高中物理竞赛角动量守恒定律
高二物理竞赛质点的角动量和角动量守恒定律课件
• 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。 • 适用于宏观、微观、高速、低速范围。 • 可导出行星运动的开普勒第二定律。
v2r2 v1r1 mv2r2 mv1r1 12
质点的角动量守恒定律
若Mo r F 0， 则L r p 常矢量
• 外力的矢量和为零，但所有外力对参考点力矩的矢 量和未必为0（如：一对力偶），则质点系的角动量 就不守恒； • 所有外力都通过固定点时，即使系统所受合外力不 为0，但对该点每个外力的力矩为零，则系统的角动 量守恒。 • 应用角动量守恒定律时要注意参考点位置的选取。
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质点系动能定理 A外 + A内 Ek
功能原理 A外 + A内非保 E
动量定理 I p
角动量定理
t2 M dt L t1
机械能守恒定律
质点系动量守恒定律
角动量守恒定律
A外 + A内非保 0, E 0 F外 0 ， p 常矢量 若Mo 0，L 常矢量
能量守恒定律
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守恒定律
（1）守恒定律是关于变化过程的规律。 不究过程细节而能对系统的状态下结论， 这是各个守恒定律的特点和优点。
曲线运动
直线运动：
O
并非质点作周期性曲线运动才有角动量！
5
例题
地球绕太阳的运动可以近似地看作匀速圆周运动， 求：地球对太阳中心的角动量。
解：
L mrv 2.71040(kg m2 / s)
6
例题 2-20
F
k
e2 r2
h
2
解：
L mvr n h
2
F
k
e2 r2
man
m v2 r
n2h2
第二章 运动的守恒量和守恒定律
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
高中物理竞赛复赛专题：角动量及其守恒定律
15
质点5-系2 角角动动量量守恒守定恒律
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
16
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
可能出现的情况是:
1(1) 两人同时到达； (2) 用力上爬者先到； (3) 握绳不动者先到； (4) 以上结果都不对。
解 因作用于物体的合外力矩为零，
故物体角动量守恒，得
O
vB
mv Ad mv Bl
lB
∴
vB
mvAd ml
4(m / s)
物体角动量： LB mv Bl
LB 1kg m2 / s
d
m vA
A
31
例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 ×
106 m，短半轴为 b = 7.72×106 m，周期 T = 114 min，近地点和远 地点距地心分别为 r1 = 6.82×106 m和 r2 = 8.76×106 m。（1）证明 单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经 近地点和远地点时的速度V1 和V2 。
[ C] 【例3 】 一质点作匀速率圆周运动时,它的 （A）动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
[C]
19
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星 绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
高二物理竞赛课件：质点的角动量和角动量守恒定律
F
F
力心
30 有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。
特征：r // F ,
L 恒矢量 !
质点对力心的 角动量永远守恒！
40 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。
50 角动量守恒，不见得动量守恒。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
角动量定理
dL
M
t2
——质点角动量守恒定律
M
0FF过 O0点，： 中 心 力 （ 如 行 星 受中
L
·m
v （中心F 力）r
•
O
心恒 L
星的万有 r (mv )
引力） 常矢量
（1） mv r sin=const.，
（2）轨道在同一平面内。
讨论
r
F 0
r
10 M r F 0 r // F
20 是普遍规律，宏观、微观都适用。
方法二：
大小：M rF sin
方向：与 r F 相同
M
0
rP F
★ 分散力（力分散在一区域内） M r F
元力矩 dM r dF
总力矩 M dM rdF sin
例唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动， 唱片放上去后将受转盘的摩擦力作用而随转盘转 动。设唱片可以看成是半径为R的均匀圆盘，质
质点的角动量和角动量守 恒定律
§2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 一、角动量（动量矩）
由于动量 不能描述转动问题。
引入质点对参考点O的角动量（angular momentum）：
L r p r (mv)
大小： L rmv sin
高中物理竞赛复赛专题：角动量及其守恒定律共38页
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高中物理竞赛复赛能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量
高中物理竞赛辅导讲义第6篇 角动量【知识梳理】 1．力矩（1）力对轴的力矩 力矩=力×力臂（2）力对参考点的力矩 M r F =⨯从参考点指向力的作用点的矢量r 与作用力F 的矢积。
大小 sin M Fr α=；方向 由右手螺旋定则确定。
2．角动量为了描述质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。
从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。
L r p =⨯，大小 sin L pr θ=，方向 由右手螺旋定则确定。
动量矩又称角动量。
角动量是矢量，方向由右手螺旋定则确定。
3．冲量矩仿照力对时间的积累效应叫冲量，引入冲量矩的概念。
力对时间的积累效应Mt叫做冲量矩。
4．质点角动量定理质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。
21M t L L ⋅∆=- 。
质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。
L M t∆=∆。
5．角动量守恒定律当质点所受外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。
6．转动惯量 在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J 表示，SI 单位为kg·m 2。
对于一个质点，I =mr 2，其中m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在转动中的角色相当于平动中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
7．描述平动与描述转动的相关物理量对照平动转动质量m转动惯量I=∑Δm i r i2速度v=Δx/Δt角速度ω=Δθ/Δt = v/r加速度a=Δv/Δt角加速度β=Δω/Δt = aτ/r动量p=m v角动量（动量矩）L=Iω = Σm i r i2力F力矩M = Fr sinθ牛顿第二定律F=ma刚体定轴转动定律M=Iβ冲量Ft冲量矩Mt动量定理Ft=Δp角动量定理Mt=ΔL动量守恒条件F=0 角动量守恒条件M=0平动动能m v2/2 转动动能Iω2/2【例题选讲】1．如图所示，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方形四个顶点，且小球与A、C点的距离分别为l1、l2。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量守恒
m1 m 2 m1v1 p1 u u m1 m 2 p 2 m 2 v 2 u
两质点的 约化质量
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
m2 r1 r2 m2 r12 r1 r1 rc m1 m2 m1 m2 m1 r2 r1 m1r12 r2 r2 rc m1 m2 m1 m2
2 3
3 2
B
mg
由（1）和（2）可得
LdL m gR cos d
2 g sin
8
L
0
LdL m 2 gR 3 cosd L mR 0 L 2 g sin R 2 mR
第六章 角动量守恒
例题6.2 摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅 垂线成 角，求摆球速率. z
解：如图，在圆锥摆的运动过程 中，摆球相对支点 O的角动量为 .L是一个可以绕z轴 L r mv 旋转的矢量.将其分解两个分量 Lz , L ,其大小分别为
O
Lz
L
L
Lz mvl sin L mvl cos
显然，Lz 不变，而 L 随时间改变.如图,有
7
第六章 角动量守恒
例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度.
解:力矩分析
M mgR cos
dL M dt
O
用角动量定理：
R
t =0 A
N
又
dL mgR cos dt （1） 2 2 d （2） L mR mR
角动量守恒定律的公式
角动量守恒定律的公式
1. 角动量守恒定律公式。
- 对于质点，角动量L = r× p（其中r是质点相对于某参考点的位矢，p = mv 是质点的动量，×表示矢量叉乘）。
- 在合外力矩M = 0时，角动量守恒，即L_1 = L_2。
- 对于定轴转动的刚体，角动量L = Iω（其中I是刚体对轴的转动惯量，ω是刚体的角速度）。
当合外力矩M = 0时，I_1ω_1=I_2ω_2。
2. 相关知识点（人教版教材相关内容补充）
- 转动惯量。
- 对于离散质点系，I=∑_im_ir_i^2，其中m_i是第i个质点的质量，r_i是该质点到转轴的垂直距离。
- 对于质量连续分布的刚体，I = ∫ r^2dm。
不同形状的刚体转动惯量有不同的计算公式，例如，对于质量为m、半径为R的均匀圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴转动，其转动惯量I=(1)/(2)mR^2；对于质量为m、长为l的细棒绕通过中心且垂直于棒的轴转动，I=(1)/(12)ml^2。
- 角动量定理。
- 对于质点，M=(dL)/(dt)（M是合外力矩），这表明质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
- 对于刚体定轴转动，M = Iα（α是角加速度），结合L = Iω也可推导出
M=(dL)/(dt)。
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角动量及角动量守恒定律
1．如本题图，一质量为m 的质点自由降落，在某时刻具有速度v 。
此时它相对于A 、B 、C 三参考点的距离分别为d 1、d 2、d 3。
求
（1）质点对三个点的角动量； （2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。
2两个质量都是m 的滑雪者,在冰场两条相距为L 0的平直跑道上均以速度V 0迎面匀速滑行，当两者之间的距离等于L 0时，分别抓住一根长为L 0的轻绳两端，而后每个人用力对等的力缓慢向自己一边拉绳子，知道二者相距L （小于L 0）时为止，求这一过程中，两位滑冰者动能总增量。
为多少，求摆锤的速度为时，与竖直方向的夹角摆长拉倒，为，且与竖直方向的夹角时摆锤的线速度为设摆长为我们可将它逐渐拉短。
，
子，系摆锤的线穿过它央支柱是一个中空的管如本题图，圆锥摆的中—22211.44v l v l θθ
A 1d 2d 3d v m θO
5、质量均为m的小球1和2，用长为4a的轻质细线相连后，均以初速v沿着与线垂直的方向在光滑水平面上运动，开始时线处于伸直状态，在运动的过程中，线上距离小球1为a的点部位与固定在水平面上的一竖直光滑细钉接触，如图所示，设在以后的运动过程中两球不相碰，试求小球1与钉的最大距离（精确倒0.001a）
6在半顶角为α的圆锥面内壁李锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的，求：
1、为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动的助速度V0为多少？
2、若初速度V1=2V0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。