大学物理教案

第一章质点运动学物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。

机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式,其基本形式有平动和转动。

在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。

在力学中,这部分内容称为质点运动学。

1．1参考系时间和空间的测量1．参考系坐标系一、参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。

在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。

为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。

不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。

因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。

参考系的选择是任意的。

在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系。

二、坐标系：建立在参照系上的计算系统确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出物体运动的数学表达式，则需在参照系中建立坐标系。

常用的坐标系是直角坐标系，另外还有极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系。

1.1.2时间和空间1、时间：时间反映物理事件的先后顺序和持续性。

2、空间反映物体位置的变化和物体的大小。

1.1.3长度的测量质点运动的矢量描述1.2.1质点物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。

例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。

这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。

物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。

如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。

质点是经过科学抽象而形成的物理模型。

把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。

例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。

但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。

应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。

当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。

所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。

1.2.2 位置矢量 运动方程和轨迹方程一．位置矢量r描述质点在空间所处位置的矢量称为位置矢量，一般为坐标系的原点指向质点所在位置的矢量，位置矢量也称为位矢或矢径。

在如右图所示的直角坐标系中，在时间t ，质点P 在坐标系里的位置可用位置矢量)(t r 来表示。

位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点O ，末端则与质点P 在时刻t 的位置重合。

从图中可以看出，位矢r 在ox 轴、oy 轴和oz 轴上的投影(即质点的坐标)分别为x 、y 和z 。

所以，质点P 在直角坐标系中的位置，既可以用位矢r 来表示，也可以用坐标x 、y 和z 来表示。

那么位矢r 亦可写成k j i r z y x ++=其值为222 z y x ++=r位矢r 的方向余弦由下式确定cos cos cos r r r zr y x ===βα二、运动方程当质点运动时，它相对坐标原点O 的位矢r 是随时间而变化的。

因此，r 是时间的函数，即k j i r r )()()()(t z t y t x t ++==上式叫做质点的运动方程；而)(t x 、)(t y 和)(t z 则是运动方程的分量式，从中消去参数t 便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。

应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。

速度和加速度 一、位移 在如图y -O x 平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻1t 的点A 运动到时刻2t 的点B ，质点相对原点O 的位矢由A r 变化到B r 。

显然，在时间间隔12t t t -=∆内，位矢的长度和方向都发生了变化。

我们将由起始点A 指向终点B 的有向线段AB 称为点A 到点B 的位移矢量，简称位移。

位移AB 反映了质点位矢的变化。

如把AB 写作r ∆，则质点从A 点到点B 的位移为A B r r r -=∆亦可写成j i r r r )()(A B A B A B y y x x -+-=-=∆上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在x 轴和y 轴上的位移矢量和。

若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz 中其位移为k j i r r r )z -(z y y x x A B A B A B A B +-+-=-=∆)()(应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。

如在上图中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是r ∆。

当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。

所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。

只有在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小|r ∆|才可视为与路程 AB 没有区别。

二、速度在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。

所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。

1、平均速度和平均速率如图所示，一个质点在平面上沿轨迹CABD 曲线运动。

在时刻t ，它处于点A ，其位矢为)(1t r 。

在时刻t t ∆+，它处于点B ，其位矢为)(2t t ∆+r 。

在t ∆时间内，质点的位移为12r r r -=∆。

在时间间隔y x v v和t ∆内的平均速度v 为t t ∆∆=∆-=rr r v 12平均速度可写成其中 是平均速度v 在Ox 轴和Oy 轴上的分量。

说明：v ϖ与时间间隔)(t t t ∆+-相对应。

平均速率：tsv ∆∆=2、 瞬时速度和瞬时速率当0→∆t 时，平均速度v 的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用v 表示，有tt d d lim0r t r v =∆∆=→∆结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。

或ji j i t v y x t t v v t yx +=∆∆+∆∆=→→∆0Δ0lim lim其中 t y v t xv y x d d ,d d ==yx v v 和是速度v 在Ox 轴和Oy 轴上的分量，又称为速度分量。

如以分别表示速度v 在Ox 轴和Oy 上的分速度(注意:它们是分矢显然，量!)，那么有 上式亦可以写成速度v 的方向与0→∆∆t 在r 时的极限方向一致。

当0→∆t 时，r ∆趋于和轨道相切，即与点A 的切线重合。

所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。

ji j i r v y x v v ty t xt +=∆∆+∆∆=∆∆=yx v v 和ji v y x v v +=yx v v v +=只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。

所以位矢r 和速度v 是描述质点运动状态的两个物理量。

这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。

因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。

瞬时速率：dt ds t s v lim t =∆∆=→∆0例： 设质点的运动方程为j i r )()()(t y t x t +=其中 m 2)s m 1()(1+⋅=-t t x ，m2)s m 41()(22+⋅=-t t y求s 3=t 时的速度。

(2)作出质点的运动轨迹图。

解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。

(1)由题意可得速度分量分别为 t t y v t x v y x )s m 21(d d , s m 1d d 21--⋅==⋅==故s 3=t 时的速度分量为 11s m 5.1s m 1--⋅=⋅=y x v v 和于是s 3=t 时，质点的速度为ji v )s m 5.1()s m 1(11--⋅+⋅=速度的值为1s m 8.1-⋅=v ，速度v 与x 之间的夹角为o 3.5615.1arctg==θ(2)由已知运动方程2m)s m 41()( ,m 2)s m 1()(22-1+⋅=+⋅=-t t y t t x消去t 可得轨迹方程m3)m 41( 21-+-=x x y 并可作如图所示的质点运动轨迹图三、加速度上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。

为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。

1、平均加速度如图所示，设在时刻t ，质点位于点A ，其速度为1v ，在时刻t t ∆+，质点位于点B ，其速度为2v ，则在时间间隔t ∆内，质点的速度增量为12v v v -=∆，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为t ∆∆=va2、瞬时加速度当0→∆t 时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a 表示，有t t t d d lim0v v a =∆∆=→∆，a 的方向是0→∆t 时v ∆的极限方向，而a 的数值是 / t ∆∆v 的极限值。

应当注意，加速度a 既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。

所以质点作曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。

在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。

加速度公式可以写成)(d dj v i v a y x t +=即yx y x a a a a j i a +=+=其中t v a t v a y y xx d d ,d d ==例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为j v )s m 10(10-⋅=，它在液体中的加速度为ja v )s 0.1(1--=。

问:(1)任一时刻t 的球体的速度。

(2)时刻t 球体经历的路程有多长解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度a 的方向与球体的速度v 的方向相反，由加速度的定义，有v t va )s 0.1(d d 1--==得⎰⎰--=v v t tv v0 10d )s 0.1(d有te v v )s0.1(01--=上式表明，球体的速率v 随时间t 的增长而减小。