高中数学 函数周期性总结
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
高一数学周期知识点
高一数学周期知识点一、周期的概念及表示方法周期是指在一个特定的时间范围内，某个事物或现象发生的规律性重复。
在数学中，周期性是指函数在特定条件下，其取值在一定间隔内重复的特性。
周期可以通过函数的图像来表示，通常使用周期性的波形图像，如正弦曲线、余弦曲线等。
以正弦函数为例，其函数图像是一个波状的周期图形，它在给定的时间内重复出现。
二、正弦函数的周期性正弦函数是数学中常见的周期性函数之一。
它的周期为2π，即在横坐标轴上每走过一个完整的周期，正弦函数的值就会有一次完整的变化。
在数学中，正弦函数的表示形式为：y = A sin(Bx + C) + D。
其中A、B、C、D为常数，分别决定了正弦函数的振幅、周期、相位和纵向位移。
三、余弦函数的周期性余弦函数是正弦函数的相似函数，也具有周期性。
余弦函数的周期也是2π，即在横坐标轴上每走过一个完整的周期，余弦函数的值也会有一次完整的变化。
余弦函数的表示形式为：y = A cos(Bx + C) + D。
同样，A、B、C、D为常数，分别决定了余弦函数的振幅、周期、相位和纵向位移。
四、正弦函数与余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是互为相似函数，它们的图像有很多相同的性质和特点。
正弦函数的图像是余弦函数图像向左平移π/2的结果，而余弦函数的图像是正弦函数向右平移π/2的结果。
因此，我们可以通过正弦函数和余弦函数的互相转化，来分析和解决一些周期性问题。
例如，求解正弦函数的最大值、最小值、零点等问题，可以通过将其转化为余弦函数的问题来求解。
五、周期函数的应用周期函数在数学中具有广泛的应用。
它们可以用来描述一些具有规律性变化的事物或现象，比如天体的运行、信号的周期性等。
在物理学中，周期函数常常用于描述振动和波动现象。
例如，弹簧振子的运动、声波的传播等都可以通过周期函数来描述和分析。
此外，周期函数还在工程学、经济学等领域得到广泛运用。
在电路设计中，周期函数可以用来描述交流电信号的变化规律；在经济学中，周期函数可以用于预测经济周期的变化。
高中数学求周期的知识点
高中数学求周期的知识点周期是数学中一个重要的概念，在高中数学学习中经常会遇到。
周期可以应用在函数、三角函数、几何等多个数学领域中。
本文将以“高中数学求周期的知识点”为标题，来介绍一些与周期相关的重要概念和求解方法。
一、函数的周期性函数的周期性是指函数在自变量的某个取值范围内反复出现相同的函数值。
在数学中，常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和周期函数的组合。
1.正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数。
它们的图像在一定范围内呈现一种重复的波动形态。
正弦函数的周期是2π，而余弦函数的周期也是2π。
对于一般形式的正弦函数和余弦函数，可以通过观察函数系数来确定它们的周期。
2.周期函数的组合通过对正弦函数、余弦函数等基本函数的线性组合，可以得到更复杂的周期函数。
例如，f(x)=2sin(x)+3cos(2x)就是一个周期为2π的函数。
对于这类函数的周期性，可以通过分析各个基本函数的周期，再确定组合函数的周期。
二、三角函数的周期性三角函数是一类具有周期性的函数，其中最常见的是正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在自变量增加2π的情况下，函数值会回到原来的值。
1.正弦函数的周期性正弦函数是一个周期函数，它以0为起点，在2π的范围内完成一个周期。
换句话说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在每个2π的整数倍处取得相同的函数值。
2.余弦函数的周期性余弦函数也是一个周期函数，它以0为起点，在2π的范围内完成一个周期。
对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在每个2π的整数倍处取得相同的函数值。
三、求解周期的方法在实际应用中，有时需要求解函数的周期。
对于已知函数，我们可以通过以下方法来求解周期。
1.观察函数表达式对于特定的函数表达式，可以通过观察系数、指数和函数的性质来确定周期。
例如，对于f(x)=sin(3x)，可以发现系数3会使周期变为原来的1/3。
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。
在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。
函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。
例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。
函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。
通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。
函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。
在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。
对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。
而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。
这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。
本文将对此进行深入的探究和分析。
二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。
高中高考函数的周期性复习资料
函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。
2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1. 若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x）≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2. 若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
定理3. 设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。
定理4. 设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。
4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)= -f(x) =>f(x+2a)=f(x)（2）f(x+a)=1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)= -1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+2a)=f(x)二．典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(2019)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)= -2sinπ2x①若当x∈[ -4,-2]时，f(x)≥t➖9t恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x) ➖12log16X 零点的个数为________例题答案：例题一：0 例题二：t≤9或0＜t≤1 ； 5三．基础例题1.若函数f（x）=x2+bx+c对一切实数都有f（x+2）=f（2 -x）则有（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= - f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019）=（）A．- 3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex – 1，则f（2016）+f（-2015）=（）A．1 – e B. e – 1 C. – 1 – e D.e+14.定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）= -f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3） B. f（3）＜0＜f（1）C．f（1）＜0＜f（3） D. f（3）＜f（1）＜05.已知函数f（x）的图像关于点（- 3 ，2 ）对称，则函数h（x）=f（x+1）- 3的图像的对称中心是_______6.设f（x）是定义在R上的奇函数，且在( -∞，0 )上是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数 B.y=g[f(x)]为奇函数C.函数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f( - x)=f(x),且当x≥0时，f(x)={−x2+1，0≤x≤12−2x，x≥1若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．- 1 B.12C. - 13D.13答案：1. A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小2.B∵f（- x）= - f（x）,∴f（3 - x）= - f（x - 3），且f（0）=0.又∵f（3 - x）=f（x），∴f（x）= - f（x - 3），∵f（x - 3）= - f（x - 6）,∴f（x）=f（x - 6），∴f（x）是周期为6的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（- 2015）=f（0）- f（1）=1 – e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）= - f（x），得f（x+4）= - f （x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（- 1）又∵f（x）在[0,2）上单调递减，∴函数f（x）在（- 2，2 ）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（- 4，- 1）函数h（x）=f（x+1）- 3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（- 3，2）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式 xf（x）≤0 的解集为(-∞，-2]∪[0，2]7. B已知得f （- x ）= - f （x ），g （1 - x ）=g （1+x ）， ∵g[f(-x)+1]=g[ - f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数∵f[g(x)]=f[g(2 - x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g( - x+1)]=f[g(x+1)]∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f( - x)]=g[ - f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数8. C由题知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，函数f(x)为减函数，则当x ＜0时，函数f （x ）为增函数。
数学高一周期性总结知识点
数学高一周期性总结知识点高一数学周期性知识点总结导语：数学是一门需要不断联系和积累的学科，尤其是高中数学，各个知识点相互联系，构成一个大的知识体系。
其中，周期性是高一数学中一个重要的知识点，涉及到函数、图像、方程、不等式等多个概念。
本文将对高一数学的周期性知识点进行总结，旨在帮助同学们系统地掌握这一方面的知识。
1. 函数的周期性函数的周期性是指函数在一定规律的条件下，以某个特定的周期不断地重复。
在高一数学中，我们主要接触到正弦函数、余弦函数等具有周期性的函数。
1.1 正弦函数的周期性正弦函数是最常见的周期函数之一，它的周期是2π。
即当自变量x增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
例如，sin(x)在区间[0,2π]的图像是一个正弦波，在区间[2π,4π]上的图像与之完全相同，以此类推。
1.2 余弦函数的周期性余弦函数也是一种常见的周期函数，它的周期同样是2π。
与正弦函数类似，余弦函数的图像在每个周期内都有相同的形状，当自变量增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
2. 图像的周期性图像的周期性是指图像在某个规律下不断重复出现。
在高一数学中，我们经常遇到的周期性图像有菱形、正方形等。
2.1 菱形的周期性菱形是一个经典的周期性图像。
当x坐标和y坐标之和是一个定值的倍数时，图像上的点形成菱形。
例如，在坐标平面上，当x+y=4和x+y=10时，图像上的点会形成两个菱形，且这些菱形是周期性重复的。
2.2 正方形的周期性正方形也是一种常见的周期性图像，它具有四个对称轴。
在坐标平面上，当x和y的绝对值都是一个定值的倍数时，图像上的点会形成正方形。
例如，当|x|=3和|y|=3时，图像上的点会形成一个边长为6的正方形。
3. 方程及不等式的周期性解周期性解是指方程或不等式在一定规律下，以某个特定的周期不断地得到相同的解。
3.1 方程的周期性解对于具有周期性解的方程，我们可以通过求解一个周期内的解，再通过周期的倍数得到其他解。
高中数学-函数周期性奇偶性对称性
课题:函数的周期性、奇偶性、对称性规律总结一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
高中数学函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
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函数的周期性
一、周期函数的定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．
时，都有()()f x T f x +=， 那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
二、常见函数的最小正周期
正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T=
ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω
π
2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω
π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ω
π f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？
三、抽象函数的周期总结
1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T
2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
()(x f c
a x f =+ (C 为常数) ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5 )
(1)
(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、 1)(1
)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 7、)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 8、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=
9、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ；（它是周期函数，一个周期为6）
10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=
11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=
12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(4a b T -=
13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 4=。
14、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 2=。
四、对称性加奇偶性得到周期
1. f(x)为偶函数且f(a+x)=f(a-x)则T=2a
2.f(x)为奇函数且f(a+x)=f(a-x)则T=4a
练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=
)(1x f ③f(x+a)=－)(1x f ④f(x+a)=1
)(1)(-+x f x f ⑤f(x+a)=f(x-a) ⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) 1、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )
A.()f x 是偶函数
B.()f x 是奇函数
C.()(2)f x f x =+
D.(3)f x +是奇函数
2、设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-⎡⎤⎣⎦()1f x =+，
又()22f =+则()2006f = 3、定义在R 上的函数f(x)满足2log (1),0()(1)(2),0
x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩,则(2011)f 的值为（ ）
(A)-1 (B) 0 (C)1 (D)2
4、定义在R 上的函数()f x ，给出下列四个命题：
（1）若()f x 是偶函数，则(3)f x +的图象关于直线3x =对称
（2）若(3)(3),f x f x +=--则()f x 的图象关于点(3,0)对称
（3）若(3)f x +=(3)f x -，且(4)(4)f x f x +=-，则()f x 的一个周期为2。
（4）(3)y f x =+与(3)y f x =-的图象关于直线3x =对称。
其中正确命题的序号为 。
11、若()f x 为定义在R 上的函数，且(10)(10)f x f x +=-，(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 为（ ）
A ． 奇函数且周期函数； B. 奇函数且非周期函数；
C ． 偶函数且周期函数； D. 偶函数且非周期函数．
14、已知函数()f x 满足:
()114
f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.。