历年广东省中考数学考点分析及二次函数共39页
专题04 二次函数(广东专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题04 二次函数1．（2019•深圳）已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y=ax+b和ycx=的图象为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a<0，b>0，c<0，∴y=ax+b过第一、二、四象限，双曲线ycx=在第二、四象限，∴选项C是正确的．故选C．【名师点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．2．（2019·广东初三中考模拟）抛物线y=（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是A．（4，-5），开口向上B．（4，-5），开口向下C．（-4，-5），开口向上D．（-4，-5），开口向下【答案】A【解析】由y=（x-4）2-5，得开口方向向上，顶点坐标（4，-5）．故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y=a（x-h）2+k，a>0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a<0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3．（2019·广东初三中考模拟）将抛物线()213y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是A ．()22y x =-B ．()226y x =-+C ．2y x =D ．26y x =+ 【答案】C【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y =（x -1+1）2+3-3．故得到的抛物线的函数关系式为：y =x 2．故选C ．【名师点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．（2019·广州大学附属中学初三中考模拟）在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随着x 的增大而增大，则x 的取值范围是A ．x <1B ．x >1C ．x <2D ．x >-1【答案】A【解析】∵a =-1<0，∴二次函数图象开口向下，∵对称轴是直线x =1，∴当x <1时，函数图象在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大．故选A ．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据a 的取值判断图象的开口方向，并计算出二次函数的对称轴，根据图象性质判定x 的取值范围．5．（2019·广东初三中考模拟）二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx -t =0（t 为实数）在-1<x <4的范围内有解，则t 的取值范围是A ．0<t <5B ．-4≤t <5C ．-4≤t <0D ．t ≥-4【答案】B【解析】∵对称轴为直线x =2，∴b =-4，∴y=x2-4x，关于x的一元二次方程x2+bx-t=0的解可以看成二次函数y=x2-4x与直线y=t的交点，∵-1<x<4，∴二次函数y的取值为-4≤y<5，∴-4≤t<5，故选B．【名师点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．6．（2019·广东初三中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-b和二次函数y=-ax2-b的大致图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标-b大于零，故A正确；B、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标-b大于零，故B错误；C、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时抛物线y=-ax2-b的顶点的纵坐标大于零，故D错误，故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7．（2019·广东初三中考模拟）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x =－1；②c =3：③ab >0；④当x <1时，y >0；⑤方程20ax bx c ++=的根是13x =-和21x =，正确的有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】由图象可知对称轴为直线x =-1，故①正确，∵抛物线与y 轴的交点为（0，3），∴c =3，故②正确，∵对称轴x =-2b a=-1， ∴ab >0，故③正确，∵对称轴为x =-1，抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），∴当-3<x <1时，y >0，故④错误，∴方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1=-3和x 2=1，故⑤正确，综上所述：正确的结论有①②③⑤共4个，故选C ．【名师点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．8．（2019·广东初三中考模拟）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线x =1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是A ．（0，12-） B ．（12-，0） C ．（0，-1）D ．（-1，0）【答案】D 【解析】∵点A 的坐标为（3，0），∴点A 关于x =1的对称点的坐标为（-1，0）．故选D ．【名师点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A 的对称点的坐标是解题的关键．9．（广东省广州市天河区2019届九年级第一次诊断性检测数学试题）下列关于函数y =x 2-6x +10的四个命题：①当x =0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3-n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n -4）个；④若函数图象过点（x 0，m ）和（x 0-1，n ），则m <n ，其中真命题的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】①y =（x -3）2+1，所以函数的最小值是当x =3时，y 有最小值1，故①错误；②n 为任意实数，x =3+n 与x =3-n 关于对称轴x =3对称，所以函数值相等，故②错误；③若n >3，且n 是整数，当x =n 时，y =（n -3）2+1，当x =n +1时，y =（n -2）2+1，相减得2n -5，所以整数值有（2n -4）个，故③正确；④函数开口向上，所以距离对称轴越近函数值越小，若m <n ，所以（x 0，m ）更靠近对称轴x =3，在不能确定x 0的值时，该项错误，故只有一个正确的真命题，故选B ．【名师点睛】本题考查了命题真假的判断，二次函数的性质，属于简单题，熟悉二次函数的性质是解题关键．10．（2019·广东初三中考模拟）已知抛物线y =ax 2-3ax -4a （a ≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【解析】（1）该抛物线的对称轴为x =-32a a -=32． （2）234y ax ax a =--可化为()()14y a x x =+-，当()()140x x +-=，即1x =-或4时，0y =，∴抛物线一定经过点()1,0-，()4,0．【名师点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键时了解抛物线的对称轴方程，难度不大．11．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校初三中考模拟）某纪念品专卖店上周批发买进100件A 纪念品和300件B 纪念品，花费9600元；本周批发买进200件A 纪念品和100件B 纪念品，花费6200元． （1）求每件A 纪念品和B 纪念品的批发价各为多少元？（2）经市场调研，当A 纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件．当每件的销售价a 为多少时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大？并求出最大利润．【解析】（1）设每件A 纪念品的批发价为x 元，B 纪念品的批发价的为y 元，依题意10030096002001006200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得1826x y =⎧⎨=⎩， 即每件A 纪念品的批发价为18元，B 纪念品的批发价的为26元．（2）由（1）知每件A 纪念品的批发价为18元，依题意得W =（a -18+a -30）[200-10（a -30）]=（2a -48）（500-10a ）=-20a 2+1480a -24000整理得W =-20（a -37）2+3380∵-20<0∴W 有最大值，即当a =27时，有最大值3380，即当每件的销售价a 为37元时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大为3380元．【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出方程组或解析式是解题的关键．12．（2019·广东初三中考模拟）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y套．[参考公式：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）]． （1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）y =240-60205x -⨯， ∴y =-4x +480（x ≥60）．（2）根据题意可得，x （-4x +480）=14000，解得，x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意，得w =（x -40）（-4x +480），=-4x 2+640x -19200，=-4（x -80）2+6400，∵-4<0，∴当x =80时，w 的最大值为6400，∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值，弄清题意，找准各量间的关系并熟练相关的公式是解题的关键．。
2020年广东省中考数学基础过关：二次函数的综合 课件(共36张PPT)
②当△BPC∽△CDO时，CBOC＝CBDP，即 3 3 2＝ BP2，解得BP＝2.∴OP＝5.∴P(5,0)．
综上，当P的横坐标为5或12时，△BCP与△ OCD相似．
课堂检测
(2)如答图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于
点F.当x＝0时，y＝3，∴A(0,3)．设直线AB的解析
式为y＝kx＋m.将A(0,3)，B(－3,0)代入y＝kx＋m，
得－m＝3k3＋，m＝0. 解得mk＝＝13，. ∴直线AB的解析式为y＝x＋3.∵点
P在线段AB上方抛物线上，∴可设
P(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0)，则 F(t，t＋3)．
得a＋b＋53＝2， 4a＋2b＋53＝1.
解得a＝－23， b＝1.
∴该抛物线的解析式为 y＝－23x2＋x＋53. ∴对称轴方程为 x＝－－143＝34. ·········· 9 分
3．(2019衢州)某宾馆有若干间标准房，当标准 房的价格为200元时，每天入住的房间数为60
间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格 在170～240元之间(含170元，240元)浮动时， 每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格 x(元)的数据如下表：
2020 全新版
第三单元 函数
课时13 二次函数的综合
CONTEN TS
目 录
知识梳理 知识过关
课堂检测
知识梳理
一、二次函数与一次函数图象的交点 1．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx
＋m的图象有两个交点，即方程ax2＋(b－k)x＋ c－m＝0有两个不等的实数根⇔Δ＝(b－k)2－ 4a(c－m)＞0； 2．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx ＋m的图象有一个交点，即方程ax2＋(b－k)x＋ c－m＝0有两个相等的实数根⇔Δ＝(b－k)2－ 4a(c－m)＝0；
广东中考数学第13讲 二次函数的综合运用
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考点演练 1.若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1,－1),则 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( C ) A.有两个大于1的不相等实数根 B.有两个小于1的不相等实数根 C.有一个大于1另一个小于1的实数根 D.没有实数根
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2.如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝kx＋h(k≠0)交于 A,B两点,下列是关于x的不等式或方程,结论正确的是( D ) A.ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集 是2＜x＜4 B.ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是x＞4 C.ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是x＜2 D.ax2＋(b－k)x＋c＝h的解是x1＝2,x2＝4
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2.(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1,对称轴为直线 x＝1,则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 －1＜x＜3 . (2)二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图2所示,由图象可 知,不等式－x2＋bx＋c＜0的解集为 x＜－1或x＞5 .
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3.二次函数的实际应用 根据题目所给两个变量的数量关系、根据图表所给两个变量 的关系、根据图形所给周长、面积、相似比等关系列出二次 函数关系式,求出最大(小)值. 3.用总长为80 m的篱笆围成一个面积为S m2的矩形场地,设矩 形场地的一边长为x m,则当x＝ 20 m时,矩形场地的面积S 最大.
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3.二次函数y＝x2＋bx的图象如图,对称轴为直线x＝1.若关于x 的一元二次方程x2＋bx－t＝0(b、t为实数)在－1＜x＜4的范 围内有解,则t的取值范围是 －1≤t＜8 .
2
又因为x1＝1.3, 所以x2＝－2－x1＝－2－1.3＝－3.3.故答案为:－3.3.
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广东省中考复习专题二次函数的图象性质及其应用
广东省中考复习专题二次函数的图象性质及其应用明确目标〮定位考点二次函数及其图象的有关知识是中考的必考内容，对二次函数的剖析式、抛物线的极点坐标、开口偏向、对称轴，函数的最值及抛物线与坐标轴的交点的考察以选择题、填空题为主。
对二次函数综合性标题的考察以解答题为主，尤其二次函数与几多的综合性标题，通常作为中考压轴题呈现。
概括总结﹒思维升华 一、二次函数的图像和性质1、二次函数的定义一般地，要是c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。
此中，x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数剖析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。
(2)二次函数的一次项系数b 和常数项c 均可为零。
若b=0，则y=ax 2＋c ； 若c=0，则y=ax 2＋bx ； 若b=c=0，则y=ax 2．以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般形式。
2、二次函数的三种形式一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且 极点式:)0()(2≠+-=a k h x a y ; 交点式:)0)()((21≠--=a x x x x a y . 3、二次函数k h x a y +-=2)(的图像与性质一般地,抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的形状相同,位置不同。
把抛物线2axy =向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线k h x a y +-=2)(。
平移的偏向、隔断要根据h ,k 的值来决定。
抛物线k h x a y +-=2)(有如下特点:(1)当时0>a ,开口向上,函数有最小值k ;当时0<a ,开口向下,函数有最大值k ; (2)对称轴是h x =;(3)极点是),(k h .4、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且的图像与性质极点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是a b x 2-=，与y 轴的交点是),0(c 。
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练函数及其图象1、坐标与象限定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。
水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。
这种式子叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。
解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：第1步，列表。
表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第2步，描点。
在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第3步，连线。
按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
1、结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
2、理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
广州市中考数学历年考点分析
10
概率
21
12
各模块近三年考查分析
知
识
点
年
份
2010
2011
2012
数与式
1、相反数
2、去括号
3、乘法法则，真假命题
4、二次根式化简
5、科学计数法
6、分式意义
7、因式分解(提公因式)
1、实数分类
2、判断有理数乘法的符号
3、幂的运算
4、相反数
5、定义新运算
6、整式乘法、因式分解
1、倒数
2、整式的运算
2、扇形统计图，样本估计 总体
1、中位数
2、柱形图
3、列举法求概率
1、数据的统计
2、概率与坐标的 结合
概率与统计
15分（10%）
16分(10%)
15分（10%）
几何
48分（32%）
58分(40%)
48分（32%）
下面是我对2010～2012年广州市中考数学试卷的分析表
2010考点题号分值汇总表
板块
题号
总分
数与式
1、3、8、9、11、12、15
21
方程与不等式
5、17、19
22
函数
21、23
24
图形的认识
6
图形与坐标
4
3
图形与证明
15、18、25
26
统计
3
3
概率
22
12
2012考点题号分值汇总表
板块
题号
总分
数与式
1、4、6、14、20
22
方程与不等式
8、12、15、17
18
函数
2、10、23、24
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数
2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5 7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5 8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．10．（2017•广州）当x＝时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．20．（2018•广州）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】函数及其图象．【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＝0，不是2a+b＜0，错误；C、当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴3a+c＝a﹣b+c＜0，所以C正确；D、由图可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，可得：ax2+bx+c﹣3＝0，此方程有一个实数根，错误；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y ＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．3．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．4．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．【解答】解：A．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故A正确；B．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故B正确；C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，故C错误；D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），∴函数有最大值n，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．6．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．7．（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p ＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（）A．B．4C．2D．5【考点】二次函数的最值；代数式求值．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，当b＝3时，S有最大值为＝2．故选：C．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．8．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．1【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，则AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化简得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化简得ab＝1．则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．故选：A．【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值．二．填空题（共4小题）9．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．【解答】解：∵二次函数y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y 轴，开口向上，此题难度不大．10．（2017•广州）当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．【考点】二次函数的最值．【专题】推理填空题．【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y＝x2﹣2x+6的最小值是多少．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值5．故答案为：1、5．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．11．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+4x．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案为y＝2x2+4x．【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝10.0mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+x n）x+（x12+x22+…+x n2），∵n＞0，∴当x＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．三．解答题（共8小题）13．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）通过表格数据可以判断y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；（2）设该产品的销售利润为w，由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，∵﹣5＜0，∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．【点评】本题考查一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，关键是根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式．14．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x 元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，则，解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】函数及其图象．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°＝，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝3，设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2），综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．16．（2017•广州）已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点（0，0）或（﹣2，0），y2经过（﹣2，0）和A，符合题意；当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A （﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），∴﹣＝﹣1，＝1或9，解得m＝﹣2，n＝0或8，∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8；（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，解得，∴y2＝5x+10．②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，解得；∴y2＝x+．【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．17．（2017•深圳）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF＝BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABD＝×5＝，设D（x，y），∴AB•|y|＝×5|y|＝，解得|y|＝3，当y＝3时，由﹣x2+x+2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y＝﹣3时，由﹣x2+x+2＝﹣3，解得x＝﹣2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，﹣3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2，∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y＝kx+m，则可得，解得，∴直线BE解析式为y＝﹣3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，∴E（5，﹣3），∴BE＝＝．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．18．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；函数思想；待定系数法；函数的综合应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，由得：或，∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．19．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE＝，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，。
专题11 二次函数-备战2022年中考数学母题题源解密(广东专用)(原卷版)
专题11 二次函数【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【母题来源】2021年中考广东卷【母题题文2】（2021·广东·中考真题）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2y x 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ） A ．12B ．22C ．32D ．1【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文3】（2021·广东深圳·中考真题）二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【母题来源】2021年中考广东卷【母题题文4】（2021·广东·中考真题）若一元二次方程20x bx c ++=（b ，c 为常数）的两根12,x x 满足1231,13x x -<<-<<，则符合条件的一个方程为_____．【母题来源】2021年中考广东卷【母题题文5】（2021·广东·中考真题）把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 【母题来源】2021年中考广东卷【母题题文6】（2021·广东·中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积()()()S p p a p b p c =---．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ） A ．5B ．4C ．25D ．5【母题来源】2021年中考广东卷【母题题文7】（2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x 元()0,565x y ≤≤表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文8】（2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x （万元）与销售量y （件）的关系如下表所示： x （万元） 10 12 14 16 y （件）40 30 20 10（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文9】（2021·广东广州·中考真题）已知抛物线()2123y x m x m =-+++（1）当0m =时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．1、二次函数的定义一般地，形如二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数叫做二次函数2、 二次函数的三种形式：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k(a ，h ，k 是常数，a≠0)；(3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ，x 1，x 2是常数，a≠0)．二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，aa ＞0a ＜0 图象开口方向 开口向上 开口向下 对称轴直线a bx 2-= 直线ab x 2-= 顶点坐标)44,2(2a b ac a b -- )44,2(2ab ac a b -- 增减性的增大而增大。