新教材高一数学必修第一册单元测试卷(人教A版2019)(解析版)
高一数学必修一第一册提优卷第三章《函数的概念与性质》（一）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．2yx 与()4y x =B ．11y x x =+⋅-与21y x =-C ．xy x =与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ D ．2yx 与2S a =2．函数1()2x f x x -=-的定义域为（ ） A ．[1,2)(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[)1,2D ．[1,)+∞3.已知幂函数()f x 的图像经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列正确的是（ ）A. ()()f x f x -=B. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦ （其中12x x ≠）C. ()()f x f x -=-D. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦（其中12x x ≠）4．己知函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－，，则函数()y f x ＝－的定义域为（ ） A ．[]3,0-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[2,1]-5. （2020天津卷）.函数241xy x =+的图象大致为（ ） A BC. D ．6．函数26,[1,2]()7,[1,1)x x f x x x ⎧+∈=⎨+∈-⎩，则()f x 的最大值和最小值分别为（ ）A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．10，77．若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-8. 已知()f x 是定义在R 上的增函数，若()y f x =的图象过点()2,1A --和()3,1B ，则满足()111f x -<+<的x 的取值范围是（ ）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()1,4-D ．()1,1-9．若函数()245f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则()1f 的最小值是（ ） A ．7-B ．7C ．25-D ．2510．函数y ＝f(x)是定义在R 上的减函数，则函数f(|x ＋2|)的单调减区间是( ) A ．RB ．(－∞，2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)11．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.12．已知函数2()23f x x x =--在[]1m －，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（ ）A ．(11]－， B．(1,1-+ C．[1)++∞D．(1,1][1)-⋃++∞二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知(21)65f x x +=+，则()f x =________14．已知函数f(x)＝3020x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩－，，，，则f[f(－1)]等于________．15．已知21)65()(2--=x x x f ，则()f x 的单调递增区间为________．16．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：()[]f x x x =-，在下列命题正确的是________．①(0.8)0.2f -=；②当12x ≤<时，()1f x x =-；③函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)； ④函数()f x 是增函数，奇函数．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数1()7f x x - ⑴求函数的定义域； ⑵求(11)f ，54f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；⑶ 当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值．18．（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3f x x ＝－. (1)求()f x 的解析式； (2)求不等式()12xf x ≤-的解集. 19．（12分）已知f(x)在R 上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x －(1)求f(x)； (2)求函数y ＝f(x)＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．20．（12分）已知函数f(x)=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．21.（12分）某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）； (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102 kg ，时间单位：天)22．（12分）已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R 上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．高一数学必修一第一册提优卷解析第三章《函数的概念与性质》（一）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．2yx 与4y x =B ．11y x x =+-21y x =-C ．xy x =与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩D ．2yx 与2S a =【答案】D 【解析】对于A ，2y x 的定义域为R ，4y =的定义域为{}0x x ≥，定义域不同，故不为同一函数；对于B ，y ={}1x x ≥，y ={}11x x x ≥≤-或，定义域不同，故不为同一函数；对于C ，xy x =定义域为{}0x x ≠，()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的定义域为R ，定义域不同，故不为同一函数； 对于D ，2yx 与2S a =定义域和对应法则完全相同，故选D.2．函数()2f x x =- ） A ．[1,2)(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[)1,2D ．[1,)+∞【答案】A【解析】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x≥1且x≠2， 故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞）， 故选：A ．3.已知幂函数()f x 的图像经过点2,2⎛ ⎝⎭，则下列正确的是（ ） A. ()()f x f x -= B. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦ （其中12x x ≠） C. ()()f x f x -=- D. ()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦（其中12x x ≠）【答案】D 【解析】设幂函数f （x ）=x α，其图象过点2,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴2α=2=122- 解得α=12-，∴f （x ）=12x -； ∴f （x ）在R 递减，故选：D ．4．己知函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－，，则函数()y f x ＝－的定义域为（ ）A ．[]3,0-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[2,1]-【答案】A 【解析】因为函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－， 由-1≤x ≤2，得，0≤x+1≤3 所以()y f x =的定义域是[0,3]， 由0≤-x ≤3 得30x -≤≤.所以()y f x =-的定义域为[3,0]-.故选： 5. （2020天津卷）.函数241xy x =+的图象大致为（ ） A BC. D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.6．函数26,[1,2]()7,[1,1)x x f x x x ⎧+∈=⎨+∈-⎩，则()f x 的最大值和最小值分别为（ ）A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．10，7【答案】A【解析】由题意得，当12x ≤≤时，7()10f x ≤≤； 当11x -≤<时，6()8f x ≤<，所以函数()f x 的最大值为10，最小值为6．7．若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，∴22()()(2)2f x f x x x x x =--=-+=--， 又0x <时，2()f x x ax =-+，∴2a =-．8. 已知()f x 是定义在R 上的增函数，若()y f x =的图象过点()2,1A --和()3,1B ，则满足()111f x -<+<的x 的取值范围是（ ）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()1,4-D ．()1,1-【答案】B 【解析】∵()y f x =的图象过点()2,1A --和()3,1B ， ∴()21f -=-，()31f =， 又∵()f x 是定义在R 上的增函数，∴()111f x -<+<等价于()()()213f f x f -<+<，即213x -<+<，解得32x -<<，即不等式的解集为()3,2-， 故选B.9．若函数()245f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则()1f 的最小值是（ ）A ．7-B ．7C ．25-D ．25【答案】D 【解析】函数()245f x x mx =-+开口向上，对称轴为8m x =， 由函数在区间[)2,-+∞上是增函数可得28m≤-，即16m ≤-， ∴()()145916925f m m =-+=-+≥--+=． ∴()1f 的最小值是25，故选D ．10．函数y ＝f(x)是定义在R 上的减函数，则函数f(|x ＋2|)的单调减区间是( ) A ．RB ．(－∞，2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)【答案】C【解析】∵t ＝|x ＋2|的单调增区间为[－2，＋∞)， 而f(x)在R 上是减函数，∴f(|x ＋2|)的单调减区间为(－2，＋∞)．11．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.12．已知函数2()23f x x x =--在[]1m －，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（） A ．(11]－，B ．(1,1-+C ．[1)++∞D ．(1,1][1)-⋃++∞【答案】D 【解析】()f x 的图象如下图：对称轴为1,(1)4x f ==， 令2234x x --=，得122x =±. 因为(1)0f -=，所以数形结合可得11m -<或122m +. 故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知(21)65f x x +=+，则()f x =________ 【答案】32x +【解析】函数(21)653(21)2f x x x +=+=++，()32f x x ∴=+，故答案为：32x +14．已知函数f(x)＝3020x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩－，，，，则f[f(－1)]等于________．【答案】2【解析】∵f(－1)＝－(－1)3＝1， ∴f[f(－1)]＝f(1)＝2.15．已知21)65()(2--=x x x f ，则()f x 的单调递增区间为________．【答案】[6,)+∞ 【解析】∵2()56f x x x =--，∴2560x x --≥，求得1x ≤-或6x ≥，故函数的定义域为{|1x x ≤-或6}x ≥，由题即求函数256y x x =--在定义域内的增区间，由二次函数的性质可得函数256y x x =--在定义域内的增区间为[6,)+∞．16．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：()[]f x x x =-，在下列命题正确的是________．①(0.8)0.2f -=；②当12x ≤<时，()1f x x =-；③函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)； ④函数()f x 是增函数，奇函数． 【答案】①②③【解析】()[]f x x x =-表示数x 的小数部分，则(0.8)(10.2)0.2f f -=-+=①正确， 当12x ≤<时，()[]1f x x x x =-=-，②正确， 函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,1)，③正确，当01x ≤<时，()[]f x x x x =-=；当12x ≤<时，()1f x x =-， 当0.5x =时，(0.5)0.5f =；当 1.5x =时，(1.5)0.5f =， 则(0.5)(1.5)f f =，即有()f x 不为增函数，由( 1.5)0.5f -=，(1.5)0.5f =，可得( 1.5)(1.5)f f -=，即有()f x 不为奇函数，④错误．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数1()7f x x - ⑴求函数的定义域； ⑵求(11)f ，54f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；⑶ 当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值．【解析】：⑴使根式有意义的实数x 的集合是{}5x x -≥，使分式17x -有意义的实数x 的集合是{}7x x ≠，∴{}57x x x -≠≥且；⑵117(11)444f =+=，51107544674f ⎛⎫==⎪⎝⎭-；⑶因为0a >，所以(),(1)f a f a -有意义，1()7f a a =-，11(1)178f a a a -==--- 18．（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3f x x ＝－.(1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()12x f x ≤-的解集. 【答案】（1）3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】（1）若0x <，则0x ->.因为当0x >时.()3f x x =-，所以()3-=--f x x因为()f x 是奇函数，所以()()3f x f x x =--=+.因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =.故3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）当0x <时，()312x f x x =+≤-， 解得43x - 当0x =时，0(0)012f =<-， 则0x =是不等式()12x f x ≤-的解； 当0x >时，()312x f x x =--. 解得83x ≤. 又0x >，所以803x <≤. 故原不等式的解集为48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦19．（12分）已知f(x)在R 上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x －(1)求f(x)；(2)求函数y ＝f(x)＋x 2－x 在x ∈[－1,2]上的最大值与最小值．【答案】(1) f(x)＝－2x ＋1. (2) 最大值为5，最小值为－54 . 【解析】(1)由题意可设()()0f x ax b a ＝＋，＜，由于()()41f f x x ＝－，则a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，故241a ab b ⎧=⎨+=-⎩解得2 1.a b ＝－，＝故()21f x x +＝－.(2)由(1)知，函数()2222131y f x x x x x x x x =+-=-++-=-+ 故函数y ＝x 2－3x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝，则函数()2y f x x x =+-在上为减函数，在上为增函数． 又由f ＝－()()1521f f ，－＝，＝－， 则函数()2y f x x x =+-在x ∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－.20．（12分）已知函数f(x)=xa x x ++22，x ∈［1，＋∞］ （1）当a=21时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．【答案】(1)27(2) a ＞－3 【解析】 (1)当a=21时，f(x)=x ＋x 21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f(x 2)－f(x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f(x 2)＞f(x 1) 可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=x a x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立 设y=x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y=(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a ＞－3．21.（12分）某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P ＝f （t ）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102 kg ，时间单位：天)【答案】(1) g （t ）＝1200 （t －150）2＋100 0≤t ≤300(2) t ＝50【解析】：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f （t ）＝⎩⎨⎧300－t （0≤t ≤200）2t －300（200＜t ≤300）由图二可得种植成本间接函数关系式为g （t ）＝1200 （t －150）2＋100 0≤t ≤300(2)设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－ｇ（t ）即h （t ）＝⎩⎨⎧－1200 t 2＋12 t ＋1752 （0≤t ≤200）－1200 t 2＋27 t －10252 （200＜t ≤300） 当0≤t ≤200时，得h （t ）＝－1200 （t －50）2＋100∴当t ＝50时，h(t)取得在t ∈[0，200]上的最大值100当200＜t ≤300时，得h （t ）＝－1200 （t －350）2＋100∴当t ＝300时，h （t ）取得在t ∈（200，300]上的最大值87.5综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t ∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.22．（12分）已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23. (1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）最大值为2，最小值为－4【解析】(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1、x2∈R，且x1＞x2，则x1－x2＞0，于是f(x1－x2)＜0.从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＜0.所以f(x)为减函数．(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4。
【新教材】人教版(2019)高一英语数学必修第一册综合检测卷
1.已知a，b∈R且a<b<0，则下列不等式中一定成立的是()A. 1a <1bB. ba<abC. a2<b2D. ab<b22.不等式2x+1>1的解集是()A. (1,+∞)B. (−1,1)C. (−∞,−1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)3.定义{x}为不小于x的最小整数(例如：{5.5}=6，{−4}=−4)，则不等式{x}2−5{x}+ 6≤0的解集为()A. [2,3]B. [2,4)C. (1,3]D. (1,4]4.函数y=1x−3+x(x>3)的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 55设0<m<12，则1m +412−m的最小值为()A. 32B. 910C. 34D. 956.关于x的不等式x2−(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是()A. (2,3]B. (3,4]C. [−3,−2)∪(2,3]D. [−3,−2)∪(3,4]7.下列说法正确的有()A. 不等式2x−13x+1>1的解集是(−2,−13)B. “a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件C. 命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p:∃x∈R，x2<0D. “a<5”是“a<3”的必要条件8.已知x，y是正数，1x +2y=1，则2x+yxy+1的最小值为______．9.已知a，b为正实数，且a+b−3√ab+2=0，则ab的最小值为______．10.已知集合A={x|(x−a)(x−a+1)≤0}，B={x|x2+x−2<0}．(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)设命题p：∃x∈B，x2+(2m+1)x+m2−m>8，若命题p为假命题，求实数m 的取值范围．11.函数f(x)=x2+ax+3(1)若命题“对∀x∈R，都有f(x)≥a恒成立”是真命题，求a的取值范围；(2)若命题“∃x∈[−2,2]，使得f(x)<a成立”是假命题，求a的取值范围．12.(1)解不等式：3≤x2−2x<8;(2)已知a，b，c，d均为实数，求证：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．13.已知关于x的方程(1−a)x2+(a+2)x−4=0，a∈R，求：(Ⅰ)方程有两个正根的充要条件(Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件．。
2019-2020学年新教材人教A版数学必修第一册综合质量检测 Word版含解析
综合质量检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．全集U ＝R ，A ＝{x |x <－3，或x ≥2}，B ＝{x |－1<x <5}，则集合{x |－1<x <2}是( )A ．(∁U A )∪(∁UB ) B ．∁U (A ∪B )C ．(∁U A )∩BD ．A ∩B[解析] 由题意知，∁U A ＝[－3,2)，又因为B ＝(－1,5)，所以(∁U A )∩B ＝(－1,2)．故选C.[答案] C2．函数f (x )＝x 2x 2－1＋lg(10－x )的定义域为( )A ．RB ．[1,10]C ．(－∞，－1)∪(1,10)D ．(1,10)[解析]要使函数f (x )有意义，需使⎩⎨⎧x 2－1>0，10－x >0，解得x <－1或1<x <10.故选C.[答案] C3．已知f (x )＝x 2－ax 在[0,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)[解析] 函数f (x )＝x 2－ax 图象的对称轴为直线x ＝a2，根据二次函数的性质可知a 2≤0或a2≥1，解得a ≤0或a ≥2.故选D.[答案] D4．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( ) ①y ＝|x |；②y ＝x 3；③y ＝2|x |；④y ＝x 2＋|x |. A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④[解析] 对于①，y ＝|x |是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于②，y ＝x 3是奇函数；对于③，y ＝2|x |是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于④，y ＝x 2＋|x |是偶函数，且值域为[0，＋∞)，所以符合题意的有①④，故选C.[答案] C5．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝log 20.2<log 21＝0，b ＝20.2>20＝1,0<c ＝0.20.3<0.20＝1，即0<c <1，则a <c <b .故选B.[答案] B6．若sin α>0且tan α<0，则α2的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一象限或第三象限D ．第三象限或第四象限 [解析] 因为sin α>0且tan α<0， 所以α位于第二象限． 所以π2＋2k π<α<2k π＋π，k ∈Z ，则π4＋k π<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k 为奇数时α2是第三象限的角，当k 为偶数时α2是第一象限的角， 所以角α2的终边在第一象限或第三象限．选C. [答案] C7.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，且ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[解析] ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4. 又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4. [答案] C8．函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0,2π]的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[解析] 由f (x )＝2sin x －sin2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x (1－cos x )＝0，得sin x ＝0或cos x ＝1，∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0、π或2π，∴f (x )在[0,2π]的零点个数是3.[答案] B9．已知lg a ＋lg b ＝0，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )[解析] ∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，则b ＝1a ，从而g (x )＝－logb x ＝log a x ，故g (x )与f (x )＝a x 互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称．故选B.[答案] B10．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25 D ．－225 [解析] sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α.∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. [答案] B11．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增[解析] y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，由|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减． [答案] A12．将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为( )A.2π3B.π3C.π2D.π6[解析] 将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝3cos2x －sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移t (t >0)个单位，可得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则t 的最小值为π6.故选D.[答案] D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x >0的零点个数为________．[解析]令f (x )＝0，得到⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎨⎧x －2＋ln x ＝0，x >0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x >0在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x <0时的零点有一个，在x >0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 215．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－2－x，x >0，则函数y ＝f [f (x )]的值域是________．[解析] 当x ≤0时，f (x )＝3x ∈(0,1]，∴y ＝f [f (x )]＝f (3x )＝－2－3x∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12；当x >0时，f (x )＝－2－x ∈(－1,0)，y ＝f [f (x )] ＝f (－2－x )＝3－2－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫13，1. 综上所述，y ＝f [f (x )]的值域是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，116．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列命题：①f (x )的最大值为2； ②f (x )的最小正周期是π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位长度后，与函数y ＝f (x )的图象重合．其中正确命题的序号是________．[解析] f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴函数f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确；又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确；由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．[答案] ①②③④三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x＋sin x cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用“五点法”在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图．[解] f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得最小正周期T ＝π，列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π3 0 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2图象如图所示．19．(本小题满分12分) 已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝105.(1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝35，求cos β的值． [解] (1)由|AB |＝105， 得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝105，∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25， ∴cos(α－β)＝45.(2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角， ∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35. 当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2425. 当sin(α－β)＝－35时， cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0. ∵β为锐角，∴cos β＝2425.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m ，n ∈[－1,1]有f (m )＋f (n )m ＋n>0(m ＋n ≠0)．(1)判断函数f (x )的单调性； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )．[解] (1)设x 1＝m ，x 2＝－n ，由已知可得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，不妨设x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)，由函数单调性的定义可得函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数．(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，x ＋12<1－x ，解得0≤x <14.所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x <14.21．(本小题满分12分)某村电费收取有以下两种方案供用户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )(单位：元)与用电量x (单位：度)间的函数关系；(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？[解] (1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x ；当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1，∴L (x )＝⎩⎨⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30.(注：x 也可不取0)(2)当0≤x ≤30时，令L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去； 当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60，∴老王家该月用电60度．(3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x . 当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ， 解得x >25，∴25<x ≤30；当x >30时，由L (x )<F (x )，得0.6x －1<0.58x ， 解得x <50，∴30<x <50. 综上，25<x <50.故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎨⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎨⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，取φ＝－π3， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1. (2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，所以k ＝3.令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
2019年人教A版必修一高中数学单元测试第一章第二章)A卷 及答案
(第一章 第二章)单元测试(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(－2)2] 12 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－22 D.222．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅3．若0<m <n ，则下列结论正确的是( ) A ．2m>2nB.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12n C ．log 2m >log 2nD ．log 12 m >log 12n4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a等于( )A.12B.45C ．2D ．9 5．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )6．函数y ＝x ＋43－2x的定义域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 7．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )＝( )A ．∅B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0或x ≤－1}8．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)9．函数y ＝1－x 2＋91＋|x |( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数10．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |11．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 21x ＋1的图象关于y ＝x对称，则f (1)的值为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－1212．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是0,1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为________． 14．若函数f (x )＝a x －1－2(a ＞0，a ≠1)，则此函数必过定点________．15．计算81－14 ＋lg 0.01－ln e ＋3log 32＝________.16．函数f (x )＝ex 2＋2x的增区间为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a >0，且a ≠1，若函数f (x )＝2a x －5在区间－1,2]的最大值为10，求a 的值．18．(本小题满分12分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．(1)当x∈N*时，求A的子集的个数；(2)当x∈R且A∩B＝∅时，求m的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝m－22x＋1是R上的奇函数，(1)求m的值；(2)先判断f(x)的单调性，再证明．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R .(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．22．(本小题满分12分)已知13≤a ≤1，若函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )．(1)求g (a )的函数表达式；(2)判断函数g (a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上的单调性，并求出g (a )的最小值．详解答案 创优单元测评 (第一章 第二章)单元测试1．B 解析：(－2)2] 12 ＝(2)2] 12 ＝ 2.2．C 解析：由1－x >0得x <1，∴M ＝{x |x <1}．∵1＋x >0，∴x >－1.∴N ＝{x |x >－1}．∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．3．D 解析：∵y ＝2x是增函数，又0<m <n ，∴2m<2n；∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，又0<m <n ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m >⎝ ⎛⎭⎪⎫12n； ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，又0<m <n ，∴log 2m <log 2n .4．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2a ＝4a ， ∴2a ＝4，∴a ＝2.5．A 解析：结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．解题技巧：函数图象的对称变换规律： 函数y ＝f x 的图象―――――――――――――――――→y 轴左侧图象去掉，右侧保留并“复制”一份翻到y 轴左侧函数y ＝f x的图象函数y ＝f x 的图象――――――――――――――――――→x 轴上方图象不变，下方图象翻到上方函数y ＝|f x 的图象6．B 解析：由3－2x >0得x <32.7．D 解析：∁U B ＝{x |x >－1}，∁U A ＝{x |x ≤0}，∴A ∩∁U B ＝{x |x >0}，B ∩∁U A ＝{x |x ≤－1}，∴(A ∩∁U B )∪(B ∩∁U A )＝{x |x >0或x ≤－1}．8．A 解析：由题意知需f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 9．B 解析：f (－x )＝1－－x2＋91＋|x |＝1－x 2＋91＋|x |＝f (x )，故f (x )是偶函数，故选B.10．D 解析：函数y ＝x ＋1为非奇非偶函数，函数y ＝－x 2为偶函数，y ＝1x 和y ＝x |x |是奇函数，但y ＝1x不是增函数，故选D.11．D 解析：(m ，n )关于y ＝x 的对称点(n ，m )，要求f (1)，即求满足1＝log 21x ＋1的x 的值，解得x ＝－12.12．D 解析：∵x ∈0,1]，∴x ＋1∈1,2]．当a >1时，log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0与值域0,1]矛盾．13．(1,5] 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，5－x ≤0，解得1<x ≤5.14．(1，－1) 解：当x ＝1时，f (1)＝a 1－1－2＝a 0－2＝－1，∴过定点(1，－1)．解题技巧：运用整体思想和方程思想求解． 15．－16 解析：原式＝13－2－12＋2＝－16.16．－1，＋∞) 解析：设f (x )＝e t ，t ＝x 2＋2x ，由复合函数性质得，f (x )＝ex 2＋2x的增区间就是t ＝x 2＋2x 的增区间－1，＋∞)．17．解：当0<a <1时，f (x )在－1,2]上是减函数，当x ＝－1时，函数f (x )取得最大值，则由2a －1－5＝10，得a ＝215，当a >1时，f (x )在－1,2]上是增函数，当x ＝2时，函数取得最大值，则由2a 2－5＝10，得a ＝302或a＝－302(舍)．综上所述，a ＝215或302.18．解：(1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 的子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1，解得m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1<－2，m －1≤2m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>5，m －1≤2m ＋1，解得－2≤m <－32或m >6.综上知，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－32或m >6. 19．解：(1)据题意有f (0)＝0，则m ＝1. (2)f (x )在R 上单调递增，以下给出证明： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝－22x 2＋1＋22x 1＋1＝x 2－2x 1x 2＋x 1＋.∵x 2>x 1，∴2x 2>2x 1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，则f (x 2)>f (x 1)， 故f (x )在R 上单调递增．解题技巧：若函数f (x )的定义域内含有0且为奇函数时，则必有f (0)＝0.20．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，得1＜x ＜3.∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2；②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.综上，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(1,2]； 当a ＞1时，原不等式的解集为2,3)． 21．解：f (x )＝ax －1x ＋1＝a x ＋－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1， 设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋x 1－x 2x 1＋x 2＋.(1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在0,3]上是增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0，而f (x 1)－f (x 2)＝a ＋x 1－x 2x 1＋x 2＋，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．22．解：(1)∵13≤a ≤1，∴f (x )的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1a∈1,3]． ∴f (x )有最小值N (a )＝1－1a. 当2≤1a ≤3，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12时， f (x )有最大值M (a )＝f (1)＝a －1；当1≤1a <2，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， f (x )有最大值M (a )＝f (3)＝9a －5；∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤12，9a －6＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<a ≤1.(2)设13≤a 1<a 2≤12， 则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 1a 2>0， ∴g (a 1)>g (a 2)，∴g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上是减函数． 设12<a 1<a 2≤1，则g (a 1)－g (a 2)＝(a 1－a 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－1a 1a 2<0， ∴g (a 1)<g (a 2)，∴g (a )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上是增函数． ∴当a ＝12时，g (a )有最小值12.。
2019年高一数学必修1单元测试全册打包含答案
2018-2019学年必修一第一章训练卷集合与函数概念注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}1,0,1A =-，{}2,0,2B =-，则集合A B =（ ）A ．0B ．∅C ．{}0D ．{}12．设全集U ＝R ，集合22{|}M y y x x U ∈＝＝＋，，集合3{|}N y y x x U ∈＝＝，， 则MN 等于（ ）A ．{1,3,2,6}B ．{(1,3)，(2,6)}C ．MD ．{3,6}3．如图1所示，阴影部分表示的集合是（ ） A ．()U BA ðB ．()U AB ðC ．()U A B ðD ．()U AB ð图14．设全集U ={x |0<x <10，x ∈Z }，A ，B 是U 的两个真子集，()(){}1,9UUA B =痧，A ∩B ＝{2}，(){}4,6,8U A B =ð，则（ ）A ．5A ∈，且5∉B B ．5∉A ，且5∉BC ．5A ∈，且5B ∈D ．5∉A ，且5B ∈5．下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是（ ）6．函数()12f x x =+的定义域是（ ） A ．[)3,-+∞B ．[)3,2--C ．[)()3,22,---+∞D ．()2,-+∞7．数()f x ，()g x 由下列表格给出，则()3f g =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩＝，则2[()]f f -的值是（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-9．函数223y x x -＝＋，12x -≤≤的值域是（ ） A ．RB ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2,)+∞10．已知函数f (x )()()00,∞∞-，+上的奇函数，且当x <0时，函数的部分图象如图4所示，则不等式xf (x )<0的解集是（ ）图4A ．()2,112(),--B ．()2,10,)(2,(1)--+∞C ．()(),21,01(,2)--∞- D ．(),21,00,12,()()()∞-+∞--11．定义在R 上的偶函数f (x )在[0,7]上是增函数，在[7,)+∞上是减函数，f (7)＝6，则f (x )（ ） A ．在[]7,0-上是增函数，且最大值是6 B ．在[]7,0-上是减函数，且最大值是6 C ．在[]7,0-上是增函数，且最小值是6 D ．在[]7,0-上是减函数，且最小值是612．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意12(,]0x x -∈∞， (x 1≠x 2)，都有2121>0x x f x f x -()-()，则（ ）A ．5()f -<f (4)<f (6)B ．f (4)<5()f - <f (6)C ．f (6)<5()f -<f (4)D ．f (6)<f (4)<5()f -二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．设P 和Q 是两个集合，定义集合{|}P Q x x P x Q -=∈∉，且，若P ＝{1，2，3，4}，Q=x ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭R ，则P Q -=________．14．函数y =________．15．若函数()2(12)f x kx k x -=＋＋是偶函数，则f (x )的递减区间是________．16．设函数()1,0221,02x x x x f x x ⎧-<<⎪=⎨--≤≥⎪⎩或，则函数y ＝f (x )，y ＝12的图象的交点个数是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R ． （1）求A ∪B ，()U A B ð；（2）若A C ≠∅，求a 的取值范围．18．（12分）设A ＝{x |x 2+2(a +1)x +a 2-1＝0}，{|(02)14B x x x x ⎛⎫ ⎪⎝-⎭＝＋＝，x ∈Z}．若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f (x )＝-2x +m ，其中m 为常数． （1）求证：函数f (x )在R 上是减函数； （2）当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．20．（12分）某公司生产的水笔上年度销售单价为08．元，年销售量为1亿支．本年度计划将销售单价调至055075．～．元(含端点值)，经调查，若销售单价调至x 元，则本年度新增销售量y (亿支)与04x -．成反比，且当065x ＝．时，08y ＝．．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若每支水笔的成本价为03．元，则水笔销售单价调至多少时，本年度该公司的收益比上年度增加20%？21．（12分）已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2， （1）求函数f (x )和g (x )；（2）判断函数f (x )+g (x )的奇偶性．（3）求函数f (x )+g (x )在(上的最小值．22．（12分）函数f (x )＝21ax bx ++是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求f (x )的解析式；（2）证明f (x )在()1,1-上为增函数； （3）解不等式f (t -1)+f (t )<0．2018-2019学年必修一第一章训练卷集合与函数概念答 案一、选择题 1．【答案】C【解析】因为集合{}1,0,1A =-，{}2,0,2B =-，所以{}0A B =，故选C ．2．【答案】C【解析】,[)2M ∞＝+，N ＝R ．．故选C ． 3．【答案】A【解析】因为阴影部分既在集合U B ð中又在集合A 中， 所以阴影部分为()U B A ð，故选A ．4．【答案】A【解析】可借助Venn 图(如图2)解决，数形结合．故选A ．图25．【答案】A【解析】根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”对应才能构成函数关系． 故选A ． 6．【答案】C【解析】由题可得：30320x x x ⎧⎨≥≠⎩+⇒≥-+且2x ≠-，故选C ． 7．【答案】A【解析】由表可知()32g =，()()324f g f ==⎡⎤⎣⎦，故选A ． 8．【答案】C【解析】∵2x ＝-，而20-<，∴2()(224)f --＝＝．又4>0，∴()[()244]f f f -==．故选C ． 9．【答案】C【解析】画出函数223y x x -＝＋，12x -≤≤的图象，如图3所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．故选C ． 10．【答案】D【解析】xf (x )<0⇔x 与f (x )异号，由函数图象及奇偶性易得结论．故选D ． 11．【答案】B【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称． ∴f (x )在[]7,0-上是减函数，且最大值为6．故选B ． 12．【答案】C【解析】∵对任意12(,]0x x -∈∞，(x 1≠x 2)，都有2121>0x x f x f x -()-()，∴对任意12(,]0x x -∈∞，，若x 1<x 2，总有f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(]0-∞，上是增函数．∴()()()456f f f --->>． 又∵函数f (x )是偶函数，∴()()66f f -＝，()()44f f -＝， ∴f (6)<5()f -<f (4)．故选C ．二、填空题 13．【答案】{4}【解析】因为x Q ∉，所以x Q ∈R ð，又17Q=x|x<22⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，故∁17|22Q x x x ⎧⎫=<≥⎨⎬⎩⎭R ,或ð，故P Q -={4}．14．【答案】(],3-∞-【解析】由2230x x +-≥，得x ≥1或3x ≤-， ∴函数减区间为(],3-∞-． 15．【答案】(]0-∞，【解析】∵f (x )是偶函数，∴()2212()(12)()f x kx k x kx k x f x -+=-+-==-+． ∴1k =．∴f (x )＝x 2+2，其递减区间为(]0-∞，． 16．【答案】4【解析】函数y ＝f (x )的图象如图5所示， 则函数y ＝f (x )与y ＝12的图象的交点个数是4．图5三、解答题 17．【答案】（1）{}|18AB x x =<≤，()U A B ð＝{x |1<x <2}；（2）a <8． 【解析】（1）A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}． U A ð＝{x |x <2或x >8}．∴()U A B ð＝{x |1<x <2}．（2）∵A C ≠∅，∴a <8． 18．【答案】1,{}1|a a a ≤-或＝．【解析】由{|(02)14B x x x x ⎛⎫ ⎪⎝-⎭＝＋＝，x ∈Z}，得,0{}4B =-．由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ．于是，A 有四种可能， 即A ∅＝，4{-}A =，A ＝{0}，,{}40A -＝． 以下对A 分类讨论：（1）若A ∅＝，则Δ＝4(a +1)2-4a 2+4＝8a +8<0，解得a <-1； （2）若4{-}A =，则Δ＝8a +8＝0，解得a ＝-1． 此时x 2+2(a +1)x +a 2-1＝0可化为x 2＝0， 所以x ＝0，这与x ＝-4是矛盾的； （3）若A ＝{0}，则由（2）可知，a ＝-1；（4）若A ＝{-4，0}，则()288021410a a a ∆⎧=+>⎪-+=-⎨⎪-=⎩，解得a ＝1．综上可知，a 的取值范围1,{}1|a a a ≤-或＝． 19．【答案】（1）见解析；（2）0．【解析】（1）证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(-2x 1+m )-2()2x m -＋＝2(x 2-x 1)， ∵x 1<x 2，∴x 2-x 1>0．∴f (x 1)>f (x 2)∴函数f (x )在R 上是减函数． （2）∵函数f (x )是奇函数， ∴对任意x ∈R ，有f (-x )＝-f (x )． ∴2x +m ＝-(-2x +m )．∴m ＝0． 20．【答案】（1）y ＝152x -00)555(7x ≤≤．．；（2）06．元． 【解析】（1）设y ＝0.4kx -，由065x ＝．，08y ＝．，得02k ＝．， 所以y ＝152x -00)555(7x ≤≤．．． （2）依题意，1()1031()(0)8031202%5x x ⎛⎫+⋅-⨯-⨯ ⎪⎝⎭--．＝．．， 解得x ＝06．或x ＝05．(舍去)，所以水笔销售单价应调至06．元． 21．【答案】（1）f (x )＝x ，g (x )＝2x；（2）奇函数；（3） 【解析】（1）设()1f x k x ＝，g (x )＝2k x，其中k 1k 2≠0． ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴111k ⨯＝，221k =． ∴k 1＝1，k 2＝2．∴f (x )＝x ，g (x )＝2x． （2）设h (x )＝f (x )+g (x )，则()2h x x x+＝， ∴函数h (x )的定义域是()()0,,0∞-∞+．∵h (-x )＝-x +2x-＝-2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝-h (x )，∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )+g (x )是奇函数． （3）由（2）知()2h x x x+＝，设x 1，x 2是(上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则h (x 1)-h (x 2)＝112x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-222x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝(x 1-x 2)+1222x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(x 1-x 2)1221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()()1212122x x x x x x --， ∵x 1，x 2∈(，且x 1<x 2， ∴x 1-x 2<0，0<x 1x 2<2．∴x 1x 2-2<0，(x 1-x 2)(x 1x 2-2)>0． ∴h (x 1)>h (x 2)．∴函数h (x )在(上是减函数，函数h (x )在(上的最小值是h=即函数f (x )+g (x )在(上的最小值是 22．【答案】（1）f (x )＝21xx+；（2）见解析；（3）1t|0<t<2⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【解析】（1）由题意得001225f f ()=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，所以f (x )＝21x x +． （2）证明：任取两数x 1，x 2，且-1<x 1<x 2<1， 则12121212222212121()()=1111x x x x x x f x f x x x x x (-)(-)--=++(+)(+)． 因为-1<x 1<x 2<1，所以x 1-x 2<0，x 1x 2<1，故1-x 1x 2>0， 所以f (x 1)-f (x 2)<0，故f (x )在()1,1-上是增函数．（3）因为f (x )是奇函数，所以由f (t -1)＋f (t )<0，得f (t -1)<-f (t )＝f (-t )． 由（2）知，f (x )在()1,1-上是增函数， 所以-1<t -1<-t <1，解得0<t <12， 所以原不等式的解集为1t|0<t<2⎧⎫⎨⎬⎩⎭．2018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2021年人教A版(2019)选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试卷高中数学答案加解析
2021年人教A 版（2019）选择性必修第一册数学第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（1）一、选择题1. 已知向量a →=(1,−2,2)，b →=(1,1,6)，则|a →−b →|=( ) A.25 B.17 C.√17 D.52. 已知向量a →=(λ, 6, 2)，b →=(−1, 3, 1)，满足a → // b →，则实数λ的值是( ) A.2 B.6 C.−2 D.−63. 在空间直角坐标系O −xyz 中，点A (−1,0,3)关于坐标原点的对称点为B ，则|AB|=( ) A.2 B.√10 C.2√10 D.104. 如图所示，在空间四边形OABC 中， OA →=a →，OB →=b →，OC →=C →，点N 在AB 上，且AN →=2NB →，M 为OC 中点，则MN →=( )A.12a →−23b →−12c →B.−23a →+12b →+12c →C.13a →+12b →−12c →D.13a →+23b →−12c →5. 设P (1,−2,5)是空间直角坐标系中的一点，则点P 关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为( ) A.(1,2,−5) B.(−1,−2,5) C.(−1,−2,−5) D.(1,−2,−5)6. 已知平面α内有一点A (2,−1,2)，平面α 的一个法向量为n →=(12,16,13)，则下列四个点中在平面α内的是( ) A.P 1(1,−1,1) B.P 2(1,3,32)C.P 3(1,−3,32)D.P 4(−1,3,−32)7. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 在AC 上，且AM =12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N =2ND ，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则MN →=( )A.−13a →+13b →+13c →B.a →+13b →−13c →C.13a →−13b →−23c →D.−13a →+b →+13c →8. 空间直角坐标系中A(1, 2, 3)，B(−1, 0, 5)，C(3, 0, 4)，D(4, 1, 3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定9. 已知A (0,0,2)，B (1,0,2)，C (0,2,0)，则点A 到直线BC 的距离为（ ） A.2√23B.1C.√2D.2√210. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A.[√63，1] B.[√23，1] C.[√23，2√23] D.[√63，2√23]11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=AD，点E是PC 的中点，则PD与BE所成角的余弦值是()A.√33B.√36C.√63D.√6612. 如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90∘，D是A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )A.√510B.√1010C.12D.√105二、填空题13. 已知直线l的一个法向量是n→=(√3,−1)，则l的倾斜角的大小是________．14. 已知平面α的法向量为(2, −4, −2)，平面β的法向量为(k, 2, 1)，若α // β，则实数k的值为________.15. 给出下列命题：①直线l 的方向向量为a →=(1, −1, 2)，直线m 的方向向量b →=(2, 1, −12)，则l 与m 垂直； ②直线l 的方向向量a →=(0, 1, −1)，平面α的法向量n →=(1, −1, −1)，则l ⊥α； ③平面α，β的法向量分别为n 1→=(0, 1, 3)，n 2→=(1, 0, 2)，则α // β；④平面α经过三点A(1, 0, −1)，B(0, 1, 0)，C(−1, 2, 0)，向量n →=(1, u, t)是平面α的法向量，则u +t =1．其中真命题的是________.（把你认为正确命题的序号都填上）16. 如图所示的一块长方体木料中，已知AB =BC =2，AA 1=1，设F 为线段AD 上一点，则该长方体中经过点A 1，F ，C 的截面面积的最小值为________．三、解答题17. 已知向量b →=(−2,1,1)，点A(−3,−1,4)，B(−2,−2,2)，点E 在直线AB 上，使得OE →⊥b →，则点E 的坐标为多少.18. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，若∠C 1EF =90∘，则点F 的坐标是多少.19.如图，正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =1，D 1D =λ(λ>0)，若棱C 1C 上存在唯一的一点P 满足A 1P ⊥PB ，求实数λ的值．20.在如图所示的几何体中，△FCB是等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB，平面FCB⊥平面ABCD.CB=CD=12(1)求证：AC⊥平面FCB；(2)求二面角F−BD−C的余弦值.21. 在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD // BC，∠BAD=90∘，AB=√3，BC=1，AD=AA1=3．(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．22. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为AD的中点，O为BE中点.将△ABE沿BE折起到A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE（如图2）.(1)求证：A′O⊥CD；(2)求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值；(3)在线段A′C上是否存在点P，使得OP//平面A′DE？若存在，求出A′P的值；若不存在，A′C请说明理由.参考答案与试题解析2021年人教A 版（2019）选择性必修第一册数学第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（1）一、选择题 1.【答案】 D【考点】空间向量运算的坐标表示 向量的模向量的减法及其几何意义 【解析】先求出a →−b →=(0,−3,−4)，再利用模长公式求解即可. 【解答】解：∵ a →=(1,−2,2)，b →=(1,1,6)， ∴ a →−b →=(0,−3,−4)，∴ |a →−b →|=√02+(−3)2+(−4)2=5. 故选D . 2.【答案】 C【考点】共线向量与共面向量 【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【解答】解：∵ 向量a →=(λ, 6, 2)，b →=(−1, 3, 1)，满足a → // b →， ∴ λ−1=63=21，解得λ=−2， ∴ 实数λ的值是−2. 故选C . 3.【答案】 C【考点】空间中的点的坐标 空间两点间的距离公式求出B 点的坐标，再根据空间中两点间的距离公式即可得解. 【解答】解：设B (a,b,c )， 由中点坐标公式可得：a−12=0，b+02=0，c+32=0，解得a =1，b =0，c =−3， 所以B (1,0,−3)，所以点|AB |=√(−1−1)2+(0−0)2+(3+3)2=2√10. 故选C ． 4. 【答案】 D【考点】空间向量的加减法 【解析】利用向量的加法，MN →=MO →+OB →+BN →，利用中点公式代入． 【解答】解：MN → =MO → +OB → +BN →，MO → =−12OC →，BN → = 13BA → = 13(OA → −OB →)， 所以MN →=−12OC → + 23OB → + 13OA →=−12c →+23b →+13a →. 故选D . 5. 【答案】 B【考点】空间直角坐标系 【解析】根据空间点的对称性分别进行判断即可． 【解答】解：因为点P(a, b, c)与点P ′关于坐标平面yOz 对称，则y ，z 不变，x 相反， 所以对称点P ′(−a, b, c)，所以P (1,−2,5)关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(−1,−2,5). 故选B . 6.【答案】 B【考点】 平面的法向量向量的减法及其几何意义若点P 在平面α内，则P 2A →⋅n →=0，经过验证即可判断出结论． 【解答】解：由题意得P 1A →=(1,0,1)，P 1A →⋅n →=56≠0，排除选项A ． 同理，可排除选项C ，D ． 因为P 2A →=(1,−4,12)，所以P 2A →⋅n →=0． 故选B ． 7.【答案】 A【考点】空间向量的基本定理及其意义 向量的加法及其几何意义 【解析】充分利用向量加法、减法的平行四边形、三角形法则以及数乘运算，将MN →表示出来，易知MN →=MA →+AA 1→+A 1N →，然后将三个向量分别用基底表示出来代入即可． 【解答】解：因为M 在AC 上，且AM =12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N =2ND ， 所以AM →=13AC →，A 1N →=23A 1D →． 又由已知平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1， 且AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →得： AC →=a →+b →，A 1D →=b →−c →，所以MN →=MA →+AN →=−AM →+AA 1→+A 1N →=−13(a →+b →)+c →+23(b →−c →)． 化简得MN →=−13a →+13b →+13c →．故选A ． 8. 【答案】 A【考点】共线向量与共面向量 【解析】由已知得AB →=(−2, −2, 2)，CD →=(1, 1, −1)，AB →=−2CD →，从而得到直线AB 与CD 平行． 【解答】解：在空间直角坐标系中，A(1, 2, 3)，B(−1, 0, 5)，C(3, 0, 4)，D(4, 1, 3)， ∴ AB →=(−2, −2, 2)，CD →=(1, 1, −1)， ∴ AB →=−2CD →， ∴ 直线AB 与CD 平行． 故选A ． 9. 【答案】 A【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】求出|AB →|=(1,0,0)， |BC →|=(−1,2,−2)，根据空间向量的夹角与距离公式即可求解点A 到直线BC 的距离. 【解答】解：∵ A (0,0,2) ，B (1,0,2) ，C (0,2,0), ∴ AB →=(1,0,0)， BC →=(−1,2,−2)， ∴ 点A 到直线BC 的距离为： d =|AB →|√1−(cos <AB →，BC →>)2 =|AB →|√1−(AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|)2=1×√1−(−11×3)2=2√23. 故选A . 10.【答案】 C【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sin α的取值范围． 【解答】解：设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(2, 0, 2)，B(2, 2, 0)，D(0, 0, 0)，O(1, 1, 0)，P(a, 2, 2)，0≤a ≤2，DA 1→=(2, 0, 2)，DB →=(2, 2, 0)，OP →=(a −1, 1, 2)，设平面A 1BD 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅BD →=2x +2y =0，n →⋅DA 1→=2x +2z =0，取x =1，得n →=(1, −1, −1)，∴ sin α=|cos <OP →,n →>|=|OP →⋅n →|OP →|⋅|n →|| =√(a−1)2+5⋅√3=√33⋅√(a−1)2+5， ∵ 0≤a ≤2，∴ a =2时，sin α取最小值 (sin α)min =√33√(2−1)2+5=√23， a =0时，sin α取最大值 (sin α)max =√33×√(0−1)2+5=2√23． ∴ sin α的取值范围是[√23,2√23]． 故选C ．11. 【答案】D【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示，设PD =CD =AD =2，则E(0, 1, 1)，B(2, 2, 0)，P(0, 0, 2)，D(0, 0, 0)，∴ PD →=(0, 0, −2)，BE →=(−2, −1, 1)，设PD 与BE 的夹角为θ，则cos θ=|PD →⋅BE →||PD →|⋅|BE →| =22√6 =√66. 故选D .12.【答案】C【考点】点、线、面间的距离计算向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】以C 1为原点，C 1A 1为x 轴，C 1B 1为y 轴，C 1C 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1F 的长．【解答】解：以C 1为原点，C 1A 1为x 轴，C 1B 1为y 轴，C 1C 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意A 1(1, 0, 0)，B 1(0, 1, 0)，D(12,12, 0)，C 1(0, 0, 0)，A(1, 0, 2)，设F(0, 1, t)，0≤t ≤2，C 1D →=(12,12, 0)，AB 1→=(−1, 1, −2)，C 1F →=(0, 1, t)，因为AB 1⊥平面C 1DF ，{AB 1→⋅C 1D →=0，AB 1→⋅C 1F →=0，所以1−2t =0，解得t =12，所以B 1F →=(0,0,12)，所以线段B 1F 的长为12．故选C .二、填空题13.【答案】π3【考点】直线的方向向量直线的倾斜角【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →∗n →=0，可得tan θ=y x ．【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →⋅n →=√3x −y =0，∴ tan θ=y x =√3， 解得θ=π3．故答案为：π3.14.【答案】−1【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】设平面α的法向量为a →，平面β的法向量为b →．由于α // β，可得a → // b →，因此∃实数λ使得a →=λb →．再利用向量共线定理的坐标运算即可得出．【解答】解：∵ 平面α的法向量为(2, −4, −2)，平面β的法向量为(k, 2, 1)，且α // β， ∴ a → // b →，∴ 存在实数λ使得a →=λb →．∴ {2=kλ，−4=2λ，−2=λ，解得k =−1．故答案为：−1.15.【答案】①④【考点】平面的法向量共线向量与共面向量数量积判断两个平面向量的垂直关系用向量证明平行【解析】①根据直线l 、m 的方向向量a →与b →垂直，得出l ⊥m ；②根据直线l 的方向向量a →与平面α的法向量n →垂直，不能判断l ⊥α；③根据平面α、β的法向量n 1→与n 2→不共线，不能得出α // β；④求出向量AB →与BC →的坐标表示，再利用平面α的法向量n →，列出方程组求出u +t 的值．【解答】解：①，∵ a →=(1, −1, 2)，b →=(2, 1, −12)，∴ a →⋅b →=1×2−1×1+2×(−12)=0，∴ a →⊥b →，∴ 直线l 与m 垂直，故①正确；②，a →=(0, 1, −1)，平面法向量为n →=(1, −1, −1)，∴ a →⋅n →=0×1+1×(−1)+(−1)×(−1)=0，∴ a →⊥n →，∴ l // α或l ⊂α，故②错误；③，∵ n 1→=(0, 1, 3)，n 2→=(1, 0, 2)，∴ n 1→与n 2→不共线，∴ α // β不成立，故③错误；④，∵ 点A(1, 0, −1)，B(0, 1, 0)，C(−1, 2, 0)，∴ AB →=(−1, 1, 1)，BC →=(−1, 1, 0)，向量n →=(1, u, t)是平面α的法向量，∴ {n →⋅AB →=0,n →⋅BC →=0,即{−1+u +t =0,−1+u =0,∴ u +t =1，故④正确．综上，以上真命题的序号是①④.故答案为：①④.16.【答案】6√55【考点】空间向量的数乘运算空间直角坐标系棱柱的结构特征【解析】根据题意，建立建立空间直角坐标系O −xyz ，用坐标表示向量， 通过向量计算截面面积，求出截面面积的最小值．【解答】解：如图所示，以DA 为x 轴，AB 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，设截面与交B 1C 1点K ，F(−2λ, 0, 0)，则FC →=(−2+2λ, 2, 0)，FA 1→=(2λ, 0, 1)；∴ S =|FC →|⋅|FA 1→|sin θ，S 2=|FC →|2⋅|FA 1→|2−(FC →⋅FA 1→)2=[(−2+2λ)2+4](4λ2+1)−[(−2+2λ)⋅2λ]2=20λ2−8λ+8=20(λ−15)2+365， 当λ=15时，S 2取最小值365，∴ S 的最小值为6√55． 故答案为：6√55． 三、解答题17.【答案】解：AB →=OB →−OA →=(1,−1,−2)，∵ 点E 在直线AB 上，∴ OE →=OA →+λAB →=(−3,−1,4)+λ(1,−1,−2)=(−3+λ,−1−λ,4−2λ)， ∴ OE →⋅b →=−2(−3+λ)+(−1−λ)+(4−2λ)=0,解得λ=95,∴ OE →=(−65,−145,25)， ∴ E 点坐标为(−65,−145,25). 【考点】空间向量运算的坐标表示共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】解：AB →=OB →−OA →=(1,−1,−2)，∵ 点E 在直线AB 上，∴ OE →=OA →+λAB →=(−3,−1,4)+λ(1,−1,−2)=(−3+λ,−1−λ,4−2λ)， ∴ OE →⋅b →=−2(−3+λ)+(−1−λ)+(4−2λ)=0,解得λ=95,∴ OE →=(−65,−145,25)， ∴ E 点坐标为(−65,−145,25).18.【答案】解：由正方体的性质可得E(2,0,1)，C 1(0,2,2)，设F(2,y,0)，则EC 1→=(−2,2,1)，EF →=(0,y,−1)．因为∠C 1EF =90∘，所以EC 1→⋅EF →=2y −1=0，解得y =12， 则点F 的坐标为(2,12,0)． 【考点】空间向量的数量积运算空间中的点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】解：由正方体的性质可得E(2,0,1)，C 1(0,2,2)，设F(2,y,0)，则EC 1→=(−2,2,1)，EF →=(0,y,−1)．因为∠C 1EF =90∘，所以EC 1→⋅EF →=2y −1=0，解得y =12， 则点F 的坐标为(2,12,0)．19.【答案】解：如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，A 1(1, 0, λ)，设P(0, 1, x)，其中x ∈[0, λ]，因为A 1P ⊥PB ，所以A 1P →⋅BP →=0，即(−1, 1, x −λ)⋅(−1, 0, x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0, λ]，由点P(0, 1, x)的唯一性知方程x 2−λx +1=0只有唯一解，所以，判别式Δ=λ2−4=0，且λ>0，解得λ=2．【考点】空间向量的数量积运算【解析】以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出实数λ的值．【解答】解：如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，A 1(1, 0, λ)，设P(0, 1, x)，其中x ∈[0, λ]，因为A 1P ⊥PB ，所以A 1P →⋅BP →=0，即(−1, 1, x −λ)⋅(−1, 0, x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0, λ]，由点P(0, 1, x)的唯一性知方程x 2−λx +1=0只有唯一解，所以，判别式Δ=λ2−4=0，且λ>0，解得λ=2．20.【答案】证明：(1)在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ,设BC 长为1， 则AB =2,BE =12,CE =√32,AC =√3，可得BC 2+AC 2=AB 2，即∠ACB =90∘，所以AC ⊥BC .因为面FCB 与面ABCD 交线为BC ，又AC ⊂面ABCD ,所以AC ⊥面FCB .（2）解：过点C 作CM ⊥平面BCD ，以点C 为原点，CA,CB,CM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(0,1,0),D (√32,−12,0),F (0,12,√32)， 所以BD →=(√32,−32,0),BF→=(0,−12,√32)， 设平面BDF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅BD →=0m →⋅BF →=0即{√32x −32y =0−12y +√32z =0，取z =1，则y =√3,x =3，得m →=(3,√3,1)，取平面BCD 的法向量为n →=(0,0,1) ，所以cos <m →,n →>=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1√9+3+1=√1313由图形知该二面角的平面角为锐角，所以二面角F −BD −C 的余弦值为√1313.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ,设BC 长为1， 则AB =2,BE =12,CE =√32,AC =√3，可得BC 2+AC 2=AB 2，即∠ACB =90∘，所以AC ⊥BC .因为面FCB 与面ABCD 交线为BC ，又AC ⊂面ABCD ,所以AC ⊥面FCB .（2）解：过点C 作CM ⊥平面BCD ，以点C 为原点，CA,CB,CM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(0,1,0),D (√32,−12,0),F (0,12,√32)， 所以BD →=(√32,−32,0),BF→=(0,−12,√32)， 设平面BDF 的法向量为m →=(x,y,z)，则{m →⋅BD →=0m →⋅BF →=0即{√32x −32y =0−12y +√32z =0，取z =1，则y =√3,x =3，得m →=(3,√3,1)，取平面BCD 的法向量为n →=(0,0,1) ，所以cos <m →,n →>=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1√9+3+1=√1313由图形知该二面角的平面角为锐角，所以二面角F −BD −C 的余弦值为√1313. 21.【答案】(1)证明：以AB →，AD →，AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，C(√3,1,0)，B 1(√3,0,3),D(0,3,0)，C 1(√3,1,3)，D 1(0,3,3)，∴ AC →=(√3,1,0)，B 1D →=(−√3,3,−3)，∴ AC →⋅B 1D →=0，∴ AC ⊥B 1D .(2)解：设平面ACD 1的一个法向量为m →=(x,y,z)，AC →=(√3,1,0)，AD 1→=(0,3,3)，则{√3x +y =03y +3z =0， ∴ m →=(1,−√3,√3)设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，∵ B 1C 1→=(0,1,0)，∴ sin θ=|B 1C 1→⋅m →||B 1C 1→||m →|=√217， ∴ 直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角向量语言表述线线的垂直、平行关系两条直线垂直的判定【解析】(Ⅰ)以AB →,AD →,AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标；通过计算AC →⋅B 1D →=0，证明AC ⊥B 1D ．(Ⅱ)求出平面ACD 1的法向量，设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，求出B 1C 1→=(0,1,0)，利用向量的数量积求解直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．【解答】(1)证明：以AB →，AD →，AA 1→方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，C(√3,1,0)，B 1(√3,0,3),D(0,3,0)，C 1(√3,1,3)，D 1(0,3,3)，∴ AC →=(√3,1,0)，B 1D →=(−√3,3,−3)，∴ AC →⋅B 1D →=0，∴ AC ⊥B 1D .(2)解：设平面ACD 1的一个法向量为m →=(x,y,z)，AC →=(√3,1,0)，AD 1→=(0,3,3)，则{√3x +y =03y +3z =0， ∴ m →=(1,−√3,√3)设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，∵ B 1C 1→=(0,1,0)，∴ sin θ=|B 1C 1→⋅m →||B 1C 1→||m →|=√217， ∴ 直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217. 22.【答案】(1)证明：由已知AB =AE =2，因为O 为BE 中点，所以A ′O ⊥BE .因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，且平面A ′BE ∩平面BCDE =BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE .又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥CD .(2)解：设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点，由已知易得OF ⊥OG .由(1)可知，A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′O ⊥OF ，A ′O ⊥OG .以O 为原点，OF ，OG ，OA ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）.因为A ′B =2，BC =4， 所以A ′(0,0,√2)，B(1,−1,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，E(−1,1,0). 设平面A ′DE 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，因为A ′D→=(−1,3,−√2)，DE →=(0,−2,0), 所以{m →⋅A ′D →=0，m →⋅DE →=0，即{−x 1+3y 1−√2z 1=0，−2y 1=0， 取z 1=−1，得m =(√2,0,−1)，而A ′C →=(1,3,−√2)，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值sin θ=|2√22√3⋅√3|=√23. (3)解：在线段A ′C 上存在点P ，使得OP//平面A ′DE .设P (x 0,y 0,z 0)，且A ′PA ′C =λ(0≤λ≤1)，则A ′P →=λA ′C →，λ∈[0,1].因为A ′(0,0,√2)，C(1,3,0)，所以(x 0,y 0,z 0−√2)=(λ,3λ,−√2λ)，所以x 0=λ，y 0=3λ，z 0=√2−√2λ，所以P(λ,3λ,√2−√2λ)，OP →=(λ,3λ,√2−√2λ)，若OP//平面A ′DE ，则OP →⊥m →，即OP →⋅m →=0.由(2)可知，平面A ′DE 的一个法向量m →=(√2,0,−1)，即√2λ−√2+√2λ=0，解得λ=12∈[0,1]，所以当A ′P A ′C =12时，OP//平面A ′DE .【考点】用空间向量求直线与平面的夹角用向量证明平行直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知AB =AE =2，因为O 为BE 中点，所以A ′O ⊥BE .因为平面A ′BE ⊥平面BCDE ，且平面A ′BE ∩平面BCDE =BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE .又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥CD .(2)解：设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点，由已知易得OF ⊥OG .由(1)可知，A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′O ⊥OF ，A ′O ⊥OG .以O 为原点，OF ，OG ，OA ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图）.因为A ′B =2，BC =4， 所以A ′(0,0,√2)，B(1,−1,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，E(−1,1,0).设平面A ′DE 的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，因为A ′D →=(−1,3,−√2)，DE →=(0,−2,0),所以{m →⋅A ′D →=0，m →⋅DE →=0，即{−x 1+3y 1−√2z 1=0，−2y 1=0， 取z 1=−1，得m =(√2,0,−1)，而A ′C →=(1,3,−√2)，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值sin θ=|2√22√3⋅√3|=√23.(3)解：在线段A ′C 上存在点P ，使得OP//平面A ′DE . 设P (x 0,y 0,z 0)，且A ′P A ′C =λ(0≤λ≤1)， 则A ′P →=λA ′C →，λ∈[0,1].因为A ′(0,0,√2)，C(1,3,0)，所以(x 0,y 0,z 0−√2)=(λ,3λ,−√2λ)，所以x 0=λ，y 0=3λ，z 0=√2−√2λ， 所以P(λ,3λ,√2−√2λ)，OP →=(λ,3λ,√2−√2λ)， 若OP//平面A ′DE ，则OP →⊥m →，即OP →⋅m →=0.由(2)可知，平面A ′DE 的一个法向量m →=(√2,0,−1)， 即√2λ−√2+√2λ=0，解得λ=12∈[0,1]， 所以当A ′P A ′C =12时，OP//平面A ′DE .。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
专题2-4 基本不等式-重难点题型检测(举一反三)(人教A版2019必修第一册)(解析版)
专题2.4 基本不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2020秋•淄博期末）已知实数x ＞3，则4x +9x−3的最小值是（ ） A ．24B ．12C ．6D ．3【解题思路】4x +9x−3=4（x ﹣3）+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x ＞3，∴x ﹣3＞0， 4x +9x−3=4（x ﹣3）+9x−3+12≥12+2√4(x −3)×9x−3=24， 当且仅当4x ﹣12=9x−3时，取得最小值24． 故选：A ．2．（3分）（2021春•温州期末）设a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝1，则2a+ab （ ）A ．有最小值为4√2+6B ．有最小值为6C ．有最小值为143D ．有最小值为7【解题思路】利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解． 【解答过程】解：因为a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝1， 则2a +a b=2a+4b a +a b=2+4b a +a b ≥2+2√4b a ⋅ab=6， 当且仅当4ba=a b且a +2b ＝1时取等号，此时2a+a b 取得最小值6．故选：B ．3．（3分）（2021春•莲池区校级期中）已知a ＞0，b ＞0，则2√ab +1a +1b 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．4√2D ．6【解题思路】利用基本不等式可解决此题． 【解答过程】解：∵a ＞0，b ＞0，∴2√ab +1a+1b ≥2√ab 2√ab≥4当且仅当a ＝b ＝1时，取等号． 故选：B ．4．（3分）（2021春•浙江月考）已知实数a ＞0，b ＞0，且满足ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0，则（a +1）（b +2）的最小值为（ ）A ．24B ．3√17+13C ．9√2+13D ．25【解题思路】根据等式ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0表示出b ，求出a 的范围，然后将（a +1）（b +2）中的b 消去，再利用基本不等式可求出（a +1）（b +2）的最小值． 【解答过程】解：因为ab ﹣a ﹣2b ﹣2＝0， 所以b =a+2a−2，又a ＞0，b ＞0， 所以a+2a−2＞0，解得a ＞2，又b =a+2a−2=1+4a−2， 所以（a +1）（b +2）＝ab +2a +b +2 ＝a +2b +2+2a +b +2＝3a +3b +4 ＝3a +12a−2+7＝3（a ﹣2）+12a−2+13 ≥2√3(a −2)⋅12a−2+13=25， 当且仅当3（a ﹣2）=12a−2即a ＝4时等号成立， 即（a +1）（b +2）的最小值为25． 故选：D ．5．（3分）（2020秋•云南期末）如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【解题思路】可设两正方形的边长分别为a ，b ，从而得出a +b ＝1，进而得出ab ≤14，从而得出a 2+b 2=1−2ab ≥12，这样即可得出它们面积之和的最小值．【解答过程】解：设两正方形的边长分别为a ，b ，则：a +b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴2√ab ≤1，当且仅当a =b =12时取等号， ∴ab ≤14，∴a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−12=12，当且仅当a ＝b =12时取等号． 故选：B ．6．（3分）（2021•湖南模拟）设正实数a 、b 满足a +b ＝1，则下列说法错误的是（ ） A ．√ab 有最大值12B ．1a+2b+12a+b有最小值3C ．a 2+b 2有最小值12D ．√a +√b 有最大值√2【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可求解． 【解答过程】解：由题意可知，正实数a 、b 满足a +b ＝1，由基本不等式可得√ab ≤a+b2=12，当且仅当a ＝b =12，等号成立，故A 选项正确， 由基本不等式可得1a+2b+12a+b =13(3a +3b)(1a+2b+12a+b)，=13[(a +2b)+(2a +b)]⋅(1a+2b +12a+b )=13(2+2a+b a+2b +a+2b2a+b )≥13(2+2√a+2b 2a+b ⋅2a+ba+2b )=43， 当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故B 选项错误，a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ≥(a +b)2−2×(a+b 2)2=(a+b)22=12，当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故C 选项正确， (√a +√b)2=a +b +2√ab ≤2（a +b ）＝2， 则√a +√b ≤√2，当且仅当a ＝b =12时，等号成立，故D 选项正确． 故选：B ．7．（3分）（2021春•秦淮区月考）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab(a ＞0，b ＞0)B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）C ．√ab ≥21a +1b(a ＞0，b ＞0)D ．√a 2+b 22≥a+b 2(a ＞0，b ＞0)【解题思路】斜边即大正方形的边长为√a 2+b 2，大正方形面积a 2+b 2，而大正方形面积大于等于四个直角三角形的面积和，可求．【解答过程】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ， 所以斜边即大正方形的边长为√a 2+b 2，大正方形面积a 2+b 2， 由题意得a 2+b 2≥4×12ab =2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故选：B ．8．（3分）（2021春•郑州期末）已知a ＞b ＞c ，若1a−b+4b−c≥m a−c恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．9 【解题思路】由a ＞b ＞c ，知a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，a ﹣c ＞0，由1a−b+4b−c≥m a−c，得m ≤（a ﹣c ）（1a−b+4b−c），求出（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）的最小值，可解决此题．【解答过程】解：由a ＞b ＞c ，知a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，a ﹣c ＞0， 由1a−b+4b−c≥m a−c，得m ≤（a ﹣c ）（1a−b+4b−c），又∵a ﹣c ＝a ﹣b +b ﹣c ，∴（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）＝[（a ﹣b ）+（b ﹣c ）]（1a−b+4b−c）]＝5+4(a−b)b−c +b−c a−b ≥5+2√4(a−b)b−c ⋅b−ca−b =9，当且仅当4(a−b)b−c =b−c a−b， 即b ﹣c ＝2（a ﹣b ）时，（a ﹣c ）（1a−b+4b−c）取得最小值9，∴m ≤9，∴m 的最大值为9． 故选：D ．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知正数a ，b 满足a 2+b 2＝2a +2b ，若a +b ∈Z ，则a +b 的值可以是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】利用基本不等式求出a +b 的取值范围，对照选项即可得到答案．【解答过程】解：因为a+b 2≤√a 2+b 22，所以a 2+b 2≥(a+b)22，故a 2+b 2＝2a +2b ≥(a+b)22，则（a +b ）2﹣4（a +b ）≤0， 又a ＞0，b ＞0， 所以0＜a +b ≤4，若a +b ∈Z ，则a +b 的值可以是1，2，3，4． 故选：ABC ．10．（4分）（2021春•茂名期末）设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ） A ．1a +4b≥9B ．2a +2b ＞3C ．√a +√b 有最大值√2D ．a 2+b 2有最小值12【解题思路】利用1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+b a+4a b≥5+2√b a⋅4ab=9，再分析即可判断选项A ；利用2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b 再分析即可判断选项B ；利用√a +√b =√a +b +2√ab ≤√1+2√14=√2即可判断选项C ；利用a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝1﹣2ab 即可判断选项D ．【解答过程】解：1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+b a+4a b≥5+2√b a⋅4ab=9（当且仅当b a=4a b，即b ＝2a 时等号成立），所1a+4b≥9，故选项A 正确，2a +2b ≥√2a ⋅2b =2√2a+b =2√2（当且仅当a =b =12时等号成立），由于2√2＜3，所以选项B 错误；√a +√b =√a +b +2√ab ≤√1+2√14=√2，所以C 正确；a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12，D 正确． 故选：ACD ．11．（4分）（2020秋•雁峰区校级月考）已知x ＞y ＞0，xy ＝1，则x 2+y 2x−y的最小值和此时x 、y 应取的值为（ ） A ．最小值为52B ．最小值为2√2C ．x =32，y =12D ．x =√6+√22，y =√6−√22【解题思路】由已知x 2+y 2x−y=x 2+y 2−2xy+2xyx−y=(x−y)2+2x−y=x ﹣y +2x−y，然后结合基本不等式可求． 【解答过程】解：因为x ＞y ＞0，xy ＝1， 所以x ﹣y ＞0， 则x 2+y 2x−y=x 2+y 2−2xy+2xyx−y =(x−y)2+2x−y=x ﹣y +2x−y ≥2√2，当且仅当x ﹣y =2x−y 时取等号， 此时x ﹣y =√2，xy ＝1， 所以x =√6+√22，y =√6−√22时取等号，故选：BD ．12．（4分）（2021•南通模拟）当x ＞0，y ＞0时，下列不等式中恒成立的有（ ） A ．2xy x+y≤√xyB ．1x+1y≥4x+yC ．1x+1y≤2√xyD ．x 3+y 3≥4x 2y 2x+y【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【解答过程】解：因为x ＞0，y ＞0， 所以x +y ≥2√xy ， 所以（x +y ）√xy ≥2xy ，即2xy x+y≤√xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，A 正确；x+y x+x+y y=2+y x+x y ≥2+2√x y ⋅yx =4，当且仅当y x =x y时取等号，B 正确； 因为x +y ≥2√xy ，所以1x +1y −2√xy =x+y−2√xy xy =(√x−√y)2xy ≥0，故1x +1y ≥2√xy，C 错误；x 3+y 3≥2√x 3y 3，x +y ≥2√xy ，当且仅当x ＝y 时取等号， 故（x 3+y 3）（x +y ）≥4x 2y 2， 所以x 3+y 3≥4x 2y 2x+y，D 正确． 故选：ABD ．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021春•江津区校级月考）若正数m ，n 满足2m +n ＝1，则1m+1n的最小值为 3+2√2 ．【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答过程】解：因为正数m ，n 满足2m +n ＝1， 则1m+1n=2m+n m +2m+n n=3+n m +2m n ≥3+2√n m ⋅2mn =3+2√2，当且仅当n m=2m n且2m +n ＝1时取等号，故1m+1n的最小值3+2√2．故答案为：3+2√2．14．（4分）（2021春•衢州期末）已知实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，则y 2+3xy 的最小值为 ﹣1 ．【解题思路】实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，可得x ≠0，y =x 2−1x ，代入y 2+3xy =(x 2−1x )2+3x •x 2−1x，化简利用基本不等式即可得出．【解答过程】解：实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，∴x ≠0，y =x 2−1x ．则y 2+3xy =(x 2−1x )2+3x •x 2−1x=x 2﹣2+1x 2+3x 2﹣3＝4x 2+1x 2−5≥2√4x 2⋅1x 2−5＝﹣1，当且仅当x ＝±√22时取等号． ∴y 2+3xy 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．15．（4分）（2020秋•盘龙区期末）为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m 的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是1694m 2．【解题思路】设直角三角形的两个直角边长分别为a ，b ，利用勾股定理以及基本不等式即可求出ab 的最大值，进而可以求解．【解答过程】解：设直角三角形的两个直角边长分别为a ，b ， 则由已知可得a 2+b 2＝132＝169，所以169≥2ab ，解得ab ≤1692，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值为1692，又空地的面积为S =12ab ， 所以空地的面积的最大值为12×1692=1694，故答案为：1694．16．（4分）（2020秋•建邺区月考）若x ＞1时，不等式x +12x−1≥a 恒成立，则a 的取值范围是 （−∞，1+√22] ．【解题思路】由x +12x−1≥a 恒成立可知（x +12x−1）min ≥a 恒成立，然后结合基本不等式即可求解． 【解答过程】解：由x ＞1可得x −12＞0，因为x +12x−1=x −12+12x−12+12≥2√(x −12)⋅12x−12+12=12+√2，当且仅当x −12=12x−12即x ＝1+√22时取等号，因为x +12x−1≥a 恒成立， 所以a ≤1+√22．故答案为：（−∞，1+√22]四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•兰州期末）若a ＞0，b ＞0，求证：（a +b ）（1a+1b ）≥4．【解题思路】本题主要考查证明不等式的方法：综合法和分析法，欲证原不等式成立，只须将左式展开利用基本不等式即可．故利用综合法证明． 【解答过程】证明：左式＝1+b a+a b+1 ≥2+2√ba ×ab =4＝右式． ∴(a +b)(1a+1b)≥4．18．（6分）（2020秋•秦淮区校级月考）南京第二十七高级中学为了宣传秦淮特色和风土人情，由同学设计一幅秦淮特色矩形宣传画，要求画面面积为4000cm 2，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？【解题思路】设画面高为xcm ，宽为ycm ，然后表示 出纸张面积S ，利用基本不等式即可求解．【解答过程】解：设画面高为xcm ，宽为ycm ， 由题意可得，xy ＝4000，x ＞0，y ＞0，则所需S ＝（x +16）（y +10）＝xy +16y +10x +160， ＝4160+16y +10x ≥4160+2√160xy =5760，当且仅当16y ＝10x 且xy ＝4000即x ＝80，y ＝50时取等号， 所以画面高80cm ，宽50cm 时，所需纸张面积最小为5760cm ．19．（8分）（2020秋•邗江区校级期中）设正数x ，y 满足下列条件，分别求1x+1y 的最小值．（1）x +y ＝2； （2）x +2y ＝1．【解题思路】利用题设条件和基本不等式求得结果即可． 【解答过程】解：（1）∵x +y ＝2，x ＞0，y ＞0， ∴1x +1y=12×2（1x+1y）=12（x +y ）（1x+1y）=12（2+y x +x y ）≥12（2+2√1）＝2，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝“， ∴（1x+1y ）min ＝2；（2）∵x +2y ＝1，x ＞0，y ＞0，∴1x +1y =（1x +1y ）（x +2y ）＝3+x y +2yx ≥3+2√2，当且仅当{y =2−√22x =√2−1时取“＝“， ∴（1x+1y）min ＝3+2√2．20．（8分）（2021春•青山湖区校级期中）已知正数a 、b 满足1a+1b=1．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a a−1+9bb−1的最小值．【解题思路】（1）利用乘1法a +b ＝（a +b ）（1a+1b），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝1，利用基本不等式可求． 【解答过程】解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =(a +b)(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ×ba =4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故a +b 的最小值为4．（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则4aa−1+9bb−1=4+4a−1+9+9b−1≥13+2√4a−1×9b−1=25，当且仅当a=53、b=52时等号成立，故4aa−1+9bb−1的最小值为25．21．（8分）（2021春•如皋市月考）已知实数x＞0，y＞0．（1）若x+y+xy＝3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x＞y，求xy2x−y +xy+1y2的最小值．【解题思路】（1）由已知结合基本不等式x+y≥2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t＝x﹣y，t＞0，然后把x＝t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．【解答过程】解：（1）x＞0，y＞0，x+y+xy＝3，又x+y≥2√xy，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以xy+2√xy≤3，解得，0≤xy≤1，所以2xy的最大值2，又xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+x+y≥3，当且仅当x＝y＝1时取等号，解得，x+y≥2，即x+y的最小值2；（2）因为x＞y，令t＝x﹣y，t＞0，则x＝t+y，xy2 x−y +xy+1y2=(t+y)2yt+1y2，＝ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2，4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4，当且仅当ty=y3t且4y2=1y2，即x=√2，y=√22时取等号，所以求xy2x−y +xy+1y2的最小值4．22．（8分）（2020秋•开封月考）已知x，y为正实数，且满足x+y＝1．（1）若xy≤m恒成立，求m的最小值；- 11 - （2）证明：（x +1x ）2+（y +1y ）2≥252． 【解题思路】（1）由xy ≤(x+y 2)2=14，结合题意可得m ≥14，进而求解； （2）先证明1x +1y≥4，再根据(x +1x )2+(y +1y )2≥(x+1x +y+1y )22=(1+1x +1y )22≥(1+4)22=252即得证． 【解答过程】解：（1）∵x ＞0，y ＞0，x +y ＝1，∴由基本不等式得xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号，∵xy ≤m 恒成立，∴m ≥14，故实数m 的最小值为14． （2）证明：∵1x +1y =(x +y)(1x +1y)=2+x y +y x ≥2+2=4， ∴(x +1x )2+(y +1y )2≥(x+1x +y+1y )22=(1+1x +1y )22≥(1+4)22=252，当且仅当x =y =12时取等号，得证．。
2018-2019学年人教版a版数学高一必修1模块综合检测-附标准答案
模块综合检测时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共 12题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有 题目要求的.1.已知集合 A= {x|0<log 4X<1} , B = {x|xW2},则 An B 等于() A. (0,1) B. (0,2]C. (1,2)D. (1,2]答案：D解析：A= {x|0<log4x<1} ={ x|1<x<4} , B = {x|x< 2}所以 AA B = {x|1<x<2}2 .如果哥函数f(x)=x'的图象经过点(3,坐),则f(8)的值等于() 答案：B3 .函数 y =ig £±l_扁定义域是( )x — 1A . (- 1 ,)B. [-1, +8 )C. (-1,1)U (1 ,+8 )D. [-1,1)U(1,+8 )答案：Cx+ 1>0解析：要使函数有意义，需1 解得x> — 1且x W 1.l x - 1 w 1,，函数定义域为(―1,1)U(1, +8).2e x 1, xv 2,f(x)=l og3(x 2-1 -2, )则伏2)]的值为(A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：f[f(2)] =f(1) = 2,故选 C.5,函数y=x 2+x(-1<x<3)的值域是( ) 解析:a= — 1,故 f(8)= 8 2 =乎.个选项是符合 A.22 B.42c.43 D.234.设1A. [0,12]B. [-4, 12] 1 3C. [ —2p 12]D. [4, 12]答案：B解析：画出函数y=x2+x(—1WxW3)的图象，由图象得值域是[―J 12],故选B.X2 + 2x—3, x<0,6.函数f(x)=< 的所有零点之和为( )lgx — 1 , x> 0A. 7B. 5C. 4D. 3答案：A解析：当x< 0时，令x2+2x-3=0,解得x= —3;当x>0时，令lgx—1 = 0解得x=10,所以已知函数所有零点之和为—3+10=7.7.三个数2°.3，0.32, 10g0.32的大小顺序是( )A. 1og0.32<20.3<0.32B . 20.3< 0.32V 10g0.32C.10g0.32 >2°.3>0.32D.20.3>0.32>log0.32答案：D解析：.••20.3>20=1,0v0.32v1, log0.32vlog0.32vlog0.31 = 0, •. 2°.3>0.32>log0.32.28.函数f(x)=lg(1 ~ + a)是前函数，则头数 a等于( )A . — 3 B. - 1C. 1D. — 1 或 1答案：B2 .2 2.•.f(-x) + f(x) = 0,即 lg[(氐 + a)(：+ a)] = 0，•• a = 1 1.(法二)由 f(0) = 0 得 a=- 1.9.某种生物的繁殖数量y(只)与时间x(年)之间的关系式为y= alog2(x+1),设这种生物第一年有100只, 则第7年它们发展到( )A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只答案：A解析：由题意得 100=alog2(1 + 1),，a= 100,，第 7 年时，y= 10010g2(7+ 1) = 300.解析：(法一)f(—x)= lg(年x +a) = —f(x),10.函数f(x)= x(x2—1)的大致图象是( )答案：A解析：• 1 f(-x)=(-x)[(-x)2- 1] = — x(x2— 1)=— f(x)・•.y=x(x2—1)为奇函数，排除 C、D.又0<x<1时，y<0.故选A.11.已知f(x)是R上的偶函数，且满足 f(x + 4) = f(x),当xC(0,2)时，f(x)=x+1,则f(3)等于( )A. 2B. — 2C. 1D. - 1答案：A解析：由条件知 f(3) = f(-1+4) = f(-1).又因为 f(-1)=f(1),当 xC(0,2)时，f(x) = x+1,所以 f(1)=2.所以 f(3) = f(—1)=f(1)=2.a x112.函数f(x)= " 满足对任意x产x2,都有^一匚‘一)v 0成立，则a的取值范围是(a-3 x+4a (x> 1) x1 一x2( )A. (0, 4)B. (0, 3]C. (0,1)D. [3, i )答案：B3 3解析：由题息知f(x)在R上是减函数，，0vav1,又a —3+ 4a< a,4a< 3, a< 4,，0vaw-.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.已知函数 f(x)对任意 x, yCR,都有 f(x+y) = f(x)+f(y),且 f(2) = 4,则 f(—1)等于.答案：—2解析：由题意得f(0)=f(0)+f(0).•.f(0)=0.又 f(x-x) = f(x)+f(-x)=0・•.f(x)为奇函数.f(2) = f(1)+f(1) = 4.•.f(1)=2,则 f(-1) = - 2.14.若函数f(x) = loga(x+ 1)(a>0,且aw 1)的定义域和值域都是[0,1],则a的值是答案：2解析：0< x< 1, K x+ 1W2,又函数 f(x)值域[0,1],，a>1 ,，f(1)= log a (1 + 1)= 1,a= 2.a, a< b .设函数 f(x)= —x+3, g(x)=log 2x,则函数 h(x) b, a>b =min{ f(x), g(x)}的最大值是答案：116 .已知 y = f(x) + x 是偶函数，且 f(2) = lg32 + log 416+6lg1+lg1,若 g(x)=f(x)+1,贝U g(-2) = 2 5答案：6因为 y= f(x) + x 是偶函数，所以 f( -x) - x= f(x)+x,所以 f(-x) = f(x)+ 2x,所以 g( —2)=f(—2)+1=f(2)+2X2+1 = 6.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 . (10分)求下列各式的值：⑴1.5 葭[-6，+ 80.25X 42+ (32X #)6-\(-亍)；32 2log 5 3(2)2log 32-log 3 丁+ 10g 38 —59. AWB, B = { —2}.，方程 x 2+bx+c= 0 的判别式 A= b 2—4c=0,2b-c= 4, ① b 2-4c=0, ②由①得c= 2b —4,代入②整理得：(b —4)2=0, b= 4, c= 4.19. (12分)函数y=lg(3 —4x+x 2)的定义域为 M, xC M 时，求f(x) = 2*2—3X 4x 的最大值. 解：要使函数y=lg(3-4x+x 2)有意义，需3-4x+ x2>0,解得x< 1或x> 3设t = 2x,则0vtv2或t >8, f(x) = g(t)=4t —3t 2(0vt<2 或 t>8).而 g ⑴= 4t —3t2=— 3(t —刍2+A ，所以当 0V t<2, t=2时,g ⑴取 3 3 3 最大值2当t>8时，g(t)是减函数，所以g(t) v g(8) = — 160.总之，t=4时，g(t)最大为即f(x) = 2"2—3X 4x 3 3 3 的最大值为4.320. (12分)某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出 60个.商店经理到市场 上做了一番调查后发现， 若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售就增加10个.为了每日获得最大利润， 此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价为 x 元时，每日利润为y 元.当 18Wx<30 时，有 y = [60 - 5(x-18)]( x- 10) = - 5(x- 20)2+500.15.对于任意实数 a 、b,定义 min{ a, b}=解析：依题意，h(x) = iog 2x(0vxw 2)—x+ 3(x>2 j ,结合图象，易知h(x)的最大值为1. 解析: f(2)= lg32 + log 416 + 6lg ；+ lg5T= 5lg2 +2 — 6lg2 -lg5=2-(lg2 + lg5) = 2-1 = 1 解: ⑴原式=即在商品提价时，当x= 20时，每日利润y最大，最大利润是 500元.当 10Vx<18 时，有 y=[60 + 10(18—x)](x— 10) = — 10(x- 17)2+490,即在商品降价时，当x= 17时，每日利润y最大，最大利润是 490元.因为500>490,所以此商品的售价应定为每个20元.21.(12 分)已知函数 f(x)= alog2x- blog1x,其中常数 a, b 满足 abw0. 3(1)若a>0, b>0,证明函数f(x)在定义域内为增函数；(2)若 a=ln(m2+2m+ 3), b= ln10,解不等式 f(3x— 1)<f(x+3).1斛：f(x)= alog2x— blog3x= alog2x+ blog3x,其TE义域为(0, +°° ).(1)任取x1, x2 € (0, +8), x1vx2,则f(x1)一 f(&)= alog2x〔 + blogM — (alog 2x2+ blog a x2)= a(log 2x1 — log2x2)+ b(log3x1 一 log3x2). •-1 0v x〔 vx2且 y= log2x 和 y= log3x在(0, +°° )上为增函数，1 lOg2x1< lOg2K2, lOg3x1< lOg3K2,当 a >0, b>0 时，a (log2x1_log2x2)< 0, b(log3x1 — log3x2)v 0,•• f(x〔)—f(x2)V 0,即 f(x1)Vf(x2),函数 f(x)在(0, )上为增函数.(2)「a=ln(m2+2m+3)=ln[(m+1)2+2]Rln2>ln1 =0, b=ln10>ln1 =0,，由(1)可知函数f(x)在(0, +8 )上为增函数，，3x- 1 >0,•.f(3x—1)wf(x+3)? ^x+3>0, ..Lxw 2,，“二3i3x— 1 w x+ 3,••・原不等式的解集为{xljv x< 2}. 322.(12分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：①对任意的xC [0,1],总有f(x)>0;② f(1) = 1;③当 x1, x2C[0,1],且 x[+x2C [0,1]时，f(x〔 +*2)>%)+ 可刈成立.称这样的函数为“友谊函数”.请解答下列各题：(1)已知f(x)为“友谊函数”，求 f(0)的值；(2)函数g(x) = 2x—1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；(3)已知 f(x)为“友谊函数”，假定存在x oC [0,1],使得 f(x0)C [0,1],且 f[f(x0)] = x0,求证：f(x0)=x0. 解：(1)令 x1=1, x2= 0,则 x1 + x2= 1 e [0,1].由③，得 f(1)>f(0)+f(1),即 f(0)< 0.又由①，得f(0)>0,所以f(0) = 0.(2)g(x)=2x—1是友谊函数.任取 x1, x2c [0,1], x1 + x2c [0,1],有 2x1>1,2x2>1.则(2x1—1)(2x2—1)>0.即 g(x[ + x2)>g(x1)+g(x2).又 g(1)=1,故g(x)在[0,1]上为友谊函数.⑶证明：取 0Wx1<x2W1,则 0<x2-x1<1.因此，f(x2)>f(x1)+ f(x2 —x1) > f(x1).假设 f(x0)Wx0,若 f(x0)>x0,则 f[f(x0)] >f(x0)>x0.若 f(x0)<x0,则 f[f(x0)]Wf(x0)<x0.都与题设矛盾，因此f(x0) = x0.1 + (23) 4 X2 4+ (2 3)6X (3 1 2)6- [(| )3] 23?■,= [|j3+(23X 2) 4+ 22X 33- ?= 2 + 4X 27= 110.(2)原式=21og32-(1og325-1og332)+ 1og323- 51og 59=210g32 — 510g32 + 210g33 + 310g 32 — 9=2 — 9= - 7.18. (12 分)已知集合 A={x|x2+ax-6=0}, B= {x|x2+bx+c= 0},且 AwB, AUB={-2,3}, AAB = {— 2},求a, b, c的值.解：.An B={ -2} , 2C A 且一2C B,将一2代入方程：x2+ax—6=0中，得a=- 1,从而 A={—2,3}.将一2 代入方程 x2 + bx+c=0,得 2b—c=4.•. AU B = {-2,3}, AU B = A, • . B? A.。
2019版高中数学人教A版必修1：模块综合检测 含解析
1.A.{1,4}:由已知可得U={1,2,3,4,5},A ∪B={1,3,5},故∁U (A ∪B )={2,4}.:C2.函数y=-1+l ≥4)的值域是( )og 14x (xA.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞):∵函数y=-1+l [4,+∞)上单调递减,og 14x 在≤-1+log 144=‒2,所求函数的值域为(-∞,-2].:A3.A.(-∞4.5.(12) B .(12,1) C .(1,32) D .(32,2):∵f(12)=e 12‒2<0,f (1)=e ‒1>0,·f (1)<0,∴函数f (x )=e x12)‒1x 的零点所在的区间是(12,1).:B6.设a=70.3,b=0.37,c=log 70.3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a:∵a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log 70.3<0,7.A.f (∴f(x)的图象关于y轴对称.又当x<0时,y=f(x)是减函数,∴当x>0时,y=f(x)是增函数.∴当|x1|<|x2|时,f(|x1|)<f(|x2|),即f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.答案:A8.已知一次函数f(x)=kx+b的图象过第一、第二、第三象限,且f(f(x))=9x+8,则f(2)等于( )A.-10B.-4C.2D.8解析:∵f(x)=kx+b,∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.又f(f(x))=9x+8,∴{k2=9,kb+b=8,解得{k=3,b=2或{k=-3,b=-4.∴f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.又f(x)的图象过第一、二、三象限,∴f(x)=3x+2,∴f(2)=8.答案:D9.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题图,可知函数f(x)在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由题图可知-1<log a b<0,得a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1,选A.答案:A10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析:根据映射的定义知,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.答案:A11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为( )A.10%B.12%C.25%D.40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,12.①② B.②③ C.③④ D.①④:分别画出它们的图象,可知函数y y=log 2x 满y=x 2与函数=x 与函数足f(x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2;函数满足f(x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f (x )的图象过点(3,427),则f (x )的解析式是____________________.:设f (x )=x α,则由已知得3α=427=334,=3,∴f (x )=x 34.14.解析15.x<0时,f (x )=-1-ln(-x ).:-1-ln(-x )16.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且函数ℎ(x )=f (x )+x ‒a 有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是___________________.:由题意可画出函数f (x ),如图所示,函数h (x )=f (x )+x-a 有且只有一个零点,={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0的图象)的图象与y=a-x 的图象有且只有一个交点,显然当a>1时满足条件.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.18.(1)当若(∁R A )∩B=B ,求实数m 的取值范围.(1)1<x ≤3,即集合A=(1,3];由{x -1>0,3-x ≥0,得-4≤0,得2x ≤22,x ≤2,即集合B=(-∞,2].∩B=(1,2],A ∪B=(-∞,3].由(1)得∁R A={x|x>3,或x ≤1}.R A )∩B=B ,∴B ⊆∁R A.B=⌀,则m ≥0;B ≠⌀,则m<0,∴2x ≤-m.∴x ≤log 2(-m ).19.680(0≤x ≤210).(x ‒220)2+1f (x )在区间[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f (x )有最大值680=1 660.故当年产量为210吨时,可获得最大利为‒15(210‒220)2+11 660万元.20.(12分)已知函数f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,若当x ,y ∈[-1,1],x+y ≠0时,有(x+y )·[f (x )+f (0.比较f(12)与f (13)的大小;判断f (x )的单调性,并加以证明;0≤x{-1≤x +12≤1,-1≤1-2x ≤1,x +12<1-2x ,解得<16.即不等式f (x +12)<f (1‒2x )的解集为[0,16).21.(12分)设f (x )=l .og 121-ax x-1为奇函数,a 为常数(1)求a 的值;证明f (x )在区间(1,+∞)内单调递增;若对于区间[3,4]上的每一个x 的值,不等式f (x )>+m 恒成立,求实数m 的取值范围.(12)x (1)∵f (-x )=-f (x ),<0,1)(x 2+1)0<<1,lo >0,(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)g 12(x 1+1)(x 2-1)(x1-1)(x 2+1)x 1)>f (x 2).x )在区间(1,+∞)内单调递增.设g (x )=lo,则g (x )在区间[3,4]上为增函数.∴g (x )>m 对x ∈[3,4]恒成立,g 12x +1x-1‒(12)x m<g (3)=-.98实数m 的取值范围是m<-.9822.①有且仅有故只需{Δ=4m 2-4(3m +4)>0,(x 1+1)+(x 2+1)>0,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔{m 2-3m -4>0,-2m +2>0,3m +4+(-2m )+1>0⇔{m <-1或m >4,m <1,m >-5.故m 的取值范围是-5<m<-1.(2)F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,即|4x-x 2|+a=0有4个实数根,即|4x-x 2|=-a 有4个实数根.令g (x )=|4x-x 2|,h (x )=-a.在同一坐标系中作出g (x )和h (x )的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x 2|=-a 有4个实数根,则需g (x )的图象与h (x )的图象有4个交点,故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a 的取值范围为-4<a<0.。
常用逻辑用语(单元测试卷)-2020-2021高中数学新教材训练(人教A版必修第一册)(解析版)
《常用逻辑用语》单元测试卷一、单选题1．（2019·山东济宁·高一月考）命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x R x x ∀∈++≤C ．2,220x x x ∃∈++>RD ．2,220x x x ∃∈++≥R【答案】A【解析】 特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确.故选A.2．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵:3p x <，:13q x -<<∴q p ⇒，但，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 3．（2020·湖南怀化·高三二模（文））除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件故选：B4．（2020·湖南天心·长郡中学高三其他（文））已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥.故选：C.5．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题【答案】D【解析】对于A ，改写成“若p ，则q ”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A 错误；对于B ，所给语句是命题，则B 错误；对于C ，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C 错误；对于D ，当5a =时，16450∆=-⨯<，方程x 2－4x ＋a ＝0无实根，则D 正确；故选：D6．（2020·全国高一课时练习）下列语句：①32>；②作射线AB ；③sin 3012=；④210x -=有一个根是－1；⑤1x <. 其中是命题的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．③D ．②⑤ 【答案】B【解析】解析②是祈使句，故不是命题，⑤无法判断真假，故不是命题.①③④符合命题的定义，故选：B.7．（2020·全国高一课时练习）已知不等式x ＋3≥0的解集是A ，若a ∈A 是假命题，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥－3 B ．a >－3C ．a ≤－3D ．a <－3【答案】D【解析】∵x ＋3≥0，∴A ＝{x |x ≥3-}，又∵a ∈A 是假命题，即a ∉A ，∴a <3-.故选：D 8．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三其他（理））设集合{}1,2M =，{}2N a=，则“1a =-”是“N M ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件.C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】当1a =-时，{}1N =，满足N M ⊆，故充分性成立； 当N M ⊆时，{}1N =或{}2N =，所以a 不一定满足1a =-，故必要性不成立.故选：A.9．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x, 都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．10．（2019·浙江湖州·高二期中）已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1a >时，21a >成立，取2a =-，此时21a >成立，但是1a >不成立，“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故选：A.二、多选题11．（2020·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为21x <的一个充分不必要条件的有（ ） A ．1x <B ．01x <<C ．10x -<<D ．11x -<<【答案】BC【解析】解不等式21x <，可得11x -<<， {}11x x -<< {}1x x <，{}11x x -<< {}01x x <<，{}11x x -<< {}10x x -<<，因此，使得21x <的成立一个充分不必要条件的有：01x <<，10x -<<.故选：BC.12．（2020·迁西县第一中学高二期中）下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（ ）A ．21,04x R x x ∃∈-+<B ．所有正方形都是矩形C ．2,220x R x x ∃∈++=D ．至少有一个实数x ，使310x += 【答案】AC【解析】由题意可知：原命题为特称命题且为假命题. 选项A. 原命题为特称命题,2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭,所以原命题为假命题，所以选项A 满足条件. 选项B. 原命题是全称命题，所以选项B 不满足条件.选项C. 原命题为特称命题,在方程2220x x ++=中4420∆=-⨯<，所以方程无实数根，所以原命题为假命题，所以选项C 满足条件.选项D. 当1x =-时，命题成立. 所以原命题为真命题，所以选项D 不满足条件.故选：AC13．（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“4a <”是“3a <”的必要条件；④“a b >”是“22a b >”的充分条件.其中真命题是（ ）.A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】BC【解析】①由“a b =”可得ac bc =，但当ac bc =时，不能得到a b =，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当5a +是无理数时，a 必为无理数，反之也成立，故②正确；③当4a <时，不能推出3a <；当3a <时，有4a <成立，故“4a <”是“3a <”的必要不充分条件，故③正确.④取1a =，2b =-，此时22a b <，故④错误；故答案为：BC14．（2020·全国高一单元测试）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）A ．至少有一个x 使2210x x ++=成立B ．对任意的x 都有2210x x ++=成立C ．对任意的x 都有2210x x ++=不成立D ．存在x 使2210x x ++=成立 E.矩形的对角线垂直平分【答案】BCE【解析】A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B 和C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B 、C 是全称量词命题；E 中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE三、填空题15．（2020·全国高一课时练习）把命题“当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”改写成“若p ，则q ”的形式：____________________________.【答案】若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0【解析】命题“当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”可以改写成“若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”故答案为：若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝016．（2020·安徽金安·六安一中高二期中（文））命题“0,210x x ∃>-≤”的否定是________． 【答案】0,210x x ∀>->【解析】命题为特称命题，则命题的否定为“0x ∀>，210x ”.故答案为：0x ∀>，210x .17．（2020·浙江高一单元测试）已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是________ 【答案】21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】因为p 是q 的充分非必要条件，所以()(),13,-∞-⋃+∞是()(),312,m m -∞+⋃++∞的真子集，故31123m m +≥-⎧⎨+≤⎩解得：2-13m ≤≤，又因为312m m +≤+，所以12m ≤，综上可知21-32m ≤≤，故填21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 四、双空题18．（2020·全国高一课时练习）已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是____________________，q 是__________________.【答案】一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧【解析】已知中的命题改为“若p ，则q ”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”，p ：一条直线是弦的垂直平分线；q ：这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.故答案为：一条直线是弦的垂直平分线；这条直线经过圆心且平分弦所对的弧19．（2020·上海）“0x >”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为________.【答案】2x =（答案不唯一） 1x >-（答案不唯一）【解析】“0x >”的充分非必要条件可以为2x =；一个必要非充分条件可以为1x >-；故答案为：2x =（答案不唯一）；1x >-（答案不唯一）20．（2019·宁波中学高二期中）下列语句是命题的有______，其中是假命题的有______．（只填序号） ①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线③若x y +为有理数，则x ，y 也都是有理数．④8x >．【答案】③ ③【解析】①②不是陈述句，④不能判断真假，均不符合命题定义，不是命题③是可以判断真假的陈述句，是命题；当x =y =时，x y +为有理数，但,x y 不是有理数 ∴③是假命题本题正确结果：③；③21．（2020·广东中山·高二期末）命题p :0x R ∃∈，200250x x ++=是__________（填“全称命题”或“特称命题”），它是_________命题（填“真”或“假”）.【答案】特称命题 假【解析】由题知命题p :0x R ∃∈，200250x x ++=中条件为0x R ∃∈，故命题为特称命题，又因为方程2250x x ++=中2245160∆=-⨯=-<，故方程2250x x ++=没有根，所以命题为假命题.故答案为：特称命题；假.五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.（1）6是12和18的公约数；（2）当1a >-时，方程2210ax x 有两个不等实根；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）已知,x y 为非零自然数，当2y x -=时，4,2y x ==.【答案】答案见解析.【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题.（2）若1a >-，则方程2210ax x 有两个不等实根，因为当0a =时，原方程只有一解，所以原命题是假命题.（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题.（4）已知,x y 是非零自然数，若2y x -=，则4,2y x ==，是假命题.23．（2020·浙江）判断下列命题的真假.（1）2,560x R x x ∀∈-+=.（2）2,10x x ∃∈+=R .（3）*22,,20a b N a b ∃∈+=.【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题.【解析】（1）假命题，因为只有2x =或3x =时满足2560x x -+=.（2）假命题，因为不存在实数x ，使210x +=成立.（3）真命题，因为存在正整数2和4，使222420+=.24．（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数；（2）存在一个x ∈R ，使11x -＝0； （3）对任意实数a ，|a |＞0；【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题.（2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题.（3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题.25．（2020·全国高一）判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.26．（2020·全国高一）写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）2,10x x x ∀∈++>R ；（3）平行四边形的对边相等；（4）2,10x x x ∃∈-+=R ．【答案】（1）有的人不晨练；（2）2,10x x x ∃∈++≤R ；（3）存在平行四边形，它的对边不相等；（4）；2,10x x x ∀∈-+≠R【解析】（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题，所以其否定是“有的人不晨练”．（2）因为命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题，所以其否定是“2,10x x x ∃∈++≤R ”．（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题， 所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．（4）因为命题“2,10x x x ∃∈-+=R ”是特称命题，所以其否定是“2,10x x x ∀∈-+≠R ”．27．（2020·浙江）写出下列命题的否定并判断真假.（1）不论m 取何实数，方程20x x m ++=必有实数根.（2）所有末位数是0或5的整数都能被5整除.（3）某些梯形的对角线互相平分.（4）被8整除的数能被4整除.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【解析】（1）这一命题可以表述为“对所有的实数m ，方程20x x m ++=都有实数根”， 其否定为“存在实数m ，使得20x x m ++=没有实数根”，注意到当140m ∆=-<， 即14m >时，一元二次方程没有实根，因此其否定是真命题； （2）命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，是假命题； （3）命题的否定是“任何一个梯形的对角线都不互相平分”，是真命题； （4）命題的否定是“存在一个数能被8整除，但不能被4整除”，是假命题.。