北师大九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定(1)

并且每一条对角线平分一组对角。
D
A
O
C
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相 等的？ （2）有哪些特殊的三角形？那些全等三角形？
已知四边形ABCD是菱形
A
D
12
7 8
相等的线段：AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
5 6
O
34
B
C
相等的角：∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
△ABC≌△ACD
例1 如图1-2，在菱形ABCD中，
对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
∴AO⊥BD 同理：AC平分∠BCD；
即AC⊥BD
BD平分∠ABC和∠ADC
D
边 菱形的两组对边平行且相等 A
O
C
菱形的四条边相等
B 数学语言
菱形的两组对角分别相等 ∵在菱形ABCD中
A
2
2
AE AD2 DE 2 132 52 12cm.
∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积=
BE
D
1 BD AC 2
1 10 24 120 cm2 .
C
2
反思
▲你对菱形知多少？请你谈一谈． 从概念上来谈； 从性质上来谈； 从计算上来谈．
课堂小结
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴 是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都 相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
A D
1.已知菱形的周长是12cm，那 O
么它的边长是__3_c_m__.
C
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， B
则∠BAC＝__6_0_度___.
图片中有你熟悉的图形吗？
与左图相比较，这种平行 四边形特殊在哪里？你能给 菱形下定义吗？ 定义体会：一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形。
菱形的性质
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? (2)它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
B
D 菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂
直平分，并且每一条对角
C
线平分一组对角。
性质1 菱形的四条边都相等。 性质2 菱形的两条对角线互相垂直。
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
已知：如图1-1，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD；
D
3则、菱菱形形的的边两长条是对（角线长）分C 别为6cm和8cAm，4
3
O
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm 4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
AB
E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF
的度数是（ ）
B
B
D
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
F
C
5：已知如图，菱形ABCD中，E是AB 的中点，且DE⊥AB，AB=1。
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA
全等三角形：Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积． A
O
B
D
C
菱形性质的应用
2、已知:如图,四边形ABCD是边长为
13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, DE 1 BD 1 10 5cm.
角
菱形的邻角互补
∴∴∴∴∠OAA∠ADBDD=A=AOB∥BC+C=∠B;=O∠CCABDB==CCODB=DA180°
== 菱形的两条对角线互相平分
∠∠∴ADABADA∥CCC==⊥C∠∠DBBADABCC
∠DCA=∠BCA
对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分Leabharlann ∠，AADBDB==∠∠CCDBDB
（2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
已知：如图1-1，在菱形ABCD
中，AB=AD,对角线AC与BD相交
于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
AB=BC ABCD 四边形ABCD是菱形
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它 具有一般平行四边形的所有性质。你能 列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等， 对角线互相平分。
菱形还具有哪些特殊的性质？本 节就请你与同伴交流探索一下。
让我们一同走进生活中的菱形
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
(1)菱形是中心对称图形，中
心是对角线交点。
(2)菱形是轴对称图形，有两条对
B
D 称轴，他们是菱形两条对角线所
在的直线。两条对称轴互相垂直。
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四
边形的所有性质.
由于平行四边形的对边相等，
故菱形的对边相等，由于邻边
A 相等，故四条边都相等。
故： 菱形的性质1： 菱形的四条边都相等。
第一章 特殊平行四边形
菱形
情 景 创
前面我们学习了平行
四边形，如果从边的角 度,将平行四边形特殊化,
设 让它的一组邻边相等，
会得到什么特殊的四边
形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅
改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？