0.0210 0.2171
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
实例（X与Y地位相同）
X1, X2, …, Xp
1 临床症状
2 原材料质量 3 居民营养 4 生长发育（肺活量） 5 人体形态
Y1, Y2, …, Yq
所患疾病
相应产品质量 健康状况 身体素质（跳高） 人体功能
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
* 此外，还应满足U1 （a11 X 1* a16 X 6 ）的方差为1。
0.1778 a11 a11 0.0168 a12 a12 a 0.4468 a13 0.7643 13 0.1759 a14 a14 a a 0.0806 15 15 a 0.3142 a16 16
Corr（Y）＝R22
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
简单相关系数 描述两组变量的相关关系的缺点
只是孤立考虑单个X与单个Y间的相关 ，没有考虑X、Y变量组内部各变量间的 相关。 两组间有许多简单相关系数（实例为30 个），使问题显得复杂，难以从整体描 述。（复相关系数也如此）
0.3877 -0.2523 -0.1759 0.0061 -0.0806 0.2171 0.3142
-0.0915 -0.0979 -0.0669 -0.0377 0.0949 0.1421 0.1757 -0.0210
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
B矩阵(q×q)
0.2611 -0.0560 -0.0337 -0.0551 -0.0312 0.1009 0.0034 0.0013 0.2550 0.2912 -0.0543 0.1743 0.1490 0.5573 -0.0053 0.5572
典型相关分析
Canonical Correlation Analysis
统计本科《应用多元分析》
一、引言
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
（一）何时采用典型相关分析
1. 两个随机变量Y与X 简单相关系数 2. 一个随机变量Y与一组随机变量X1,X2,…, Xp 多重相关(复相关系数) 3. 一组随机变量Y1，Y2，…，Yq与另一组随 机变量X1，X2，…，Xp 典型(则)相关系数 典型相关是简单相关、多重相关的推广； 或者说简单相关系数、复相关系数是典型相 关系数的特例。
1985年中国28 省市城市男生(19～ 22岁)的调查数据。记形态指标身高 (cm)、坐高、体重(kg)、胸围、肩宽、 盆骨宽分别为X1，X2，…，X6；机能 指标脉搏(次/分)、收缩压(mmHg) 、舒 张压(变音)、 舒张压(消音)、肺活量 (ml)分别为Y1，Y2，…，Y5。现欲研 究这两组变量之间的相关性。
V4
V5
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
二、典型相关系数及其检验
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
（一）求解典型相关系数的步骤
1. 求X，Y变量组的相关阵R= 2. 求矩阵A、B
A ( R11 ) R12 ( R22 ) R21
1 1 1
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
求解第2典型变量系数
Aa a 如矩阵A关于第一特征根0.5436的矩阵为： 0.1778 a21 a21 0.0168 a22 a22 a 0.4468 a23 0.5436 23 0.1759 a24 a24 a a 0.0806 25 25 a 0.3142 a26 26 0.4586 0.3053 0.3986 0.2919 0.5298 0.0912 0.0701 0.1669 0.1939 0.0007 0.2274 0.2739 0.5489 0.0840 0.5238 0.0376 0.0510 0.3877 0.2523 0.0966 0.0915 0.0979 0.0669 0.03770 0.0061 0.0948 0.1421 0.1757 0.0210 0.2171 * 此外，还应满足U 2 （a21 X 1* a26 X 6 ）的方差为1。
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
…求解第5典型变量系数
Aa a 如矩阵A关于第一特征根0.022的矩阵为： 0.1778 a51 a51 0.0168 a52 a52 a 0.4468 a53 0.022 53 0.1759 a54 a54 a a 0.0806 55 55 a 0.3142 a56 56 0.4586 0.3053 0.3986 0.2919 0.5298 0.0912 0.0701 0.1669 0.1939 0.0007 0.2274 0.2739 0.5489 0.0840 0.5238 0.0376 0.0510 0.3877 0.2523 0.0966 0.0915 0.0979 0.0669 0.03770 0.0061 0.0948 0.1421 0.1757 0.0210 0.2171 * 此外，还应满足U 5 （a51 X 1* a56 X 6 ）的方差为1。
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
B矩阵求λ
（典型相关系数的平方）
0.2611- λ -0.0053 -0.0632 -0.1175 -0.1052 -0.0560 0.5572 -λ -0.0337 0.1009 -0.0551 0.0034 0.0013 0.2550 - λ -0.0312 -0.0543 0.1743 0.1490 0.5573 -λ
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
典型相关变量的性质
1, i j (1) Corr (U i , U j ) 0, i j （2） 1, i j Corr (Vi , V j ) 0, i j
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典型相关系数, i j Corr (U i , V j ) i j 0, U i、Vi的均数为0，方差为1
2. 求矩阵A、B
A ( R11 ) R12 ( R22 ) R21 B ( R22 ) R21 ( R11 ) R12
1 1 1 1
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
A矩阵(p×p)
0.5298 0.4586 0.3053 0.3986 -0.2919 -0.1778 -0.0912 -0.0701 -0.1669 -0.1939 -0.0007 -0.0168 0.2274 0.0966 0.2739 0.0376 0.5489 0.0510 0.0840 0.5238 0.4468
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
简单相关系数矩阵
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
简单相关系数公式符号
Corr（X）＝R11
Corr（X，Y）＝R12
Corr（Y，X）＝R21
R21 R12
2019年1月16日 第四军医大学卫生统计学教研室 宇传华
典型相关是研究两组变
量之间相关性的一种统计分析 方法。也是一种降维技术。
由Hotelling (1935, 1936)最早 提出，Cooley and Lohnes (1971)、 Kshirsagar (1972)和 Mardia, Kent, and Bibby (1979) 推动了它 的应用。