高考数学(理)总复习高考达标检测(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性 Word版含答案
高考数学复习高考达标检测五函数的单调性奇偶性及周期性理
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。
(整理)届高考数学考点讲解考点05函数的性质(单调性奇偶性周期性)(新课标解析版).
考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【高考再现】热点一 函数的单调性1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --=D ．31y x =+2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x =D ．||y x x =【答案】D【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =【方法总结】1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)<f(x2)⇔f(x1)－f(x2)<0，若函数是增函数，则f(x1)<f(x2) ⇔x1<x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．热点二函数的奇偶性4.（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（）A ．sin y x = B ．3y x = C ．x y e = D ．y =5.（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________【答案】4【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ⇒=.6.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .7.（2012年高考（课标文））设函数()f x 22(+1)sin =1x x x ++的最大值为M ,最小值为m ,则=M m +____【答案】 2【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.222(1)sin 2sin ()1,11x x x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),()1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+为奇函数，由奇函数图像的对称性知max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++=【方法总结】热点三 函数的周期性8.（2012年高考（浙江文））设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =+1x ,则3()2f =_______. 【答案】32 【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 9.（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____.【方法总结】求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝A sin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以周期T ＝2a .换元法：若f (x ＋a )＝f (x －a )，令x －a ＝t ，x＝t ＋a ，则f (t )＝f (t ＋2a )，所以周期T ＝2a .热点四 函数性质的综合应用10.（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件11.（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<- 时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =. 则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=A ． 335B ．338C ．1678D ．2012【方法总结】在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 【考点剖析】二．命题方向1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2.函数的奇偶性是高考考查的热点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题.三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.【基础练习】1．（课本习题改编）下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4【答案】A【解析】y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，y＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．2.（经典习题）函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，43. （课本习题改编）若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1【答案】A【解析】∵f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)．∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 4. （经典习题）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数【答案】A【解析】由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．26．（经典习题）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．【答案】－2【解析】由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2.∴f (7)＝－2.【名校模拟】一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④【答案】C【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条件.2. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知.，若，则f(-a)的值为A. -3B. -2C. -1D. 03.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)已知函数.，则该函数是(A)偶函数，且单调递增（B)偶函数，且单调递减(C)奇函数，且单调递增（D)奇函数，且单调递减【答案】C【解析】 注意到当0x >时，0x -<，()()()()21120x x f x f x ---+=-+-=；当0x <时，0x ->，()()()()12210x x f x f x -+=-+-=；()00f =.因此，对任意x R ∈，均有()()0f x f x -+=，即函数()f x 是奇函数.当0x >时，函数()f x 是增函数，因此()f x 是增函数，选C.4．(2012洛阳示范高中联考高三理)下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x =B ．21x y =-C ．212y x =-D ． 3y x =-5. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若R x ∈、+∈N n ，定义：)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x ，例如：55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为( )A.是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ）A ．17 B ．1- C ．1D ．7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 67.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[D ．]3,2[-8．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （ ）①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④ D.②④9．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A ．x y cos =B ．1--=x yC ．x xy +-=22ln D ．x x e e y -+=答案：D解析：由()()x x f x e e f x --=+=，所以函数()x x f x e e -=+为偶函数；又 ()211x xx x e f x e e e -'=-=，当[]1,0x ∈-时，()0f x '<，所以函数为减函数，故选D 。
新课改瘦专用高考数学一轮复习2.2函数的性质2.2.1系统知识_函数的单调性与最值奇偶性周期性检测
课时跟踪检测（六）系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性1．下列函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝|sin x|C．y＝cos x解析：选D因为函数y＝D．y＝e x－e－xx的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝x为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝e x－e－x，f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝e x －e－x为奇函数，故选D.2．(2019·南昌调研)已知函数f(x)＝A．(－∞，1]C．(－∞，－1] x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为() B．[3，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选B设t＝x2－2x－3，由t≥0，得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()A．g(x)＝x3B．g(x)＝cos xC．g(x)＝1＋x D．g(x)＝x e x解析：选B因为f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.14．(2019·三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝()A．－2x C．－2－x B．2－x D．2x解析：选C x>0，－x<0.∵当x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.9－x25．函数f(x)＝的图象关于()xA．x轴对称C．y轴对称B．原点对称D．直线y＝x对称解析：选B f(x)的定义域为[－3,0)∪(0,3]关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．6．(2019·石家庄高三一检)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为()A．{x|0<x<1或x>2} C．{x|x<0或x>3} B．{x|x<0或x>2} D．{x|x<－1或x>1}解析：选A由于函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，故由f(x－1)>0，得－1<x－1<0或x－1>1，所以0<x<1或x>2，故选A.7．(2019·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝e x21D．f(x)＝ln(x＋1)C．f(x)＝x解析：选C根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，f(x)＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D；1对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故选C.x8．函数f(x)＝Error!则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对解析：选A当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.9．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：选C令f(x)＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2)，函数图象如图所示：∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.10．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是()3A．f(x)－f(－x)>0C．f(x)·f(－x)≤0解析：选C f(－x)＝－f(x)，则f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.B．f(x)－f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>011．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2 C．－98B．2 D．98解析：选A由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝－2.故选A.f x＋f－x12．若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(3)＝0，则<0的2x解集为()A．(－3,3)C．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选C∵f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)，f x＋f－x f x故<0可化为<0，2x x而f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(3)＝0，故当x>3时，f(x)<0，当－3<x<0时，f(x)>0，f x故<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．x42|x|＋1＋x3＋213．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于()2|x|＋1A．0 C．4B．2D．82·2|x|＋1＋x3x3x3解析：选C f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈2|x|＋12|x|＋12|x|＋1R)，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.1314．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.x411解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，x x111∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，x2a113∴＋＝，∴a＝4.2a4答案：415．(2019·郑州模拟)设函数f(x)＝Error!g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝Error!函数的图象为如图所示的实线部分，根据图象，知g(x)的递减区间是[0,1)．答案：[0,1)16．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③(1)(3)(5)当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.222解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，5则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.(12)(32)∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f(52)(12)＝f＋0＋f(－12)＋f(0)＋f(12)(12) (12)＝f－f＋f(0)＋f(12)(12)＝f＋f(0)1＝2 －1＋20－12＝－1.2答案：－126。
高中数学 考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性(含高考试题)新人教A版
考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2017·全国乙卷理科·T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是 ( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3] 【命题意图】考查函数的奇偶性和单调性问题. 【解题指南】奇函数左右两侧单调性相同,根据奇函数的性质求解f(-1)=1,利用单调性即可求解. 【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x 满足-1≤x ≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x ≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x 满足1≤x ≤3,2.(2017·全国乙卷文科·T9)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则 ( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称【命题意图】本题主要考查函数的单调性、对称性问题. 【解题指南】如果函数f(x),x ∈D,满足∀x ∈D,恒有f(a+x)=f(b-x),那么函数的图象有对称轴x=2a b+;如果函数f(x),x ∈D,满足∀x ∈D,恒有f(a-x)=-f(b+x),那么函数f(x)的图象有对称中心,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】选C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以 f(x)的图象关于直线x=1对称,C 正确,D 错误;又f'(x)=1x -12x - = ()()212x x x -- (0<x<2),在(0,1)上单调递增,在[1,2)上单调递减,A,B 错误.3.(2017·北京高考文科·T5)同（2017·北京高考理科·T5)已知函数f(x)=3x-13⎛⎫ ⎪⎝⎭x,则f(x) ( )A.是偶函数,且在R 上是增函数B.是奇函数,且在R 上是增函数C.是偶函数,且在R 上是减函数D.是奇函数,且在R 上是减函数【命题意图】本题主要考查指数函数的性质.意在培养学生逻辑推理能力及对函数性质的辨别力.【解析】选B.函数f(x)=3x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为R,因为f(-x)=3-x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭=13x⎛⎫ ⎪⎝⎭-3x=-()f x所以f(x)=3x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭为奇函数,又f'(x)=133xx ⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭'=()133x x'⎛⎫' ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭ =3xln3-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭ln13=133xx ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭ln3>0,所以f(x)=3x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭在R 上是增函数.4.(2017·浙江高考·T5)若函数f(x)=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( )A.与a 有关,且与b 有关B.与a 有关,但与b 无关C.与a 无关,且与b 无关D.与a 无关,但与b 有关【命题意图】本题主要考查二次函数问题,意在考查学生对二次函数中“动轴定区间”问题的分析能力.【解析】选B.f(x)=x 2+ax+b=22a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+b-24a ,对称轴为x=-2a ,下面分情况讨论: (1)若-2a>1,即a<-2时,f(x)max =f(0)=b,f(x)min =f(1)=a+b+1, 此时M-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)若12<-2a≤1,即-2≤a<-1时,f(x)max =f(0)=b, f(x)min =f 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=b-24a , 此时M-m=b-24a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=24a .(3)若0<-2a ≤12,即-1≤a<0时,f(x)max =f(1)=a+b+1,f(x)min =f 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=b-24a , 此时M-m=a+b+1-24a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1+a+24a .(4)若-2a≤0,即a ≥0时,f(x)max =f(1)=a+b+1,f(x)min =f(0)=b, 此时M-m=a+b+1-b=1+a.综上,M-m 与a 有关,而与b 无关.【反思总结】二次函数中的“动轴定区间”问题,大体上分为三类去讨论:一是对称轴在区间的右侧,二是对称轴在区间的左侧,三是对称轴在区间之间.对这三种情况,画图分析最值.二、填空题5.(2017·全国丙卷·文科·T16)同(2017·全国丙卷·理科·T15)设函数f(x)=1,0,02xx x x +≤⎧⎪⎨>⎪⎩则满足f(x)+f 12x ⎛⎫-⎪⎝⎭>1的x 的取值范围是 . 【命题意图】本题考查分段函数及其不等式,考查学生分类讨论的思想. 【解析】由题意:设g(x)=f(x)+f 12x ⎛⎫-⎪⎝⎭= 1232,0,2112,0,2211)2,2x x x x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪++<≤⎨⎪⎪>⎪⎩函数g(x)在区间(-∞,0],10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三段区间内均单调递增, 且:g 14⎛⎫-⎪⎝⎭=1,20+0+>1,)1×20>1,因此x的取值范围是:1,4⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.答案:1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6.(2017·全国甲卷文·T14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .【命题意图】函数的奇偶性以及函数值,意在考查学生的转化能力和运算求解能力.【解析】f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.答案:127.(2017·山东高考文科·T14)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x ∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= .【命题意图】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用,意在考查考生转化与化归的能力,运算求解能力.【解析】因为f(x+4)=f(x-2),令t=x+4,则x-2=t-6,所以f(t)=f(t-6),所以函数f(x)的周期为6,因为f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=6.答案:6。
高考数学(全国文理通用)一轮复习：考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性
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考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2015·浙江高考文科·T8)设实数a,b,t 满足|a+1|=|sin b|=t ( ) A.若t 确定,则b 2唯一确定 B.若t 确定,则a 2+2a 唯一确定 C.若t 确定,则sin 唯一确定 D.若t 确定,则a 2+a 唯一确定【解题指南】在式子的两边同时平方,根据函数的性质判断.【解析】选B.因为|a+1|=|sin b|=t,所以(a+1)2=sin 2b=t 2,所以a 2+2a=t 2-1,故当t 确定时,t 2-1确定,所以a 2+2a 唯一确定.2. (2015·广东高考理科·T3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A.y=x+e x B.y=x+x1 C.y=2x +x 21D.y=【解题指南】先求出函数的定义域,再利用f(-x)与f的关系判断奇偶性.【解析】选 A. 函数xe x y +=定义域为R ，关于原点对称，因为()ef +=11()e f 111+-=-，所以函数x e x y +=既不是奇函数，也不是偶函数；函数xx y 1+=的定义域为{}0≠x x ，关于原点对称，因为()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数x x y 1+=是奇函数； 函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122xxf x =+是偶函数； 函数21x y +=的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()x f x x x f =+=-+=-2211，所以函数21x y +=是偶函数．3. (2015·广东高考文科·T3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A.y=x 2+sinxB.y=x 2-cosxC.y=2x +D.y=x+sin2x【解题指南】先求出函数的定义域,再利用f与f 的关系判断奇偶性.【解析】选A. 函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称， 因为()11sin1f =+， ()1sin 11-=-f ，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=， 所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=， 所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-， 所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．4. (2015·北京高考文科·T3)下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y=x 2sinxB.y=x 2cosxC.y=|lnx|D.y=2x 【解析】选B.选项A,f(-x)=(-x)2sin(-x) =-x 2sinx=-f(x),所以为奇函数;选项B,f(-x)=(-x)2cos(-x)=x 2cosx=f(x),所以为偶函数; 选项C,非奇非偶函数;选项D 非奇非偶函数.5.(2015·山东高考文科·T8)若函数21()2x x f x a+=-是奇函数,则使f(x)>3成立的x 的取值范围为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)【解题指南】先利用f(-x)=-f(x)求出参数a,再解不等式f(x)>3.【解析】选C.函数f(x)是奇函数,所以对于定义域内的x 都有f(x)+f(-x)=0,化简得(1-a)(2x -1)=0,所以a=1. 21()321x xf x +=>-，化简得22021x x -<-f 所以1<2x <2,即0<x<1. 6.(2015·福建高考理科·T2) 下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【解题指南】利用奇偶性的定义判断. 【解析】选D. 选项 具体分析结论 A 定义域为{x|x ≥0},不关于原点对称非奇非偶函数 B f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x) 偶函数 C f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x) 偶函数 Df(-x)=e -x -e x =-f(x)奇函数7.(2015·福建高考文科·T3)下列函数为奇函数的是 ( ) A.y=B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=e x -e -x【解题指南】利用奇偶性的定义判断. 【解析】选D. 选项 具体分析结论 A 定义域为{x|x ≥0},不关于原点对称非奇非 偶函数 B f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x)偶函数 Cf(-x)=cos(-x)=cosx偶函数=f(x)Df(-x)=e -x -e x =-f(x)奇函数8. (2015·陕西高考文科·T9)设f(x)=x-sinx,则f(x) ( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数【解题指南】利用函数的奇偶性及函数的增减性可作出判断. 【解析】选B.f(x)的定义域为R 且关于原点对称, 又f(x)=x-sinx ⇒f(-x) =(-x)-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx) =-f(x),所以f(x)是奇函数;f'(x)=1-cosx ≥0⇒f(x)是增函数. 二、填空题9.(2015·浙江高考理科·T10)已知函数f(x)=223,1,lg(1),1,x x xx x ⎧+-≥⎪⎨⎪+<⎩则f( f(-3))= ,f(x)的最小值是 .【解题指南】依据分段函数的性质,由内到外求值. 【解析】f( f(-3))=f(1)=0,当x ≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为223-. 答案: 0；223-10.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T13)若函数f(x)= xln （x+2a x +）为偶函数，则a= 【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +）为偶函数，即2ln()y x a x =++是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.11. (2015·湖北高考文科·T17)a 为实数,函数f(x)=|x 2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当 a= 时,g(a)的值最小.【解题指南】1.因为函数f(x)=|x 2-ax|含有绝对值,所以要分几种情况进行讨论. 2.函数在区间上的最值问题.【解析】方法一:因为函数f(x)=|x 2-ax|含有绝对值,所以要分几种情况进行讨论:①当a ≤0时,函数f(x)=|x 2-ax|=x 2-ax 在区间[0,1]上单调递增,所以f(x)max =g(a)=1-a;②当0<a ≤22-2时,此时22()(),2224=-⨯=a a a a f a (1)1,=-f a 而22(2)(1)20,44+--=-<a a a 所以max (x)()1;==-f g a a ③当222>-a 时，2max ()().4==a f x g a ④当a ≥2时,f(x)max =g(a)=a-1.综上可知21,222(),2222,41,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩所以()g a 在(,222]-∞-上单调递减，在(222,)-+∞上单调递增， 所以min ()(222),=-g a g所以当222=-a 时，()g a 的值最小. 方法二①：0≤a ，()(1)1;==-g a f a②：10≤<a ：⎪⎩⎪⎨⎧-<<-=≤<-==)2220(1)1()1222(4)2()(2a a f a a a f a g ， ③：21<<a ：4)2()(2a a f a g ==④：2≥a ：1)1()(-==a f a g ，综上，当222-=a 时，)(a g 取到最小值223- 答案：222.关闭Word文档返回原板块。
高考数学(理)总复习高考达标检测(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性 Word版含答案
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
2024年高考数学一轮复习考点05函数的单调性与最值必刷题理含解析
考点05 函数的单调性与最值1.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)【答案】B【解析】由f(x)在R上是增函数,则有解得4≤a<8.2.已知函数f(x)=,则该函数的递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)【答案】B【解析】设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴方程为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增.所以函数f(x)的递增区间为[3,+∞).3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满意f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]【答案】C【解析】∵lo a=-log2a,∴f(log2a)+f(lo a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.故选C.4.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=e ln x,则()A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c【答案】A【解析】∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),b=∈(1,2),c=e ln x=x∈(e-1,1),∴b>c>a.5.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若随意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥0【答案】C【解析】当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.6.已知定义域为R的函数f(x)满意f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(log a2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是()A.∪(1,2)B.∪(2,+∞)C.∪(1,2)D.∪(2,+∞)【答案】B【解析】由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1对称,∵x≥1时,f(x)=2x+,∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.∵f(2)=6,∴f(log a2a)<6⇔f(log a2a)<f(2)⇔|log a2a-1|<|2-1|(因f(x)的图像对称轴为x=1,即自变量到x=1的距离大的函数值大),∴|log a2a-1|<1,即|log a2|<1,解得a>2或0<a<.故选B.7.已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是()A.x1>x2B.x1<x2C.x1+x2<0D.x1+x2>0【答案】D【解析】函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0知,y=2x+sin x在(0,+∞)上是增函数,∴函数f(x)在x≥0时递增,因此f(x)在R上递增.∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.8.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为()A.0B.2C.-D.不存在【答案】A【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图像,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对随意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满意等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为 ()A.2-5B.-5C.2+5D.5【答案】A【解析】对随意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,动点P(x,y)满意等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R上的函数,可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π),则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5,当cos=1即α=时,x+y取得最大值2-5,故选A.10.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对随意x1∈恒成立,则a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】∵g(x) ===2sin,∴g(x2)max=2.f(x1)>g(x2)对随意x1∈恒成立,即f(x1)min>2恒成立;等价于0<a+2x1-1<对随意x1∈恒成立,即<a<对随意x1∈恒成立,设p(x1)==-1,q(x1)==-,∵x1∈,∴∈,∴p (x 1)max =-1=-, q (x 1)min =-,∴a ∈.故选D .11．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0【答案】B【解析】因为函数y ＝log 2x 与函数y ＝11－x ＝－1x －1的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)＜f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0，即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0.12．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12【答案】C.【解析】由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 【答案】C【解析】f (x )的定义域为(0，2)．由于f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln(2x －x 2)，从而对f (x )的探讨可转化为对二次函数g (x )＝2x －x 2(x ∈(0，2))的探讨．因为g (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1，所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x ＝1是y ＝g (x )的图象的对称轴．从而解除A ，B ，D ，故选C.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0，2)D ．(－2，0)【答案】A【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜a2，即a ＜－2.故选A.15.设f (x )是定义在R 上的增函数,若f (1-ax-x 2)≤f (2-a )对随意a ∈[-1,1]恒成立,则x 的取值范围为 .【答案】(-∞,-1]∪[0,+∞)【解析】因为f (x )是R 上的增函数,所以1-ax-x 2≤2-a ,a ∈[-1,1].(*) (*)式可化为(x-1)a+x 2+1≥0对a ∈[-1,1]恒成立. 令g (a )=(x-1)a+x 2+1. 则解得x ≥0或x ≤-1,即实数x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).16.函数f (x )=-log 2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 . 【答案】3【解析】因为y=在R 上递减,y=log 2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f (x )在区间[-1,1]上递减. 所以f (x )在区间[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.17．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)【解析】由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．18．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． 【答案】3【解析】由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝－log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．【答案】[0，1)【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0，1)．20.已知函数f (x )=若函数y=f (x )在区间(a ,a+1)内递增,则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞,1]∪[4,+∞)【解析】画出f (x )=的图像如图所示,因为函数y=f (x )在区间(a ,a+1)内递增,所以a+1≤2或a ≥4,解得a ≤1或a ≥4.故实数a 的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).21．假如对定义在R 上的函数f (x )，对随意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0. 以上函数是“H 函数”的全部序号为________． 【答案】①③【解析】因为对随意两个不相等的实数x 1，x 2， 都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立， 所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立， 即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x＋x 在定义域上为增函数，满意条件． ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满意条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满意条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满意条件．综上，满意“H函数”的函数为①③.22．推断函数f(x)=a x+(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.【解析】该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-2,+∞),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,又a>1,所以>,即有->0,所以f(x2)-f(x1)=+--=(-)+=(-)+>0,故函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.23． (1)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是()A.(-1,1]B.[1,3)C.(-∞,1]D.[1,+∞)(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.【答案】(1)A(2)[0,1)【解析】 (1)令t=-x2+2x+3>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3).由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1],故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].(2)由题意知g(x)=该函数的图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).24．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对随意两个不相等的正数x1,x2,都有>0.记a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.b<a<cC .c<a<bD .c<b<a 【答案】B【解析】∵f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,对随意两个不相等的正数x 1,x 2,都有>0,∴函数y=是(0,+∞)上的增函数.∵1<30.2<30.5=<2,0<0.32<1,log 25>2,∴0<0.32<30.2<log 25,∴b<a<c.故选B .25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，（x ≤0）2ax －1，（x ＞0）(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对随意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2.其中正确命题的全部序号是________．【答案】①③④【解析】依据题意可画出函数图象， 由图象可知，①明显正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对随意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2成立，故④正确．。
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高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－xx ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－xx ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。