高三数学第二轮冲刺课件《专题八圆锥曲线背景下的最值与定值问题》全国通用
2
2
b C. 4 4
2
D. 2b
x y 2. 若 动 点 x , y )在 曲 线 2 1 ( 4 b 2 (b 0)上 变 化 则x 2 y的 最 大 值 为 A ) , (
b2 b2 4 ( 0 b 4) 4 ( 0 b 2) A. 4 B. 4 2b 2b ( b 4) ( b 2)
2
1 2 1 2 [法一] ( 2) 设A(a , b), S ( x1 , x1 ), R( x 2 , x 2 ) 4 4 1 2 ( x1 x 2 ), 则 直 线 的 方 程 为 y x1 SR : 4 1 2 1 2 x 2 x1 4 4 ( x x ),即4 y ( x x ) x x x . 1 1 2 1 2 x 2 x1 A点 在SR上, 4b ( x1 x 2 )a x1 x 2 1 1 2 1 对y x 求 导 得: y' x . 4 2
2
a 2 a k1 k 2 (a a 2 a ) 2 2 2 a 2a 1, 2 抛 物 线 在 点 0 ( x0 , y0 )处 的 切 线 P 与 直 线 0垂 直. AP
2
[例2] (长 郡05届 月 考 题已 知 双 曲 线 ： ) C
x y 2 1(a 0, b 0), B是 右 顶 点F是 , 2 a b 右 焦 点 点A在x轴 正 半 轴 上且 满 足OA 、 , , OB 、 成 等 比 数 列过F作 双 曲 线 在 第 OF , C 一 、 三 象 限 的 渐 近 线 垂 线l , 垂 足 为 . 的 P (1) 求 证 : PA OP PA FP ;
[解析] (1) 法 一 ： 显 然 斜 率 存 在 AB , 设AB：y 2 k ( x 1),
y kx 2 k 由 2 y 得： x 2 1 2 2 2 ( 2 k ) x 2k ( 2 k ) x k 4k 6 0 当 0时, 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) x1 x 2 k ( 2 k ) 则e 2 2 2k k 1满 足 0 直 线AB：y x 1.
2 2 4
a a a c 2 2 2 即(b 2 ) x 2 2 cx ( 2 a b ) 0, b b b 4 2 a c 2 2 ( 2 a b ) b x1 x 2 0, 4 a 2 b 2 b 4 4 b a .
2
4
4
4 2
即b a , c a a .
2 2
( 2) 若l与 双 曲 线 的 左 、 两 支 分 别 相 C 右 交 于 点 、E , 求 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 D C e 范 围.
( 2) 若l与 双 曲 线 的 左 、 两 支 分 别 相 C 右 交 于 点 、E , 求 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 D C e 范 围. a [解析] (1) l： ( x c ) y b a y b ( x c) , 解 得: y b x a
专题八 圆锥曲线背景下的最值
与定值问题
【考点搜索】
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从
两个途径思考，一是建立函数，用求值
域的方法求范围；二是建立不等式，通
过解不等式求范围. 2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题（如斜率、两点的距离等）.
【课前导引】
【课前导引】
1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0
2
a a 2 4 当x 时 , f ' ( x ) 0. 2 2 a a 2 当 x a或 x 时, 2 f ( x )有 极 小 值 .
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a a 2 4 当x 时 , f ' ( x ) 0. 2 2 a a 2 当 x a或 x 时, 2 f ( x )有 极 小 值 .
[解析] (1) 设P (a ,0), Q (0, B ), 则
HP PM (a ,3) (a , b ) a 3b 0, 3 2 a 3b, 设M ( x , y ), PM HQ. 2 3 b a 2 3b, y 1 x 2 . x 2a , y 3 3 4 1 1 2 2
x 上任意一点，则 的取值范围是 ( ) y
A. [ 3 , 3 ]
B. (, 3 ) [ 3 ,)
3 3 C .[ , ] 3 3
3 3 D. ( , ][ ,) 3 3
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
[法二] 设A(a , b),当 过 点 的 直 线 斜 率 不 存 A
在 时l与 抛 物 线 有 且 仅 有 一 公 共 点 与 题 个 , 意不符可设直线 的方程为 , SR : 1 2 y b k ( x a ), 与y x 联 立 消 去 得 : y 4 x 4kx 4ak 4b 0.
2
1 2 1 2 设S ( x1 , x1 ), R( x 2 , x 2 )( x1 x 2 ), 4 4
x1 x 2 4k 则 由 韦 达 定 理： , x1 x 2 4(ak b ) 又 过S、R点 的 切 线 方 程 分 别 为 ： 2 2 4 y 2 x1 x x1 ,4 y 2 x 2 x x 2 , x1 x 2 k x 2 2 ( k为 常 数) 联立并解之得 1 y x1 x 2 ak b 4 消 去k , 得 : ax 2 y 2b 0, 故B点 在 直 线 ax y b 0上. 2
a ab P ( , ). OA 、 、 成 等 比 数 列 OB OF , c c 2 a ab A( ,0). PA (0, ). c c
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a ab OP ( , ), c c 2 b ab FP ( , ), c c
2
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
2
a 2 , 此 方 程 有 三 个 根 a , x1 a a2 2 a a2 2 x2 , x3 , 2 2 1 当x a时, f ' ( x ) 0; a a 2 2 当 a x 时, f ' ( x ) 0; 2 2 2 a a 2 a a 2 3当 x 时, 2 2 f ' ( x ) 0;
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b C. 4 4
2
D. 2b
【链接高考】
【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线 x 2过 一 定 点 ( a , a 2 ) y A
(a 2 ), P ( x , y )是 抛 物 线 上 的 动 点 . (1) 将 AP 表 示 为 关 于 的 函 数 ( x ), 并 x f 求 当x为 何 值 时 f ( x )有 极 小 值 , ; ( 2) 设(1)中 使f ( x )取 极 小 值 的 正 数 x为 x0 , 求 证 ： 物 线 在 点 ( x0 , y0 )处 的 切 线 与 抛 P 直 线AP0垂 直.
2 2 2 2 2
e 2. 即e 2 .
2
[例3] 已 知 点 (0,3), 点P在x轴 上, 点Q H 在y轴 正 半 轴 上点M在 直 线 上, 且 满 足 , PQ 3 HP PM 0, PM MQ. 2 (1) 当 点P在x轴 上 移 动 时求 动 点 的 , M 轨迹曲线 的方程 C ; ( 2) 过 定 点 (a , b)的 直 线 与 曲 线 相 交 A C 于 两 点 、R, 求 证 ： 抛 物 线、R两 点 处 的 S S 切线的交点 恒在一条直线上 B .
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[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识. [解析] (1) AP ( x a , y a ) ( x a , x a )
2 2 2
则 f ( x ) AP ( x a ) ( x a )
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
a y ( x c) ( 2) b b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 a 2 2 2 b x 2 ( x c) a b Байду номын сангаас b
y [例4] 设 双 曲 线 x 1上 两 点 、 , AB A B 2 中 点M (1,2).
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(1) 求 直 线 的 方 程 AB ; ( 2) 如 果 线 段 的 垂 直 平 分 线 与 双 曲 AB 线 交 于 、D两 点, 那 么A、B、 、D是 否 共 C C 圆, 为 什 么 ？
2 2 4 2 2
2
2 2 4 2
x (1 2a ) x 2ax a a . f ' ( x ) 4 x 2(1 2a ) x 2a .
3 2
令f ' ( x ) 0得 : 2 x (1 2a ) x a 0,
3 2
即
( x a )(2 x 2ax 1) 0.
y [例4] 设 双 曲 线 x 1上 两 点 、 , AB A B 2 中 点M (1,2).
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(1) 求 直 线 的 方 程 AB ; ( 2) 如 果 线 段 的 垂 直 平 分 线 与 双 曲 AB 线 交 于 、D两 点, 那 么A、B、 、D是 否 共 C C 圆, 为 什 么 ？
圆锥曲线有关的定点定值、最值范围问题PPT课件
必 备 知 识方 法
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有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不 求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简 化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2－y1|，其 中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形： |x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2； |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2. (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法” 来简化运算．
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2．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标 函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和 不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个 合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题， 这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标 等，要根据问题的实际情况灵活处理．
∞)．]
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4．(2012·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为 曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x 的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则 实数a＝________.
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解析
因曲线
C2：x2＋(y＋4)2＝2
2
42
2，所以 a＝94.
答案
9 4
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本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题 之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最 值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．
新高考数学二轮复习考点知识专题讲解12---圆锥曲线中的定点、定值问题
新高考数学二轮复习考点知识专题讲解圆锥曲线中的定点、定值问题【考点一】圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P 满足|PB → ||AB → |＝PA →·BA → .记点P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)设D 为直线y ＝－2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F.证明：直线EF 过定点．【变式1】本例若改为：已知点A(0，4)，B(0，1)，动点P 满足|PA|＝2|PB|，设动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的轨迹方程；(2)若Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．【变式2】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的长轴与短轴长度之比为2∶ 3 ，焦距为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设左焦点为F ，l 为过点F 的一条直线，交椭圆C 于M 、N 两点，过点N 做x 轴的垂线，交椭圆C 于点P ，连接PM.求证直线PM 恒过定点．【考点二】圆锥曲线中的定值问题【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17 ，0)，F 2(17 ，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2，记M 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12 上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【变式】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点( 2 ，1)，离心率为22 .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t(t≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．参考答案【考点一】圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P 满足|PB → ||AB → |＝PA →·BA → .记点P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)设D 为直线y ＝－2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F.证明：直线EF 过定点．【解析】(1)设P(x ，y)，则PA → ＝(－x ，－1－y)，PB → ＝(－x ，1－y)，AB → ＝(0，2)，BA → ＝(0，－2)，所以|PB → ||AB → |＝PA → ·BA → ，（－x ）2＋（1－y ）2 ＝1＋y 化简得x 2＝4y ，所以C 的方程为x 2＝4y.(2)由题意可设D(t ，－2)，E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)， 由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由x 2＝4y ，得y ＝x 24 ，则y′＝x 2 ，所以k DE ＝x 12，直线DE 的方程为y －y 1＝x 12 (x －x 1)，即y －y 1＝x 12 x －x 21 2，①因为E(x 1，y 1)在x 2＝4y 上，所以x 21＝4y 1，即x 21 2＝2y 1，②将②代入①得x 1x －2y 1－2y ＝0， 所以直线DE 的方程为x 1x －2y 1－2y ＝0， 同理可得直线DF 的方程为x 2x －2y 2－2y ＝0，因为D(t ，－2)在直线DE 上，所以tx 1－2y 1＋4＝0，又D(t ，－2)在直线DF 上，所以tx 2－2y 2＋4＝0，所以直线EF 的方程为tx －2y ＋4＝0， 故直线EF 过定点(0，2). 【变式1】本例若改为：已知点A(0，4)，B(0，1)，动点P 满足|PA|＝2|PB|，设动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的轨迹方程；(2)若Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 【解析】(1)设点P 的坐标为(x ，y)，|PA|＝2|PB|，即x 2＋()y －42＝2x 2＋()y －12，整理得x 2＋y 2＝4，所以曲线E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4；(2)依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M ，N 都在以OQ 为直径的圆F 上， 因为Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，设Q(t ，t －4)，则圆F 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t －42 ，且经过坐标原点即圆的方程为x 2＋y 2－tx－(t －4)y ＝0.又因为M ，N 在曲线E ：x 2＋y 2＝4上，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4x 2＋y 2－tx －()t －4y ＝0， 可得tx ＋(t －4)y －4＝0，即直线MN 的方程为tx ＋(t －4)y －4＝0.由t∈R 且t(x ＋y)－4y －4＝0可得，⎩⎨⎧x ＋y ＝04y ＋4＝0 ，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1 ，所以直线MN 过定点(1，－1).【变式2】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的长轴与短轴长度之比为2∶ 3 ，焦距为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设左焦点为F ，l 为过点F 的一条直线，交椭圆C 于M 、N 两点，过点N 做x 轴的垂线，交椭圆C 于点P ，连接PM.求证直线PM 恒过定点．【解析】(1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c所以2a∶2b＝2∶ 3 且2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝ 3 ，c ＝1， 所以椭圆方程为x 24 ＋y 23＝1；(2)由题意可知F(－1，0)，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x 2，－y 2)，所以⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1）x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2 ，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM 方程为：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0，则x ＝－y 1（x 1－x 2）y 1＋y 2 ＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝k （x 1＋1）x 2＋k （x 2＋1）x 1k （x 1＋1）＋k （x 2＋1） ＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2 ＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2－8k 23＋4k 2＋2 ＝－4故直线PM 恒过定点(－4，0). 【考点二】圆锥曲线中的定值问题【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17 ，0)，F 2(17 ，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2，记M 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12 上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和． 【规范解答】(1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2，所以轨迹C 为双曲线右支，………………2分 c 2＝17，2a ＝2，所以a 2＝1， 由c 2＝a 2＋b 2，b 2＝16，所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ＞0). ………………4分(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n ，设AB ：y －n ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －n ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2－y 216＝1，消去y 得(16－k 21 )x 2＋(k 21 －2k 1n)x －14k 21 －n 2＋k 1n －16＝0，……………6分所以x 1＋x 2＝k 21 －2k 1nk 21 －16，x 1x 2＝14k 21 ＋n 2－k 1n ＋16k 21 －16 ， |TA|＝1＋k 21 ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－12 ，|TB|＝1＋k 21 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12 ，…………………………8分所以|TA|·|TB|＝(1＋k 21)⎝⎛⎭⎪⎫x 1－12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12＝（n 2＋12）（1＋k 21 ）k 21 －16， 设PQ ：y －n ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12 ，同理|TP|·|TQ|＝（n 2＋12）（1＋k 22 ）k 22 －16，…………………………10分 因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以1＋k 21 k 21 －16 ＝1＋k 22 k 22 －16 ，1＋17k 21 －16 ＝1＋17k 22 －16，所以k 21 －16＝k 22 －16，即k 21 ＝k 22 ， 因为k 1≠k 2，所以k 1＋k 2＝0.所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ＞0). …………………………12分【变式】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点( 2 ，1)，离心率为22 .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t(t≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．【解析】(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1c a ＝22a 2＝b 2＋c2解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆方程为x 24 ＋y 22＝1；(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋tx 24＋y22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt)2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8[2(2k 2＋1)－t 2]＞0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1 ，x 1x 2＝2（t 2－2）2k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2t2k 2＋1. 因为四边形OAPB 是平行四边形， 所以OP → ＝OA → ＋OB → ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－4kt 2k 2＋1 ，2t 2k 2＋1 )，则P(－4kt 2k 2＋1 ，2t2k 2＋1). 又因为点P 在椭圆上，所以4k 2t 2（2k 2＋1）2 ＋2t 2（2k 2＋1）2 ＝1，即t 2＝2k 2＋12.因为|AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝221＋k22（2k2＋1）－t22k2＋1＝231＋k22k2＋1.又点O到直线l的距离d＝||t1＋k2，所以平行四边形OAPB的面积S＝2S△OAB＝|AB|·d＝23|t|2k2＋1＝62k2＋12k2＋1＝ 6 .即平行四边形OAPB的面积为定值 6 .。
第8章 命题探秘2 第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题 课件(共39张PPT)
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
1
2
3
探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
法二：设T(x，y)，Mx3，14x23，Nx4，14x24.
由xx2324＝ ＝44yy34， 得(x3＋x4)(x3－x4)＝4(y3－y4)，
所以x3＋4 x4＝xy33－－xy44. 设Q(x，y5)，则直线MN的斜率k＝yx5－－12，
所以直线AB过定点0，21. (2)略.
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
02
典型考题·技法突破
技法一 技法二 技法三 技法四
直接推理解决直线过定点问题 直接推理解决曲线过定点问题 定直线的方程问题 直接推理解决定值问题
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
点评：动直线l过定点问题的基本思路 设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝ mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
[思维流程]
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
[解] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为F0，p2，所以过F且斜率为1的直线的方程为y＝x＋p2. 由y＝x＋p2， 消去y并整理，得x2－2px－p2＝0，易知Δ＞0.
最新-2021高考数学文二轮复习课件：1532 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题 精品
(1)求椭圆 E 的方程；
[解] (1)由已知，点( 2，1)在椭圆 E 上．
因此，aa222＋ －bb122＝＝1c2，，
ca＝
2 2.
解得 a＝2，b＝ 2. 所以椭圆 E 的方程为x42＋y22＝1.
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得||QQAB||＝||PPAB||恒成立？若存在，求出
当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立x42＋y22＝1， 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. y＝kx＋1，
其判别式 Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 所以 x1＋x2＝－2k42＋k 1，x1x2＝－2k22＋1. 因此x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝2k.
且
O
到直线
AB
的距离
d＝
t2＋12 t2＋1.
设△AOB 的面积为 S(t)，所以
S(t)＝12|AB|·d＝12
－2t2－122＋2≤ 22，
当且仅当 t2＝12时，等号成立．
故△AOB
面积的最大值为
2 2.
建模规范答题
课题 19 参数法求圆锥曲线的定点问题
已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2－1，离心
(2)直线 l：y＝kx＋m(m≠0)与椭圆交于 A、B 两点，若线段 AB 的中点 C 在直线 y＝12x 上，O 为坐标原
点，求△OAB 面积 S 的最大值．
[解] (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(xc，yc)， y＝kx＋m 代入方程x42＋y22＝1， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0(*)，
高三数学专题复习课件专题：圆锥曲线背景下的最值与定值问题
则e
x1
2
x2
k(2 k) 2 k2
k 1满 足 0
直 线AB：y x 1.
法 二 ： 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
则
x12
x22
y12 2 y22 2
1 ,两 式 相 减 得:
1
( x1
x2 )(x1
【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线y x2过 一 定 点A(a, a2 )
(a 2), P( x, y)是抛物线 上的动点.
2
(1) 将 AP 表示为关 于x的函数f ( x),并 求当x为何值时, f ( x)有极小值;
(2) 设(1)中使f ( x)取极小值 的正数x为 x0 ,求 证 ：抛 物 线 在 点P( x0 , y0 )处 的 切 线 与 直 线AP0垂 直.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[解析] (1) AP ( x a, y a2 ) ( x a, x2 a2 )
则
f
( x)
2
AP
(x
a)2
(x2
a2 )2
x4 (1 2a2 )x2 2ax a4 a2 .
[解析] (1) 设P(a,0),Q(0, B),则
HP PM (a,3) (a,b) a2 3b 0,
a2 3b, 设M ( x, y), PM 3 HQ. 2
x
a
2a,
y
圆锥曲线有关最值问题研究课件
研究热点和趋势
研究热点
当前圆锥曲线最值问题的研究热点主要集中在以下几个方面：一是利用几何和代数的工 具研究圆锥曲线的几何性质和最值问题；二是将圆锥曲线最值问题应用于实际问题中，
如物理学、工程学和经济学等；三是探索圆锥曲线最值问题的算法和计算复杂性。
研究趋势
随着数学和其他学科的发展，圆锥曲线最值问题的研究趋势将更加多元化和交叉化。研 究者将更加注重从不同角度和层面研究圆锥曲线的最值问题，并尝试将研究成果应用于
实际问题中，推动数学和其他学科的发展。
研究展望和挑战
研究展望
未来圆锥曲线最值问题的研究展望主要集中 在以下几个方面：一是深入研究圆锥曲线的 几何性质和最值问题，探索更多具有挑战性 的问题；二是将圆锥曲线最值问题的研究成 果应用于实际问题中，推动相关领域的发展 ；三是加强国际合作与交流，推动圆锥曲线 最值问题的研究向更高水平发展。
面积最值
01
在给定条件下，求圆锥曲线内或外的某区域的面积最大或最小
值。
距离最值
02
在圆锥曲线中，求某点或某线段到另一特定点或线段的距离最
大或最小值。
角度最值
03
在圆锥曲线中，求某两线段之间的夹角最大或最小值。
物理问题中的最值问题
速度最值
在给定物理条件下，求物体在圆锥曲线轨道上运动时的最大或最 小速度。
在经济发展过程中，如何合理配 置资源以达到经济产值的最大或 最小化。
THANKS
感谢观看
03
圆锥曲线最值问题的应用
在几何问题中的应用
几何图形中的最值
问题
圆锥曲线在几何问题中最值问题 中有着广泛的应用，例如求三角 形、四边形等平面几何图形中的 最短边、最大面积等。
届高考数学复习强化双基系列圆锥曲线背景下的最值与定值问题共87页文档
f (x)有极小值.
4 当x a a2 2 时, f '(x) 0. 2
当x a或x a a2 2 时, 2
f (x)有极小值.
(2)由(1)知: x0 a
a2 2,则 2
直线AP0的斜率 k1
x02 a2 x0 a
x0
a
a a2 2 a a2 2 a ,
曲x线 2 y2 4 b2
1
(b0)上变,则 化x22y的最大(值) 为
A.
b2 4
4(0
b
பைடு நூலகம்4)
B.
b2 4
4(0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b 2 4 4
D.2b
2.若
动(x点 , y)在
曲x线 2 y2 4 b2
1
(b0)上变,则 化x22y的最大(值 A) 为
A.
b
, 解得
bx
a
:
P(a2 ,ab).OA、OB、OF成 等 比 数 , 列 cc
A(a2 ,0).PA(0,ab).
c
c
OP ( a 2 , ab ), cc
FP ( b 2 , ab ), cc
PA OPab,PA FPab.
c2
c2
PA OPPA FP.
PA OPab,PA FPab.
届高考数学复习强化双基系列圆锥曲线背 景下的最值与定值问题
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习压轴大题精品课件 第2讲 圆锥曲线的热点问题
1 1 1 2 2 2 设△AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝2|AB|· d＝2 －2t －2 ＋2≤ 2 ， 2 1 当且仅当 t ＝2时，等号成立.
2 故△AOB 面积的最大值为 2 .
1 2 3 4
解答
1 3.已知抛物线 y ＝4x，直线 l：y＝－2x＋b 与抛物线交于 A，B 两点.
c 2 解 由题意知 e＝a＝ 2 ，2c＝2，
所以 c＝1，a＝ 2，则 b＝1，
x2 2 所以椭圆 E 的方程为 2 ＋y ＝1.
1 2 3 4
解答
3 (2)如图，动直线 l：y＝k1x－ 2 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上一 2 点，直线 OC 的斜率为 k2，且 k1k2＝ 4 .M 是线段 OC 延长线上一点，且 |MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切 点分别为 S，T.求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率.
2 则 x2 ＝ 4 y ， x 1 1 2＝4y2，
12 12 y1－1 y2－1 4x1－1 4x2－1 1 ∴k1＋k2＝ ＋ ＝ ＋ ＝4(x1＋2＋x2＋2)＝－2. x1－2 x2－2 x1－2 x2－2
∴x1＋x2＝－12，
12 12 y2－y1 4x2－4x1 1 ∴kAB＝ ＝ ＝4(x1＋x2)＝－3. x2－x1 x2－x1
2
(1)若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；
1
2
3
4
解答
(2)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB(O为坐标原点)面积的最 大值.
1
2
3
4
解答
x2 y2 4.(2017· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离 2 心率为 2 ，焦距为 2.
高考数学二轮复习重要知识点之圆锥曲线中的最值与定值问题
高考数学二轮复习重要知识点之圆锥曲线中的
最值与定值问题
【考点透视】
圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：
当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。
【题型分析】
1.已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值
分析：设P（,），,点P到直线AB：x+2y=2的距离
∴所求面积的最大值为
（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）
2.已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为：（x0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设
A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2
综上可知的最小值为2
3.给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。
解：因为椭圆的…………点击查看全部内容。
圆锥曲线最值范围定值总结市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
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三、圆锥曲线定值、定点问题来自第24页第25页第26页
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例1、已知点F是双曲线－＝1左焦点，定点A 坐标为(1,4)，P是双曲线右支上动点，则|PF| ＋|PA|最小值为________．
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二、圆锥曲线范围问题
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求解离心率范围几个思维策略
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圆锥曲线最值、范围、定 值（定点）问题
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一、圆锥曲线最值问题
• 处理最值方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数最值问 题，注意到自变量范围；二是几何法，考虑一些量几何特征及意 义，利用图形性质求解。
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方法1：定义转化法
①依据圆锥曲线定义列方程；②将最值问题转化为距 离问题求解．