最新-江苏省淮阴中学、徐州一中、连云港新海中学三校联考精品

合集下载

江苏省淮阴中学·徐州一中·连云港新海中学2004-2005学年高一第一学期期中三校联考语文试题

江苏省淮阴中学·徐州一中·连云港新海中学2004-2005学年高一第一学期期中三校联考语文试题说明：①本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间150分钟。

②请把所有试题答案写在答题纸上，答在其他地方的无效。

第Ⅰ卷（选择题共42分）一、（24分，每小题3分）1．下列词语中加点的字的读音全都正确的一项是（）A．坍圮．（pǐ）宁谧．(mì) 粗糙．(cāo) 蓊．蓊郁郁(wēng)B．阡陌．(mò) 隽．永(juàn) 罗绮．(qí) 游目骋．怀(chěng)C．跫．音(qióng) 漫溯．(sù) 召．唤(zhào) 亘．古不变(gèn)D．佝偻．(lóu) 踟蹰．(zhú) 慰藉．(jiè) 挥斥方遒．(qiú)2．下列词语中没有错别字的一项是（）A．嬉游雾霭篱笆寥廓昳丽B．笙箫斑斓风致幽辟渺茫C．邂逅余暇安祥翌日流岚D．熨帖苍桑祈祷缥渺缘分3．下列各组句子中加点的词，意思完全相同的一项是（）A．微．夫人之力不及此人微．言轻B．臣诚．知不如徐公美心之不虚，由好学之不诚．也C．乃自强步，日三四里，少．益耆食太后之色少．解D．果行，国人皆劝．劝．君更尽一杯酒4．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是（）①四百多年里，这座古园了古殿檐头浮夸的琉璃，淡褪了门壁上炫耀的朱红。

②她艰难的命运，的意志和毫不张扬的爱，随光阴流转，在我的印象中愈加鲜明深刻。

③小屋的出现，了山的寂寞，增加了风景的内容。

④在园中最为落寞的时间，一群雨燕便出来高歌，把天地都叫喊的。

A．剥蚀坚韧点破悲凉 B．腐蚀坚韧打破苍凉C．剥蚀坚忍点破苍凉 D．腐蚀坚忍打破悲凉5．下列各句中加点的成语使用不恰当的一项是（）A．欧洲一些国家从自身利益考虑，在许多重大国际问题上不再惟美国马首是瞻．．．．。

三校联考高一地理

江苏省淮阴中学·徐州一中·连云港新海中学2004-2005学年第一学期期中三校联考高一地理试题命题人：新海高级中学周海玲程玉霞第一卷（选择题共50分）一．单项选择题：本大题共20小题，每题2分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不包括地球在内的天体系统是A．银河系 B．总星系 C．河外星系 D．太阳系2．与地球上存在生命无关的因素是A．地球表面平均气温为15℃B．形成了适合生物呼吸的大气C．地球上有昼和夜的现象D．地球公转轨道与其他行星公转轨道不相交3．有关太阳辐射及其对地球影响的叙述，正确的是A．太阳辐射的能量来源于太阳黑子和耀斑爆发时释放的能量B．太阳辐射能大部分到达地球，维持着地表温度C．太阳辐射能是我们日常生活和生产不太常用的能源D．煤、石油等化石燃料，属于地质历史时期生物固定以后积累下来的太阳能4．有关太阳活动及其对地球影响的叙述，正确的是A．黑子和耀斑都是太阳活动最激烈的显示B．扰乱电离层，使地面无线电长波通讯受干扰C．黑子与降水量的多少有一定的相关性，从而对气候产生影响D．“磁暴”就是使电磁波受干扰，使住宅电话不能使用5．有关宇宙探测的发展，叙述正确的是A．人类将要开发的宇宙资源有太阳能资源、矿产资源和气候资源B．宇宙探测使人类进一步了解地球的宇宙环境，而且还影响和改变着人们的生活C．空间资源的开发，一般国家都能完成，不需要走国际合作的道路D．虽然人类随着载人航天器进入了宇宙，但还是无法对月球进行直接取样观测6．关于地方时和区时的叙述，正确的是A．同一条纬线地方时相同B．由于地球自西向东自转，所以西边的时刻总是比东边时刻早C．北京东8区的区时为8点钟，日本东9区的时间应比北京早1小时为 7点钟D．北京时间就是北京所在的东8区中央经线120ºE的地方时7．北半球夏至日，下列四地昼最长夜最短的是A．广州 B．北京 C．哈尔滨 D．上海8．宇宙空间资源的特点是A．空气薄、强辐射、失重 B．高真空、弱辐射、失重C．高密度、强辐射、失重 D．高真空、强辐射、失重9．下列叙述，正确的是A．夏至日，北半球各地正午太阳高度达一年中的最大值B．当太阳直射南半球时，该半球一定昼长夜短C．赤道上全年既无昼夜长短的变化，又无正午太阳高度的变化，所以也就没有四季的更替D．太阳直射海口市（20ºN）这一天，海口市的正午太阳高度达一年中的最大值，而且白昼也最长10．关于地表水平运动的物体偏移的叙述，正确的是A．由于地转偏向力的作用很小，所以对气流和水流的影响不明显B．长江入海口处北岸将与江中的沙洲逐渐连起来C．自赤道两侧向两极运动的气流，受地转偏向力作用都向西偏转D．由较高纬向较低纬作水平运动的物体都向东偏转11．有关大气对太阳辐射削弱作用的叙述，正确的是A．太阳高度越大，太阳辐射经过大气的路程越长，被大气削弱得越多B．大气逆辐射削弱了到达地面的太阳辐射C．大气对太阳辐射的反射作用，使晴朗的天空呈蔚蓝色D．对流层大气中的水汽和二氧化碳，主要吸收太阳辐射中波长较长的红外线12．关于南京（32ºN）的昼夜长短和正午太阳高度的变化，叙述正确的是A．北半球夏至日，昼长和正午太阳高度都达一年中的最大值B．5月1日至7月1日这段时间，南京的白昼先渐短又渐长C．国庆节至元旦节期间，南京的正午太阳高度先渐大后渐小D．春、秋分日，正午太阳高度达一年中的最小值13．大气各组成成分都有自己独特的作用，叙述正确的是A．臭氧大量吸收太阳红外线，是地球生命的保护伞B．氧是地球上生物体的基本成分C．二氧化碳大量吸收太阳紫外线，对地面起保温作用D．水汽和杂质是成云致雨的必要条件14．有关热力环流的叙述，正确的是A．冷热不均首先引起空气的水平运动B．空气的上升或下沉，导致同一水平面上气压的差异C．近地面受热多，则形成高压D．空气的垂直运动导致不同高度上的气压差异15．关于地球运动的叙述正确的是A．不论地球自转还是公转，方向都是自西向东B．从地球北极上空看，地球是逆时针方向自转，顺时针方向公转C．地轴的空间指向及黄赤交角的大小都随季节不同而变化D．地球公转至近日点时速度最快，正值北半球的夏至日16．有关晨昏线的叙述正确的是A．晨昏线上的各地太阳高度为0°B．晨昏线总是与经线圈相重合C．晨昏线在地球表面位置固定不动D．晨线上的时刻都是6点钟，昏线上的时刻都是18点钟17．关于地球自转速度的叙述正确的是A．任何纬度的线速度都不等B．任何纬度的角速度都相等C．纬度60°处的线速度约为赤道上的一半D．北京和广州两地的角速度和线速度都相同18．有关大气成分及结构的叙述，正确的是A．对流层的高度在全球各地都一样B．云、雨、雾、雪等天气现象都发生在对流层C．平流层中有一电离层，能反射无线电短波D．低层大气中99%是氧和氮19．确定南北回归线的度数是依据A．黄赤交角 B．热带的范围C．地球自转周期 D．日地距离20．有关大气运动的叙述，正确的是A．大气运动最简单的形式是大气环流B．近地面的风，受水平气压梯度力、地转偏向力、摩擦力的共同影响，风向与等压线成一夹角C．地转偏向力既改变风向又改变风速D．如果只受水平气压梯度力的影响，风向应与等压线平行二．双项选择题：本大题共5小题，每题2分，共10分。

江苏省淮阴中学等四校2023-2024学年高三上学期期初联考数学试题

江苏省淮阴中学等四校2023-2024学年高三上学期期初联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.设集合{},1,2A m =-，其中m 为实数．令{}3B a a A=∈，C A B = ．若C 的所有元素和为9，则C 的所有元素之积为（）A.0B.2C.4D.0或42.已知复数z 满足1z =，且11i 31z a z +=++，则a =（）A.13B.3C.35D.453.设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈> 记n A 为满足3a b -≥的点P 的个数，则n A =（）A.3n - B.(1)n n - C.2n - D.()()232n n --4.若ABC 的内角A ，B ，C 满足sin cos tan A B C ==，则A 与B 的关系为（）A.π2A B -=B.π2A B +=C.π2B A -=D.π3A B +=5.1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶90-，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶90-含量减少至初始含量的约91.610-⨯倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（）(参考数据：lg20.301lg975 2.989≈≈，)A.400年 B.600年 C.800年D.1000年6.已知线段AB 是抛物线24y x =的一条弦，且AB 中点M 在1x =上，则点A 横坐标（）A .有最大值，无最小值B.无最大值，有最小值C.无最大值，无最小值D.有最大值，有最小值7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（）A.981012⋅B.971012⋅ C.981002⋅ D.971002⋅8.设()()2f xg x x=，()00f =，对于,0x y ≠，有()()()g xy g x g y =+，则0x =是()f x 的（）A .极大值点B.极小值点C.非极大极小值点D.ABC 选项均可能二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知R a ∈，则函数()||(2)f x x a x a =+-的图象可能是（）A. B. C. D.10.已知O 为坐标原点，点221111(,),(sin ,cos ),(,),(8,1)sin cos sin cos A B C D θθθθθθ，其中θ为锐角，则（）A.OA OB ⋅为定值B.||OA OB +的最大值为3C.OC OD ⋅的最小值为9+ D.OA OD ⋅的最小值为11.有方程2023x y z ++=，试讨论有序数对(),,x y z 解的个数．下列分析正确的是（）A.若x ，y ，z 均为正整数，则(),,x y z 解的个数为22022CB.若x ，y ，z 均为非负整数，则(),,x y z 解的个数为22025C C.若x ，y ，z 均为正整数，且x ，y ，z 两两不等，则(),,x y z 解的个数为341044D.若x ，y ，z 均为正整数且满足x y z ≤≤，则(),,x y z 解的个数为34104412.设函数1()()f x f x ==，且N n *∀∈都有1()(())n n f x f f x +=，则下列判断正确的是（）A.N n *∀∈，()n y f x =的图象关于原点对称B.N n *∀∈，直线(0)y m m =>和()n y f x =的图象至多只有一个交点C.N n *∃∈，命题“,R a b ∃∈，满足()[()()]0n n a b f a f b --<”成立D.N n *∃∈，使得(0,+)y ∀∈∞，都有12()()()n f y f y f y +++> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.请写出一个同时满足以下三个条件的函数()f x =__________.①()f x 的定义域是R ；②()f x 是偶函数；③()f x 的值域为[0,1).14.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______（用数字作答）.15.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2S =梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是________．16.设椭圆T ：2221(20x y a a +=>的右焦点为F ，过点(1,1)P 的直线l 与椭圆交于点A ，B ，M 为AB 的中点，使得FM 是FA 、FB 的等比中项，则a 的最小整数值为_____四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F．（1）试证明：sin sin BD AB BADDC AC DAC∠=∠（2）若P 为重心，5,4,3AD BE CF ===，求ABC 的面积．18.已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．（1）求{}n a 的通项公式和1212n n ii a --=∑．（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk kb -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．19.如图，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为矩形，且M 为线段EF 上的动点，//AB CD ，90ABC ∠= ，2AD DE =，222AB CD BC ===.（1）当M 为线段EF 的中点时，（i ）求证：AM ⊥平面BDM ；（ii ）求直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；（2）记直线AM 与平面MBC 所成角为α，平面MAD 与平面MBC 的夹角为β，是否存在点M 使得αβ=?若存在，求出FM ；若不存在，说明理由.20.已知双曲线22:1C x y -=．（1）求C 的右支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．（2）记C 的左、右顶点分别为12A A ，，过点()2,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上．21.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使()P X m =取得最大值的整数m .22.设()ln(1)f x x ax b =++++（,R,,a b a b ∈为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在()0,0点相切．（1）求,a b 的值．（2）证明：当02x <<时，9()6x f x x <+．2023-2024学年上学期期初考试高三数学2023.8一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合{},1,2A m =-，其中m 为实数．令{}3B a a A=∈，C A B = ．若C 的所有元素和为9，则C 的所有元素之积为（）A .B.2C.4D.0或4【答案】A 【解析】【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积【详解】根据集合中元素的互异性，1m ≠-且2m ≠.由题意，{}{}33,1,8B a a A m =∈=-.情况一：若3=m m 时当0m=时，{}0,1,2A =-，{}0,1,8B =-，{}0,1,2,8C A B ==- ，C 的所有元素和为9，符合题意，此时C 的所有元素之积为0；当1m=时，{}1,1,2A =-，{}1,1,8B =-，{}1,1,2,8C A B ==- ，C 的所有元素和为10，不符题意；情况二：若32m =时，此时m =，}1,2A =-，{}2,1,8B =-，但CA B =，不可能元素之和为9；情况三：若1m ≠±，2m ≠，m ≠且0m ≠时，则,A B 中只有唯一重复元素1-，则{}3,1,2,,8C A B m m ==- ，由题意31289m m -+++=，即320(1)m m m m +==+，此时0m =，矛盾.综上所述，0m =时符合题意，此时C 的所有元素之积为0.故选：A2.已知复数z 满足1z =，且11i 31z a z +=++，则a =（）A.13B.3C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】由题设令cos isin z θθ=+，利用复数除法化简11z z ++，再由复数相等求a .【详解】令cos isin 1z θθ=+≠-，则cos isin 1z θθ=-≠-，所以22221cos 1isin (cos 1isin )2cos 2cos 2sin (cos 1)icos 1isin (cos 1)sin 22cos 1z z θθθθθθθθθθθθθ++++++++===+-++++1cos isin i 3a θθ=+=+，则1cos 3sin aθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故3a ==.故选：B3.设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b∈> 记n A 为满足3a b -≥的点P 的个数，则n A =（）A.3n - B.(1)n n - C.2n - D.()()232n n --【答案】D 【解析】【分析】由题意3a b ≥+且{1,2,3,,}b n ∈ ，则{4,5,6,,}a n ∈ ，分析b 的不同取值对应a 的个数，再应用等差数列前n 项和公式求点P的个数.【详解】由题意3a b ≥+且{1,2,3,,}b n ∈ ，故{4,5,6,,}a n ∈ ，整数4n ≥，当1b=，对应a 有3n -个；当2b =，对应a 有4n -个；……；当3b n =-，对应a 有1个；所以满足3ab -≥的点P 的个数()()(3)(12332)2n n n A n n -+---==.故选：D4.若ABC 的内角A ，B ，C 满足sin cos tan A B C ==，则A 与B 的关系为（）A.π2A B -= B.π2A B +=C.π2B A -=D.π3A B +=【答案】A 【解析】【分析】依题意由sin cos A B =可得π2A B =+或π2A B +=，再分类讨论，即可判断.【详解】因为sin cos A B =，且A ，B ，C 为ABC 的内角，因为sin cos 0,A B =>所以π0,2B <<所以π2A B =+或π2A B +=，若π2A B +=，则π2C =，此时tan C 不存在，故舍去；∴π2A B =+.故选：A.5.1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶90-，它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锶90-含量减少至初始含量的约91.610-⨯倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续（）(参考数据：lg20.301lg975 2.989≈≈，)A.400年 B.600年C.800年D.1000年【答案】C 【解析】【分析】根据衰减率，列出方程，求解该次核泄漏对自然环境的影响消除时持续时间.【详解】设初始含量为a ，则9(1 2.5) 1.610n a a --%=⨯，即1097516()100010n =，两边取对数得lg1610104lg 2=800lg 97533lg 975n --=≈--.故选：C.6.已知线段AB 是抛物线24y x =的一条弦，且AB 中点M 在1x =上，则点A 横坐标（）A.有最大值，无最小值B.无最大值，有最小值C.无最大值，无最小值D.有最大值，有最小值答案】D 【解析】【分析】由题意，可知当点A 在原点时横坐标有最小值0，由于AB 中点M 在1x =上，从而最大值为2.【详解】由题意，设()()1122,,,A x y B x y 由抛物线范围可知，0x ≥，所以如图1，当点A 在原点时横坐标有最小值，为0，由AB 中点M 在1x =上，可知1212x x +=，即122x x =-，所以12x ≤，即如图2，当点B 在原点时,点A 横坐标有最大值，为2.故选：D.7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（）A.981012⋅ B.971012⋅ C.981002⋅ D.971002⋅【答案】A 【解析】【分析】先发现每一行的公差的规律，然后利用数表的性质进行求解.【详解】根据下列数表的规律可以发现，第一行的公差是02，第二行公差是12，然后下面每一行的公差依次是22，32 第99行的公差是982.设第n 行的第一个数是n a ，则9898979810099999998(2)222(22)2a a a a a =++=+=++29899989898122229921012a a =+⋅==+⋅=⋅ ，即第100行第1个数是981012⋅.故选：A8.设()()2f xg x x=，()00f =，对于,0x y ≠，有()()()g xy g x g y =+，则0x =是()f x 的（）A.极大值点B.极小值点C.非极大极小值点D.ABC 选项均可能【答案】D 【解析】分析】根据极值点的定义，结合对数函数的性质，可得答案.【详解】由()()()g xy g x g y =+，可设()ln g x x=，则()2ln ,00,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，易知：f (x )在定义域内连续且为偶函数，当()()1,00,1x ∈-U 时，ln 0x <，则()()00f x f <=，此时0x =为()f x 的极大值点；可设()ln g x x=-，则()2ln ,00,0x x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，易知：f (x )在定义域内连续且为偶函数，当()()1,00,1x ∈-U 时，ln 0x <，则()()00f x f >=，此时0x =为()f x 的极小值点；当()0f x =，则()()00g x x =≠，满足()()()g xy g x g y =+，此时0x =为()f x 的非极大极小值点.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知R a ∈，则函数()||(2)f x x a x a =+-的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由选项得到0a ≠，再分0a >和a<0两类讨论，利用(0)f 的正负及()f x 的两个零点的分布情况，即可得到函数()f x 可能的图象.【详解】由题意知,2a a -是()f x 的两个零点，由选项可知2aa -≠，即0a ≠当0a >时，2(0)2||=20f a a a =--<，2||a a >-，ACD 错，B 对.当a<0时，2(0)2||20f a a a =-=>，|2|a a >-，ABD 错，C 对.故选：BC.10.已知O 为坐标原点，点221111(,(sin ,cos ),(,(8,1)sin cos sin cos A B C D θθθθθθ，其中θ为锐角，则（）A.OA OB ⋅为定值B.||OA OB +的最大值为3C.OC OD ⋅的最小值为9+ D.OA OD ⋅的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】由向量数量积、模长的坐标表示写出各项关于θ对应的表达式，应用三角恒等变换、基本不等式“1”的代换、导数求对应最值判断各项正误.【详解】由θ为锐角，故sin ,cos (0,1)θθ∈，A ：11sin cos 2sin cos OA OB θθθθ⋅=⨯+⨯= 为定值，对；B：||OA OB+===，所以||3OA OB +≥，当且仅当sin cos 2θθ==时等号成立，故最小值为3，错；C ：22228181sin cos sin 1sin OC OD θθθθ⋅=+=+- ，而22sin ,1sin (0,1)θθ-∈，所以22222222818(1sin )sin ()(sin 1sin )9sin 1sin sin 1sin θθθθθθθθ-++-=+--9≥9=+，当且仅当sinθ=OCOD ⋅的最小值为9+D ：81sin cos OA ODθθ⋅=+，且sin ,cos (0,1)θθ∈，1122222333818811()(sin cos )[(sin )(cos )]125sin cos sin sin cos cos θθθθθθθθθθ++≥⋅+⋅⋅=，所以81sin cos θθ+≥，当且仅当228sin sin 1cos cos θθθθ=，即tan 2θ=时等号成立；（法一）令81()sin cos f θθθ=+，则332222sin 8cos sin 8cos ()cos sin sin cos f θθθθθθθθθ-'=-=，令()0f θ'=，即tan 2θ=，且π(0,)2θ∈，则sin θθ==，当sin 2cos θθ<，()0f θ'<，即()f θ递减；当sin 2cos θθ>，()0f θ'>，即()f θ递增；所以min ()f θ=sin θθ==，（法二），对.故选：ACD11.有方程2023x y z ++=，试讨论有序数对(),,x y z 解的个数．下列分析正确的是（）A.若x ，y ，z 均为正整数，则(),,x y z 解的个数为22022C B.若x ，y ，z 均为非负整数，则(),,x y z 解的个数为22025C C.若x ，y ，z 均为正整数，且x ，y ，z 两两不等，则(),,x y z 解的个数为341044D.若x ，y ，z 均为正整数且满足x y z ≤，则(),,x y z 解的个数为341044【答案】ABD 【解析】【分析】AB 可转化为排列组合问题用档板法可得；C 选项可先求x ，y ，z 相等时(),,x y z 的解个数，再用排除法可得；D 选项分为由相等和不相等并且x y z ≤≤的不同的类，利用分类加法可得.【详解】选项A ：因x ，y ，z 均为正整数，2023x y z ++=则(),,x y z 解的个数相当于把2023个1用两个档板分成3份，分别对应x ，y ，z ，所以(),,x y z 解的个数为22022C ，故A 正确；选项B ：由2023x y z ++=得()()()1112026x y z +++++=，因x ，y ，z 均为非负整数，所以()1x +，()1y +，()1z +均为正整数，(),,x y z 与()1,1,1x y z +++一一对应，()()()1112026x y z +++++=相当于把2026个1用两个档板分成3份，分别对应1x +，1y +，1z +，所以(),,x y z 解的个数为22025C ，故B 正确；C 选项：因x ，y ，z 均为正整数，2023x y z ++=，若x y z ==，则20233x =，不满足x 为正整数，故x ，y ，z 至多有两个相等，若x y z =≠，则22023x z +=,故x 的取值为从1到1011的整数，共1011个，所以x ，y ，z 有两个相等时(),,x y z 的个数为23C 10113033⨯=个，故x ，y ，z 两两不等时，(),,x y z 解的个数为22022C 30332040198-=个，故C 错误；选项D ：若x ，y ，z 均为正整数且满足x y z ≤≤，当x y z =≤时，因2023x y z ++=，所以20232z x x =->，得20233x <，即674x ≤，所以x 的取值为从1到674的整数，共674个，此时(),,x y z 的个数为674个.当x y z ≤=时，因2023x y z ++=，所以20232xy x -=≥，得20233x ≤，即674x ≤，因y 取正整数，所以x 的取值为从1到674的奇数，共337个，此时(),,x y z 的个数为337个.当x y z <<时，2023个1用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应x ，y ，z ，有2202233C 3033340033A -=共有340033674337341044++=，故D 正确.故选：ABD12.设函数1()()f x f x ==，且N n *∀∈都有1()(())n n f x f f x +=，则下列判断正确的是（）A.N n *∀∈，()n y f x =的图象关于原点对称B.N n *∀∈，直线(0)y m m =>和()n y f x =的图象至多只有一个交点C.N n *∃∈，命题“,R a b ∃∈，满足()[()()]0n n a b f a f b --<”成立D.N n *∃∈，使得(0,+)y ∀∈∞，都有12()()()n f y f y f y +++> 成立【答案】AB 【解析】【分析】由递推关系得到()n f x =，即可得到函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可判断A 、B 、C ，再利用放缩法证明，即可判断D ；【详解】解：由题可得21()(())f x f f x ==同理得3()f x =，，由此推得()n f x =，x ∈R ，所以()()n n f x f x -=-，则()n y f x =为奇函数，函数图象关于原点对称，故A 对.当0x >时，()n f x =N n *∀∈，()n f x 在R 上单调递增，B 对，C 错.(0,+)y ∀∈∞，()n f y <，故1()f y+2()()n f y f y ++<+，当1k ≥时，=<，则+< ，D 错.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.请写出一个同时满足以下三个条件的函数()f x =__________.①()f x 的定义域是R ；②()f x 是偶函数；③()f x 的值域为[0,1).【答案】221x x +(答案不唯一)【解析】【分析】根据函数满足的性质求解即可【详解】令22()1x f x x =+，则()f x 的定义域是R ；22()()()()1x f x f x x --==-+，则()f x 为偶函数；2221()111x f x x x ==-++，因为211x +≥，所以210111x ≤-<+，即()f x 的值域为[0,1)，所以22()1x f x x =+符合题意.故答案为：221x x +(答案不唯一)14.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______（用数字作答）.【答案】15000【解析】【详解】由题意知满足条件的方案有两种情形：1.有一个项目有3人参加，共有31755!5!3600CC ⨯-⨯=种方案；2.有两个项目各有2人参加，共有()22275515!5!114002C C C ⨯-⨯=种方案.故所求的方案数为36001140015000+=.故答案为1500015.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2S =梯形的周长梯形的面积，则S 的最小值是________．【答案】3【解析】【分析】设()01CD x x =<<，可求得243x S -=S 的最小值.【详解】如图，设()01CDx x =<<，则梯形ABED 的周长为()2113x x x +-+=-，梯形ABED的面积为()221444ABC CDE S S x x -=-=-△△，所以，223434x x S --==，则()()()2283311x x S x--'=--，当103x <<时，0S '<，此时函数243x S -=当113x <<时，0S '>，此时函数243x S -=13x =时，S取得最小值3.故答案为：3.16.设椭圆T ：2221(20x y a a +=>的右焦点为F ，过点(1,1)P 的直线l 与椭圆交于点A ，B ，M 为AB 的中点，使得FM 是FA 、FB的等比中项，则a 的最小整数值为_____答案】7【解析】【分析】根据中点的性质，结合点到直线距离公式、点与椭圆的位置关系、等比中项的性质进行求解即可.【详解】因为211111202520a +≤+<，所以点(1,1)P 在该椭圆内，因此过点(1,1)P 的直线l 与椭圆必有两个交点，设()()1122,,,A x y B x y ，因为M 为AB 的中点，所以有()()222211244FM FA FBFA FB FA FB =+=++⋅222221242FA FB AB FA FB FA FB FA FB ⎛⎫+- ⎪=++⋅⋅ ⎪⋅ ⎪⎝⎭()22211,24FA FB AB =+- 即()22221124FM FA FB AB ==+-，因为FM是FA 、FB的等比中项，所以2F M F F A B=⋅，于是有()222AB FA FB=-，220,b c ==，1cFA a x a ===-，同理：2c FB a x a=-，由()()()()222222121221222[]c AB FA FB x x y y x x a=-⇒-+-=-，即()()2221221240a y y x x a--=-，显然有2240040a a -≥⇒≥，所以a 的最小整数值为7，故答案为：7【点睛】关键点睛：利用平面向量加法几何意义，结合余弦定理得到中线表达式是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F ．（1）试证明：sin sin BD AB BADDC AC DAC∠=∠（2）若P 为重心，5,4,3AD BE CF ==，求ABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）利用正弦定理及角的互补关系即可证结论；（2）由题意,,AD BE CF为中线，可得10584,,,,2,13333AP PD BP PE CP PF ======，再由2PC PB PD += 、2PA PB PF+=、2PC PA PE+= ，求cos ,cos ,cos BPC APB APC∠∠∠，进而求对应正弦值，结合ABC BPC APB APCS S S S =++ 及三角形面积公式求面积.【小问1详解】ABD △中sin sin AB BDADB BAD =∠∠，则sin sin AB BAD BD ADB∠=∠，ACD 中sin sin AC DCADC DAC =∠∠，则sin sin AC DAC DC ADC∠=∠，又π,ADB ADC ∠+∠=则sin sin ADB ADC ∠=∠，所以sin sin BD AB BAD DC AC DAC∠=∠，得证.【小问2详解】由P 是重心，则,,AD BE CF为中线，又5,4,3AD BE CF ===，所以10584,,,,2,13333AP PD BP PE CP PF ======，而2PC PB PD += ，则22224PC PC PB PB PD +⋅+= ，所以3264254cos 4399BPC +∠+=⨯，可得cos 0BPC ∠=，且(0,π)BPC ∠∈，所以π2BPC ∠=，同理2PA PB PF += ，2PC PA PE += ，可得4cos 5APB ∠=-，3cos 5APC ∠=-，所以3sin 5APB ∠=，4sin 5APC ∠=，则181********228232335235ABCBPC APB APC SS S S =++=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= .18.已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．（1）求{}n a 的通项公式和1212n n i i a --=∑．（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121k k k b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．【答案】（1）21n a n =+，1121234n n n ii a --=-=⋅∑；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2n nb=，前n 项和为122n +-.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2a d ==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n 项和公式计算可得1121234n n n ii a--=-=⋅∑.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221k k n -≤≤-时，k n b a <，取12k n-=，当21221k k n --≤≤-时，n k a b <，取121k n -=-，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n 项和.【小问1详解】由题意可得25153251624a a a d a a d +=+=⎧⎨-==⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，则数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+-=+，求和得()()11121212112222122121n n n n n n n n i i i i a i i -------====+=+--+∑∑∑()()()1111222122212n n n nn ----⎡⎤=++++++-+⎣⎦()1111222122342n n n n n ----+-⋅=+=⋅.【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221k k n -≤≤-时，k n b a <，取12k n -=，则11222121k k k k b a --<=⨯+=+，即21kk b <+，当21221k k n --≤≤-时，n k a b <，取121k n-=-，此时()1121221121k k k n a a ---==-+=-，据此可得21kk b -<，综上可得：2121k k kb -<<+.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2121k k kb -<<+，1112121k k k b +++-<<+则数列{}n b 的公比q 满足11121321322+21212121k k k k k k k k b q b +++-+=-<<=++--=，当*,N kk ∈→+∞时，3322,2+22121k k⎛⎫⎛⎫-→→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+，所以2q =，所以1121212k k kb --<<+，即11111211222122221k k k k k kb -----=+=-<<+，当*,N k k ∈→+∞时，111122,2222k k --⎛⎫⎛⎫-→+→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12b =，所以数列的通项公式为2n nb=，其前n 项和为：()12122212nn nS +⨯-==--.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n 项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.19.如图，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF为矩形，且M 为线段EF上的动点，//AB CD ，90ABC ∠= ，2AD DE =，222AB CD BC ===.（1）当M 为线段EF的中点时，（i ）求证：AM ⊥平面BDM ；（ii ）求直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；（2）记直线AM与平面MBC 所成角为α，平面MAD 与平面MBC 的夹角为β，是否存在点M 使得αβ=?若存在，求出FM；若不存在，说明理由.【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii）11（2）存在，2FM =-【解析】【分析】（1）（i ）利用面面垂直的性质可推导出BD ⊥平面ADM，可得出AM BD ⊥，利用勾股定理可得出AM DM⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM，计算出点A 到平面MBC 的距离以及线段AM的长，即可得出直线AM与平面MBC 所成角的正弦值；（2）假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，连接MG ，根据已知条件得出AMR ∠是直线AM与平面MBC 所成的角，ATR ∠是二面角A MG B --的平面角，计算出AMF 三边边长，利用勾股定理求出x 的值，即可得出结论.【小问1详解】（i ）由题意，四边形ABCD 为直角梯形，且90ABC ∠= ，//AB CD ，所以90BCD∠= ，所以BD ===取AB 的中点N ，连接DN ，则//CD BN 且CD BN =，且90BCD ∠= ，故四边形BCDN 为矩形，则DN //BC ，且DN BC =，所以AD ==又由2AB =，所以222BD AD AB +=，所以BD AD ⊥，又平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADM，又AM ⊂平面ADM，所以AM BD ⊥，因为1MD MA ==，AD =，则222AM DM AD +=，所以AM DM⊥，又DMBD D = ，DM 、BD⊂平面BDM，所以AM ⊥平面BDM.（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM ，过P 在平面PQM内作PO 垂直于MQ ，垂足为O ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AF AD ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，M 为EF的中点，所以//MP AF ，所以MP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PM⊥，又因为BC PQ ⊥，PQ PM P ⋂=，PQ 、PM ⊂平面PMQ ，所以BC ⊥平面PMQ ，PO ⊂平面PMQ ，所以PO BC ⊥，MQ BC O = ，,MQ BC ⊂平面BCM ，得PO⊥平面BCM，因为2MP=，32PQ=，π2MPO∠=，所以2MQ==，由等面积法可得222MP PQPOMQ⋅====，延长AD与BC交于点G，则D为AG的中点，G为直线AD与平面MBC的交点，设点A到平面MBC的距离为d，直线AM与平面MBC所成的角为θ，则34PO GdPGA==，所以14433122d PO==⨯=，由1AM=，所以，sin11AMdθ==；【小问2详解】假设存在点M，使得αβ=，延长AD与BC交于点G，连接MG，则平面AMD⋂平面MBC MG=，设AR⊥平面MBC，垂足为R，连接MR，AMR∠是直线AM与平面MBC所成的角，因为//CD AB且12CD AB=，所以，点D为AG的中点，则2AG AD==，过点R作RT垂直于MG，垂足为T，因为AR⊥平面MBC，MG⊂平面MBC，所以AR MG⊥，又因为RT MG⊥，AR RT R=，AR、RT⊂平面ART，所以MG⊥平面ART，因为AT⊂平面ART，所以AT MG⊥，ATR∠是二面角A MG B--的平面角，所以sinARAMα=，sinARATβ=，由αβ=，得AM AT=，所以M、T重合，由AT MG⊥，得AM MG⊥，设(0FM x x=≤≤，则2212AM x=+，()2212G xM=-+，由勾股定理可得222AM GM AG+=，即()2211822x x +++=，整理可得2210x -+=，解得2x =-或2x =（舍），所以存在点M ，当2FM =，有αβ=成立.【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，根据已知条件得出AMR ∠是直线AM与平面MBC 所成的角，考查了学生的空间想象能力、运算能力.20.已知双曲线22:1C xy -=．（1）求C 的右支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．（2）记C 的左、右顶点分别为12A A ，，过点()2,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）9800（2）1=2x -【解析】【分析】（1）由题意2x =开始求整点通项,再应用等差数列求和个数计算即可得；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA 与2NA 的方程，联立直线方程，消去y ，结合韦达定理计算可得1113x x +=--，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P 在定直线1=2x -上.【小问1详解】因为双曲线方程为22:1C xy -=，令,299x n n =≤≤时,整点时y 为()222211n y n n <-<-<,整点个数为()=21+1=21y n n --,299n ≤≤区域内部（不含边界）整点为()983+197=98002个.【小问2详解】由(1)可得()()121,0,1,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为2x my =-，且11m -<<，与22:1C xy -=联立可得()221430m y my --+=，且24(73)0m ∆=->，则1212224,131m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1111y y x x =++，直线2NA 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()21211212112121211111133y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++===----1122211224111133313331m mm y y m m m m m y y m m -⋅-++---===-⨯----，由1113x x +=--可得1=2x -，即12P x =-，据此可得点P 在定直线1=2x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.21.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使()P X m =取得最大值的整数m .【答案】（1）22221(1)k kn k Pn n -=--=（2）2(1)22k mk n +≤-+【解析】【分析】（1）由于A 和B 是相互独立，11C ()()C k n k nk P A P B n --===，没有收到信息的概率正好是2(1k n -，所以最后的结果就能求出；（2）要从k n =和k n <两个角度考虑.【小问1详解】设事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A 和B 是相互独立的事件，则A 与B相互独立，而11C ()()C k n k nk P A P B n --===所以(()1kP A P B n==-，因此，学生甲收到活动通知信息的概率为22221(1)k kn k P n n -=--=.21【小问2详解】当kn =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====当k n <，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k 和中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为2(C )kn .当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为m k -，则由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n k n k n k n k ------=此时22C C C C C ()(C )C k k m m k m k mk n k n k k n k k k n nP X m ------===当k m t ≤<，()(1)P X m P X m =≤=+11C C C C m k m k m k m k k n k k n k--+-+---⇔≤化简解得2(1)22k m k n +≤-+假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当2(1)k +能被2n +整除时，22(1)(1)22122k k k k k t n n ++≤-<+-≤++，故()P X m =在2(1)22k m k n +=-+和2(1)212k m k n +=+-+处达到最大值；则当2(1)k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22k m k n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎣⎦处达最大值.（注：[]x 表示不超过x 的最大整数）.下证：2(1)22k k k t n +≤-<+因为1k n ≤<，所以222(1)1(1)11202222k kn k k k k k k k n n n n +--+-----=≥=≥++++，22(1)(1)2022k n k k n n n +-+--=-<++，故2(1)22k k n n +-<+，显然2(1)222k k k n +-<+.因此2(1)22k k k t n +≤-<+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是用高斯取整函数证明2(1)22k k k t n +≤-<+.22.设()ln(1)f x x ax b =++++（,R,,a b a b ∈为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在()0,0点相切．（1）求,a b 的值．（2）证明：当02x <<时，9()6x f x x <+．【答案】（1）1b =-，0a =（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接求导得1()1f x a x '=++，再根据()()300,02f f '==即可得到答案；（212x <+，设9()()6x h x f x x =-+12x <+，22证明出ln(1)x x +<，从而得到3()2f x x <，设()(6)()9h x x f x x =+-，利用导数即可证明不等式.【小问1详解】由()y f x =过()0,0点，得1b =-.由()y f x =在()0,0点的切线斜率为32，1()1f x a x '=++，则33(0)22f a '=+=，得0a =.【小问2详解】（证法一）由均值不等式，当0x >时，112x x <++=+，12x <+，记9()()6x h x f x x =-+，则()()215416h x x x =+++'()()2254216x x +=-++()()2654416x x x +<-++令3()(6)216(1)g x x x =+-+，则当02x <<时，2()3(6)2160g x x =+-<'因此()g x 在()0,2内是递减函数，又由(0)0g =，得()0g x <，所以()0h x '<因此()h x 在()0,2内是递减函数，又由(0)0h =，得()0h x <，当02x <<时9()6x f x x <+.（证法二）由（1）知()ln(1)1f x x =++由均值不等式，当0x >时，112x x <++=+12x <+①令()ln(1)k x x x =+-，则(0)0k =，1()1011x k x x x -=-=+'<+，故()0k x <，即ln(1)x x +<②由①②得，当0x >时，3()2f x x <记()(6)()9h x x f x x =+-，则当02x <<时，31()()(6)()9(6)(921h x f x x f x x x x =++-<++++'-'1[3(1)(6)(218(1)]2(1)x x x x x =++++-++1[3(1)(6)(3)18(1)](718)02(1)24(1)x x x x x x x x x <++++-+=-<++因此()h x 在()0,2内单调递减，又(0)0h =，所以()0h x <，即9()6x f x x <+.12x <+，再设9()()6x h x f x x =-+，多次求导即可证明原不等式.。

江苏省淮阴中学等三校2022-2023学年高二下学期联考数学试题

1
ar
1
r b
1
cr
344
3．已知随机变量 X : B2, p ，随机变量Y : N 2, 2 ，若 P X 1 306. ，PY 4 p ，
则 P0 Y 2 （）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
4．某校 1000 名学生的某次测试成绩 X : N , 2 ，正态分布密度函数
3 B．当 n 5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为 3
8
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为 1 1 n 1 n
D．记 n 位同学都拿到其他同学卡片的抽法数为 an ，则 an2 (n 2)(an an1)
二、多选题 9．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（）
A．相关变量 x, y 的线性回归方程为 y 0.2x m ，若样本点中心为 m,1.6 ，则 m 2
A．30
B．48
C．60
D．120
2．四面体 O
ABC
中，OuuPur
uuur 3PA
，Q
是
BC
的中点，M
是
PQ
uuur 的中点，设 OA
ar
uuur ，OB
r b
，
uuur OC
cr
，则
uuuur OM
（
）
A．
1
ar
1
r b
1
cr
466
C．
3
ar
1
r b
1
cr
844
B．
3
ar
1
r b
1
cr
444
D．
18．某中学对 50 名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：

江苏省淮阴中学、姜堰中学、徐州一中2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题(含解析)

江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校2024届高三上学期12月数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设集合{}2log 1M x x =>，303x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（）A.[)2,3 B.()2,3 C.()2,+∞ D.()1,+∞2.设m ∈R ，则“2m =”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要3.(sin 40tan10=（）A.2B.－2C.1D.－14.已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则5a 的值为（）A.18B.54C.162D.4865.在ABC 中，点D 为BC 边中点，点E 在线段AC 上，且2AE EC =，若AD a = ，BE b = ，则AB为（）A.1324a b - B.1223a b+C.1324a b+D.1223a b -6.设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1ABF 为钝角三角形，则离心率的取值范围为（）A.01e <<-B.11e -<< C.112e << D.102e <<7.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差，某同学受此法的启发设计了另一种测量此山高度的方案（如图2）；他站在水平线AC 上，同时在水平线AC 上放一个小镜子（视为点P ），他在距离镜子a 米点Q 时，通过镜子看到了山顶，然后沿水平线AC 向靠近山的方向走了m 米，到达M 点，再将镜子放在距离自己b 米的前方点N 处，此时又看到了山顶，若此人的眼睛到水平线AC 的距离为h 米，则此山的高度约为（）米A.mhh a b+- B.mhh a b-- C.hmh a b-- D.hmh a b+-8.设tan 0.21a =，ln1.21b =，21121c =，则下列大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c<a<b二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.已知0a >，0b >，且1a b +=，下列说法正确的是（）A.114a b+≤ B.2212a b +≥C.122a b -<D.+≤10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则120z z = B.11,Z nnz z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅11.已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，则下列各选项正确的是（）A.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B.ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在区间()0,2π有2个极小值点D.()f x 在区间()0,2π有3个极大值点12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与a 垂直，则实数x =____________.14.已知直线l 满足：原点到它的距离为2，点()3,0到它的距离为，请写出满足条件的直线l 的一个方程：______________.15.当实数0a ≠时，函数()()1e xf x x a x =--有且只有一个可导极值点，则实数a 的取值范围为________.16.已知[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]0.20=，[]1.21=，[]0.51-=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为()12n n nS a =+且515S =，记[]2log n n b a =，则数列{}n b 的前100项和为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知π(sin(),1)4a x =+ ，2)b x = .（1）当π[0,]4x ∈，5a =时，求7πsin()12x +；（2）若()f x a b =⋅，求()f x 的值域.18.已知圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C .（1）求圆T 的方程；（2）过点71,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交圆T 于M 、N 两点，且2MP PN = ，求直线l 的方程.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c =，且12cos 2a Bb =+.（1）求ABC 周长的最大值；（2）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，且a b <，求角A.20.已知数列{}n a 满足13a =，当()*2N n n ≥∈时，()111nn na n a-=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列πsin2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21.已知函数()()e0xf x ax a =≠，()2g x x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()f x 与()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，过点()2,1P -作直线l 交椭圆C 于点M 、N .（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线QM ，QN 的斜率1k ，2k 满足1211k k +为常数？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.2023~2024学年度第一学期阶段性测试高三数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2log 1M x x =>，303x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（）A.[)2,3 B.()2,3 C.()2,+∞ D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，22{|log log 2}{|2}Mx x x x =>=>，{|(3)(3)0}{|33}N x x x x x =+-<=-<<，解得(2,3)M N = .故选：B2.设m ∈R ，则“2m =”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断.【详解】当2m=时，直线1:2210l x y +-=，直线2:3310l x y ++=，此时221331-=≠，所以直线1l ‖2l ，当1l ‖2l 时，21(10)311m m m -=≠+≠+，得(1)61210m m m m +=⎧⎪+≠-⎨⎪+≠⎩，解得2m =，所以“2m=”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的充要条件，故选：C3.(sin 40tan10= （）A.2B.－2C.1D.－1【答案】D 【解析】【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】(sin 40tan10sin10=sin40(cos10sin 4012(sin10)22sin 40cos102(cos 60sin10sin 60cos10)sin 40cos102sin(1060)sin 40cos102sin 50sin 40cos102sin ︒︒⋅︒=︒︒=︒⋅︒︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒︒-︒=︒⋅︒-︒=︒⋅︒-=⋅ 40cos 40cos10sin 80cos101︒⋅︒︒-︒=︒=-故选:D4.已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则5a 的值为（）A.18B.54C.162D.486【答案】C 【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于1,a q 的方程组，从而利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】因为122n n a S +=+，{}n a 为等比数列，设其公比为q ，当1n=时，2122a a =+，即1122a q a =+，当2n =时，()31222a a a =++，即()211122a q a a q =++，联立()1121112222a q a a q a a q =+⎧⎨=++⎩，解得12,3a q ==（0q =舍去），则445123162a a q ==⨯=.故选：C.5.在ABC 中，点D 为BC 边中点，点E 在线段AC 上，且2AE EC =，若AD a = ，BEb = ，则AB为（）A.1324a b -B.1223a b +C.1324a b +D.1223a b -【答案】A 【解析】【分析】先以,AB AC 为基底表示出AD 和BE，然后消去AC 可得.【详解】因为点D 为BC 边中点，2AE EC =，所以()1213AD AB AC BE AE AB AC AB ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩，消去AC 得234AD BE AB -= ，即13132424AB AD BE a b =-=-.故选：A.6.设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1ABF 为钝角三角形，则离心率e 的取值范围为（）A.01e <<B.11e -<< C.112e << D.102e <<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到212b F F a<，得到2220c ac a +-<，转化为2210e e +-<，进而求得椭圆C 的离心率的取值范围.【详解】由1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于,A B 两点，可得22b AB a=，即22b AF a=，因为1ABF 为钝角三角形，则1245AF F ∠>︒，可得212b F F a <，即22b c a<，即22b ac >，又因为222b a c =-，可得222a c ac ->，即2220c ac a +-<，即2210e e +-<，且01e <<，解得01e <<-，即椭圆C 的离心率的取值范围为1)-.故选：A.7.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差，某同学受此法的启发设计了另一种测量此山高度的方案（如图2）；他站在水平线AC 上，同时在水平线AC 上放一个小镜子（视为点P ），他在距离镜子a 米点Q 时，通过镜子看到了山顶，然后沿水平线AC 向靠近山的方向走了m 米，到达M 点，再将镜子放在距离自己b 米的前方点N 处，此时又看到了山顶，若此人的眼睛到水平线AC 的距离为h 米，则此山的高度约为（）米A.mhh a b+- B.mhh a b-- C.hmh a b-- D.hmh a b+-【答案】B 【解析】【分析】利用三角形相似得到线段比，从而转化得解.【详解】记此人的眼睛在,M Q 处的位置分别为,D E ，如图，由题意可知ABN MDN ∽，ABP QEP ∽，所以AB ANMD MN=，AB APQE PQ=，又DM EQ h ==，MQ m =，,PQ a MN b ==，所以AB ANh b=，AB AP h a =，则b AB AN h ⋅=，a ABAP h⋅=，因为AP AN PN MP MN m a b -==+=-+，所以a AB b AB m a b h h ⋅⋅-=-+，解得mhAB ha b=--.故选：B.8.设tan 0.21a=，ln1.21b =，21121c =，则下列大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c<a<b 【答案】C 【解析】【分析】首先通过构造函数得到当π02x <<时，tan x x >，再通过构造函数()()πln 1,02f x x x x =-+<<进一步得到()ln 1x x >+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由此即可比较,a b ，通过构造函数()()ln 1,01x g x x x x=+->+即可比较,c b ，由此即可得解.【详解】设()πtan ,02h x x x x =-<<，则()()22cos cos sin sin 1π110,0cos cos 2x x x x h x x x x ⋅--'=-=-><<，所以()tan hx x x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()tan 00hx x x g =->=，即πtan ,02x x x ><<，令()()πln 1,02f x x x x =-+<<，则()11011x f x x x'=-=>++，所以()()ln 1f x x x =-+在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()()ln 100f x x x f =-+>=，即()ln 1x x >+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tanln 1x x x >>+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而当0.21x =时，tan 0.21ln1.21a b =>=，令()()ln 1,01x g x x x x =+->+，则()()()()22110111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()()ln 11xg x x x =+-+在()0,∞+上单调递增，所以()()210.21ln1.2100121g g =->=，即21ln1.21121b c =>=，综上所述：21tan 0.21ln1.21121a b c =>=>=.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是在比较,a b 的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，而在比较,c b 大小关系时，关键是通过构造适当的函数，通过导数研究函数单调性，从而来比较大小.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知0a >，0b >，且1a b +=，下列说法正确的是（）A.114a b+≤ B.2212a b +≥C.122a b -< D.≤【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合基本不等式和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】因为0a >，0b >，且1a b +=，对于A 中，由1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当b a a b=时，即12ab ==时，等号成立，所以A 不正确；对于B 中，由22221()21212(22a b a b a b ab ab ++=+-=-≥-⋅=，当且仅当12ab ==时，等号成立，所以B 正确；对于C 中，因为0a >，0b >，且1a b +=，可得10b a -=-<，又因为函数2x y =为单调递增函数，可得22a a ->，所以122a b ->，所以C 不正确；对于D 中，因为0a >，0b >，且1a b +=，设22πsin ,cos ,(02a b θθθ==<<，sin 2cos )θθθϕ+=+=+≤，其中tan 2ϕ=，所以D 正确.故选；BD.10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则12z z = B.11,Znn z z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用复数的三角形式计算判断B ；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD.【详解】对于A ，当121i,1i =+=-z z 时，12122z z z z +==-，而1220z z =≠，A 错误；对于B ，令1(cos isin ),0,R z r r θθθ=+≥∈，则1(cos isin )n n z r n n θθ=+，于是1|||cos isin |n n n z r n n r θθ=+=，而1||z r =，即有1||n n z r =，因此11nn z z =成立，B 正确；设复数1i(,R)z a b a b =+∈，2i(,)z c d c d =+∈R ，对于C ，由22120z z +=，得2222()(22)i 0a b c d ab cd -+-++=，则22220220a b c d ab cd ⎧-+-=⎨+=⎩，2222120z z -=-=，因此12=z z ，C 正确；对于D ，21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，则21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，因此1212z z z z ⋅=⋅，D 正确.故选：BCD11.已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，则下列各选项正确的是（）A.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B.ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在区间()0,2π有2个极小值点D.()f x 在区间()0,2π有3个极大值点【答案】BC 【解析】【分析】由题意得到当且仅当ω满足π2π4π6π2π5π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，即2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭由此判断B ；进一步结合复合函数单调性、三角函数单调性以及B 选项分析即可进一步判断ACD.【详解】对于B ，由题意当[]0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，所以当且仅当π2π4π6π2π5π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得23291212ω≤<，即ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故B 正确；对于C ，()0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由B 选项分析可知π4π2π5π6t ω≤=+<，而sin y t =在ππ,2π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭确定的极小值点有且仅有两个：3π7π,22，故C 选项正确；对于D ，()0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由B 选项分析可知π4π2π5π6t ω≤=+<，而sin y t =在ππ,2π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭确定的极大值点有两个：π5π,22，但当π9π4π2π62t ω≤=+≤时，()f x 在区间()0,2π有且仅有2个极大值点，故D 选项错误；对于A ，由B 选项分析可知2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，不妨取2329,11252212ω∈=⎡⎫⎪⎢⎣⎭，此时ππ37π,6672t x ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，而sin y t =在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π37π,272⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 选项错误.故选：BC.12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知()g x '为偶函数，()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，因为()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，可得()()42'+-=-'g x g x ，又因为()g x 为奇函数，则()()g x g x =--，可得()()g x g x ''=-，即()g x '为偶函数，则()()42+=''--g x g x ，即()()42''++=-g x g x ，可得()()842''+++=-g x g x ，所以()()8x g x g ''+=，可知()g x '的周期为8.对于选项A ：因为()()42'+-=-'g x g x ，()()1f xg x +'=令2x =，则()()222''+=-g g ，()()221+='f g ，可得()21g '=-，()22f =，故A 正确；对于选项B ：因为()()42'+-=-'g x g x ，令0x =，可得()()042g g ''+=-，故B 正确；对于选项C ：因为()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '为偶函数，则()()42''-++=-g x g x ，令=1x -，可得()()132''+=-g g ，又因为()()1f x g x +'=，令1,3x =-，则()()111'-+-=f g ，()()331+='f g ，可得()()()()13132'-++-+='f f g g ，可得()()134f f -+=，但由题设条件无法推出()()13f f -=-，故C 错误；对于选项D ：因为()g x '的周期为8，故()()44g g ''-=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与a垂直，则实数x =____________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示，列出方程求解即得.【详解】由()1,a x =，()1,b x =- ，得2221,1a x a b x =+⋅=-+ ，由2a b - 与a 垂直，得2(2)20a b a a a b -⋅=-⋅= ，即有22(1)2(1)0x x +--+=，解得x =所以实数x =.故答案为：14.已知直线l满足：原点到它的距离为2，点()3,0到它的距离为，请写出满足条件的直线l 的一个方程：______________.【答案】10x y -+=（答案不唯一，10x y ++=）【解析】【分析】设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式，列式不解即得.【详解】当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x a =，于是||2a =，且|3|a -=，显然无解，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，于是2==，整理得22222168k b k kb b ⎧-=-⎨++=⎩，消去常数项得()(35)0k b k b -+=，即有0k b -=或350k b +=，由22210k b k b ⎧-=-⎨-=⎩解得1k b ==或1k b ==-，而方程组2221350k b k b ⎧-=-⎨+=⎩无解，因此1k b ==或1k b ==-，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=15.当实数0a ≠时，函数()()1e xf x x a x=--有且只有一个可导极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】1[e,)-+∞【解析】【分析】根据题意，转化为()e x g x x =与y a =±的图象交点个数问题，分类讨论，利用导数求得函数()g x 的单调性与极小值，结合图象，即可求解.【详解】由函数()()()()1e ,01e 1e ,0xxxx ax x f x x a x x ax x ⎧--≥⎪=--=⎨-+<⎪⎩，当0x ≥时，可得()e xf x x a '=-；当0x <时，可得()e x f x x a '=+，令()e x g x x =，可得()(1)e x g x x '=+，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以，当=1x -时，函数取得极小值，极小值为()11eg --=-，且0x <时，()0g x <，()00g =，其函数()g x 的图象，如图所示，因为函数()f x 有且只有一个可导极值点，显然当0a <时，y a =与()e x g x x =在[)0,∞+上无交点，y a =-与()e xg x x =在(),0∞-上无交点，故不合题意，舍去，且由题目条件所知0a ≠，则0a >，①当函数()e x g x x =在[)0,∞+上与y a =，在(),0∞-上与y a =-上总共有一个交点时，当0a >时，设函数()f x 的唯一可导极值点为0x ，由图知00x >，若()e 0x f x x a ='-=在[0,)+∞有一个实数根，且()e 0x f x x a '=+=在(,0)-∞上没有实数根，则1ea a ->⎧⎨>⎩，可得1e a ->，此时0x 即为直线y a =与()()e 0x g x x x =≥的交点横坐标，符合题意；②若()e 0x f x x a ='-=在[0,)+∞有一个实数根，且在()e 0x f x x a '=+=在(,0)-∞上有且仅有一个实数根，且此零点的左右两侧导函数值不变号，则10ea a ->⎧⎨-=-⎩，可得1e a -=，此时满足题意，综上可得，实数a 的取值范围为1[e ,)-+∞.故答案为：1[e,)-+∞.16.已知[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]0.20=，[]1.21=，[]0.51-=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S a =+且515S =，记[]2log nn b a =，则数列{}n b 的前100项和为__________.【答案】480【解析】【分析】求出na n =，则得到[]2log nb n =，再利用[]x 的定义即可求出答案.【详解】由题意得()()1122nn n n nS a a a =+=+，所以11a =，()515355152S a a a =+==，所以33a =，所以公差3112d -==，所以n a n =，[][]22log log n n b a n ==，当1n=时，10b =，当23n ≤≤时，1n b =，当47n ≤≤时，2n b =，当815n ≤≤时，3n b =，当1631n ≤≤时，4n b =，当3263n ≤≤时，5n b =，当64100n ≤≤时，6n b =，所以数列{}n b 的前100项和为0122438416532637480+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：480.【点睛】关键点睛：本题的关键是求出na n =，再利用取整函数的定义对nb 分类讨论，最后计算出答案.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知π(sin(),1)4a x =+ ，2)b x = .（1）当π[0,4x ∈，5a = 时，求7πsin()12x +；（2）若()f x a b =⋅ ，求()f x 的值域.【答案】（1）410+；（2）5[,14-.【解析】【分析】（1）利用给定的模求出π4x +的正余弦，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）利用数量积的坐标表示求出()f x ，再利用换元法，结合二次函数求出函数值域.【小问1详解】由π(sin(),1)4a x =+ ，5a = ，得2π41sin ()1425x ++=，即2π16sin (425x +=，由π[0,]4x ∈，得πππ[,442x +∈，解得π4π3sin(),cos()4545x x +=+=，所以7πππππππ4134sin()sin[()]sin()cos cos()sin 12434343525210x x x x ++=++=+++=⨯+⨯=.【小问2详解】依题意，π())sin 2sin cos 2sin cos 4f x a b x x x x x x=⋅=++=++2sin cos (sin cos )1x x x x =+++-，令πsin cos )[4t x x x +=∈=+，则22151()24y t t t =+-=+-，当12t =-时，min 54=-y ，当t =时，max 1y =+所以()f x 的值域是5[,14-+.18.已知圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C .（1）求圆T 的方程；（2）过点71,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交圆T 于M 、N 两点，且2MP PN =，求直线l 的方程.【答案】（1）226480x y x y +--+=（2）1x =，或351270--=x y 【解析】【分析】（1）设圆T 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入A 、B 、C 三点坐标可得答案；（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，求出M 、N 点坐标满足题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为()713-=-y k x ，与圆T 的方程联立，设()()1122,,,Mx y N x y ，利用2MP PN =可得2123+=x x ，再由韦达定理求出1x 、2x ，再根据12x x 可得答案.【小问1详解】设圆T 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C ，所以16040416240259530D F D E F D E F +++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得648D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足224361632200+-=+-=>D E F ，所以圆T 的方程226480x y x y +--+=；【小问2详解】由（1）圆T 的方程为226480x y x y +--+=，因为2277816480339⎛⎫+--⨯+=-< ⎪⎝⎭，所以点P 在圆T 内，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，与圆T 的方程联立即2216480x x y x y =⎧⎨+--+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩，当()1,1M 时，则()1,3N ，所以8220,0,33⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ MP PN ，不满足题意，当()1,1N 时，则()1,3M ，所以4420,,0,33⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ MP PN ，满足题意，当直线l 的斜率存在时，设方程为()713-=-y k x ，与圆T 的方程联立即()227136480y k x x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+--+=⎩，整理得()222222371260339⎛⎫++-+-+-+= ⎪⎝⎭k x k k x k k ，设()()1122,,,Mx y N x y ，可得212222631-+=++x x k k k ，2122237391-++=x k k kx ，1122771,,1,33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ MP x y PN x y ，由2MP PN =得12221x x -=-，可得2123+=x x ，221211122263231-++=++=+=+k k x x x x x x k ，可得2122331+-=+k k x k ，2224931-+=+k k x k ，所以2222221223724393933111-+++=+=-++⨯-x k k k k k k x k k k ，解得3512k =，所以直线l 的方程为()7351312-=-y x ，即351270--=x y ，综上所述，直线l 的方程为1x =，或351270--=x y.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c =，且12cos 2a Bb =+.（1）求ABC 周长的最大值；（2）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，且a b <，求角A .【答案】（1）6；（2）π6.【解析】【分析】（1）根据给定等式，借助正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简并求出C ，然后利用余弦定理求解即得.（2）利用和差角的正弦公式、二倍角的正弦公式求解即得.【小问1详解】在ABC 中，由正弦定理及12cos 2a Bb =+，2c =，得1sin sin cos sin 2A C B B =+，则有1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，即1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B +=+，即有1sincos sin 2B C B =，而0πB <<，即sin 0B >，因此1cos 2C =，又0πC <<，则π3C =，由余弦定理得2222222π142cos()3()3()()324a b c a b ab a b ab a b a b +==+-=+-≥+-⋅=+，当且仅当a b =时取等号，此时max ()4a b +=，所以当2ab c ===时，ABC 的周长取得最大值6.【小问2详解】在ABC 中，由sin sin()2sin 2C B A A +-=，得sin()sin()2sin 2B A B A A ++-=，化简得2sin cos 4sin cos B A A A =，由a b <，知A 是锐角，即cos 0A >，因此sin 2sin B A =，由（1）得，πsin()2sin 3A A +=，即1cos sin 2sin 22A A A +=，整理得tan 3A =，所以π6A =.20.已知数列{}n a 满足13a =，当()*2N n n ≥∈时，()111n n na n a -=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21,N na n n *=+∈（2）2,431,42,N 1,41,4n n n k n n k T k n n k n n k*+=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨--=-⎪⎪-=⎩【解析】【分析】（1）根据题意构造新数列1nna b n =+，利用累加法求得{}n b 的通项公式，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据（1）中所求知21,430,42πsin 21,4120,4n n n n k n k n c a n n k n k+=-⎧⎪=-⎪==⎨--=-⎪⎪=⎩，分四种情况依次求数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 即可.【小问1详解】由题13a =且当()*2N n n ≥∈时，()111nn na n a -=++，则11,21(1)n n a a n n n n n -=+≥++，令113,1112n n a a b b n ===++，即11111,2(1)1nn n n b b b b n n n n n --=+⇒-=-≥++，则211123bb -=-，323411b b -=-，L ，1111n n b b n n --=-+，累加得1111,22,2211n nb b n b n n n -=-≥⇒=-≥++，132b =也符合，所以12,N 1n b n n *=-∈+，1221,N 11n n n a b a n n n n *=-=⇒=+∈++.【小问2详解】由（1）得21na n =+，令πsin2n n n c a =，则21,430,42πsin 21,4120,4n n n n k n k n c a n n k n k+=-⎧⎪=-⎪==⎨--=-⎪⎪=⎩，其中N k *∈，即12343,0,7,0c c c c ===-=，L，434241485,0,81,0,N k k k k c k c c k c k *---=-==-+=∈，因为43424144,N k k k k cc c c k *---+++=-∈所以当4n k =时，1244n n nT c c c n =+++=-⨯=- ，当41n k =-时，1114014n n n n T T c n +++=-=-⨯-=--，当42n k =-时，()()2212421114n n n n n T T c c n n ++++=--=-⨯--+-=+，当43n k =-时，111102n n n T T c n n ++=-=++-=+，则数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和122,431,42,N 1,41,4n n n n k n n k T c c c k n n k n n k*+=-⎧⎪+=-⎪=+++=∈⎨--=-⎪⎪-=⎩ .21.已知函数()()e 0x f x ax a =≠，()2g x x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()f x 与()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.【答案】21.答案见解析22.1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意，求得()(1)e x f x a x '=+，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）设公切线与()y f x =和()y g x =的切点分别为121(,))e ,(,x x b t b a -，根据导数的几何意义求得切线方程，转化为()1211214,(0)1ex x a x x -=>+，设()()2241exx h x x =+，利用导数求得函数()hx 的单调性与极值，得出函数()h x 的值域，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()0x f x axe a =≠，可得()(1)e x f x a x '=+，当0a >时，可得(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，(1,)∈-+∞x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0a <时，可得(,1)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(1,)∈-+∞x 时，()0f x '<，()f x 单调递减.【小问2详解】解：设公切线与()y f x =和()y g x =的切点分别为121(,))e ,(,x x b t b a -，可得()111(1)e x kf x a x '==+，可得切线方程为1111(1)e ()x x y ate a x x x -=+-，即112111(1)e ()e x x t y a x x ate a x t =++-+，即()112111e e x x y a x x ax =+-由()2g x x =-，可得()2g x x '=-，则2k b =，所以切线方程为22y bx b =-+所以1112212(1)e x x b a x b ax e⎧-=+⎨=-⎩，可得1211214,(0)(1)ex x a x x -=>+，设()2124,(0)(1)e xx h x x x =>+，可得()34(2)(1)(1)e x x x x h x x -+-'=+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以，当1x =时，函数()h x 取得极大值，极大值为()11eh =，又由当0x →时，()0h x →；当x →+∞时，()0h x →，所以()10e h x <≤，所以10e a <-≤时，即实数a 的取值范围为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法策略：利用导数研究参数问题的求解策略：1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值（值域），进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，过点()2,1P -作直线l 交椭圆C 于点M 、N .（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线QM，QN 的斜率1k ，2k 满足1211k k +为常数？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）()2,0【解析】【分析】（1）由题意根据准线方程、长轴长、平方关系列出方程组，即可得解.21（2）不妨设直线:(2)1l y k x =++，0(,0)Q x ，1122(,),(,)M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立根据韦达定理，可将1211k k +表示成含0,x k 的代数式，根据1211k k +定值的条件判断0x 是否存在即可.【小问1详解】由题意椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，即24,24a a c==，又因为222a b c =+，所以2,1,a c b ===C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知，直线l 的斜率的存在，所以可设:(2)1l y k x =++，联立22143x y +=可得222(34)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，()()()()22221642144342112961202k k k k k k ⎡⎤∴∆=+-++-=->⇒<⎣⎦，21212228(21)4(21)12+=,=3+43+4k k k x x x x k k ++--，若存在满足条件的0(,0)Q x ，10201020121212112121x x x x x x x x k k y y kx k kx k ----∴+=+=+++++10220112()(21)()(21)(21)(21)x x kx k x x kx k kx k kx k -+++-++=++++1201202212122(21)()2(21)(21)()(21)kx x k kx x x x k k x x k k x x k ++-+-+=+++++00(2412)6123x k x k -+-=+当00(2412)6=123x x -+-时，0=2x ，这时12114k k +=-，即满足条件的(2,0)Q .。

江苏省连云港市赣榆区三校联考2023-2024学年七年级下学期6月月考数学试卷(含答案)

江苏连云港赣榆2023-2024学年度第二学期三校联考七年级数学试题（考试时间：100分钟满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．下列各题的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项的对应字母涂黑）1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．若，下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）．A．B．C．D．4．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器狗，机器狗运行的程序如图所示．将该机器狗放置在平面上运行至结束，它的移动距离为（）A．12米B．8米C．6米D．不能确定6．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（）A．B．C．D．7．如图，将一块含有角的直角三角尺放置在两条平行线上，若，则为（）A．B．C．D．8．如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（）A．66°B．23°C．46°D．69°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．预防新型冠状病毒感染要注意用肥皂勤洗手，肥皂泡的厚度约为米，用科学记数法表示为______10．①如果，那么②如果两个数的值相等，那么这两个数的绝对值一定相等③两条直线被第三条直线所截，同位角相等④如果，那么，这些命题中是真命题的是．（只填写序号）11．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是．12．若，则代数式的值为．13．要使的展开式中不含项，则．14．如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则．15．如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将三颗大小相同的玻璃球放这个杯子中，结果杯中的水没有满如图，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为．16．已知，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移．设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为秒．三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算(1)(2)．18．将下列各式因式分解：(1)；(2)．19．先化简，再求值：，其中，．20．解方程组与不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集(1)(2)21．如图，，是的平分线，平分交于点，试说明．请补全推理过程，并在括号内填上相应的理由；∵，∴______（_______________）．∵平分，∴______（_______________）．同理______．∴______．∴（_______________）．22．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．(1)画出；(2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________；(3)画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图）(4)图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）．23．已知关于的方程组(1)请直接写出方程的所有正整数解；(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．24．现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．(1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．25．杭州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：70套及以购买服装的套数套（含39套）套（含69套）上每套服装的价格80元70元60元经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题：(1)如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？(2)甲、乙两个乐团各有多少名学生？(3)现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．26．我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．(1)如图1，若∠AOE =65°，则∠BOF =______°；若∠AOB =80°，则∠BOF =_______ °；(2)两平面镜OP 、OQ 相交于点O ，一束光线从点A 出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B ．①如图2，当∠POQ 为多少度时，光线？请说明理由．②如图3，若两条光线AM 、NB 相交于点E ，请探究∠POQ 与∠MEN 之间满足的等量关系，并说明理由．③如图4，若两条光线AM 、NB 所在的直线相交于点E ，∠POQ 与∠MEN 之间满足的等量关系是______（直接写出结果）参考答案一、选择题1．B2．B3．D4．C5．B6．A7．A8．D 二、填空题9．10．①②11．512．13．14．15．16．1或13三、解答题17．（1）解：；（2）；18．（1）解：；（2）解：．19．∵，∴原式．20．（1）解：，②①得：，解得：，把代入①得：，∴方程组的解为：；（2），由①得：，∴，由②得：，∴，在数轴上表示为：∴不等式的解集为．21．答案为：，两直线平行，同位角相等；，角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行22．（1）如图，即为所求．（2）连接，，根据平移性质可知，这两条线段之间的关系是平行且相等；故答案为：平行且相等．（3）解：如图，即为所求．（4）解：如图，过点A作的平行线，所经过的格点，，即为满足条件的点，共有3个．故答案为：3．23．（1）解：方程，∴，当时，；当时，，方程的所有正整数解为：，．（2）解：，∴，∴当时，，即固定的解为：．（3）解：，得：，∴，∴，∵恰为整数，也为整数，∴是的约数，∴或，故或．24．（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为和，依题意，可有，解得，故小长方形的相邻两边长分别是10，25；（2）①∵1个小长方形的周长为，个大长方形的周长为，∴．故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；依题意有：，整理，得．故和满足的关系式为．25．（1）解：联合起来购买服装的花费为：（元），最多可以节省：（元），答：联合起来购买服装比各自购买服装最多可以节省1200元．（2）解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．①当时，根据题意，得，解得，②当时，根据题意，得，解得（不符合题意，舍去），答：甲乐团有50人，乙乐团有35人．（3）解：由题意，得整理得：，∵每个乐团的人数不少于5人且人数为正整数，∴b为5的倍数，得：或，∴共有两种方案：方案一：从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调5人；方案二：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调10人．26．（1）解：如图1，根据反射角等于入射角，可得∠AON=∠BON，∵NO⊥EF，∴∠AOE=∠BOF=65°；根据反射角等于入射角，可得∠BON=∠AOB=40°，∵NO⊥EF，∴∠BOF=90°−40°=50°；故答案为：65；50；（2）解：①如图2，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，当时，∠AMN+∠BNM=180°，即180°-2α+180°-2β=180°，∴180°=2（α+β），∴α+β=90°，∴△MON中，∠O=180°-∠NMO-∠MNO=180°-（α+β）=90°，∴当∠POQ为90度时，光线；②如图3，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNQ=∠MNO=β，∵△MON中，∠O=180°-α-β，∴α+β=180°-∠O，∵∠EMN=180°-2α，∠ENM=180°-2β，∴△MEN中，∠MEN=180°-∠EMN-∠ENM=180°-（180°-2α）-（180°-2β）=2（α+β）-180°，∴∠MEN=2（180°-∠O）-180°=180°-2∠O，即∠MEN+2∠O=180°；③如图4，设∠AMP=∠NMO=α，∠BNO=∠MNQ=β，∴∠AMN=180°-2α，∠MNE=180°-2β，∵∠AMN是△MEN的外角，∴∠E=∠AMN-∠MNE=（180°-2α）-（180°-2β）=2（β-α），∵∠MNQ是△MNO的外角，∴∠O=∠MNQ-∠NMO=β-α，∴∠E=2∠O．故答案为：∠MEN=2∠POQ．。

2023-2024学年江苏省连云港市部分学校高三上学期10月联考数学试题及答案

2024届高三第二次学情检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()i 1i 2a a +-=-，R a ∈，则=a （）A. 1- B. 0C. 1D. 22. 已知全集U =R ，集合(){}2log 10A x x =-<，21B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则（）A [)2,U A ∞=+ð B. BA⊆C. ()U A B ⋂=∅ð D. (],2A B ⋃=-∞3. 若()()11ln 1x f x x a x -=+-+为偶函数，则=a （）A. 1- B. 0C.12D. 14 向量1a b ==，c = 0a b c ++=，则cos ,a c b c --= （）A.1314B. 1314-C.45D. 45-5. “sin cos 0αβ+=”是“22sin sin 1αβ+=”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A 120B. 85C. 85- D. 120-7. 已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12B.C.23D.8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -+=-，且1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-．若1x ∀>，()()()2ln 10f x a f x --+-≤恒成立，则a 的取值范围为（）...A. [)2,0-B. [)2,-+∞C. ()2,-+∞ D. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知a b >，则（）A. ()()22ln 1ln 1a b +>+ B. 33a b >C. 11a b< D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10. 已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭一个极大值点为1，与该极大值点相邻的一个零点为1-，将()f x 的图象向左平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A. ()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()f x 在区间()6,9上单调递增C. ()g x 奇函数D. 若()g x 在区间[]1,a -上的值域为2⎡⎤⎣⎦，则3a =．11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D且BD =，则下列结论正确的是（）A.111a c+= B. b 的最小值是2C. 3a c +的最小值是 D. ABC12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()220,1f x f x f x ++--=+为偶函数，则（）A. ()()110f x f x --+-+= B. ()()11f x f x -=+C. ()()4f x f x -= D. ()20230f =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数()22log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．的为14. 已知向量(cos ,2)a α=- ，(1,sin )b α= ，且a b ⊥，则2sin 22cos 3αα=+________．15. 在锐角三角形ABC ，2AB =，且114,tan tan tan A B C+=则AB 边上的中线长为__________．16. 已知直线l 与曲线1e x y -=和ln(1)y x =+都相切，请写出符合条件的两条直线l 的方程：______，______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，平面1A BC ⊥平面11A ABB ．（1）求证：AB BC ⊥；（2）求二面角1A A C B --的正弦值．19.已知函数22()cos cos sin f x x x x x m =+-+的最大值为1.（1）求常数m 的值；（2）若0125x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，0π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.20. 已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=.（1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：321211234n n n a a a a a a a a a +---++⋅⋅⋅+<.21. 在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()2b c a c =+.（1）若π3B =，求a c的值；（2）若ABC 22cos B C +的取值范围.22. 已知函数21()(1)ln(1),()2f x x xg x ax x =++=+．（1）求证：()11f x -≤-'；（2）若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上存在最大值，求a 的取值范围．2024届高三第二次学情检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()i 1i 2a a +-=-，R a ∈，则=a （）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数的相等运算即可得解.【详解】解：由题意，∵()()()222i 1i i +i i 21i 220i a a a a a a a +-=--=+-=-=-+，∴22210a a =-⎧⎨-=⎩，解得：1a =-.故选：A.2. 已知全集U =R ，集合(){}2log 10A x x =-<，21B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则（）A. [)2,U A ∞=+ð B. B A⊆C. ()U A B ⋂=∅ð D. (],2A B ⋃=-∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集，补集，并集的定义判断A ，C ，D ；由集合间的关系判断B .【详解】由()22log 10log 1x -<=，则011x <-<，解得：12x <<，所以{}12A x x =<<，由21x ≥可得210x -≥，即20x x -≥，则()200x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得：02x <≤，故{}02B x x =<≤，故B 错误；故U ðA {1x x =≤或}2x ≥，故A 错误；U B ð{0x x =≤或}2x >，A ()U B ð=∅，故C 正确；(]0,2A B ⋃=，故D 错误.故选：C .3. 若()()11ln 1x f x x a x -=+-+为偶函数，则=a （）A. 1- B. 0C.12D. 1【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．【详解】由101x x ->+，得1x >或1x <-，由()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，得11(1)ln (1)ln 11x x x a x a x x ----+-=+--++，即11(1)ln(1)ln 11x x x a x a x x +--+-=+--+，即111(1)ln()(1)ln 11x x x a x a x x ----+-=+-++，则11(1)ln (1)ln 11x x x a x a x x ---+=+-++，由于1ln1x x -+不恒为0，所以11x a x a -+=+-，得1a =，故选：D4. 向量1a b ==，c = 0a b c ++=，则cos ,a c b c --= （）A.1314B. 1314-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.【详解】由已知可得()222122c a b c a b a b a b =-+⇒=++⋅⇒⋅= ，又2,2a c a b b c b a -=+-=+，所以13cos ,14a c b c --===.5. “sin cos 0αβ+=”是“22sin sin 1αβ+=”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念，结合三角恒等式即可得结果.【详解】若sin cos 0αβ+=，则sin cos αβ=-，所以2222sin sin cos sin 1αβββ+=+=，即充分性成立；若22sin sin 1αβ+=，则22sincos αβ=，即sin cos αβ=±，所以sin cos 0αβ+=不成立，所以“sin cos 0αβ+=”是“22sin sin 1αβ+=”的充分不必要条件，故选：A.6. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A. 120 B. 85C. 85- D. 120-【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据48,S S 的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，若1q =-，则405S =≠-，与题意不符，所以1q ≠-；若1q =，则611263230S a a S ==⨯=≠，与题意不符，所以1q ≠；由45S =-，6221S S =可得，()41151a q q-=--，()()6211112111a q a q q q--=⨯--①，由①可得，24121q q ++=，解得：24q =，所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=⨯+=-⨯+=---．方法二：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为45S =-，6221S S =，所以1q ≠-，否则40S =，从而，2426486,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以有，()()22225215S S S --=+，解得：21S =-或254S =，当21S =-时，2426486,,,S S S S S S S ---，即为81,4,16,21S ---+，易知，82164S +=-，即885S =-；当254S =时，()()()2241234122110S a a a a a a q q S =+++=++=+>，与45S =-矛盾，舍去．故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,S S 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．7. 已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πcos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12B.C.23D.【答案】B 【解析】【分析】已知等式利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】由π13πsin sin sin sin sin 13226θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππcos cos sin 3626θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B8. 已知定义在R 上函数()f x 满足()()2f x f x -+=-，且1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-．若1x ∀>，()()()2ln 10f x a f x --+-≤恒成立，则a 的取值范围为（）A. [)2,0-B. [)2,-+∞ C. ()2,-+∞ D. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由()()2f x f x -+=-得到()f x 的图象关于点()1,0对称，再由1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-得到()f x 在()1,+∞上单调递增，再将()()()2ln 10f x a f x --+-≤，转化为()()()()ln 12f x f x a f x a -≤---=+，从而有()ln 1x a x +≥-，即()ln 1a x x ≥--，1x >，然后令()()ln 1h x x x =--，1x >，用导数法求得其最大值即可.【详解】解：由()()2f x f x -+=-，得()()20f x f x -++=，故()f x 的图象关于点()1,0对称．因为1x ∀，()21,x ∈+∞，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-．所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增，因为()()()2ln 10f x a f x --+-≤，所以()()()()ln 12f x f x a f x a -≤---=+，所以()ln 1x a x +≥-，即()ln 1a x x ≥--，1x >．令()()ln 1h x x x =--，1x >，则()12111x h x x x -'=-=--．当12x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()max 22h x h ==-，所以2a ≥-．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.的9. 已知a b >，则（）A. ()()22ln 1ln 1a b +>+ B. 33a b >C. 11a b< D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】根据对数函数ln y x =的单调性及取特殊值1a =-，2b =-，即可判断A ；根据幂函数3y x =的单调性即可判断B ；取特殊值1a =，1b =-即可判断C ；根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性即可判断D ．【详解】对于A ，由函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，又a b >，不妨取1a =-，2b =-，此时2211a b +<+，所以()()22ln 1ln 1a b +<+，故A 错误；对于B ，由函数3y x =在R 上单调递增，又a b >，所以33a b >，所以B 正确；对于C ，由a b >，不妨取1a =，1b =-，此时11a b>，故C 错误；对于D ，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的一个极大值点为1，与该极大值点相邻的一个零点为1-，将()f x 的图象向左平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A. ()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()f x 在区间()6,9上单调递增C. ()g x 为奇函数D. 若()g x 在区间[]1,a -上的值域为2⎡⎤⎣⎦，则3a =．【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，根据余弦型函数的图象与性质进行判断；对于B ，由余弦型函数增区间公式得出结果；对于C ，根据图象平移变换及函数奇偶性定义进行判断；对于D ，根据余弦型函数的定义域、值域的关系以及图像与性质得出结果．【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由题意，()1124T =--=，得28T πω==，所以π4ω=，所以()π2cos 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又点()1,0-在()f x 的图象上，所以π2cos 04ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以π2π2π4k ϕ+=-+-，k ∈Z ，即π2π4k ϕ=-+，k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，对于A ，因为()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π2π44k x k -+≤-≤，k ∈Z ，解得8381k x k -<<+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为[]83,81k k -+，k ∈Z ，当1k =时，单调递增区间为()5,9，故B 正确；对于C ，因为()()()πππ12cos 12cos 444g x f x x x ⎡⎤=+=+-=⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为偶函数，故C 错误；对于D ，当[]1,x a ∈-时，πππ,444a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又()g x 的值域为2⎡⎤⎣⎦，如图，当0x =时，()02g =，所以π3π44a =，解得3a =，故D 正确．故选：BD.11. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D且BD =，则下列结论正确的是（）A.111a c+= B. b 的最小值是2C. 3a c +的最小值是 D. ABC【答案】ABD 【解析】【分析】由三角形面积公式寻找a ，c 关系，再利用基本不等式判断．【详解】解：由题意得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线以及面积公式得1sin sin sin 2366ac πππ⨯=⨯+⨯，化简得ac a c =+，所以111a c+=，故A正确；ac a c ∴=+≥a c =时取等号，∴2≥，4ac ∴≥，所以1sin 2ABC ac A S BC =∠=≥ ，当且仅当2a c ==时取等号，故D 正确；由余弦定理222222cos b a c ac ABC a c ac=+-∠=+-()()222334344a c ac ac ac =+-=-≥-⨯=所以2b ≥，即b 的最小值是2，当且仅当2ac ==时取等号，故B 正确；对于选项C ：由ac a c =+得：111a c+=，1133(3)(1344a c a c a c a c c a ∴+=+⨯+=+++≥+=+当且仅当1113a ca c c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩C 错误；故选：ABD ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()220,1f x f x f x ++--=+为偶函数，则（）A. ()()110f x f x --+-+= B. ()()11f x f x -=+C. ()()4f x f x -= D. ()20230f =【答案】BC【解析】【分析】由已知条件得到函数()f x 的奇偶性和对称性，对选项进行验证.详解】由()()220f x f x ++--=，令2x t +=，则有()()0f t f t +-=，即()f x 为奇函数，()00f =，由()1f x +为偶函数，()f x 的对称轴为1x =，得()()11f x f x +=-，故B 选项正确；则有()()2f x f x =-，可得()()2f x f x -=--即有()()()24f x f x f x =-+=+，所以()f x 是周期函数，且周期为4（不一定是最小正周期），C 选项正确；()()()()1111f x f x f x f x --=-+=--=-+，故A 选项错误；()()()()20235064111f f f f =⨯-=-=-，已知条件不能得到()1f 的值，D 选项错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数()22log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1【解析】分析】代入计算即可．【详解】由函数()22log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，有()1212f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：114. 已知向量(cos ,2)a α=- ，(1,sin )b α= ，且a b ⊥，则2sin 22cos 3αα=+________．【答案】423【解析】【分析】根据向量垂直可得1tan 2α=，即可弦切互化求解.【详解】由a b ⊥ 可得1cos 2sin 0tan 2α-α=⇒α=，【【所以22222sin 22sin cos 2tan 1432cos 32cos 3cos 3sin 53tan 2354ααααααααα====+++++，故答案为：42315. 在锐角三角形ABC ，2AB =，且114,tan tan tan A B C+=则AB 边上的中线长为__________．【解析】【分析】根据题设条件整理得2sin 4sin sin cos C A B C =，再利用正弦定理和余弦定理得到22232a b c +=，进而利用向量的数量积运算求得2CD，由此得解.【详解】因为114tan tan tan A B C +=，所以cos cos 4cos sin sin sin A B CA B C +=，整理得sin cos cos sin 4cos sin sin sin A B A B C A B C +=，即()sin 4cos sin sin sin A B CA B C+=，即sin 4cos sin sin sin C C A B C=，即2sin 4sin sin cos C A B C =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得24cos c ab C =，又由余弦定理得2222cos ab C a b c =+-，所以()22222c a b c=+-，即22232ab c +=，则222222123cos 22ab C a b c c c c =+-=-=，假设AB 的中点为D ，则()12CD CA CB =+，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅ ，则()2222222211311112cos 222242422C b a ab C c c c B D A ⎛⎫++=+==⨯=⨯= =⎪⎝⎭，所以CD =..16. 已知直线l 与曲线1e x y -=和ln(1)y x =+都相切，请写出符合条件的两条直线l 的方程：______，______．【答案】 ①. y x =②. 11e ey x =+【解析】【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程.【详解】因为1e x y -=，ln(1)y x =+，所以1e x y -'=，11y x '=+，设直线l 与曲线1e x y -=和ln(1)y x =+分别切于点()111,e x x -，()()22,ln 1x x+，所以切线方程分别为()11111e e x x y x x --=-+，()()2221ln 11y x x x x=-+++，即1111111eeex x x y x x ----+=，()22221ln 111x y x x x x =-++++，因此1121e1x x -=+，则()121ln 1x x -=-+，又()11112122ee ln 11x x x x x x ----+=+++，所以()()1111212222211ee ln 11ln 1111x x x x x x x x x ----+=+-⋅+=++⎡⎤⎣⎦+++，化简得()2221ln 101x x x -+⋅=⎡⎤⎣⎦+，解得20x =或2e 1x =-，当20x =时，切线方程为y x =，当2e 1x =-时，切线方程为11e ey x =+.故答案为：y x =，11e ey x =+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--- 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，平面1A BC ⊥平面11A ABB ．（1）求证：AB BC ⊥；（2）求二面角1A A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）过点A 作1AD A B ⊥，根据题意证得AD ⊥平面1A BC ，得到AD BC ⊥，再由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，证得1AA BC ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得BC ⊥平面11A ABB ，即可得到AB BC ⊥；（2）以点B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1AA C 和平面1A BC 的一个法向量(1,1,0)n =和(0,3,2)m =- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】如图所示，过点A 作1AD A B ⊥于点D ，因为平面1A BC ⊥平面11A ABB ，平面1A BC ⋂平面111A ABB A B =，且AD ⊂平面11A ABB ，所以AD ⊥平面1A BC ，又因为BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥，由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，可得1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，又因为1AD AA A ⋂=，且1,AD AA ⊂平面11A ABB ，所以BC ⊥平面11A ABB ，因为AB ⊂平面11A ABB ，所以AB BC ⊥.【小问2详解】如图所示，以点B 为坐标原点，以1,,BC BA BB 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12,3AB BC AA ===，可得1(0,2,0),(0,0,0),(2,0,0),(0,2,3)A B C A ，则11(0,0,3),(2,2,0),(0,2,3),(2,0,0)AA AC BA BC ==-==,设平面1AA C 的法向量为(,,)n x y z = ，则130220n AA z n AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，可得1,0y z ==，所以(1,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量为(,,)m a b c = ，则123020m AA b c m AC a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3b =，可得0,2a c ==-，所以(0,3,2)m =-，则cos ,m n m n m n⋅===，设二面角1A A C B --的平面角为θ为锐角，可得cos θ=，所以sin θ=即二面角1A A C B --.19.已知函数22()cos cos sin f x x x x x m =+-+的最大值为1.（1）求常数m 的值；（2）若0125x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，0π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（1）1m =- （2【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简可得()π2sin 26x m f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；（2）根据已知可得出0π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0π4cos 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后根据二倍角公式得出00ππsin2,cos 266x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.【小问1详解】()cos2f x x x m =+12cos22x x m ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当Z 2ππ2,62πk k x =+∈+，即π2π,6x k k Z =+∈时，()max 21f x m =+=，所以1m =-.【小问2详解】由（1）知，()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.由0125x f ⎛⎫=⎪⎝⎭得，0π12sin 21265x ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，所以0π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又0π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0πππ,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以0π4cos 65x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以000πππ24sin22sin cos 66625x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，200ππ7cos212sin 6625x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0000ππ1ππcos2cos 2cos263266x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦172422525=⨯=.20. 已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=.（1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：321211234n n n a a a a a a a a a +---++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，111n n T T --为定值即可证明.（2）由结合（1）求n T 的通项公式，进而得{}n a ，再把1n nna a a +-化简代入求值，从而即可证明.【小问1详解】由数列{}n a 的前n 项积为n T ，得12-1n n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅，又1n n a T +=，所以，当2n ≥时，11nnn T T T -+=，整理得111)(1n n T T -+=，即1111n nT T -+=，所以，当2n ≥时，1111n n T T --=为定值，所以数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.【小问2详解】因为1n n a T +=，令1n =，得111a T +=，112a =，故112T =，结合（1）可知，1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以11n n T =+，得11n T n =+.所以，当2n ≥时，11111n n n T n n a T n n-+===+，显然112a =符合上式，所以1n n a n =+.所以()111111212221n n n n n a a n n n a n n n n n ++--⎛⎫++===- ⎪++⎝⎭+，故3212112n n na a a a a a a a a +---++⋅⋅⋅+11111111111121322421122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111113111212124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因为*N n ∈，11012n n +>++，所以32121123111342124n n n a a a a a a a a a n n +---⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+< ⎪++⎝⎭21. 在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()2b c a c =+.（1）若π3B =，求a c的值；（2）若ABC22cos B C +的取值范围.【答案】（1）2a c = （2）)1,3+【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理即可求解.（2）先利用余弦定理、正弦定理、两角和差公式得2B C =，再把22cos B C +化简到同一个角的三角函数，最后利用正弦函数的单调性确定取值范围.【小问1详解】在ABC 中，π3B =，据余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-⋅=+-，又22b c ac =+，故2a ac ac -=，即22a ac =，又0a >，故2a c =，得2a c=.【小问2详解】.在ABC 中，据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-⋅，又22b c ac =+，故2222cos a c ac B c ac +-⋅=+，即22cos a ac B ac -⋅=，又0a >，故2cos a c B c -⋅=.据正弦定理sin sin a c A C=，可得sin 2sin cos sin A C B C -=，所以()sin π2sin cos sin B C C B C -+-=⎡⎤⎣⎦，即()sin 2sin cos sin B C C B C +-=，sin cos cos sin 2sin cos sin B C B C C B C+-=所以sin cos cos sin sin B C B C C -=，()sin sin B C C -=，因(),,0,πA B C ∈，所以()ππB C -∈-，，B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍）.2π2cos 2cos 212sin 216B C C C C ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.因为ABC 是锐角三角形，所以π0π3,2π02,2π0,2A C B C C ⎧<=-<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<得ππ64C <<，所以ππ2π2263C <+<，故πsin 26C ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，)π2sin 211,36C ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭，22cos B C +的取值范围是)1,3+.22. 已知函数21()(1)ln(1),()2f x x xg x ax x =++=+．（1）求证：()11f x -≤-'；（2）若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上存在最大值，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）()0,1【解析】为【分析】（1）根据题意，求得(1)ln 1f x x '-=+，令()2ln 22m x x x =-+，求得()22m x x'=-，得到函数()m x 的单调性，结合()()10m x m ≤=，即可得到()11f x -≤'；（2）根据题意得到21()(1)ln(1),12h x x x ax x x =++-->-，求得()ln(1)h x x ax '=+-，令()()ln(1)x h x x ax ϕ'==+-，得到()11x a x ϕ'=-+，分0a ≤，1a ≥和01a <<，三种情况讨论，结合零点的存在性定理和函数的单调性、极值（最值）的定义，即可求解.【小问1详解】解：由函数()(1)ln(1)f x x x =++，可得()ln(1)1f x x '=++，则(1)ln 1f x x '-=+，令()2ln 22m x x x =-+，可得()22m x x'=-，当(0,1)x ∈时，可得()0m x '>，()m x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，可得()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()10m x m ≤=，所以ln 20m x =-≤，即ln 11x +≤，即()11f x -≤-'.【小问2详解】解：由函数21()()()(1)ln(1),12h x f x g x x x ax x x =-=++-->-可得()ln(1)11ln(1)h x x ax x ax'=++--=+-令()()ln(1)x h x x ax ϕ'==+-，可得()11x a x ϕ'=-+①当0a ≤时，()0x ϕ'>，()h x '在(0,)+∞上单调递增，所以()()00h x h ''>=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值；②当1a ≥时，()1101x a a x ϕ'=-<-≤+，可得()h x '在(0,)+∞上单调递减，所以()()00h x h ''<=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值；③当01a <<时，由()101x a x ϕ'=-=+，可得110x a =->，所以当1(0,1)x a∈-时，()0h x '>， ()h x 在1(0,1)a -上单调递增；当1(1,)x a ∈-+∞时，()0h x '<， ()h x 在1(1,)a -+∞上单调递减，由（1）知，ln 1x ≤-，所以当0x >时，()2(1)x ax a x ϕ<--<+=-，取241t a =-，则11t a>-且()0t ϕ<-=，又由()1(1)00aϕϕ->=，所以由零点的存在性定理，存在01(1,)x t a ∈-，使得()00x ϕ=，所以当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 在0(0,)x 单调递增，在0(,)x +∞单调递减，此时()h x 在(0,)+∞上存在最大值()0h x ，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是()0,1.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e x g x x =；②e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x g x x=；③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e xg x x =±.。

江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校2023-2024学年高三上学期12月联考物理试卷(解析版)

2023~2024学年度第一学期阶段性测试高三物理试题2023.12注意事项1.本试卷满分为100分，考试时间为75分钟。

2.答题前，请务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。

3.请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效。

第Ⅰ卷（共40分）一、单项选择题：共10题，每题4分，共40分.每题只有一个选项最符合题意.1. 2023年亚运会在杭州举行。

有关运动项目的描述，下列说法正确的是（）A. 甲图中跳水运动员在空中运动的过程中，运动员始终处于失重状态B. 乙图中研究羽毛球运动员击球动作时，运动员可视为质点C. 丙图中撑杆跳运动员在整个跳高过程中，运动员的机械能守恒D. 丁图中跨栏运动员在加速奔跑时，运动员的惯性增大【答案】A【解析】【详解】A．跳水运动员在空中运动的过程中，加速度始终竖直向下，所以始终处于失重状态，A正确；B．研究羽毛球运动员击球动作时，研究的运动员的肢体动作，所以运动员不能视为质点，B错误；C．撑杆跳运动员在离开地面向上运动的过程中，杆对运动员做功，运动员的机械能不守恒，C错误；D．惯性只有物体的质量决定，与速度无关，D错误。

故选A。

2. 如图所示，质量为m的物体P置于倾角为1θ的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。

已知重力加速度为g，则当θ时，下列判断正确的是（）小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为2A. P 做匀速运动B. P 的速率为2cos v θC. 绳的拉力大于1sin mg θD. 绳的拉力小于1sin mg θ【答案】C【解析】【详解】B ．将小车速度在沿绳方向与垂直沿绳方向分解，P 的速率为P 2cos v v θ=故AB 错误；ACD ．小车以速率v 水平向右做匀速直线运动，2θ逐渐减小，P 的速度逐渐增大，P 沿斜面向上做加速运动，根据牛顿第二定律有1sin 0T mg ma θ−=>故绳的拉力大于1sin mg θ，故C 正确，AD 错误。

江苏淮阴中学等四校2024届高三下学期期初测试联考数学试卷(解析版)

2024届高三年级第二学期期初测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.总分150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题共58分).1. 已知集合{}2R 230A x xx =∈−−<，集合(){}2R log 21B x x =∈+<，则A B ∩＝（）A. ()3,2−B.()2,3− C. ()2,0− D. ()1,0−【答案】D 【解析】【分析】先解一元二次不等式得A ，再根据对数函数的性质解得集合B ，根据交集的概念计算即可. 【详解】由题意可知：()()()2231301,3x x x x x −−=+−<⇒∈−，即()1,3A =−,()22log 21log 2022x x +<=⇒<+<，即()2,0B =−，所以()1,0A B ∩=−. 故选：D2. 已知复数z 满足(1i)3i z −=− ，则复数z =（） A. 2B.D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求出z ，再根据复数模的定义求出z 即可. 【详解】由已知得()()()()3i 1i 3i2i 1i1i 1i z −+−===+−−+，则z =，故选：B .3. 在ABC 中，“A B =”是“cos sin cos sin A A B B +=+”的（） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即得.【详解】在ABC 中，由A B =，得cos cos ,sin sin A B A B ==，即cos sin cos sin A A B B +=+，而当30,60A B ==时，cos sin cos sin A A B B +==+，所以“A B =”是“cos sin cos sin A A B B +=+”的充分非必要条件. 故选：A4. 我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（） A.47B.328C.1112D.356【答案】D 【解析】. 【详解】在这8个数中任取3个数共有38C 种取法，能组成勾股定理关系的有()3,4,5，()6,8,10，()5,12,13，共3组，由古典概型，可知这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为3833C 56=．故选：D ．5. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为π3，则该圆台的体积为（）A.B.C.πD.【答案】C 【解析】【分析】利用圆台的体积公式求解.的【详解】由已知得11AO =，22BO =，2π3ABO ∠=，过点A 作2AC BO ⊥垂足为C ，则πtan 3AC BC =⋅圆台的体积为())1π4ππ3V S S h ′=++=+=，故选：C .6. 若()102x −展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A B C ++=（） A. 4095 B. 4097 C. -4095 D. -4097【答案】C 【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通求得一次项的系数，再由二项展开式的二项式系数和的性质，求得二项式系数的和，以及1x =，求得所有项的系数和，即可求解. 【详解】由()102x −展开式的通项公式为101011010T C 2()(1)2C rrr r r rr r x x −−+=⋅⋅−=−⋅⋅，所以一次项系数19110(1)2C 5120C =−⋅⋅=−，二项式系数和1021024A ==，令1x =，则所有项的系数和()10211B =−=，所以4095A B C ++=−. 故选：C .7. 已知正实数x ，y 满足1x y +=，则233x yx y x y+++的最大值为（）A.2425B.C.D.34【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用换元法结合基本不等式求解即得.【详解】设33x y a x y b +=+= ，由正实数x ，y 满足1x y +=，得4,0,0a b a b +=>>，且3838a b x b a y − = − =，则236291291()33888888x y a b b a b a x y x y a b a b −−+=+=−+≤−⋅=++ 当且仅当2b aa b=，即)(41,42a b =−=−时取等号，所以233x y x y x y +++故选：C8. 若1x 、2x 是关于x 的方程3sin 2cos 2x x a −=在π0,2 内的两根，则()12tan x x +的值为（）A. 3−B. 3C. 13−D.13【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式将3sin 2cos 2x x −变式为()2x ϕ+，再结合正弦函数的对称性得到()()1222πx x ϕϕ+++=，则12π2x x ϕ+=−，再由诱导公式计算可得.【详解】因为()3sin 2cos 22x x x ϕ−=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=，1tan 3ϕ=−），当π0,2x∈时[]2,πx ϕϕϕ+∈+，又1x 、2x 是关于x 的方程3sin 2cos 2x x a −=在π0,2内的两根，所以()()1222πx x ϕϕ+++=，所以12π2x x ϕ+=−，所以()12πsin πcos 2tan tan 3π2sin cos 2x x ϕϕϕϕϕ−=−===− −+. 故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知向量()()1,2,1,3a b =−=，则下列结论正确的是（）A. b 在a上的投影向量是(1，－2) B. 2a b b +=C. a 与b 的夹角为π4D. ()a b a +⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量的数量积、模、夹角的坐标运算可判定各选项.【详解】因为向量()()1,2,1,3a b =−=，选项A ：b 在a上的投影向量是()51,25a b a a aa⋅−⋅==−，故A 错误；选项B)23,1a b +− ，所以2a b +=，即2a b b += ，故B 正确；选项C ：设a 与b的夹角为θ，则cos a b a bθ⋅===⋅又0πθ≤≤，所以3π4θ=，故C 错误；选项D ：因为()()()2,1,12210a b a b a +=+⋅=×+−×= ，所以()a b a +⊥，故D 正确；故选：BD.10. 以下四个命题表述正确的是（）A. 直线()()34330m x y mx R ++−+=∈恒过定点()2,3−； B. 圆224x y +=上有且仅有3个点到直线0l x y −=：的距离都等于1C. 曲线22120C x y x ++=：与曲线222480C x y x y m +−−+=：恰有三条公切线，则4m =D. 若双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的一条渐近线被圆2260x y x +−=截得的弦长为．【答案】BCD 【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A ；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B ；由圆心距等于半径和列式求得m 判断C ；求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆2260x y x +−=所截得的弦长为D 是否正确．【详解】由()()34330m x y m x R ++−+=∈，得()34330x y m x +−++=，联立303430x x y +=+−= ，解得33x y =−= ，∴直线()()34330m x y m x R ++−+=∈恒过定点()3,3−，故A 错误； ∵圆心()0,0到直线:0l x y −+=的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线:0l x y −=的距离等于1，故B 正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线22120C x y x ++=：化为标准式()2211x y ++=，曲线222480C :x y x y m +−−+=化为标准式()()2224200x y m −+−=−>，圆心距为514m =，故C 正确；双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的一条渐近线方程为0bx ay +=，圆2260x y x +−=的圆心()3,0，又圆的半径为3，解得2245b a =，所以22245c a a −=，即2295c a =，所以离心率为e =，故D 正确．故选：BCD.的【点睛】方法点睛：与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距离公式求解，而是应用几何方法去求解．方法是：直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有22212r d =+，即l，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．11. 设定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x ′，若满足()()21xf x x f x ′+=，且()10f =，则下列说法正确的是（） A. ()()23f f > B. 若()()12f x f x =，且12x x ≠，则212e x x +=C. ()f x 的最大值为1eD. 若()e f x x λ≥，则0λ≤【答案】CD 【解析】【分析】A 选项，根据条件得到()()1f x xf x x ′+=，从而求出()ln xf x x=，A 选项，计算出()()ln 2ln 32,323f f ==，比较出大小；B 选项，举出反例；C 选项，求导得到函数单调性，求出极值和最值情况；D 选项，变形得到()2ln x xλ≥，构造函数()()2ln x h x x=，求导得到函数单调性和极值，最值情况，得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为()0,∞+，()()21xf x x f x ′+=，即()()1f x xf x x′+=，故()1xf x x ′=，又()1ln x c x′+=，故()ln xf x x c =+，又()10f =，故()ln xf x x c =+中令1x =得()1ln10f c =+=，解得0c ，故()ln xf x x =，0x >， A 选项，()()ln 2ln 32,323f f ==，因为ln 2ln 3ln 8ln 93ln 22ln 323<⇒<⇒<，故()()23f f <，A 错误；B 选项，不妨设122,4x x ==，此时()()ln 2242f f ==，但242e +≠，B 错误； C 选项，()21ln xf x x−′=，令()0f x '>得，0e x <<，令()0f x ′<得e x >，故()ln xf x x =在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()ln xf x x=在e x =处取得极大值，也是最大值，故()f x 最大值为()1e ef =，C 正确；D 选项，()e f x x λ≥，即ln e x x x λ≥，两边取对数得ln ln xx xλ⋅≥，即()2ln x x λ≥，令()()2ln x h x x =，则()()()2222ln ln ln 2ln x x x x x x h x x x ⋅−−′==，令()0h x ′>得21e x <<，令()0h x ′<得01x <<或2e x > 故()()2ln x h x x=在()()20,1,e ,+∞上单调递减，在()21,e上单调递增，且()()22410,e e h h ==，且当1x >时，()()2ln 0x h x x=>恒成立，综上，()()2ln x h x x=在1x =处取得最小值，最小值为0，故0λ≤，D 正确. 故答案为：CD【点睛】方法点睛：利用函数()f x 与导函数()f x ′的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +′>，则构造()()e x g x f x =⋅，若()()0f x f x ′−>，则构造()()xf xg x =e ，若()()0f x xf x ′+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x ′−>，则构造()()f xg x x=. 第II 卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，且267,,a a 成等差数列，则6S =______. 【答案】634− 【解析】【分析】根据给定条件，列式求出数列首项，再求出前6项和.【详解】由267,,a a 成等差数列，得6272a a +=，则113274a a +=，解得114a =−，所以661(12)634124S −−==−−. 故答案为：634− 13. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量x (单位：kg )近似服从正态分布()20.4,N σ，已知(0.1)0.1P x <=，(0.5)0.3P x >=．若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(]0.5,0.7内的概率为______. 【答案】0.2##15【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】因为0.4µ=，所以()()()()0.10.40.30.40.30.70.1P x P x P x P x <<−>+>，又(0.5)0.3P x >=，所以若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(]0.5,0.7内的概率为()()()0.50.70.50.70.30.10.2P x P x P x <≤=>−>=−=. 故答案为：0.2.14. 在正三棱锥A －BCD 中，底面△BCD 的边长为4，E 为AD 的中点，AB ⊥CE ，则以AD 为直径的球截该棱锥各面所得交线长为______.【答案】π 【解析】【分析】根据题意，取CD 的中点F ，作AO ⊥平面BCD ，证得AB ⊥平面ACD ，得到,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ==，求得球O的半径为R =O 与平面BCD 截得的弧为小圆1O 的半径r =，结合弧长公式，即可求解. 【详解】取CD 的中点F ，作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，由三棱锥A BCD −为正三棱锥，所以O 为底面正三角形BCD 的中心，所以O BF ∈，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，又由正三角形的性质，可得BF CD ⊥，又因为BF AO O ∩=，且,BF AO ⊂平面ABO ，所以CD ⊥平面ABO , 因为AB ⊂平面ABO ，所以AB CD ⊥，又因为CEAB ⊥，且CE CD C ∩=，,CE CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，所以AC AB ⊥，由正三棱锥的性质可得，,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ===以AD 为直径的球O 的半径为R =，可得球O 在平面,ACD ABD 上截得的交线分别为14个圆，可得弧长的和为122π4R ××，设点E 到平面BCD 的距离为d ，由B ACD A BCD V V −−=，可得11233ACD BCD S AB S d ⋅=⋅ ，即211142323d ××=×，解得d =，即点E 到平面BCD 的距离为，所以面BCD 截球体所得小圆1O 的半径为22r R d =−=，如图所示，球O 在平面BCD 截得的弧为小圆1O 的弧 MN ，其中12π3EO F ∠=,所以弧 MN的弧长为2π3，球O 与平面ABC 只有一个交点A ，截得的弧长为0，所以，以AD 为直径的球与三棱锥A BCD −截得的交线长为π.故答案为：π.【点睛】思路点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d =+（r 为底面多边形的外接圆的半径，R 为几何体的外接球的半径，d 表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.四、解答题：本题共577分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3A =. （1）求22tansin 22B C A++的值；（2）若a =ABC ，求b 的值．【答案】（1）73（2）1b =或3b = 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和关系结合三角恒等变换分析求解；（2）根据面积公式、余弦定理分析求解. 【小问1详解】因为1cos 3A =，所以22222222πsin cos 222tansin sin sin π2222sin cos 222A A B C A A A A A − + +=+=+−111cos 111cos 7332.1cos 1223123AA A ++−−=+=+=−− 【小问2详解】因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A因为11sin 322ABC S bc A bc bc ===△，又因为2222cos a b c bc A =+−，即22221823,103b c b c +−××+，联立整理得22310bc b c =+=，解得1b =或3b =. 16. 篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上22×列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =. ①求3P （直接写出结果即可）； ②证明：数列13n P −为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.()20P x χ≥ 0100 0.050 0.025 0.010 00010x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关. （2）①12；②证明见解析，第9次触球者是甲的概率大. 【解析】【分析】（1）直接带公式即可.（2）①根据题义写即可；通过分析1n P −与n P 的概率关系式，再利用数列知识计算结果. 【小问1详解】（1）根据列联表数据，经计算得220.001200(60802040)10010.828100*********x χ××−×==>=×××根据独立性检验：即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关. 【小问2详解】①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为12，故312P =. ②第n 次触球者是甲的概率记为n P ，则当2n ≥时，第n 1−次触球者是甲的概率为1n P −，第n 1−次触球者不是甲的概率为11n P −−，则()()11111011,22n n n n P P P P −−−=⋅+−⋅=− 从而1111323n n P P − −=−− ，又112033P −=≠，所以13n P−是以23为首项，公比为12−的等比数列， 18991091021121112111,,,,32332333233n n P P P P P − ∴=×−+∴=×−+>=×−+故第9次触球者是甲的概率大.17. 已知函数()2e ,xf x x kx k =−∈R . ..,（1）当0k =时，求函数()f x 在[]22−,上的值域；（2）若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）21,2e e −（2）()e,+∞ 【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得函数()f x 在[]22−,上的值域；（2）由()()e 0xf x x kx =−=，构造函数 e xg x kx ，利用导数，结合对k 进行分类讨论来求得k 的取值范围. 【小问1详解】当0k =时，()()e xf x x x =⋅∈R ，所以()()1e x f x x ′=+⋅，令()0f x ′=，则=1x −，所以()1min 1()1e ef x f −=−=−=−，又()()2222,22e e f f −=−=，所以()f x 在[]22−,上的值域为21,2e e−. 【小问2详解】函数()()2e e xxf x x kx x kx =−=−在()0,∞+上仅有两个零点，令 e xg x kx ，则问题等价于()g x 在()0,∞+上仅有两个零点，易求 e xg x k ，因为()0,x ∈+∞，所以e 1x >.①当(],1k ∈−∞时，()0g x ′>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上没有零点，不符合题意；②当()1,k ∈+∞时，令()0g x ′=，得ln x k =，所以在()0,ln k 上()0g x ′<，在()ln ,k ∞+上()0g x ′>，所以()g x 在()0,ln k 上单调递减，在()ln ,k ∞+上单调递增，所以()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =−⋅，因为()g x 在()0,∞+上有两个零点，所以()ln ln 0g k k k k =−⋅<，所以e k >. 因为()()()222010,ln ln 2ln g g kkk k k k k =>=−⋅=−，令()()222ln ,1x h x x x h x x x−=−=′−=，所以在()0,2上()0h x ′<，在()2,+∞上，()0h x ′>，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增；所以()222ln2lne ln40h x ≥−=−>，所以()()2ln 2ln 0g k k k k =−>，所以当e k >时，()g x 在()0,ln k 和()ln ,k ∞+内各有一个零点，即当e k >时，()g x 在()0,∞+上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是(e,+∞.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域；（2）计算导数()f x ′；（3）求出()0f x ′=的根；（4）用()0f x ′=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内()f x ′的符号，进而确定()f x 的单调区间：()0f x '>，则()f x 在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；()0f x ′<，则()f x 在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.18. 已知矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，且2AD DE CE ===ADE 沿AE 向上翻折，使点D 到点P 的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE −．（1）若点F 在线段AP 上，且//EF 平面PBC ，求AFFP的值；（2）若PB =，求锐二面角P EC A −−的余弦值．【答案】（1）2 （2【解析】【分析】1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，可证//CE AB ，进而可证四边形FGCE 为平行四边形，可证//EF 平面PBC ．（2）取AE 中点O ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法可求锐二面角P EC A −−的余弦值．【小问1详解】点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，满足//EF 平面PBC ，证明如下：如图，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，则13FG AB =，又2DE CE =，13CE AB =，所以13FGCE AB ==．因为//CE AB ，所以//CE FG ，所以四边形FGCE 为平行四边形，有//EF CG ，又EF ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．此时有2AFFP=. 【小问2详解】2AD DE CE ===，ADE 为等腰直角三角形，AB =2AE =，135CEA ∠= ，45BAE ∠= ．取AE 的中点O ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,,P m n ，()1,0,0E ，31,,022 −C ，13,,022B − ，则()0,,OP m n = ，13,,22PB m n=−−−，因为1OP =，PB =，所以22222211322m n m n += +++，解得0,1m n ==，则(0,0,1)P ，(1,0,1)PE =−，11,,022EC=−，设平面PEC 的法向量为(),,m a b c =，则01122m PE a c m EC a b ⋅=−=⋅=−=，不妨取1a =，则1,1b c ==，()1,1,1m =，设平面ECA 的一个法向量为()0,0,1n =，则cos ,||||m n m n m n ⋅==⋅ 则锐二面角P EC A −−． 19. 在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线1E 的方程(),0F x y =中，以(),x y λλ(λ为非零的正实数)代替(),x y 得到曲线2E 的方程(),0F x y λλ=，则称曲线1E 、2E 关于原点“伸缩”，变换()(),,x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.（1）已知曲线1E 的方程为22143x y −=，伸缩比12λ=，求1E 关于原点“伸缩变换”后所得曲线2E 的方程；（2）射线l的方程()0yx ≥，如果椭圆221:14x E y +=经“伸缩变换”后得到椭圆2E ，若射线l与椭圆1E 、2E 分别交于两点A B 、，且AB =2E 的方程；（3）对抛物线2112E x p y =：，作变换()()11,,x y x y λλ→，得抛物线2222E x p y =：；对2E 作变换()()22,,x y x y λλ→，得抛物线2332E x p y =：；如此进行下去，对抛物线22n n E x p y =：作变换()(),,n n x y x y λλ→，得抛物线2112n n E x p y ++=：，…．若11,2n n p λ==，求数列{}n p 的通项公式n p .【答案】（1）2211612x y −=（2）2241x y +=或224199x y +=（3）()11212n n n p − =【解析】【分析】（1）由伸缩变换的定义计算即可；（2）先由伸缩变换求得2E 方程，分别与射线联立方程求A 、B 坐标，根据两点距离公式解方程即可；（3）由伸缩变换的定义计算1n p +.【小问1详解】由条件得221122143x y−=，整理得2211612x y −=，所以2E 的方程为2211612x y −=．【小问2详解】因为12,E E 关于原点“伸缩变换”，对1E 作变换()(),,(0)x y x y λλλ→>，得22222:14x E y λλ+=，联立()22014y x x y =≥ +=，解得点A的坐标为23 ．联立()2222014y x x y λλ =≥ += ，解得点B的坐标为23λ ；所以23AB λ=−=，所以221333λ−=或221333λ−=−，所以2λ=或23λ=，因此，椭圆2E 的方程为2241x y +=或224199x y +=．【小问3详解】对2:2n n E x p y =作变换()(),,n n x y x y λλ→，得抛物线()21:2n n n n E x p y λλ+=，得22nnp x y λ=，又因为212n x p y +=，所以1nn n p p λ+=，即112nn n p p + = ，当2n ≥时，12311243212332112n n n n n n n p p p p p p p p p p p p +++⋅⋅⋅+−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，得()11211,12n n n p p − ==适用上式，所以数列{}n p 的通项公式()11212n n n p − =．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018—2018学年第一学期期中三校联考
高一物理试卷
命题人：赵娟、吴梦涛学校：徐州一中
（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（共10题，每小题4分，共40分。

每小题至少有一个选项是正确的，请将选择的正确答案填入第3页的表格中）
1、对于力的概念，下述说法中正确的是：
A ．只有直接接触的物体才有力的作用
B ．一个物体可以只受力而不对其它物体施力
C ．物体间有摩擦力时，一定有弹力
D ．力的大小相同，作用效果并不一定相同
2、下列情况中带着重号的物体，可视为质点的是 A ．研究小孩．．沿滑梯向下滑动 B ．研究地球．．自转运动的规律时 C ．研究手榴弹．．．被抛出后的运动轨迹 D ．研究人造地球卫星．．．．．．绕地球做圆运动
3、图中, 小船被绳索牵引, 设水对船的阻力不变,绳与滑轮间的摩擦
不计，则小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是： A.绳子的弹力不断增大 B.绳子的弹力不变 C.船受的浮力减小 D.船受的重力减小
4、一物体做匀变速直线运动，速度图线如右
图所示，则下列关于前4s 内（设向右为正）物体
运动
情况的判断正确的是 A.物体始终向右运动；
B.物体先向左运动，第2s 末开始向右运动；
C.第3s 末物体在出发点的右侧；
D.第2s 末物体距出发点最远
5、物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s ，1s 后速度的大小变为10m/s.在这1s 内物体的
A.位移的大小可能小于4m
B.位移的大小可能大于10m
C.加速度的大小可能小于4m/s 2
D. 加速度的大小可能大于10m/s
2
6、某物体作匀变速直线运动，其位移与时间的关系为s =0.5t + t 2 (m)，则当物体速度为3 m/s 时，物体已运动的时间为
A. 1.25s
B. 2.5s
C. 3s
D. 6s
7、以下四组共点力中, 其合力可能等于8N 的是
A. 12N 和18N
B. 7N 和8N
C. 4N 和5N
D. 1N 和10N 8、如图所示，叠放、静止在水平地面上的两个物体a b 、，在水平拉力F 的作用下，物体a b 、仍保持静止，则
A ．物体b 受4个力的作用，其中有两个重力
B ．物体b 受5个力的作用，两个物体间没有摩擦力作用
C. 物体b 受5个力的作用，两个物体间有摩擦力作用 D ．物体a 只受重力和物体b 的支持力，这是一对平衡力
9、甲、乙两小球先后从空中同一位置自由下落，乙比甲迟0.5s 释放，当甲、乙均在下落时，
下列判断正确的是（空气阻力不计，g 取
10m/s 2
） A. 甲相对乙做自由落体运动
B ．乙相对甲向上做5/v m s =的匀速运动
C ．甲、乙两小球的速度之差越来越大
D ．甲、乙两小球之间的距离越来越大
10、在如图所示的实验中，橡皮条的O 端固定，用A 、B 两个弹簧秤拉橡皮条的另一端D ，使
其伸长至E 点，A 、B 两个弹簧秤弹力的大小和方向如图中的A B F F 和，且()90
αβ+<。

若保持A 的示数不变，当α角由图示位置逐渐减小时，欲使D 端仍在E 点保持不动，则应采取的方法是
A.使B F 变大，同时β角变小
B. 使B F 变大，同时β角变大
C. 使B F 变小，同时β角变小
D. 使B F 变小，同时β角变大
选择题答案：二、
实
验
题
（共2题，每空3分，共12分）
11、用游标卡尺测量一小圆筒的内径和外径，示数如图所示。

则圆筒的内径为
mm ，外径为 mm 。

F A
12、在用打点计时器做测定小车做匀变速直线运动的加速度实验中，已知打点计时器所用的电源频率为50Ｈz,得到的纸带如图所示。

则打点计时器打 B 点时小车的即时速度为
___________m/s ，物体运动的加速度为________ m/s 2。

三、计算题（共4题，共48分）解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。

只写出最后答案的不能得分。

有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。

13、（10分）一个自由下落的物体，到达地面的速度是39.2 m/s.这个物体是从多高落下的？
落到地面用了多长时间？
14、（10分）如图所示，质量为m 的木箱静止在水平地面上，若对木箱施加一与水平面成
θ角的推力Ｆ作用，已知木箱与地面间的动摩擦因数为μ。

求：
（1）若木箱仍保持静止状态，木箱受到的摩擦力（2）若木箱沿水平地面作直线运动，木箱受到的摩擦力。

15、（14分）用细绳AC 和BC 吊起一重物，两绳与竖直方向的夹角如图所示，AC 能承受的
最大拉力为150N ，BC 能承受的最大拉力为100N ，为使绳子不断裂，所吊重物的质量不
得超过多少？（g 取10m/s 2
）
16、（14分）客车以20m/s 的速度行驶，突然发现同轨前方120m 处有一列车正以6m/s 的
速度匀速前进。

于是客车紧急刹车，以0.8m/s 2
的加速度匀减速运动，试判断两车是否
60
o
30o A B C
o
相撞？
2018—2018学年第一学期期中三校联考
高一物理试卷答案及评分标准
一、选择题（本题共10小题，每题4分，错选不得分，漏选得2分，共40分。

）
二、实验题（本题共2小题，每空3分，共12分） 11. 11.6mm 、14.0mm 12. 0.3、1.2 三、计算题（本题共4小题，共48分）
13.(10分)解：由22
2
39.2278.4(m)229.8
t t V V gh h g =⇒===⨯------------5分
由39.24()9.8
t t V V gt t s g =⇒=
==-----------------------5分 14.(10分) 解：（1） cos f F F θ=-----2分方向向左-----2分
（2）(sin )f N F F mg F μμθ==+-----4分方向向左-----2分
15.(14分)解：当AC 拉力为150N 时
sin 30sin 60)4150100AC BC BC AC BC F F F N F N F N
BC =⇒=---=<由分因为时即:此时未断----------------- 3分
-----4-------------------cos30cos 6017.3 ()3) AC BC F F mg m kg N +==由分可求出：分（若只求出的扣3分）
16.(14分)解：设客车刹车后经t 秒两车速度相等，即：
V 客/
=V 客 +at ------ 2分 V 客/
=V 货 ------ 2分
t =
---------------------------- 4分此时两车距离： ∆S=S 货+S 0 - S 客 = 6⨯17.5 + 120 -（20⨯17.5-0.5⨯0.8⨯17.52
）
= -2.5(m)<0 ------ 4分
所以两车会相撞。

-------------------------- 2分
秒秒客货5.178
.020
6=--=
-a
V V。