《球的表面积和体积》PPT课件
V ir i2R nR n 3[1 (i n 1 )2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半球 V 1V 2 V n
R n 3{ 1 [1 n 1 2] [1 n 2 2 2] [1 (n n 2 1 )2]}
R 3 1222 (n1)2
[n n
n2
]
R3 1 (n1)n(2n1) 12 22 (n 1)2
该几何体的表面积是为 24+
.
22
反思与感悟
1.由三视图求球与其他几何体的简单组合 体的表面积和体积，关键要弄清组合体的 结构特征和三视图中数据的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
.
23
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍2 .
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4倍.
球的表面积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S 1 ， S 2 ， S 3, ,S n
则球的表面积：
O
S S 1 S 2 S 3 S n
设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积为 Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V 1V 2V 3 V n
球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
球的体积
已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2, n
r3
R2 (2R)2. n
球的体积 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面半的径：
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2 ,n . n
球的体积
ri
R2[R(i1)2 ],i1,2, ,n n
提出问题
怎样求球的表面积和体积？
球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平 面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
实验：排液法测小球的体积
h
实验方法
实验：排液法测小球的体积
它
H h
排 开 液 体 的 体
等 于
小 球 的 体 积
积
曹冲称象
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
题型二 球的组合体与三视图 例2（2016年辽宁卷）某个几何体的三视图如图所示，则这个几何
24+ 体的表面积__________________ .
解： 由三视图可知该几何体的 下部是棱长为2的正方体，上部是 半径为1的半球，该几何体的表面 积为
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
Si
hi
O
O
Vi
Vi 13Sihi
由第一步得： V V 1V 2V 3 V n
V 1 3S 1h 1 1 3S 2h 2 1 3S 3h 3 1 3S nh n
球的表面积
第
三
Si
步： hi
化
Vi
为
准 确
Si
R
和
O Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积的 近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近 似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的体 积．
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V4R 34(5)312 c5m 3
3
32 6
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A1A2A2A3 AnA1)
1 2
p C正 多边 形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆 形
p
A3 S圆12R2RR2
A1 A2
极限思想
割圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限” 思想．
n[nn2
6
] (n 1)n(2n 1) 6
R 3[11(n1 )2 (n1 )]
n2
6
球的体积
(11)(21)
V半 球 R3[1
n
n]
6
当n时,10. n
V 半球
2 R 3
3
从而 V 4 R 3 .
3
定理：R 半 的径 球是 的体 V 积 4R 为 3 ：
3
球的体积
在球的体积公式的推导过程中，使用了“分 割、求近似值、再将近似值转化为球的体积” 的方法：
球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂 的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为 什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
7.9[4(5)34x3]142
32 3
x3(5 2)37 1 .9 4 43 21.1 3
由计算器算得: x2.24
2x4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
球的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表 面积无法用展开图求出，如何求球的表面积 公式呢?
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．
解 设球的半径为R，则4πR2＝4π，解得R＝1，
所 以 球 的 体 积 V=4R3
3
4
3
c 变式练习1 已知球的体积为36π，求它的表面积（ ）
A 12π B 24π C 36π D 48π
解 ： 设 球 的 体 积 是 R ， 则 4 R 3= 3 6 ， 解 得 R = 3
3
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.
hi的 值 就 趋 向 于 球 的 半R径
Vi 13SiR
V 1 3S iR 1 3S 2R 1 3S 3R 1 3S n R
1 3R (S iS 2S 3.. .S n)1 3RS
又球的体积V为 4： R3
3
4R3 1RS, 从S 而 4R2.
3
3
题型一 球的表面积与体积
例1 已知球的表面积为4π，求它的体积
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2. 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 : 3 . 4
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
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人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
祖暅原理也就是“等积原理”，它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
你能求出下面物体的体积和表面积吗？
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的体积？ 如果球的半径 为R，那么它的体积 4 V= πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的表面积 ？ 球的半径为 R， 那么球的表面积 S=4πR2
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
证明：（1）设球的半径为R，则 圆柱的地面半径也为R， 高为2R 4 因为V球= πR3， 3 V圆柱=πR2·2R=2πR３ 2 所以V球= V圆柱 3
球的体积和表面积 课件
【解析】 ①当截面在球心的同侧时， 如图所示为球的轴截面，由球的截面性质 知，AO1∥BO2，且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心，则 OO1⊥AO1， OO2⊥BO2，设球的半径为 R. ∵π· O2B2＝49π，∴O2B＝7. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9.
6 12 a.
【答案】
6 12 a
探究 4 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球 的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V 多＝S 表·R 内切·13.
(3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题 4 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两
【答案】 27π
(2)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积．
【解析】 设 SO1 是正四面体 S－ABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1 上，设外接球半径为 R，AO1＝r，
则在△ABC 中，用解直角三角形知识得 r＝ 33，
从而 SO1＝ SA2－AO12＝
1－13＝
2 3.
在 Rt△AOO1 中，由勾股定理，得
【答案】 C
题型四 几何体的内切球 例 4 正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________．
【解析】 如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球
心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离．
∵AB＝a,
∴正四面体的高
h＝
6 3 a.
又 VA－BCD＝4VO－BCD，
∴R＝14h＝
在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得 x＝15，∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V 球＝43πR3＝62 3500π(cm3)． ② 当 截 面 在 球 心 异 侧 时 ， OO1 ＋ OO2 ＝ 9 ＝ R2－72 ＋ R2－202，无解．
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)
球半径的求法
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
《球的表面积和体积》课件
球的体积公式
推导过程
利用积分计算，已知球的半径r，体积可表示为V = (4/3)πr³。
应用举例
通过体积公式，可以计算球体的容积，如水球、篮 球、地球等。
球的表面积公式
推导过程
通过对球体进行分割并求和的方法，球的表面积公 式为S = 4πr²。
应用举例
利用表面积公式，可以计算球体的表面积，如足球、 地球等。
比较表面积和体积
实例分析
比较具有相同体积的球体，但却具有不同表面积 的特点，例如小球和大球之间的关系。
球的变形对比
探索球体变形对表面积和体积的影响，比如椭球 和球体之间的对比。
延伸思考
三维几何问题
如何应用球的表面积和体积的知识解决其他三维 几何问题，例如球的切割、组合等。
实际应用场景
探索球的表面积和体积在实际生活中的应用，如 建筑、工程和科学研究中的应用。
《球的表面积和体积》 PPT课件
探索球体的奇妙之处，从定义和性质开始，一步一步深入了解球的表面积和 体积的计算公式，并探讨实际应用场景。
球的定义和性质
定义
球是由无数个离心并以相同半径旋转的点所构成 的，是一种几何体。它是完全确定的，没有面， 没有边。
性质
球体具有对称性，无论从哪个角度观察，都是完 全相同的。此外，球是能够容纳最大体积的几何 形状。
总结
1 知识点回顾
通过课程的学习，我们深入了解了球的定义、性质、体积公式、表面积公式，以及与其 他形状的比较。
2 学习感悟
通过探索球的表面积和体积的奥秘，我们对三维几何有了更深入的理解，也拓展了实际 应用的思维。
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
球的体积和表面积57张.ppt
(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意，有4πr2＝120×4πR2，解得r＝2 30R. 所以VV木地＝4343ππRr33＝43π243πR303 R3＝240 30. 故木星的体积约是地球体积是240 30倍．
[点评] 求解球的体积的大小问题，实际是转化为求类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球 的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截 面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
(3)此类问题的具体解题流程：
[例3] (2010·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为
2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
第一章
空间几何体
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章
1．3.2 球的体积和表面积
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 在初中，我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式， 即圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，周 长c＝2πr ，面积S＝ πr2 ，其中r是圆的半径，而球面是“在空 间中到定点的距离等于定长的点的集合”．以半圆的直径所 在直线为旋转轴，半圆旋转一周，形成的旋转体叫做 球 ，半 圆的圆心叫 球心 ，半圆的 半径 叫球的半径．
43πr2 43πR3
＝
8 27
，所
以Rr ＝23，则这两个球的表面积之比为44ππRr22＝(Rr )2＝49.
6．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中， 水面升高4cm，则钢球的半径是________．
[答案] 3cm
[解析] 圆柱形玻璃容器中水面升高4cm，则知钢球的体 积为V＝π·32·4＝36π，即有43πR3＝36π，∴R＝3.
高中政治课件-球的表面积和体积(总)
圆周长约____4____万里．
解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火 星半径的2倍， 日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8， 故 R 地球＝4π(万里)，所以火星的半径为2π万里， 其大圆的周长为4万里．
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着 一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计 一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的 冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋
πR3
R
V圆柱 πR2 2R 2 R3
所以，
V球
2 3
V圆柱
例四 如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证：2、球的表面积等于圆柱的侧面积。
证明：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为 R，高为2R。
（2）因为 S球 4R2
R
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
所以， S球 S圆柱侧
B．1∶ 2∶ 3
D．1∶4∶7
解析：由表面积之比得到半径之比为 r1∶r2∶r3＝1∶ 2∶ 3，
从而得体积之比为
V1∶V2∶V3＝1∶2 2∶3 3．
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径
是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( A )
A．4∶9
B．9∶4
C．4∶27
D．27∶4
解析：设球半径为r，则圆锥的底面半径为3r， 圆锥的高为h，
解得h≥8．
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或 等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为 S 圆锥侧＝πrl＝πr h2＋r2，
当圆锥m时，制造的杯子最省材料．
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与 这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各 个顶点，求这三个球的表面积之比．
解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火 星半径的2倍， 日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8， 故 R 地球＝4π(万里)，所以火星的半径为2π万里， 其大圆的周长为4万里．
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着 一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计 一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的 冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋
πR3
R
V圆柱 πR2 2R 2 R3
所以，
V球
2 3
V圆柱
例四 如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证：2、球的表面积等于圆柱的侧面积。
证明：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为 R，高为2R。
（2）因为 S球 4R2
R
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
所以， S球 S圆柱侧
B．1∶ 2∶ 3
D．1∶4∶7
解析：由表面积之比得到半径之比为 r1∶r2∶r3＝1∶ 2∶ 3，
从而得体积之比为
V1∶V2∶V3＝1∶2 2∶3 3．
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径
是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( A )
A．4∶9
B．9∶4
C．4∶27
D．27∶4
解析：设球半径为r，则圆锥的底面半径为3r， 圆锥的高为h，
解得h≥8．
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或 等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为 S 圆锥侧＝πrl＝πr h2＋r2，
当圆锥m时，制造的杯子最省材料．
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与 这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各 个顶点，求这三个球的表面积之比．
球的体积和表面积-课件
解:由图可知,半球的半径为4 cm,
圆锥的高为12 cm.
∴V半球 1443128cm3,
23
3
V圆锥 1 π·42·12=64π cm3, 3
64 128
3
∴冰激凌化了,不会溢出杯子.
题型三 综合问题
例3:正方体､等边圆柱(即底面直径与母线长相等的圆柱)､球 的体积相等时,哪一个表面积最小?
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
C . 4
D . 6
解析:设正方体的棱长为a,依题意知,内切球的直径为a,∴
球的表面积S球=4π =6a2.
(a )2 a2
2
,正方体的表面积S正
∴S球:S正 . 6
答案:D
3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则球的表 面积是( ) A.8π cm2B.12 πcm2 C.16 πcm2D.20 π cm2
10.如图,有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器,内盛 有高为h的水,放入一个铁球后,上升后的水平面恰好和球相切, 求球面上的点到圆锥顶点的最小距离.
解:如图,作轴截面,设球半径为R,水面上升后锥体顶点到水面 的高度为x,则x=3R.由题意:V水+V球=V锥.
11.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方 形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
解:设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中