高一数学下学期期末试卷
高一下学期期末数学模拟试卷
一.选择题（每小题5分 共60分）
1.已知道A 、B 、C 是平面内的任意三个点，则向量BC AB +=（ ） A. CA B. BA C. AC D. CB
2.已知α是锐角，那么2α是（ ）
A.第一象限角
B.第三象限角
C.小于180°的正角
D.小于90°的正角
3.函数)12
32sin(81π+=x y 的振幅、周期、初相依次是（ ） A.8，π3，12π- B.
81，π3，12π C.8，π31，12π D. 81，π3，12
π- 4.已知21P P 、是的坐标分别是（5，1）和），（421，P 点在线段21P P 上，且212PP P P =， 则点P 的坐标是（ ） A. )23,611( B. )25,411( C. )3,2( D. )2,6
21( 5.已知向量)2,4(=a ，)3,(x b =，且b a //，则x 等于（ ）
A. 9
B. 6
C. 5
D. 3
6.使不等式23sin ≥
x )(R x ∈成立的x 的集合是（ ） Ａ}3|{π≥
x x . B. },32232|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ C. }323|{ππ≤≤x x D. },3
2|{Z k k x x ∈+≥ππ 7.设向量)2,1(-=a ，向量)3,(x b =，若b a ⊥，则x 等于（ ） A. 23 B. 2
3- C. 6 D.—6 8.已知向量a 、b 满足12=a ，22=b ，且)(b a a -⊥，则向量a 和b 的夹角为（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
9.把函数)(x f y =的图象按向量)1,6(
π=a 平移可得函数1)62sin(++=πx y 的图象， 则)(x f y =是（ ）
A.x Sin y 2=
B. )22(π+
=x Sin y C. )62(π-=x Sin y D. )32(π+=x Sin y 10.函数)252sin(π+
=x y 的图象的一条对称轴是（ ） A. 2π
-=x B. 4π-=x C. 8
π=x D. π45=x 11.在△ABC 中，CosC
c CosB b CosA a ==，则∠ABC 是（ ） Ａ.直角三角形 Ｂ.等边三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰直角三角形
12.在△ABC 中，AB=3，13=BC ，AC=4，则边AC 上高为（ ） A. 223 B. 32
3 C. 23 D. 33
二.填空题（每小题5分 共20分）
13.已知向量)12,(k OA =，)5,4(=OB ，)10,(k OC -=，且A 、B 、C 三点共线，则k=____
14. 求值)10tan 31(50sin +=
15.已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且PA OP 21=
，又P 是OB 的中点，则点B 的坐标是____________________
16.已知向量)sin ,(cos ϑθ=a ，向量)1,3(-=b ，则|2|b a -的最大值是___________
三.（本大题 共6个小题，74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知)2,1(a ，)2,3(-=b 当k 为何值时 ①b a b a k 3-+与垂直； ②b a b a k 3-+与平行。
18.（12分）在ABC ∆中，已知面积,8,3,36===∆b a S ABC 求角C 及边c 的值。
19.（12分）已知函数f(x)=
cos (0)sin (0)
x x x x ππ-≤<⎧⎨≤≤⎩ (1)若f(x)=12，求x 的值；
(2)若a 为常数，且a ∈R ，试讨论方程f(x)=a 的解的个数．
20.（12分）已知向量)cos ,1(),1,(sin θθ==b a ，22π
θπ
<<-， ①若b a ⊥求θ； ②求||b a +的最大值。
21.（12分）求函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=的最小正周期和最小值，并写出该函数在],0[π上单调递增区间.
22.(12分)已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3
sin(cos 2)(2⋅+-π+⋅=. (Ⅰ)求函数f (x )的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数f (x )的图象按向量)0,(m a =→平移后得到g (x )的图象，求使函数g (x )为偶函数的m 的最小正值.。
2022-2023学年广东省梅州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝（1+m ）+（2﹣m ）i （m ∈R ，i 为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜m ＜2B ．m ＜﹣1C ．m ＞2D ．m ＜﹣1或m ＞22．已知|a →|=2，|b →|=3，且a →⊥b →，则|b →−a →|=（ ） A ．1B ．√5C ．√13D ．53．某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：kg ），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60%地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄． A ．49B ．51C ．53D ．554．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c B ．a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥αD ．若a ⊂α，α∥β，则a ∥β5．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察，滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．若在一次测量中，AE ＝60，横档CD 的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A ．417B ．817C ．1317D ．15176．在直角坐标系xOy 中，已知a →=(1，3)，b →=(3，1)，若∀t ∈R ，|a →−λb →|≤|a →−tb →|恒成立，则λ＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．357．如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且AA 1＝A 1C 1＝C 1C ＝3，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，则棱BB 1＝（ ）A ．3√62B ．3√3C ．3D ．3√28．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，C =π3，则c 的取值范围为（ ） A ．(2，2√3)B ．(2√3，+∞)C ．(√3，2√3)D ．（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年山东省滨州市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省滨州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，则（ ）52i z =+z =A ．B ．C ．D ．2i --2i -+2i -2i+D【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，再根据共轭复数的概念即可求得答案.【详解】由题意得，，故，55(2i)2i 2i 5z -===-+2i z =+故选：D2．已知正方体的棱长为2.它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是A ．8πB ．12πC ．16πD ．20πB由棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径R 的表面积．【详解】因为棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以，球半径，R =得出，球的表面积．2412S ππ==故选：．B 本题考查球的表面积的求法，求出球的半径是关键，运用正方体外接球的直径等于正方体的体对角线求解．3．以下结论正确的是（ ）A ．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率AB A B ．对立事件一定互斥C ．事件与事件互斥，则有A B ()()1P A P B =-D ．事件，满足，则，是对立事件A B ()()1P A P B +=A B B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义、性质直接求解．【详解】对于，当事件与事件互斥时，事件与事件的和事件的概率才大于A A B A B 事件的概率，故A 错误；A 对于，对立事件一定是互斥事件，故B 正确；B对于，事件与事件对立，则有，事件与事件互斥，则有C A B ()()1P A P B =-A B ，故C 错误；()()1P A P B ≤-对于，事件，满足，则，不一定是对立事件，故D 错误．D A B ()()1P A P B +=A B 故选：B4．在中，若，则此三角形一定是（ ）ABC cos 2bC a =A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．既非等腰三角形也非直角三角形A【分析】根据余弦定理化简即可【详解】由余弦定理，，即，即，故此三222cos 22a b c bC ab a +-==2222a b c b +-=a c =角形一定是等腰三角形故选：A5．设，为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是αβ（ ）A ．若，，则B ．若，，，则m n ∥n ⊂αm α∥m α∥n β∥m n ∥αβ∥C ．若，，则D ．若，，，则m β⊥n β∥m n⊥αβ⊥m αβ= n m ⊥n α⊥C【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；m n ∥n ⊂αm α∥m α⊂对于B ，若，，，则或相交，故B 错误；m α∥n β∥m n ∥αβ∥,αβ对于C ，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C 正确；对于D ，若，，，当，不一定垂直于，αβ⊥m αβ= n m ⊥n β⊄n α故D 错误.故选：C.6．在中，点P 满足，则（ ）OAB 3AB AP =A ．B ．2133OP OA OB=+ 1233OP OA OB=+C ．D ．2133OP OA OB=- 1233OP OA OB=-A【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】()11213333OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB=+=+=+-=+故选：A7的正方体中，直线BD 到平面的距离为1111ABCD A B C D -11AB D （ ）A B C D B【分析】根据线面平行可得点到面的距离即为线到面的距离，根据等体积法即可求解.【详解】因为,平面,平面,因此平面,故11//BD B D 11B D ⊂11AB D BD ⊄11AB D //BD 11AB D 直线BD 到平面的距离即为点到平面的距离；11AB D B 11AB D为边长为2的等边三角形，故,11AB D 111=222AB D S ⨯⨯ 11=12A B B S = 设点到平面的距离为，由等体积法可得,即B 11AB D h 1111D AB B B AB D V V --=11111AB AB D B S A D h S ⋅==故选:B8．如图，为了测量山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内.若已测得AB 之间的距离为a ，，BAM α∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新ABM β∠=观测的角的其中一组，可以求出M ，N 间距离的组数为（ ）①和；②和；③和BNM ∠MBN ∠AMN ∠BNM ∠NAB ∠BNA∠A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】利用已知条件结合正余弦定理，判断所选的条件是否可以求出即可MN 【详解】由，，，在中，利用正弦定理可以求出AB a =BAM α∠=ABM β∠=ABM 的长，,AM BM 对于①和，在中，利用正弦定理可得，BNM ∠MBN ∠BMN △sin sin MN BMMBN BNM =∠∠得，从而可求出，sin sin BM MBN MN BNM ∠=∠MN 对于②和，先求得，所以，AMN ∠BNM ∠AMB παβ∠=--BMN AMN AMB ∠=∠-∠然后在中，利用正弦定理可得，得BMN △sin sin MN BMMBN BNM =∠∠，从而可求出，sin sin BM MBN MN BNM ∠=∠MN 对于③和，在中，由正弦定理得，可求得NAB ∠BNA ∠ABN sin BN ABNAB BNA =∠∠，再在中利用三角形的内角和定理可求出，sin AB NAB BN BNA ∠=∠ABN ABN ∠从而可求得，再在中，利用余弦定理得MBN ABN β∠=∠-BMN △，从而可求出，2222cos MN BN BM BM BN MBN =+-⋅∠MN 所以三组数据均能求出，MN 故选：D 二、多选题9．已知数据，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，123,,x x x n x 1a ，，，数据，，，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，1b 1c 1d 1y 2y 3y n y 2a ，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）2b 2c 2d 21(1,2,3,,)i i y x i n =-= A ．B ．C ．D ．21a a =2121b b =-214c c =2121d d =-BCD【分析】由众数的计算方法可判断A;根据平均数的概念可判断B ；根据方差的性质判断C ；根据百分位数的计算可判断D.【详解】由题意可知，两组数据满足，则它们的众数也满足21(1,2,3,,)i i y x i n =-= 该关系，则有，故A 错误；2121a a =-由平均数计算公式得：1212(21)(21)(21)n n y y y x x x n n +++-+-++-=，即，故B 正确；1221nx x x n +++=⨯- 2121b b =-由方差的性质可得，故C 正确；214c c =对于数据，…，，假设其第80百分位数为，123,,x x x n x 1d 当是整数时，，当不是整数时，设其整数部分为k,则0.8n k =112k k x x d ++=0.8n ，11k d x +=故对于数据，…，，假设其第80百分位数为，12321,21,21x x x ---21n x -2d 当是整数时，，当不是整数时，设其整数0.8n k =1212121212k k x x d d +-+-==-0.8n 部分为k,则，2112121k d x d +=-=-故，故D 正确，2121d d =-故选：BCD10．已知是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）,,a b cA ．B ．a b a b+≤+ a b a b ⋅≤⋅ C ．若，则D ．若，则a b= a b=+a b a b=- a b⊥ ABD【分析】对A ，平方根据可判断；对B ，根据数量积定义和cos ,1a b <>≤可判断；对C ，根据向量是由大小和方向决定可判断；对D ，两边平方cos ,1a b <>≤可得即可判断.0a b ⋅=【详解】对A ，2222222cos ,a b a b a b a b a b a b +=++⋅=++⋅⋅<>，当且仅当同向等号成立，所以，故()2222a b a b a b≤++⋅=+ ,a ba b a b+≤+ A 正确；对B ，因为，所以，当且仅当同向等号cos ,1a b <>≤ cos ,a b a b a b a b ⋅=<>⋅⋅≤⋅ ,a b 成立，故B 正确；对C ，若，因为方向不一定相同，所以不一定相等，故C 错误；a b= ,a b ,a b 对D ，若，两边平方可得，所以，故D 正确.+a b a b =- 0a b ⋅= a b ⊥ 故选：ABD.11．在某次数学中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC ，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（ ）A ．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是12B ．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是411C ．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是14D ．该同学随机选择选项，能得分的概率是415BC【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.【详解】该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；A B C D 随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，；AB AC AD BC BD CD 随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；ABC ABD ACD BCD 随机选四个选项，共有1个基本事件，即；ABCD 仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A 错误；34随机至少选择二个选项，能得分的概率是，故B 正确；31464111+=++仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C 正确；14随机选择选项，能得分的概率是，故D 错误；3317464115++=+++故选：BC.12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ）S AEF -A ．平面平面SAF AEF ⊥B ．四面体的体积为S AEF -13C ．二面角A EF S --D ．顶点S 在底面AEF 上的射影为的垂心AEF BD【分析】（１）作辅助线，证为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，从而判断A 选项．SNO ∠（２）先证平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．SO ⊥（３）证为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算的正切值．SMA ∠SMA ∠（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM ，只需证，EF ⊥OE AF ⊥即可．OF AE ⊥【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF AM ，SE =SF =1，所以，EF ⊥SM EF ⊥为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角SMA ∴∠又 平面ASM ，平面ASM ，SO ，SM AM M ⋂=EF ∴⊥SO ⊂EF ∴⊥作法知， ，平面AEF ，SO AM ^AM EF M = SO ∴⊥所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.平面AEF ，所以 ，由作法知，AF ⊂SO AF ⊥ON AF ⊥SO NO O⋂=平面SON ，平面SON ，AF ∴⊥SN ⊂SN AF∴⊥为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然为锐角，故A 错．SNO ∴∠SNO ∠由题知 ， ，AS SEAS SFAS SEFSE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面SM SEF ⊂平面AS SM ∴⊥又AS ＝２，，SE＝１，12EM EF ==SM AM ∴=== ，四面体S −AEF 的体积为23AS SM SO AM ⨯===1132133233AEF V S SO =⨯=⨯⨯=，故B 正确．在直角三角形ASM中：tan AS SMA SM ∠=== 故C 不正确．因为，，OM ==AO AM OM =-=OE==所以，2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅222cos 2OE OA AE EOA OE OA +-∠==⋅()cos cos OE AF OE OF OA OE OFEOF OE OA EOA⋅=⋅-=∠-∠45⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝44099=-+= ，由对称性知 ，又AM OE AF ∴⊥OF AE ⊥EF ⊥故D 正确．故选：BD ．三、填空题13．某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3，8.3，8.7，则这组数据的75%分位数为___________.8.3【分析】根据百分位数的定义和运算规则即可求解.【详解】该数据已经从小到大排列， ，∴第75%位数是8.3；1075%7.5⨯=故8.3.14．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的表面积为___________.12π【分析】首先根据题意得到，解得，再分别计算侧面积和底面积12242r ππ=⨯⨯2r =即可.【详解】解：设圆锥的半径为，由题知：，解得.r 12242r ππ=⨯⨯2r =所以圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为.2124S ππ=⨯=221482S ππ=⨯⨯=所以表面积.4812S πππ=+=故答案为.12π15．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小km/h 货船准备从河南岸的码头A 处出发，航行到位于河对岸B （AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B 相距250的码头C 处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速m 度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________km/h .km/h【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，AC 设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度v1v为，作出示意图如下：2v因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，2km/h，在中，有,250AB BC m ==Rt ABC △tan AB BCA BC ∠==所以，12ππππ2π,,,+=36263BCA BAC v v ∠=∠=〈〉= 所以，21v v v =-所以||v ===所以小货船航行速度的大小为．故四、双空题16．已知为虚数单位，则___________，i (cos isin )(cos isin )ααββ++=___________.()cos15isin15⎫︒+︒=⎪⎪⎭cos()isin()αβαβ+++12【分析】根据复数的乘法运算结合三角函数的恒等变换公式，即可求得答案.【详解】由题意得，(cos isin )(cos isin )cos cos sin sin i(cos sin sin cos )ααββαβαβαβαβ++=-++ ；cos()isin()αβαβ=+++())cos15isin15cos15sin15i ⎫⎫︒+︒=︒-︒+︒+︒⎪⎪⎪⎪⎭⎭，()()cos 4515isin 4515=+++12=故；cos()isin()αβαβ+++12五、解答题17．已知向量，.(,1)a m =- (1,2)b =(1)若，求；()+2a b b⊥ 2a b+ (2)若向量，，求与夹角的余弦值.(2,1)c =- a c ∥a 2ab -【分析】（1）根据求得，从而可得，于是()+2a b b⊥ 3m =-2(1,3)ab +=- a + （2）由，可得，再由夹角公式计算即可.ac ∥(2,1)a =- 【详解】(1)因为，，(,1)a m =- (1,2)b = 所以，.+(1,1)a b m =+2(2,4)b = 由，可得，即，()+2a b b⊥ ()+20a b b ⋅= 2(1)40m ++=解得，所以，故3m =-2(1,3)a b +=-a + (2)因为向量，，所以，所以.(2,1)c =- a c ∥ 20m -=2m =则，，(2,1)a =- 2(0,5)a b -=-所以()2cos ,22a a b a a b a a b ⋅--=-==所以与a2a b -18．如图，在圆内接四边形ABCD 中，，，的面积120B ∠=︒2AB =AD =ABC (1)求AC ；(2)求.ACD ∠(1)(2)45︒【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得2BC =AC =（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可60D ∠=︒【详解】(1)因为.ABC 1sin 2AB BC B ⋅∠又因为，，所以.120B ∠=︒2AB =2BC =由余弦定理得，，222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，所以22222222cos120AC =+-⨯⨯︒12=AC =(2)因为ABCD 为圆内接四边形，且，所以.又120B ∠=︒60D ∠=︒AD =可得，，故因为sin sin AD AC ACD D =∠∠sin sin AD D ACD AC ∠∠===，所以，所以.AC AD >060ACD ︒<∠<︒45ACD ∠=︒19．如图，在直三棱柱中，，，E 为线段111ABC A B C -AB BC ⊥12AA AB BC ===的中点.1AB(1)求证：平面平面；1BEC ⊥11AB C (2)求直线与平面所成角的正切值.1EC 11BB C C (1)证明见解析【分析】（1）先证明平面,再根据面面垂直的判定定理证明结论即可；BE ⊥11AB C （2）作辅助线，找出直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案 .1EC 11BB C C 【详解】(1)证明：在直三棱柱中，111ABC A B C -平面ABC ，所以.1BB ⊥1BB BC ⊥又因为，，平面，平面，AB BC ⊥1AB BB B Ç=AB Ì11ABB A 1BB ⊂11ABB A所以平面.因为平面，所以.BC ⊥11ABB A BE ⊂11ABB A BC BE ⊥又因为，所以.11BC B C ∥11B C BE ⊥因为，E 为线段的中点，11AB AA BB ==1AB 所以.因为，平面，平面，1BE AB ⊥1111B C AB B = 1AB ⊂11AB C 11B C ⊂11AB C 所以平面,BE ⊥11AB C 又平面，所以平面平面.BE ⊂1BEC 1BEC ⊥11AB C (2)取的中点F ，连接EF ，，1BB 1FC 则，所以.,EF AB AB BC ⊥∥EF BC ⊥因为在直三棱柱中，所以，111ABC A B C -1BB AB ⊥1EF BB ⊥又因为，平面，平面，1BC BB B = BC ⊂11BB C C 1BB ⊂11BB C C 所以平面.所以为直线与平面所成的角.EF ⊥11BB C C 1EC F ∠1EC 11BB C C 因为，所以，，，12AA AB BC ===1EF =112B C =11B F =所以1FC ==因为平面，平面，所以，EF ⊥11BB C C 1FC ⊂11BB C C 1EF FC ⊥所以11tan EF EC F FC ∠==所以直线与平面1EC 11BB C C 20．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，[50,60)[60,70)[80,90)求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.[80,90)(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；（2）根据频率可判断中位数位于区间，设为，列出方程即可求出；[70,80)x （3）求出5人中任取3人的所有情况，再求出满足条件的情况即可求出.【详解】(1)因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=0.020a =(2)因为，.(0.0100.020)100.30.5+⨯=<(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>则中位数位于区间内，设中位数为x ，[70,80)则，解得，0.3(70)0.0450.5x +-⨯=74.4x ≈所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.(3)由题意，阅读时间位于的人数为，[50,60)1000.110⨯=阅读时间位于的人数为，[60,70)1000.220⨯=阅读时间位于的人数为，[80,90)1000.220⨯=所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，515010=则抽取的5人中位于区间有1人，设为a ，位于区间有2人，设为，[50,60)[60,70)1b ，位于区间有2人，设为，.2b [80,90)1c 2c 则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =.()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c 含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅读时间在”，[80,90)，含有3个样本点.()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =所以，3()10P A =所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.[80,90)31021．当今社会，学生的安全问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，滨州市组织了一次中学生安全知识竞赛，规定每队2人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队2人答对的概率均为，乙队2人23答对的概率分别为，，且各人回答正确与否互不影响，各队得分互不影响.1234(1)求甲队总得分为1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.(1)49(2)29【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；【详解】(1)解：令“甲队第个人回答问题正确"，，=i A i 1,2i =令“乙队第个人回答问题正确”，，i B =i 1,2i =则，，.()23i P A =()112P B =()234P B =令“甲队总得分为1分”，则.C =1212C A A A A =⋃由概率加法公式和事件的独立性定义得，()1212()P C P A A A A =⋃()()1212P A A P A A =+.()()()()1212P A P A P A P A =+21123333=⨯+⨯49=所以甲队总得分为1分的概率为.49(2)解：令“甲队总得分为2分”，令“乙队总得分为1分”，D =E =则，，12D A A =1212E B B B B =⋃由概率加法公式和事件的独立性定义得，，()12()P D P A A =()()12P A P A =224339=⨯=()1212()P E P B B B B =⋃()()1212P B B P B B =+，()()()()1212P B P B P B P B =+1113124242=⨯+⨯=，()()()P DE P D P E =412929=⨯=所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为.2922．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，，点E 是PB P ABCD -PA AB ⊥的中点.(1)求证：平面EAC ；PD ∥(2)若，，，求点P 到平面AEC 的距离.2PC AD ==1==PA AB 3APC π∠=(1)证明见解析【分析】（1）连结BD 交AC 于点O ，连接EO ，证明即可；EO PD ∥（2）利用等体积关系即可求解.12P ACE P ABCV V --=【详解】(1)证明：连结BD 交AC 于点O ，连接EO .显然，O 为BD 的中点，又因为E 为PB 的中点，所以.EO PD ∥又因为面EAC ，面EAC ，所以平面EAC ；PD ⊂/EO ⊂PD ∥(2)在中，，，，PAC △1PA =2PC =3APC π∠=由余弦定理得，22212cos 1421232AC PA PC PA PC APC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以，所以，AC =222PA AC PC +=PA AC ⊥又因为，，平面ABCD ，平面ABCD ，PA AB ⊥AB AC A ⋂=AB ÌAC ⊂所以平面ABCD .PA ⊥在中，，，，所以，ABC 1AB =2BC =AC =222AB AC BC +=AB AC ⊥所以12ABCS AB AC =⋅=△11133P ABC ABC V S PA -=⋅==△因为点E 是PB 的中点，所以12P ACE P ABC V V --==因为，且E 是PB 的中点，，所以PA AB ⊥1==PA AB 12AE PB ==因为，，，AC AB ⊥PA AC ⊥PA AB A = 又因为平面ABP ，平面ABP ，所以平面ABP ，AB ÌPA ⊂AC ⊥因为平面ABP ，所以，所以，AE ⊂AC AE ⊥12ABC S AC AE =⋅=△令点P 到平面ACE 的距离为h ，则，13AEC P ACE S h V -⋅=△即，即.13h =h =。
高一下期末数学试卷含答案解析
故选B．
3．在正项等比数列{an}中，若a2=2，a4﹣a3=4，则公比为（ ）
A．2B．1C． D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出，
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，
∵a2=2，a4﹣a3=4，∴ =2q2﹣2q=4，
22．已知A（﹣1，0），B（1，0），圆C：x2﹣2kx+y2+2y﹣3k2+15=0．
（Ⅰ）若过B点至少能作一条直线与圆C相切，求k的取值范围．
（Ⅱ）当k= 时，圆C上存在两点P1，P2满足∠APiB=90°（i=1，2），求|P1P2|的长．
-学年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．
故选；A．
4．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＞b2B． C．lga＞lgbD．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性就看得出．
【解答】解：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ ，
故D正确．
故选D．
5．若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（ ）
A． B． C． D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，
且长方体长、宽、高分别是1、1、3，
三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边是1，三棱锥的高是1，
A．2B．1C． D．
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省六安市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题 1．计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --【答案】B【详解】试题分析：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+ 【解析】复数运算2．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（ ）A ．2021年我国独角兽企业共有170家B ．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家C ．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D ．各行业独角兽企业数量的中位数为13 【答案】C【分析】根据给出的图中信息依次分析选项即可. 【详解】对于选项A ，将图中各行业数量加和， 可知2021年我国独角兽企业共有170家，故A 正确；对于选项B ，京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%，1700.7119⨯=家，故B 正确；对于选项C ，独角兽企业最多的三个行业为电子商务、汽车交通、人工智能， 共有73家，未超过一半，故C 错误；对于选项D ，将各行业的企业数量从小到大排列，中位数为13正确. 故选：C3．在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）． ①αβ、都垂直于平面r ，那么αβ∥ ②αβ、都平行于平面r ，那么αβ∥ ③αβ、都垂直于直线l ，那么αβ∥④如果l 、m 是两条异面直线，且l α∥，m α，l β，m β，那么αβ∥ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误； 由平面平行的传递性可知②正确； 由线面垂直的性质可知③正确；过直线l 做平面γ与αβ、分别交于12,l l ，过直线m 做平面χ与αβ、分别交于12,m m ， 因为l α∥，l β，所以12,ll ll ，所以12l l ∥因为1l β⊄，2l β⊂，所以1l β同理，1m β又l 、m 是两条异面直线，所以12,l l 相交，且1l α⊂，1m α⊂ 所以αβ∥，故④正确. 故选：D4．已知4,62a a b =⋅=-，且向量a 在向量b 上的投影向量为22，则b 的模为（ ） A ．1 B ．22C ．3 D ．9【答案】C【分析】根据投影向量的公式计算即可 【详解】由题，设,a b 的夹角为θ，则cos a b a bθ⋅=，故22623b b-=，解得3b = 故选：C5．已知一组数据m ，n ，2-，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【分析】根据已知可得4n m =-，再根据方差公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：由题意得21134667310m n +-+++++++=⨯，得4n m =-， 所以这组数据的方差2s =22(3)(3)254401991610m n -+-++++++++ 222(3)(1)68(2)357105m m m -+-+-+==≥，所以这组数据方差的最小值为7. 故选：C.6．在ABC ，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos cos a A B b A a A +=，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．.等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】D【分析】由正弦定理边角互化得2sin cos cos sin cos sin cos A A B B A A A +=，进而移项整理得()sin sin cos 0A B A A ⎡⎤+-=⎣⎦，再结合()()sin sin C A B π-=+得sin sin C A =或cos 0A =，进而得答案.【详解】解：根据正弦定理边角互化得2sin cos cos sin cos sin cos A A B B A A A +=， 所以()sin cos sin cos sin cos 0A B B A A A +-=， 所以()sin sin cos 0A B A A ⎡⎤+-=⎣⎦，所以()sin sin cos 0C A A π⎡⎤--=⎣⎦，即[]sin sin cos 0C A A -=， 所以sin sin C A =或cos 0A =， 所以c a =或2A π=，即ABC 的形状是等腰或直角三角形.故选：D7．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（ ）A ．13B ．74C ．34D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM ，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B，()0,2,0C ，(0,3M -，所以()3,3,0AB =，()0,3,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ， 则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯===+⋅+. 故选：C .8．如图，在菱形ABCD 中，433AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为22，若P ，Q 分别为线段BD ，CA 上的动点，则下列说法错误的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面BCDB ．线段PQ 2C ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 14 D ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 6【答案】C【分析】取BD 的中点O ，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断A ；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ， ∵在菱形ABCD 中，43AB =60BAD ∠=︒， ∴2OA OC ==，又22AC = ∴222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥， 又易知,OA BD OC BD ⊥⊥， 因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O =，所以OA ⊥平面BDC ， 因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故A 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()2323,0,2,0,0,0,2,B C A D ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q ，3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 33PQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以点D 到直线PQ 的距离为121373PQ DP d PQ⋅===，故C 错误； 设(),0,0P a ，设()0,2,2CQ CA λλ==-，可得()0,22,2Q λλ-，()()222221222822PQ a a λλλ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭当10,2a λ==时，min 2PQ B 正确； 当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ =，232AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设PQ 与AD 所成的角为θ， 则6cos 1623PQ AD PQ ADθ⋅==⋅⨯，所以PQ 与AD 6D 正确； 故选：C.二、多选题9．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则（ ） A ．||2a b +=B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b +=【答案】BC【分析】对于A 和D ，利用向量模的坐标公式进行判断；对于B ，先利用a b +进行平方结合,a b 是单位向量可得到0a b ⋅=即可判断；对于C ，先算出a b -，然后利用向量夹角公式进行判断即可【详解】解：对于A 和D ，因为(1,1)a b +=-，所以(21a b +=+，故A 和D 错误；对于B ，因为()22222a b a b a b +=++⋅=，且1,1a b ==，所以0a b ⋅=，所以a 与b 垂直，故正确；对于C ，因为22222a b a b a b --=+⋅=，所以2a b =-，所以()21cos ,2a a ba ab a a b a a ba a b⋅--⋅-====⋅-⋅- 因为[],0,a a b π-∈，所以,4a ab π-=，故正确，故选：BC10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ） A ．甲与乙互斥 B ．乙与丙互斥 C ．甲与乙独立 D ．甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项. 【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次. 基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A 错误. 事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A 表示事件甲，用B 表示事件乙，()()()111,,224P A P B P AB ===，则()()()P AB P A P B =，所以甲与乙独立，C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件. 故选：BC11．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ）A ．若30,5,2A b a ===，则ABC 有2解；B ．若A B >，则cos cos A B <；C ．若cos cos cos 0A B C >，则ABC 为锐角三角形；D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【答案】BCD【分析】利用正余弦定理都每项逐一判断即可【详解】对于A ，由正弦定理可得：sin sin a b A B= ，15sin 52sin 124b A B a ⨯∴===>， 此时ABC 无解，A 错误；对于B ，A B > ，sin sin A B ∴> ，根据同角三角函数基本关系式可知cos cos A B <，故B 正确；对于C ，cos cos cos 0A B C >，cos 0cos 0cos 0A B C >⎧⎪∴>⎨⎪>⎩ ，可知,,A B C 均为锐角，故ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D ，cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，由余弦定理可得：22222222a c b b c a a b c cac bc+-+--=-, 整理得：222()()0a b a b c -+-=，0a b ∴-=或2220a b c +-= 即a b =或222+=a b c ，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形，故D 正确故选：BCD12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（ ）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACDD ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为223【答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B, 如图所示, 以D 为坐标原点, DA 为x 轴, DC 为y 轴, 1DD 为z 轴, 建立空间直角坐标系, 则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D , ()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以 ()12,2,2AC =-，()2,2,0AC =-，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=---，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确 对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z = 则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得 ()11,1,1n =设平面 EFG 的法向量 ()2222,,n x y z =, 则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩ 取 21x =, 得 21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭, 平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n 设 12n kn =, 即 ()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭, 解得 451,k λ==，01λ≤≤，不合题意∴ 线段1B C 上不存在点G , 使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n = 则2sin 8FG n FG nθλ⋅==-因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以sin θ=≤=所以sin θ．故D 正确． 故选：ABD三、填空题13．若复数1213i,3i Z Z =+=-（其中i 为虚数单位）所对应的向量分别为1OZ 和2OZ ，则12OZ Z 的面积为_______．【答案】 5【分析】求出向量1OZ 和2OZ 的坐标，再利用向量模和垂直的坐标表示即可求解作答.【详解】依题意，1(1,3)OZ =，2(3,1)OZ =-，则21||1OZ =22||310OZ =，而1231(1)30OZ OZ ⋅=⨯+-⨯=，则12OZ OZ ⊥，所以12OZ Z 的面积为1212||11||1010522OZ Z OZ OZ S ==⨯=. 故答案为：514．如图所示，已知四面体顶点(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -和(5,4,8)D --，则从顶点D 所引的四面体的高h =__________．【答案】11【分析】求出,AB AC ，AD ，然后算出平面ABC 的一个法向量n ，通过点到面的距离公式即可得到答案【详解】解：因为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，(5,4,8)D -- 所以()()2,2,3,4,0,6AB AC =--=，()7,7,7AD =-- 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，所以2230460AB n x y z AC n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令3x =-，则2,6z y ==-，所以()3,6,2n =--， 所以D 到平面ABC 的距离为77117AD n d n⋅===，即从顶点D 所引的四面体的高11h =，故答案为：1115．己知数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为10，方差为2，则数据12321,21,21,,21n x x x x ---⋯-的平均数为a ，方差为b ，则a b +=___________．【答案】27【分析】利用平均数和方差的线性关系的性质直接求出a 、b ，即可求出a +b . 【详解】数据123,,,,n x x x x ⋯平均数为10，所以数据121x -，221x -，⋯，21n x -的平均数为2101=19⨯-，即a =19； 数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为2，所以数据12321,21,21,,21n x x x x ---⋯-的方差为222=8⨯，即b =8， 所以a b +=19+8=27. 故答案为：27.16．如图，四边形ABCD 为平行四边形，3,2,3AB AD BAD π==∠=，现将ABD △沿直线BD 翻折，得到三棱锥A BCD '-，若7A C ，则三棱锥A BCD '-的内切球与外接球表面积的比值为_____．【答案】115【分析】过A 作AE BD ⊥于E ，交CD 于F ，连,A E A F ''，利用余弦定理、面积定理求出点A '到平面BCD 的距离，再借助锥体体积求出内切球半径，结合该锥体的结构特征求出外接球半径作答.【详解】过A 作AE BD ⊥于E ，交CD 于F ，连,A E A F ''，如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，π94232cos 73BD =+-⨯⨯= 2sin 321ABD S AB AD BAD A E AE BD BD ⋅∠'====222232172()7DE AD AE --27cos cos BE BD DE CDB ABE AB AB -∠=∠===1cos 2DE DF CDB ==∠，EF==因7A C，则三棱锥A BCD'-的4个表面三角形全等，在A DF'△中，π3A DF'∠=，222111132cos4224224A F A D FD A D FD A DF''''=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，在A EF'△中，22222135cos29A E EF A FA EFA E EF+-''+-'∠==='⋅，sin A EF'∠因,A E BD EF BD'⊥⊥，A E EF E'=，,A E EF'⊂平面A EF'，则BD⊥平面A EF'，而BD⊂平面BCD，于是得平面A EF'⊥平面BCD，在平面A EF'内过A'作A H EF'⊥于H ，又平面A EF'平面BCD EF=，因此，A H'⊥平面BCD，sinA H A E A EF'''=∠==，设三棱锥A BCD'-的内切球半径为r，则11433A BCD BCD BCDVS r S A H'-'=⨯=⋅，解得4A Hr'==，因BCD△是锐角三角形，则三棱锥ABCD'-的外接球截平面BCD所得截面圆圆心在BCD△内，半径0r，则02sin sin3BDrBCD===∠0r=A BCD'-的外接球球心为O，显然，球O截三棱锥A BCD'-的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内，因球心O与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为0r，因此，球心O到各个三角形所在平面距离都相等，且球心O在三棱锥A BCD'-内，必为三棱锥A BCD'-内切球球心，令三棱锥A BCD'-的外接球半径为R，则222175632R r r=+=+=，所以三棱锥A BCD'-的内切球与外接球表面积的比值为2214π1654π152rR==.故答案为：115【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V 满足：13V Sr =.四、解答题17．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围；(2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合． 【答案】(1)1a =± (2)312（，）【分析】（1）设方程的根为0x ，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，解得答案； （2）写出22(2)(23)i z m m m m =+-+--的共轭复数，根据z 对应的点在第一象限，列出不等式组，解得答案.【详解】(1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<， 故实数m 的集合为3(1,)2.18．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）； (3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)0.005,0.025a b ==；(2)估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7； (3)25.【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a ，b 的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式.【详解】(1)()()20.0450.0201010.0450.020100.7a b a ⎧+++⨯=⎪⎨++⨯=⎪⎩，解得：0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，所以0.005,0.025a b ==；(2)500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+⨯=<，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.045100.750.6++⨯=>，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得：71.7x ≈，故第60%分位数为71.7(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a b c d ,,,，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=19．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)恰有1个人译出密码的概率；(3)若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？ 【答案】(1)112(2)512(3)17名【分析】记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且()13РА=，()14РB =．根据独立事件的概率公式即可求解. 【详解】(1)记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且()13РА=，()14РB =． 两个人都译出密码的概率为()()()1113412P A B P A РB ⋂=⨯=⨯=．(2)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为()()()()P A B A B P A B P A B ⎡⎤⎣⎦⋂⋃⋂=⋂+⋂ ()()()()P A P B P A P B =+ 1111511343412⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (3)假设有n 个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个人译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为()3114n nP B ⎛⎫-=- ⎤⎝⎣⎦⎪⎭⎡，即310.994n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 故30.014n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以342log 0.0116.012lg 2lg 3n ≥==-， 即至少有17名像乙这样的人，才能使译出密码的概率达到99%．20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠=，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD 中点(1)求证：CF面SAB ；(2)求异面直线FC 与BD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)90【分析】（1）建立直角坐标系，求出平面SAB 的法向量，若CF 与平面SAB 的法向量的数量积为0，则可证明；（2）求异面直线所成的角的大小可以根据数量积的计算公式cos ,BD CF BD CF BD CF⋅<>=⋅，即可求解.【详解】(1)证明：由SA ⊥面ABCD 建立如图所示的直角坐标系，以A 点为坐标原点，分别以AD ，垂直于AD 以及AS 为方向建立,,y x z 轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及22SA AD BC ===可知：(0,0,0)A ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,2)S33,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0D 又由点F 为线段SD 中点，可知()0,1,1F31,02CF ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)AS =， 31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =为平面SAB 的法向量，故可知：200130022z n AS y x n AB =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，解得30y x z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，可知平面SAB 的法向量一个法向量为：()1,3,0n =- ()1331022n CF ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴根据线面平行的向量法判断法则可知CF 面SAB(2)解：由题意得：由（1）分析可知31,,122CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1333012222cos ,023BD CF BD CF BD CF⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭<>===⨯⋅ 可知向量,BD CF 互相垂直，故异面直线FC 与BD 所成角的大小为9021．如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当33BC =时，求CD ； (2)当五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦时，求BC 的取值范围.【答案】33(2)3,33⎡⎣.【分析】（1）连接EB ，根据已知可得BCDE 为等腰梯形，进而得到ABE △为等腰三角形，应用余弦定理求得33BE =.（2）由题设可得153273BCDE S ⎡∈⎢⎣⎭，设BC x =得到BCDE S 关于x 的表达式，进而求x 的范围即可.【详解】(1)连接EB ，由五边形内角和得：120D C ∠=∠=︒， ∴//BE CD ，则四边形BCDE 为等腰梯形，则DEB CBE ∠=∠，又90B E ∠=∠=︒，120A ∠=︒，故30AEB ABE ∠=∠=︒，60DEB CBE ∠=∠=︒， 所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=， ∴33BE =，过C 点作CM BE ⊥于M ，可得33cos604BM BC =⋅︒=， ∴3322CD BE BM =-=；(2)由193sin12024ABESAB AE =⋅⋅⋅︒=，又五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦， ∴153273,44BCDE S ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， 设BC x =，则()()1133333222BCDE S BE CD CM x x =⨯+⨯=⨯+-⨯，整理得2156327x x ≤-<，解得333x ≤<或3353x <≤， 又2330DC BE BM x =-=->，即33x <， ∴BC 的取值范围是)3,33⎡⎣.22．已知正方形的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60︒的二面角，点M 在线段AB 上.(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；(2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒；若存在，求此时平面MEC 与平面ECF 的夹角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析【分析】（1）根据面面位置关系判断点O 的位置，再根据线线平行证明线面平行； （2）设()1,,0M t ，利用坐标法根据线面夹角为60︒可得t 的值，再；利用坐标法求二面角余弦值.【详解】(1)证明：因为直线MF ⊂平面ABFE ，故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上(如图所示).因为//AO BF ，M 为AB 的中点，所以OAM FBM ≅，所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO =.连接DF 交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点. 连接MN ，所以MN 为DOF △的中位线，所以//MN OD ， 又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线//OD 平面EMC .(2)解：存在.由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABFE ⊥平面ADE ,取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以()(()1,0,0,3,3,1(40),,E D C F --， 所以()(()1,0,3,,03,4,0EF ED EC ===设()1,,0M t （04t ≤≤），则()2,,0EM t =，设平面EMC 的法向量(),,m x y z =，则·0·0m EM m EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以20430x ty x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取2y =-，则,3x t z ==,3m t ⎛=- ⎝.第 21 页 共 21 页 因为DE 与平面EMC 所成的角为60︒，所以()228328243t t =-++ 所以2430t t -+=，解得1t =或3t =， 所以存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒.设平面CEF 的法向量为(),,n a b c =，则·0·0EC EF n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以43040a b c b ⎧++=⎪⎨=⎪⎩， 取1c =-，则3,0a b ==，所以()3,0,1n =-， 8,2,3t m t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角M BC F --的大小为θ. 所以2228323cos 4198243t t n mt n m t t t t θ--⋅-===⨯-+-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭.因为当2t =时，cos 0θ= ，此时平面EMC ⊥平面CDEF ，所以当1t =时， θ为钝角，所以1cos 4θ=-. 当3t =时， θ为锐角，所以1cos 4θ=。
2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．化简：OP OA PB BC -++=（ ）A ．PCB ．0C ．ABD ．AC【答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则直接求解.【详解】OP OA PB BC AP PB BC AB BC AC -++=++=+=. 故选：D2．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ）A．1 B ．2 C D 【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ b =故选：D.3．已知i 为虚数单位，复数z 满足|2i |1z -=，则||z 的最大值为（ ） A．1 B C ．2D ．3【答案】D【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，利用|2i |1z -=推出z 对应复平面上的点的轨迹，||z 的最大值即为轨迹上的点到原点距离的最大值.【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，由|2i |1z -=，1，则22(2)1x y +-=，于是(,)A x y 可看成以(0,2)为圆心，半径为1的圆上运动，||z 意为A 到(0,0)的距离，距离最大值为3，所以max ||=3z . 故选：D.4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积( )A ．22B ．1C 2D ．(212【答案】A【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB 2=2 所以原图形的面积为：1×2=2 故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力． 5．小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的60%分位数是（ ） A ．12 B ．11.5C ．11D ．7【答案】A【分析】将数据排序，根据百分位数的求法求60%分位数. 【详解】将数据从小到大排序为5,7,11,12,15,30， 所以660% 3.6⨯=，故该组数据的60%分位数是12. 故选：A6．设事件A ，B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()P AB AB ⋃=（ ） A ．0.36 B ．0.504C ．0.54D ．0.9【答案】C【分析】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【详解】根据题意，AB AB 与互斥，A B ，相互独立，B ，A 相互独立，AB ，AB 相互独立，故()P AB AB ⋃=()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B +=+0.60.70.40.30.54=⨯+⨯=.故选：C.7．已知长方体1111ABCD A B C D -中14AB AA ==，3BC =，M 为1AA 的中点，N 为11C D 的中点，过1B 的平面α与DM ，1A N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为（ ） A ．322 B ．311C ．422D ．511【答案】A【分析】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，G 为1CC 中点，连接1B G ，利用长方体性质及线面平行的判定证1//A N 面1B GE 、//DM 面1B GE ，即面1B GE 为平面α，再延长EG 交DC 于F ，连接AF ，利用线线、线面的性质确定面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，最后延长1,AF B G 分别交BC 于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及1134AFGB AHB S S =求截面面积即可.【详解】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，则11112C ED C =，若G 为1CC 中点，连接1B G ，而M 为1AA 的中点，在长方体中1//B G DM ，而111B G B E B ⋂=且11,B G B E ⊂面1B GE ，由1A N ⊄面1B GE ，则1//A N 面1B GE ，由DM ⊄面1B GE ，则//DM 面1B GE ， 所以面1B GE 即为平面α，延长EG 交DC 于F ，易知：F 为DC 中点，则1//EF C D 且1EF C D =，又11//C D B A 且11C D B A =， 故1AFEB 为平行四边形，则1//EF B A 且1EF B A =，故1,,,,A F E G B 共面， 连接AF ，即面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，延长1,AF B G 分别交BC 于一点，而在1,ABH B BH 中,CF CG 都为中位线， 由14AB AA ==，3BC =，则1CG CFB B AB=，故1,AF B G 交BC 于同一点H ， 易知：△1AHB 为等腰三角形且1213AH B H ==142AB =，则1104329cos 25213AHB -∠==⨯，可得1sin AHB ∠=，又113315244213AFGB AHB S S ==⨯⨯⨯=故选：A【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面α，再根据平面的基本性质找到平面α截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.8．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】A【详解】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法. 二、多选题9．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（ ）A ．z 的实部为2B ．zC ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A 、C ，求出复数的模，可判断选项B ，根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为()()()()8i 12i 8i 1015i 23i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，所以z 的实部为2，z 的虚部为3，所以||z =z 在复平面内表示的点位于第一象限故A 、B 正确，C ，D 错误． 故选：AB10．已知O 是ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A ．若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC 为等腰三角形B ．若0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的外心 C ．若0AB BC ⋅>，则ABC 为钝角三角形D ．若0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，则0OC AB ⋅= 【答案】ACD【分析】由数量积的运算判断A ，根据向量的夹角公式判断C ，由垂直的向量表示判断D ，根据向量线性运算判断B ．【详解】由()()0AB AC AB AC +⋅-=，得22AB AC =，即AB AC =，故A 对； 由0OA OB OC ++=，取BC 中点D ，连接OD ，则2OB OC OD OA +==-， 所以,OA OD 共线，且O 在线段AD 上，21OA OD =，即O 为重心，故B 错；由0AB BC ⋅>，得B π-为锐角，B 为钝角故C 对；由0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，得,OA BC OB AC ⊥⊥，知O 为ABC 的垂心，所以0OC AB ⋅=，故D 对.故选：ACD.11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为233cmC 373πD ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm 【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A 选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C 选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D 选项.【详解】如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得12CD ABCE -==，则22213BE ，则圆台的高为3cm ，A 错误；圆台的轴截面面积为()2133c 4m 232⨯+⨯=，B 正确；圆台的体积为()3173cm 33443πππππ⨯⨯++⋅=，C 正确； 将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由1CE EO =可得2BC OB ==，则4OC =，4242COD ππ∠==，又32ADOP OA =+=，则22435CP =+=，即点C 到AD 的中点所经过的最短路程为5cm ，D 正确. 故选：BCD.12．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列命题正确的是（ ）A ．MB 是定值 B ．点M 在圆上运动C ．一定存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE 【答案】ABD【分析】取CD 的中点N ，先证平面MBN ∥平面A 1DE ，再得MB ∥平面A 1DE ；根据余弦定理计算BM 为定值；再根据BM 为定值，可得点M 在圆上运动；若DE ⊥A 1C ，根据条件推出DE ⊥A 1E ,与题意矛盾【详解】解：取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， 因为MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ， 所以平面MNB ∥平面A 1DE ， 因为MB ⊂平面MNB ，所以MB ∥平面A 1DE ，D 正确；∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos ∠MNB ，所以MB 是定值，A 正确； 因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，B 正确；在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，所以DE ⊥EC ，若DE ⊥A 1C ，可得DE ⊥平面A 1CE ,即得DE ⊥A 1E ,与∠DEA 1为45︒矛盾，∴不存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，C 不正确. 故选： ABD. 三、填空题13．一栋楼有6个单元,小王和小李均住在此楼内,他们住在同一单元的概率为_____. 【答案】16【详解】两人所有的居住方式有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,而住同一单元的只有6种:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),故所求概率为61366= 故答案为1614．在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，26PA =P ABCD -外接球的体积是______. 【答案】36π【分析】画出图形，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，可得正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，然后利用勾股定理求解即可.【详解】连接AC BD ，交于O '点，连接PO '，所以PO '⊥底面ABCD ， 从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，连接OD ，正方形ABCD 的边长为4， 可得22O D '=26PA PD ==224O P PD O D -'='，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()2222R O D O O O P O O =+=-''''， 即()22284R O O O O =+='-'，解得1'=O O ， 所以3R =，故四棱锥P ABCD -外接球的体积是34π336π3⨯=. 故答案为：36π.15．安排5名志愿者完成,,A B C 三项工作，其中A 项工作需3人，,B C 两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有______种. 【答案】20【分析】先从5人选3人一组参加A 项工作，然后其他两人完成,B C 即可.【详解】A 项工作安排3人有35C 10=，然后安排,B C 有22A 2=，则所安排的方式共10220⨯=种. 故答案为：20.16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.【答案】2116【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出23322AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 3332B ⎛ ⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，解得3y =3)C ， 设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭， 所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当t =AE BE ⋅取得最小值为2116．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程． 四、解答题17．已知复数()i ,R,0z a b a b ab =+∈<满足z =2z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)设z ，2z ，2z z -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 【答案】(1)1i z =-或1i z =-+； (2)1.【分析】（1）由复数模的意义、纯虚数的意义列式计算作答.（2）利用（1）的结论，求出点A ，B ，C 的坐标，求出三角形面积作答. 【详解】(1)设i z a b =+（a ，R b ∈），则2222i z a b ab =-+，依题意，222a b +=且220a b -=，而0ab <，解得a =1，b =-1或a =-1，b =1， 所以1i z =-或1i z =-+.(2)当1i z =-时，22i z =-，21i z z -=+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,1C ，2AC =，点B 到边AC 距离为1，则1ABC S =△，当1i z =-+时，22i z =-，213i z z -=-+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,3C -，2AC =，点B 到边AC 距离为1，1ABC S =△，所以△ABC 的面积是1.18．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若向量(1,sin )m C =，向量(sin(),1)n B A =-，且3sin 2m n A ⋅=，π3C =(1)求b a(2)若边c =ABC 的周长 【答案】(1)3或1 2(2)4【分析】（1）由已知条件分类讨论即可求得ba的值；（2）分类讨论求得a b 、的值，即可求得ABC 的周长.【详解】(1)sin()sin sin cos cos sin sin()2sin cos m n B A C B A B A B A B A ⋅=-+=-++= 则2sin cos 3sin26sin cos B A A A A ==，即()3sin sin cos 0A B A -=当cos 0A =时，πππ,,236A C B ===，则πsin sin 16πsin 2sin 2b B a A === 当cos 0A ≠时，3sin sin 0A B -=，即sin 3sin B A =，则sin 3sin b B a A == (2)①当πππ,,236A C B ===时，由7c =，可得213b =，2213a = 则ABC 的周长为22121721733a+b+c =++=+； ②当ππ,32C A =≠，3b a =时，由7c =， 可得()()222π7323cos 3a a a a =+-⋅，整理得21a =，则1a =，3b = 则ABC 的周长为13747a+b+c =++=+.19．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召a 名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在[25,30)内的人数为35．(1)求m 和a 的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到0.1）；(2)若用分层抽样的方法从年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这2名志愿者中至少有1人年龄在[35,40)内的概率．【答案】(1)0.07m =，100a =，31.7(2)35【分析】（1）先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出m 的值，然后再根据[25,30)段的人数和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；（2）先计算出年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在[35,40)内的事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【详解】(1)由频率分布直方图知：(0.010.060.040.02)51m ++++⨯=，解得0.07m = … 因为年龄在[25,30)内的人数为35，所以35(0.075)100a =÷⨯=设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为x ，则[30,35)x ∈内，且满足0.0150.075(30)0.060.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23131.73x =≈ (2)由频率分布直方图知：小组成员年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的人数之比为3:2:1，故抽取的6名志愿者中，在区间[30,35),[35,40),[40,45]中分别抽取了3人，2人，1人记[30,35)中的3名志愿者为123,,A A A ，[35,40)中的2名志愿者为12,B B ，[40,45]中的1名志愿者为C ，则从6人中再随机抽取2人的所有可能有121311121(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C2321222313231212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C ； 共15种，至少有1人年龄在[35,40)内的情形有9种，故所求概率为93155P == 20．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，EF BC ∥，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，垂足分别是D ，H ，G ，将△ABC 绕AD 所在直线旋转180°．(1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V ，当E ，F 分别为边AB ，AC 的中点时，求V ；(2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S ，当E ，F 分别在什么位置时，S 最大？【答案】53(2)E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；（2）设DG x =，()0,2x ∈，表示出FG ，则旋转图的侧面积2S DG FG π=⨯⨯，再利用基本不等式计算可得；【详解】(1)解：由圆锥与圆柱的定义可知，将ABC 绕AD 旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为3．因此阴影部分形成的几何体的体积为V V V =-圆锥圆柱1534231333πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯=． (2)解：设DG x =，()0,2x ∈，则2CG x =-，()32FG x =-， 此时()223223S DG FG x x πππ=⨯⨯=-≤，． 当且仅当1x =时等号成立，即E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大．21．如图，在直角梯形OABC 中，//,,22,OA CB OA OC OA BC OC M ⊥==为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于,D P 为线段BC 上的一个动点．（1）用OA 和OC 表示OM ；（2）求OD DM； （3）设OB CA OP λμ=+，求λμ⋅的取值范围．【答案】(1)2233OM OA OC =+；(2)3；(3)3[0,]4. 【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD 将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P 设出1(0)2CP xOA x =≤≤，结合平面向量基本定理，λμ⋅建立为x 的函数求解.【详解】(1)依题意12CB OA =，23AM AB =， 22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=-，2122()3333OM OA AM OA OC OA OA OC ∴=+=+-=+； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知2222()3333t t OD tOM t OA OC OD OA OC ==+==+， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，22133t t +=，则3t 4=，3OD DM =，||3||OD DM =； (3)由已知12OB OC CB OC OA =+=+， 因P 是线段BC 上动点，则令1(0)2CP xOA x =≤≤， ()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++-，又,OC OA 不共线，则有1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩， 1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 211(1)()24λμμμμ⋅=-=--在3[1,]2μ∈上递增，所以min max 331,()0,,()24μλμμλμ=⋅==⋅=， 故λμ⋅的取值范围是3[0,]4. 【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，()0PF FC λλ=>.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）是否存在点F ，使得58B PAE D PFB V V --=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（3）若平面PAD ⊥平面ABCD ，在平面PBE 内确定一点H ，使CH FH +的值最小，并求此时BH BP的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，4λ=；（3）点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，BH 2BP 3=. 【分析】（1）先证明AD ⊥平面PBE .，然后得BC ⊥平面PBE ，再得面面垂直；（2）利用棱锥体积之间的关系111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===，D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=，可得λ的关系，求得λ；（3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，得C '是点C 关于面PBE 的对称点，在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，然后计算出长度即得．【详解】解：（1）证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为ABCD 是菱形，所以AD AB =.因为60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=，,BE PE ⊂平面PBE ，所以AD ⊥平面PBE .又//AD BC ，所以BC ⊥平面PBE .因为BC ⊂平面PBC所以平面PBC ⊥平面PBE .（2）由PF FC λ=，知()1PC PF FC FC λ=+=+. 所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=. 因此，58B PAE D PFB V V --=的充要条件是1528λλ+=， 所以，4λ=.即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得58B PAE D PFB V V --=，此时4λ=. （3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，CB PB ⊥，则C '是点C 关于面PBE 的对称点，.在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点设2BC a =，则3PE BE a ==，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE AD ⊥，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABCD ，所以PE BE ⊥，所以6PB a =，所以2tan tan 6BC BC H BPC PB '∠=∠==， 所以4tan 6BH BC BC H a ''=∠=， 所以BH 2BP 3=．。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）1. 是第_____________象限角，2. 复数_____．3. 函数的最大值是______.4. 已知，且，则______．5. 已知是实系数方程一个虚根，则______．6. 已知等比数列满足，，则______．7. 已知，则在上的数量投影是______．8. 在中，，则______．9. 已知复数z 满足，则的最大值为___________.10. 等差数列前项和分别是，若，则______．11. 若函数在上严格减，则正实数的取值范围是______．12. 已知平面向量，，，，满足，，，则最大值为______.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. “”是“是纯虚数”（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分也不必要D. 充要14. 若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与的的的的20242(1i)+=3sin 4cos y x x =+()()1,3,2,a b k == a b ⊥k =12024i +20x px q ++=p ={}n a 134a a +=246a a +=35a a +=()()3,4,2,1a b == a bABC V 36,5,cos 5b c bc A +====a 34i 2z ++≤z {}{},n n a b n ,n n S T 542n n S n T n +=+44a b =()sin 0y x ωω>=3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω1e 2e 3e p 1231e e e ===u r u r u r 120e e ⋅= 1p ≤r ()()12p e p e -⋅-+u r u r r r ()()()()2331p e p e p e p e -⋅-+-⋅-u r u r u r u r r r r r 1m =()()2322i z m m m =-++-12,e e 12e e + 12e e - 122e e + 122e e + 123e e - 2126e e - 2e 12e e +15. 在中，，则（ ）A. B. C. 或 D. 以上答案均不正确16. 已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；则下列说法正确的是（ ）A. 命题①②都是真命题B. 命题①②都是假命题C. 命题①是真命题，命题②是假命题D. 命题①是假命题，命题②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间.（2）当时，求的最值.18. 在数列中，已知．（1）求的通项公式；（2）计算：．19. 在复数范围解方程．（1）关于的实系数一元二次方程的两根满足的值；（2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值．20. 在中，，平面上点满足，，动点在线段上（不含端点）．（1）设，用含有的式子表示；的ABC V 53sin ,cos 135A B ==cos C =56651665-56651665-()()11100,R,0,1,,n n n n n i P z a z a z a z a a a i n --=++++≠∈= n n z ()P z ()0P z =z ()P z ()0P z =()P z 22()cos sin cos =-+f x x x x x ()f x 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x {}n a 11,11n n n a a a a +==+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭122320242025a a a a a a +++ x 220x x k ++=12,x x 12x x -=k x 220x x k ++=12,x x k 12x x +ABC V 3,4,60AB AC BAC ∠=== ,D E 23AD AB = 34A A E C = P DE ()01DP k DE k =<< ,,k AD AE AP（2）设，求的最小值；（3）求的最小值．21. 一个如果定义在上的函数使得，则称是一个元置换，可以用一个的数表来简单表示，例如表示一个4元置换，对于一个元置换和，按照的递推关系定义的数列称为关于生成的数列．（1）对于3元置换，直接写出2关于的生成数列的前四项；（2）给出两条新定义：①对于一个数列，如果存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称是一个周期数列，并称是的一个周期；②对于一个元置换，如果存在正整数，使得对任意，都是关于的生成数列的一个周期，则称是元置换的一个周期．对于5元置换，求的一个周期；（3）王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针转动一圈，就会按照某个10元置换运作，将在第个位置的凹槽转移到第个位置上．机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥匙多少次，才能保证能打开机关盒？AP xAB y AC =+ 12xy +PB PC ⋅{}1,2,,m f ()()(){}{}1,2,,1,2,,f f f m m = f m 2m ⨯()()()1212m f f f f m ⎛⎫= ⎪⎝⎭12344213f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()()14,22,31,43f f f f f ====：m f {}1,2,,a m ∈ ()11,1n n a f a n a a+⎧=≥⎨=⎩{}n a a f 123231f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f {}n a {}n b T n n T n b b +={}n b T {}n b m f T {}1,2,,a m ∈ T a f {}n a T m f 1234525431f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f f k ()f k ()110k ≤≤华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 答案一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）【1题答案】【答案】三【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】-2【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】7【10题答案】【答案】##0.4【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2i523-92523107,,3232⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5+二、选择题（本大题共4题，满分20分）【13题答案】【答案】D【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【17题答案】【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2.【18题答案】【答案】（1）；（2）【19题答案】【答案】（1）—1或3；（2）【20题答案】【答案】（1）； （2）； （3）【21题答案】【答案】（1）（2）（3）有办法，π,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈n 202420251202,011k x x k k ⎧≤⎪+=<≤⎨⎪>⎩()1AP k AD k AE =-+ 496289112-2,3,1,262519。
福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（ ）()i 12i z =-i z A ．B ．C ．D ．2i -2i+12i+12i-A【分析】结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.【详解】.()2i 12i i,2iz z =+==--故选：A 2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）12cos 13α=αtan αA ．B ．C ．D ．125125-512512-D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角，12cos 13α=α所以，5sin 13α==-.sin 5tan cos 12ααα==-故选：D3．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（ ）a b a b ∥A ．直线、都垂直于直线B ．直线、都垂直于平面a b l a b αC ．直线、都与直线成角D ．直线、都与平面成角a b l 30°a b α60︒B【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，都与垂直，可能，A 选项错误.,a b l a b ⊥B 选项，都垂直于平面，则，B 选项正确.,a b αa b ∥C 选项，都与成角，可能相交，C 选项错误.,a b l 30°,a bD 选项，都与平面成角，可能异面，D 选项错误.,a b α60︒,a b 故选：B4．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，16cm AB =圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）8cm BC =6cm CD =A ．B ．C ．D ．2192πcm 2208πcm 2272πcm 2336πcm C【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【详解】圆柱、圆锥的底面半径为，8cm，10cm =所以陀螺的表面积是.22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=故选：C5．如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，CD AB 高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰12m M B M D A C 角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物15︒60︒A C 30°的高度为（ ）（精确到CD 1m 1.414≈ 1.732≈A ．B ．C ．D ．42m 45m 51m 57mD【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，进而求得.AM CM CD 【详解】在直角三角形中，，ABM 1212sin15,sin15AM AM ︒==︒在三角形中，，ACM 301545,1806015105CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得,sin 45sin 45sin 30sin 30CM AM AM CM ==⋅︒=︒︒︒在直角三角形中，CDM sin60,sin60CDCD CMCM︒==⋅︒======.363612 1.73257m=+=+⨯≈故选：D6．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A B C D，，，A．若与共面，则与共面AC BD AD BCB．若与是异面直线，则与是异面直线AC BD AD BCC．若==，则AB AC DB，DC AD BC⊥D．若==，则=AB AC DB，DC AD BCD【分析】由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．【详解】对于选项A，若与共面，则与共AC BD A B C D AD，，，是四点共面，则BC面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面AC BD,,,A B C D AD BC直线，正确；如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，A B C D，，，当四点不共面时，取BC的中点M，连接,,,A B C DAM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．7．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，sin 2y x =ϕcos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则的值可以是（ ）ϕA ．B ．C ．D ．12π6π3π23πD【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的ϕ等式，即可得出结果.【详解】因为，2cos 2sin 2sin 26623y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数sin 2y x =ϕ的图象，()()sin 2sin 22y x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦由题意可得，可得，当时，，()2223k k ππϕ=-∈Z ()3k k πϕπ=-∈Z 1k =23ϕπ=故选：D.8．已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为．且该圆台45︒上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．100π5003π200π7003πB【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积.【详解】由题意，轴截面如下图示，1AE DE ==若球体半径为R ，则，可得.229(1R -=5R =所以该球体积为.3450033R ππ=故选：B 二、多选题9．设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出1z 2z 1OZ 2OZ的是（ ）12OZ OZ ⊥A ．B ．C ．D ．12i z z =122z z =12=z z 1212z z z z +=-AD【分析】A 根据的几何意义判断；B 由即可判断；C 由12i z z =122OZ OZ =即可判断；D 由并结合向量数量积的运算律即可12||||OZ OZ = 1212OZ OZ OZ OZ +=- 判断.【详解】A ：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符12i z z =2OZ 90︒1OZ 12OZ OZ ⊥合；B ：等价于，即共线，不符合；122z z =122OZ OZ =12,OZ OZ C ：等价于，但不一定有，不符合；12=z z 12||||OZ OZ =12OZ OZ ⊥ D ：等价于，两边平方并应用数量积的运算律1212z z z z +=-1212OZ OZ OZ OZ +=-可得，即，符合.120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ 故选：AD10．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）A．B．C．D．ABC【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.故选：ABC11．下列各式正确的是（）A．B．()()1tan11tan442+︒+︒=12sin10-=︒C．D．23sin7022cos10-=-︒︒)tan70cos102012︒⋅︒︒-=AC【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，()tan1tan44tan45tan144,11tan1tan44︒+︒︒=︒+︒=-︒⋅︒，tan1tan441tan1tan44︒+︒=-︒⋅︒所以()()1tan11tan441tan1tan44tan1tan44+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒，A选项正确.tan1tan44tan1t211an44︒⋅︒+︒⋅+-︒==B选项，1sin10=︒()()2cos60cos10sin60sin102cos601011sin20sin2022︒︒-︒︒︒+︒==︒︒，B选项错误.cos70sin20444sin20sin20︒︒=⋅=⋅=︒︒C 选项，，C 选项正确.23sin 703cos 203cos 2021cos 203cos 202cos 10222--︒-︒===+︒-︒-︒-︒D选项，)sin 70tan 70cos10201cos101cos 70⎫︒︒⋅︒⋅︒-=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒cos10︒，D 选项错误.()sin 20301sin10︒-︒===-︒故选：AC12．已知函数在区间上单调，且满足()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭有下列结论正确的有( )73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若，则函数的最小正周期为；()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x πC ．关于x 的方程在区间上最多有4个不相等的实数解()1f x =[0,2)πD ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ABD【分析】A ：在上单调，，，故()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=；203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=()f x 上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭知是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭512x π=倍即可求出ω，从而求出其周期；()214k k +∈Z C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 【详解】A ，∵，∴在上单调，又7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴，故A 正确；73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，区间右端点关于的对称点为，∵，f (x )在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭为的最小正周期，即3，又，∴.若512(62322T T ππππω-==⋅ ()f x )ω0>ω03ω< ，则的图象关于直线对称，结合，得()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 512x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，故()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ()42k k ω=+∈Z k ＝0，，故B 正确.2,T ωπ==C ，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而03ω< 23T π()f x [)0,2π在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多()1f x =x ()1f x =[)0,2π有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，结合，得，213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 2T πω=81033ω< 又，∴的取值范围为，故D 正确.03ω< ω8,33⎛⎤⎥⎝⎦故选：ABD.本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，()()()sin 0f x x ωϕω=+>解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.()214k k +∈Z 三、填空题13．函数的最小正周期为___________.()tan2xf x =2π直接由正切函数的周期公式可得答案.【详解】.212T ππ==故答案为.2π14．如图，在正四棱柱中，，是棱的中点，异面直1111ABCD A B C D-1AB =E BC 线与所成角的余弦值为，则______．1AB 1CE m m=127-【分析】作辅助线，根据异面直线的定义找到与所成角，解三角形即可求得1AB 1C E 答案.【详解】在正四棱柱中，连接 ,1111ABCD A B C D-1DC 则由于四边形是平行四边形，故 ,1111,AD B C AD B C =∥11AB C D 11AB DC ∥故异面直线与所成角即为与所成角,1AB 1C E 1DC 1C E 即即为异面直线与所成角或其补角，1DC E ∠1AB 1C E 设,则所以 ,12AA=1AB ==112,4CC DC ====1DE C E ===所以,1cos DC E ∠==故异面直线与所成角的余弦值为，则1AB 1C E m m =15．已知函数不是常数函数，且函数满足：定义域为，的图象关于()f x ()f x R ()f x 直线对称，的图象也关于点对称．写出一个满足条件的函数2x =()f x ()1,0______．（写出满足条件的一个即可）()f x （答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭【分析】根据对称性确定正确答案.【详解】依题意，不是常数函数，定义域为，()f x R 图象关于直线对称，也关于点对称，2x =()1,0所以符合题意.()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭故（答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭16．如图，四边形为正方形，平面，，若ABCD AG ⊥ABCD ////AG DF CE ，，，则______．3AG AB ==2DF =1CE =:B EGD G BEF V V --=22:1【分析】将几何体补全为正方体，由、G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGA V V V V V V ------=----求出体积，即可得结果.B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABD V V V V V V ------=----【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGAV V V V V V ------=----111111112735333333335332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.3=B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABDV V V V V V ------=----111111112735335313333332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.6=所以.:2:1B EGD G BEF V V --=故2:1四、解答题17．已知向量，．()1,2a =(),3b x =(1)若，求的值；()3a b b -⊥ x (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围．a b x(1)；x =(2)或.362x -<<32x >【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标3(3,3)a b x -=- 表示即可求参数值；（2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x 值即可.60a b x ⋅=+> a b【详解】(1)由题设，，又，3(3,3)a b x -=- ()3a b b-⊥ 所以，即，(3)90x x -+=2390x x --=可得.x =(2)由题设，，即，60a b x ⋅=+>6x >-当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角a b a b λ= 0λ>132x λλ=⎧⎨=⎩32x =a b 为锐角，综上，或.362x -<<32x >18．如图1，菱形中，，，垂足为点，将沿翻折ABCD 60A ∠=︒DE AB ⊥E AED DE 到，使，如图2．A ED ' A E BE '⊥(1)求证：平面；A E '⊥EBD (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存A D 'F EF ∥A BC 'DFFA '在，说明理由．(1)证明见解析；(2)存在，.1DFFA ='【分析】（1）推导出，由此能证明平面.,,DE AE A E DE A E BE ⊥⊥⊥''A E '⊥BCDE（2）分别取的中点，连接，推导出四边形是平行,A D A C '',F M ,,EF FM BM EBMF 四边形，，从而在线段上存在一点，使平面，且.//EF BM A D 'F //EF A BC '1DFFA ='【详解】(1)在菱形中，，ABCD ,DE AB DE AE ⊥∴⊥ ，,,A E DE A E BE DE BE E ''∴⊥⊥⋂= 平面.A E '∴⊥EBD (2)在线段上存在一点，使平面.A D 'F EF //A BC '理由如下：分别取的中点，连接，,A D A C '',F M ,,EF FM BM 为的中位线，，且，FM A DC 'FM DC ∴∥12FM DC =在菱形中，，且，ABCD EB DC ∥12EB DC=，且四边形是平行四边形，，FM EB ∴∥,FM EB =∴EBMF EF BM ∴∥平面平面，EF ⊄ ,A BC BM '⊂A BC '平面，EF ∴ A BC '为中点，F A D '.1DFFA ∴'=19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数O ()sin cos f x a x b x =+(),a M b O =的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．()f x ()f x OM (1)若向量为的相伴特征向量，求实数的值；()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭λ(2)记向量的相伴函数是，求在的值域．()5,12m =()f x ()f x 20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)(2)⎤⎥⎦【分析】（1）根据已知相伴特征向量的定义可得，即可求解；()2sin 2cos h x x x =+（2）根据相伴函数的定义结合三角恒等变换得到函数的解析式，利用正弦型函数()f x 的性质求解值域即可.【详解】(1)解：因为向量为的相伴特征向量，()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，()sin 2sin 2cos 44h x x x x x ππλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.λ=(2)解：因为向量的相伴函数是()5,12m =，()5125sin 12cos 13sin cos 1313f x x x x x ⎛⎫=+=⨯+ ⎪⎝⎭设，则，512cos ,sin 1313θθ==sin 1θ<<32ππθ<<所以，()13sin()f x x θ=+当时，，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,3x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，函数有最大值为13，2x πϕ+=()f x 当时，即，函数有最小值为23x πϕϕ+=+23x π=()f x，222()5sin 12cos 333f πππ=⨯+⨯=故函数的值域为.()f x ⎤⎥⎦20．如图，在直三棱柱中，，且111ABC A B C -AC BC ⊥AC ==BC ，是棱的中点，是棱上的点，满足．12AA AB=D 1BB E 1CC 15CE EC =(1)证明：平面；AD ⊥1A DE (2)求直线与平面所成角的正弦值．AE 1ABB (1)证明见解析【分析】（1）先根据数量关系证明线线垂直，然后可得线面垂直；（2）先求解到平面的距离，然后根据线面角的定义求解正弦值.E 11ABB A【详解】(1)证明：因为，且;AC BC ⊥AC ==BC 3AB =因为，所以；12AA AB =16AA =因为是棱的中点，所以，D 1BB 1AD A D ==因为，所以；22211AD A D AA +=1AD A D ⊥因为，，所以；15CE EC =16AA =11,5C E CE ==在直角梯形中，，所以.11C B DE 11B C =13B D =DE =在直角三角形中，，所以ACE AC ==5CE AE 因为，所以.222AD DE AE +=AD DE ⊥由，，且，所以平面.1AD A D ⊥AD DE ⊥1=A D DE D ⋂AD ⊥1A DE (2)在直角三角形中，作于，如图，ACB CH AB ⊥H由等面积法可得；CH 由直棱柱的性质可得，所以平面;1AA CH ⊥CH ⊥11ABB A因为平面，所以到平面，1//CC 11ABB A E 11ABBA 设直线与平面所成角为，则AE 1ABB θsinθ==21．已知平面四边形中，，，．ABCD AB AD =AB AD ⊥AC =1BC =(1)若，求四边形的面积；56ACB π∠=ABCD (2)若记，．()0ACB θθπ∠=<<()CD f θ=①求的解析式；()f θ②求的最小值及此时角的值．CD θ(2)①②，此时．()f θ=CD 14πθ=【分析】（1）由余弦定理求得，，继而得，，根据三AB =cos CAB ∠sin DAC ∠AD 角形的面积公式可求得答案；（2）①由余弦定理求得，再由正弦定理求得，继而得，AB sin CAB ∠cos DAC ∠，根据余弦定理可求得；AD ()f θ②由角的范围和正弦函数的性质可求得的最小值及此时角的值．CD θ【详解】(1)在中，，，所 以ABCAC=1BC =56ACB π∠=，222+2cos AB AC CB AC BCACB =-⋅∠即，所以2225+11cos6AB π=-⨯AB =所以，222cos 2CA AB BCCABCA AB +-∠===⋅又，，所以AB AD =AB AD ⊥sin DAC ∠=AD AB ==所以，151sin 26ABC S π=⨯=19sin 24ADC S DAC =∠= 所以四边形ABCD (2)①在中，，，所 以ABC AC =1BC =ACB θ∠=，222+2cos AB AC CB AC BC θ=-⋅即，所以，222+11cos AB θ=-⨯24AB θ=-又，所以sin sin AB CB CAB θ=∠sinCAB ∠=又，，所以AB AD =AB AD⊥co s DAC ∠=，224A AB D θ=-=所以2222+cos AD AC CD AD AC DAC-⋅=∠4+3θ=--，7+4πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以；()CD f θ==②因为，所以，0θπ<<5444πππθ<<+所以当，即时，，42ππθ=+4πθ=min 14CD f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，此时．CD 14πθ=关键点睛：本题主要考查运用正弦定理、余弦定理解三角形，关键在于运用正弦定理 、余弦定理表示其边和角得的解析式.()f θ22．如图，在四棱锥中，，底面为正方形．记直线S ABCD -SAB SAD∠=∠π2≤ABCD 与平面所成的角为．SA ABCD θ(1)求证：平面平面；SAC ⊥SBD (2)若二面角的大小为，求的值；B SA D --2π3cos θ(3)当时，、中点为，，点为线段上的动点（包括端点），π2θ=SB BC M N P CD ，二面角的大小记为，求的取值范围．2SA AB =M NP A --αtan α(1)证明详见解析(3)2⎤⎦【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.BD ⊥SAC SAC ⊥SBD （2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得.SA ABCD θcos θ（3）作出二面角的平面角，结合三角函数值域的求法，求得的取值M NP A --tan α范围.【详解】(1)连接，交点设为，连接.,AC BD O SO 依题意可知，所以，SAB SAD ≅ AB SD =所以三角形中，，SBD SO BD ⊥由于，,BD AC AC SO O ⊥⋂=所以平面，BD ⊥SAC 由于平面，BD ⊂SBD 所以平面平面.SAC ⊥SBD (2)过作，垂足为，连接，B BK SA ⊥K DK 由已知，得，SAB SAD ≅ DK SA ⊥所以是二面角的平面角，BKD ∠B SA D --所以.2π3BKD ∠=设正方形的边长为，则，ABCD a BD =所以，,BK DK AK ===由于，,,DK SA BK SA DK BD K ⊥⊥⋂=所以平面，则.SA ⊥DKB SA KO ⊥过作，垂足为，S SE AC ⊥E 由于平面，所以，BD ⊥SAC BD SE ⊥由于，所以平面，AC BD O = SE ⊥ABCD 所以，即是直线与平面所成角.SAC θ∠=SAC ∠SA ABCD 在中，，Rt AKOAO =所以cos AK AO θ==(3)取中点，过作，垂足为，连接，AB Q Q QR NP ⊥R ,MQ MR 则为二面角的平面角，即，MRQ ∠M NP A --MRQ α∠=则，tan MQ QR α=由已知，设正方形的边长为，则，=MQ AB ABCD a MQ AB a ==在正方形中，设，ABCD PNC β∠=，当时，在三角形中，QN =π,arc tan 24PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR ，3π3ππarc tan 2,442QNR β⎡⎤∠=-∈-⎢⎥⎣⎦()()3π3π3πsin arc tan 2sin cos arc tan 2cos sin arc tan 2444⎛⎫-=- ⎪⎝⎭==，3πsin 4β⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦.3πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.tan MQ QRα==当时，在三角形中，，π0,4PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR πππ,442QNR β⎡⎤∠=+∈⎢⎥⎣⎦，.πsin 4β⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.tan 2MQQRα⎤==⎦综上所述，的取值范围是.tanα2⎤⎦。