考点15 三角恒等变换-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

微信公众号：678高中初中资料库考点15 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin 2α=2sin cos αα（2）2C α：cos 2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.学+3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：.【解析】原式.【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.+-________．122cos821sin8考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角 例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 求下列各式的值： （1）cosπ8+cos 3π8-2sin π4cos π8; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2．o oo2cos553sin5cos5-的值为__________．典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β=A．π4B．π4-C．3π4-D．π4或3π4-【答案】C【解析】因为tan 2(α−β)=()()22122tan4211tan31()2αβαβ⨯-==---,所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=()()41tan2tan37411tan2tan137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1.又tan α=tan[(α−β)+β]=()()11tan tan127111tan tan 3127αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭==--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭,又α∈(0,π),所以0<α<π4.又π2<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=3π4-.故选C．【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.3．已知1413)cos(,71cos=-=βαα，且02βαπ<<<.（1）求α2tan的值．（2）求β的值.典例4 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.【解析】（1）由于角的终边经过点，所以，..（2）.则，故.【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.4．已知()2tan 5αβ+=，π1tan 44β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos sin cos sin αααα+-的值为______________.考向三 三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．（2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间． 2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用. 3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5 已知函数.（1）求函数的对称中心及最小正周期；（2）ABC △的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，.若，且，求的值.【解析】（1）22π()43sin cos sin 3cos 123sin 22cos 24sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=+-+=-=-⎪⎝⎭. 由2ππ2=，得最小正周期为. 令π2π()6x k k -=∈Z ，得ππ122x k +=()k ∈Z ， 故对称中心为ππ0122k ⎛⎫+⎪⎝⎭，（）.（2）∵，∴.∵，，∴，∵，∴ ，又∵，∴，即，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴.∴.5．已知向量()()sin ,2,cos ,1θθ==a b ，且,a b 共线，其中.（1）求的值；（2）若，，求的值.1．cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝A．12B．32C．33D．32．已知，则的值是A．2425-B．1225-C．1225D．24253．已知锐角,αβ满足1025sin,cos105αβ==，则αβ+的值为A．3π4B．π4C．π6D．3π4或π44．已知，则A．B．C．D．5．已知为锐角，为第二象限角，且，，则A．12-B．12C．3D36．函数图象的一条对称轴为A ．π4x =B ．π8x =C ．π8x =- D ．π4x =-7．已知cos25π22sin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则A ．18-B ．8-C ．18D ．88．已知5cos 5θ=-，且，则__________．9．已知，则__________(填“>”或 “<”)；__________(用表示).10．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________. 11．已知函数()2ππsin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00π02x x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．12．已知tan 2α=．+网（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．13．在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值； （2）求的值.14．已知,(),函数,函数的最小正周期为． (1)求函数的表达式;(2)设,且,求的值．15．已知函数()2ππ13cos cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()3f x =cos2x 的值.16．在ABC △中，角所对的边分别为，.（1）求； （2）若，ABC △的周长为，求ABC △的面积.1．（2018新课标全国Ⅲ文科）若1sin 3α=，则cos 2α= A ．89 B ．79 C ．79-D ．89-2．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．793．（2016新课标全国Ⅲ文科）若tan 13θ=，则cos 2θ= A ．45- B ．15- C ．15 D ．454．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15B ．55C ．255D ．15．（2018新课标全国Ⅱ文科）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________． 6．（2017新课标全国Ⅱ文科）函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . 7．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-= .8．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．9．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos 2α的值； （2）求tan()αβ-的值．1．【答案】−2sin4【解析】原式=224cos42(sin4cos4)2|cos4|2|sin4cos4|+-=+-，因为53π4π42<<，所以cos4<0，且sin4<cos4，所以原式=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4.2．【答案】1【解析】()2cos6053sin52cos553sin5cos53sin53sin51 cos5cos5cos5︒-︒-︒︒-︒︒+︒-︒===︒︒︒.（2）由02βαπ<<<，得0.2αβπ<-<又1413)cos(=-βα，1433)1413(1)(cos1)sin(22=-=--=-∴βαβα.由)(βααβ--=得)](cos[cosβααβ--=211433734141371)sin(sin)cos(cos=⨯+⨯=-+-=βααβαα..3βπ∴=4．【答案】322【解析】因为πtan tancos sin1tanπ4tanπcos sin1tan41tan tan4ααααααααα+++⎛⎫===+⎪--⎝⎭-⋅，变式拓展且()()()πtan tan ππ4tan tan π441tan tan 4αββααββαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++⋅- ⎪⎝⎭，将()2π1tan ,tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭代入可得21cos sin 35421cos sin 22154αααα-+==-+⨯. 5．【解析】（1）∵∥a b ，∴，即.∴.1．【答案】B【解析】cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝.故选B ．2．【答案】A 【解析】，∵，∴，∴，故选A ．3．【答案】B【解析】因为锐角,αβ，所以3105cos αβ==， 考点冲关因此()310251052cos cos cos sin sin 1051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=， 因为()0,παβ+∈，所以π4αβ+=，选B ． 4．【答案】D【解析】ππtan tanπππ1363tan tan 23ππ663131tan tan 63αααα⎛⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-===-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫+⎝⎭⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭，故选D ． 5．【答案】B【解析】因为为锐角，为第二象限角，，，所以为第二象限角，因此sin ，cos ，所以 ,因为为锐角，所以 ，2)=cos ,选B ．6．【答案】C 【解析】由题意得，令，得，当时，π8x =-． 故π8x =-是函数图象的一条对称轴．故选C ． 7．【答案】D【解析】22cos2cos sin 5cos sin πsin cos 22sin 4αααααααα-==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而，则1sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos αααααααα+=+==，故选D ．8．【答案】4 3【解析】因为且，所以，所以．9．【答案】；【解析】，且，；∵，.11．351+【解析】由()2sin23sin cosf x x x x=+ππsin sin44x x⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得π()2sin(2)6f x x=-12+，由00π1()2sin(2)062f x x=-+=，得π1sin(2)=064x--<,又π2x≤≤，ππ5π2666x-≤-≤，所以ππ2066x-≤-≤，故π15cos(2)64x-=，此时：0000ππππππ351 cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin6666668x x x x+=-+=---=.12．【解析】（1）πtan tanπtan 1214tan 3π41tan 121tan tan 4ααααα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-. （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=. 13．【解析】（1）因为点P 的横坐标为，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝，所以cos2α＝2cos 2α－1＝．（2）因为点Q 的纵坐标为，所以sin β＝．又因为β为锐角，所以cos β＝．因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝，因此sin2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β) ＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．14．【解析】(1)=,因为函数的最小正周期为,所以,解得,所以．(2)由,得,因为,所以,所以,所以====．15．【解析】（1）()2ππ13cos cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1cos 2133sin cos 22x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-31πsin2cos 2223x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3113cos222x x x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭31cos24x =-1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，即π2π2π22π33k x k -≤≤+， 则ππππ63k x k -≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为ππππ63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z . （2）∵()1π3sin 2266f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴π3sin 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴πππ2663x -≤-≤，∴π6cos 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3π1cos 2sin 26262x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 63132=-23=（2）因为，所以，所以，，或，解得或，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.1．【答案】B【解析】，故选B.2．【答案】A【解析】()2sin cos17sin22sin cos19ααααα--===--.所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.直通高考（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3．【答案】D【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++．故选D.5．【答案】【解析】5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得.6．5【解析】2()215f x ≤+=.【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用22|sin cos |a x b x a b +≤+求最值.7．310【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=， 因为π(0,)2α∈，所以525cos αα==， 因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以π52252310cos()4α-==9．【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos 22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．。