功、功率与动能定理(解析版)

构建知识网络：考情分析：功和功率、动能和动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律是力学的重点，也是高考考查的重点，常以选择题、计算题的形式出现，考查常与生产生活实际联系紧密，题目的综合性较强。

复习中要特别注意功和功率的计算，动能定理、机械能守恒定律的应用以及与平抛运动、圆周运动知识的综合应用重点知识梳理： 一、功1.做功的两个要素(1)作用在物体上的力. (2)物体在力的方向上发生的位移. 2.功的物理意义 功是能量转化的量度. 3.公式 W ＝Fl cos_α(1)α是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移. (2)该公式只适用于恒力做功. 4.功的正负(1)当0≤α<π2时，W >0，力对物体做正功.(2)当π2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功.(3)当α＝π2时，W ＝0，力对物体不做功.通晓两类力做功特点(1)重力、弹簧弹力和电场力都属于“保守力”，做功均与路径无关，仅由作用对象的初、末位置(即位移)决定。

(2)摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关。

二、功率1.物理意义：描述力对物体做功的快慢.2.公式：(1)P ＝Wt ，P 为时间t 内的物体做功的快慢.(2)P ＝Fv①v 为平均速度，则P 为平均功率. ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率. 3.对公式P ＝Fv 的几点认识：(1)公式P ＝Fv 适用于力F 的方向与速度v 的方向在一条直线上的情况. (2)功率是标量，只有大小，没有方向；只有正值，没有负值.(3)当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解. 4.额定功率：机械正常工作时的最大功率.5.实际功率：机械实际工作时的功率，要求不能大于额定功率. 三、动能1.定义：物体由于运动而具有的能.2.公式：E k ＝12mv 2.3.物理意义：动能是状态量，是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有正值，动能与速度方向无关.4.单位：焦耳，1J ＝1N·m ＝1kg·m 2/s 2.5.动能的相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性.6.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12mv 22－12mv 12.四、动能定理1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.2.表达式：(1)W ＝ΔE k . (2)W ＝E k2－E k1. (3)W ＝12mv 22－12mv 12.3.物理意义：合外力做的功是物体动能变化的量度.4.适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动. (2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功.(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用. 【名师提醒】一对平衡力做功绝对值肯定相等；一对相互作用力做功的绝对值不一定相等，可以同为正或同为负，也可以一个做功一个不做功，可以一正一负绝对值不一定相等---因为相互作用力作用在不同的物体上，不同的物体位移不一定相等。

典型例题剖析：考点一：功和功率的理解与计算【典型例题1】一物块放在水平地面上，受到水平推力F 的作用，力F 与时间t 的关系如图甲所示，物块的运动速度v 与时间t 的关系如图乙所示，10 s 后的v -t 图像没有画出，重力加速度g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．物块滑动时受到的摩擦力大小是6 NB ．物块的质量为1 kgC ．物块在0～10 s 内克服摩擦力做功为50 JD ．物块在10～15 s 内的位移为6.25 m 【答案】 D【变式训练1】(多选)(2017·淮安模拟)如图所示，摆球质量为m ，悬线长度为L ，把悬线拉到水平位置后放手。

设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力的大小F 阻不变，则下列说法正确的是( )A ．重力做功为mgLB ．悬线的拉力做功为0C ．空气阻力做功为－mgLD ．空气阻力做功为－12F 阻πL【答案】 ABD【解析】 摆球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B 正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F 阻·12πL ，C 错误，D 正确。

【变式训练2】 (多选)如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。

小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )A.12Mv 2 B ．Mv 2 C.12μMgl D ．μMgl 【答案】 AC【变式训练3】(2017·常州检测)质量为2 kg 的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示，若物体的初速度为3 m/s ，则其末速度为( )A ．5 m/s B.23 m/s C. 5 m/s D.35 m/s 【答案】 B【解析】 F -x 图像与x 轴围成的面积表示外力所做的功，由题图可知：W ＝(2×2＋4×4－3×2) J ＝14 J ，根据动能定理得：W ＝12mv 2－12mv 02，解得：v ＝23 m/s ，故B 正确。

【典型例题2】(2017·盐城模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的14光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R ，圆弧底端切线水平。

小物块乙从高为R 的光滑斜面顶端由静止滑下。

下列判断正确的是( )A ．两物块到达底端时速度相同B ．两物块运动到底端的过程中重力做功相同C ．两物块到达底端时动能相同D ．两物块到达底端时，乙的重力做功的瞬时功率大于甲的重力做功的瞬时功率 【答案】 D【变式训练4】 (2017·泰州模拟)把A 、B 两相同小球在离地面同一高度处以相同大小的初速度v 0分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．两小球落地时速度相同B ．两小球落地时，重力的瞬时功率相同C ．从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同D ．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同 【答案】 C【名师提醒】 1.功的计算力的特点 计算方法 恒力的功单个恒力W ＝Fl cos α合力为恒力1.先求合力，再求W ＝F 合l2.W ＝W 1＋W 2＋…变力的功大小恒定，且方向始终沿轨迹切线方向（耗散力）力的大小跟路程的乘积 力与位移成线性变化（随位移均匀变化的力）W ＝F l cos θ（平均力） 已知F －l 图象 功的大小等于“面积” 一般变力动能定理2.功率的计算(1)P ＝Wt，适用于计算平均功率；(2)P ＝Fv cos θ，若v 为瞬时速度，P 为瞬时功率，若v 为平均速度，P 为平均功率. 考点二：机车启动问题【典型例题3】(2017·衡水月考)如图甲所示，在水平路段AB 上有一质量为2×103 kg 的汽车(可视为质点)，正以10 m/s 的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC 较粗糙，汽车通过整个ABC 路段的v -t 图像如图乙所示(在t ＝15 s 处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW 不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。

求：(1)汽车在AB 路段上运动时所受阻力f 1的大小。

(2)汽车刚好开过B 点时加速度a 的大小。

(3)BC 路段的长度。

【答案】 (1)2 000 N (2)1 m/s 2 (3)68.75 m【变式训练5】一汽车在平直公路上行驶。

从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图7所示。

假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变。

下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )【答案】 A【解析】 由P -t 图像知：0～t 1内汽车以恒定功率P 1行驶，t 1～t 2内汽车以恒定功率P 2行驶。

设汽车所受牵引力为F ，则由P ＝Fv 得，当v 增加时，F 减小，由a ＝F －fm 知a 减小，又因速度不可能突变，所以选项B 、C 、D 错误，选项A 正确。

【名师提醒】1．两种启动方式的比较两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P -t 图像和v -t 图像O A 段过程分析v ↑⇒F ＝Pv ↓⇒a ＝F －F 阻m ↓a ＝F －F 阻m不变⇒F 不变⇒v ↑P ＝Fv ↑直到P 额＝Fv 1运动性质加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1aAB 段 过程分析 F ＝F 阻⇒a ＝0⇒v m ＝PF 阻v ↑⇒F ＝P 额v ↓⇒a ＝F －F 阻m ↓运动性质以v m 匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC 段 无F ＝F 阻⇒a ＝0⇒以v m ＝P 额F 阻匀速运动 2．三个重要关系式(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝PF 阻。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v ＝P F <v m ＝PF 阻。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt ，由动能定理得Pt －F 阻x ＝ΔE k ，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。

考点三：动能定理的应用【典型例题4】我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。

如图所示，质量m ＝60 kg 的运动员从长直助滑道AB 的A 处由静止开始以加速度a ＝3.6 m/s 2匀加速滑下，到达助滑道末端B 时速度v B ＝24 m/s ，A 与B 的竖直高度差H ＝48 m 。

为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧。

助滑道末端B 与滑道最低点C 的高度差h ＝5 m ，运动员在B 、C 间运动时阻力做功W ＝－1 530 J ，取g ＝10 m/s 2。

(1)求运动员在AB 段下滑时受到阻力F f 的大小；(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大。

【答案】：(1)144 N (2)12.5 m【变式训练6】(多选)(2017·齐鲁名校协作体联考)如图甲所示，为测定物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x 与斜面倾角θ的关系，将某一物体沿足够长的斜面每次以不变的初速率v 0向上推出，调节斜面与水平方向的夹角θ，实验测得x 与斜面倾角θ的关系如图乙所示，g 取10 m/s 2，根据图像可求出(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )A ．物体的初速率v 0＝3 m/sB ．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.75C ．取不同的倾角θ，物体在斜面上能达到的位移x 的最小值x min ＝1.44 mD ．当某次θ＝30°时，物体达到最大位移后将沿斜面下滑 【答案】 BC【解析】 由题图乙可知，当倾角θ＝0时，位移为2.40 m ，而当倾角为90°时，位移为1.80 m ，则由竖直上抛运动规律可得v 0＝2gh ＝2×10×1.80 m/s ＝6 m/s ，故A 错误；当倾角为0时，由动能定理可得－μmgx ＝0－12mv 02，解得μ＝0.75，故B 正确；取不同的倾角θ，由动能定理得－mgx sin θ－μmgx cos θ＝0－12mv 02，解得x ＝v 022g sin θ＋μcos θ＝362×10×⎝⎛⎭⎫sin θ＋34cos θ m ＝3625×sin θ＋α m ，当θ＋α＝90°时位移最小，x min＝1.44 m ，故C 正确；若θ＝30°时，重力沿斜面向下的分力为mg sin 30°＝12mg ，摩擦力F f ＝μmg cos 30°＝338mg ，又因最大静摩擦力等于滑动摩擦力，故物体达到最高点后，不会沿斜面下滑，故D 错误。