2019版高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第69讲绝对值不等式课件
2019版高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第69讲绝对值不等式学案201805072197
第69讲绝对值不等式考纲要求考情分析命题趋势1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)||a＋b≤||a＋||b.(2)||a－b≤||a－c＋||c－b.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：||ax＋b≤c，||ax＋b≥c，||x－a＋||x－b≥c.2017·全国卷Ⅰ，232016·全国卷Ⅰ，242016·全国卷Ⅲ，242016·江苏卷，21(D)解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.分值：5～10分1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么||a＋b≤||a＋||b，当且仅当__ab≥0__时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么||a－b≤||a－c＋||c－b，当且仅当__(a－c)(c －b)≥0__时，等号成立．2．含绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式||x＜a，||x＞a的解集不等式a＞0a＝0a＜0 ||x＜a__{x|－a＜x＜a}____∅____∅__ ||x＞a__{x|x＞a或x＜－a}____{x|x∈R且x≠0}____R__(2)||≤c(c＞0)和||≥c(c＞0)型不等式的解法①||ax＋b≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②||ax＋b≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)．(1)对||a＋b≥||a－||b当且仅当a＞b＞0时等号成立．(×)(2)对||a－||b≤||a－b当且仅当||a＞||b时等号成立．(×)(3)对||a －b ≤||a ＋||b 当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) (4)||ax ＋b ≤c 的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( √ ) (5)不等式||x －1＋||x ＋2＜2的解集为∅.( √ ) 2．设ab ＜0，a ，b ∈R ，那么正确的是( C ) A ．||a ＋b ＞||a －b B ．||a －b ＜||a ＋||b C ．||a ＋b ＜||a －b D ．||a －b ＜||||a －||b解析 由ab ＜0，得a ，b 异号，易知|a ＋b |＜|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |＞||a |－|b ||， ∴C 项成立，A ，B ，D 项均不成立． 3．不等式1＜||x ＋1＜3的解集为( D ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2) 解析 1＜|x ＋1|＜3⇔1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1⇔0＜x ＜2或－4＜x ＜－2. 4．不等式|2x －1|＜2－3x 的解集是( C )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ＜35C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜35D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞35解析 |2x －1|＜2－3x ⇔3x －2＜2x －1＜2－3x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜2x －1，2x －1＜2－3x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＜35⇔x ＜35.5．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为__(5,7)__． 解析 由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3，∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3， 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤－4＋b3＜1，3＜4＋b3≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7.一 绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x 的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单．若x 的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解析 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0，令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示．由图可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．二 绝对值不等式的证明(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．【例2】 设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54.证明 方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 方法二 设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . ∵－1≤x ≤1，当x ＝±1，即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54；当－1<x <1，即x 2－1<0时，g (a )＝ax 2＋x －a 是单调递减函数． ∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54；g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－54.∴－54≤g (a )≤54，∴|f (x )|＝|g (a )|≤54.三 绝对值不等式的综合应用对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．【例3】 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥6；(2)若不等式f (x )≥3a 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝0时，求得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋2，x ＜－12，4，－12≤x ≤32，4x －2，x ＞32，由f (x )≥6⇒x ≤－1或x ≥2.所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(2)因为|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4. 所以f (x )min ＝4＋a ，要使f (x )≥3a 2对一切实数x 恒成立， 只要4＋a ≥3a 2，解得－1≤a ≤43.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43. 【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[－1,1]．1．解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解析 ①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③x ≥12，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.2．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2， 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{}x |－1≤x ≤3.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．3．(2018·陕西西安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对于x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解析 (1)f (x )<|x |＋1⇔|x |－|2x －1|＋1>0， 当x <0时，－x ＋(2x －1)＋1>0，得x >0，∴无解； 当0≤x ≤12时，x ＋(2x －1)＋1>0，得x >0，∴0<x ≤12；当x >12时，x －(2x －1)＋1>0，得x <2，∴12<x <2，故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.4．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．易错点 不能正确处理好整体与个体的关系错因分析：先由已知求得x 和y 的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误． 【例1】 已知||x ＋y ＜13，||2x －y ＜16，求证：||x －y ＜29.证明 设m (x ＋y )＋n (2x －y )＝x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－13，n ＝23，∴||x －y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13(x ＋y )＋23(2x －y )≤13||x ＋y ＋23||2x －y ＜19＋19＝29.【跟踪训练1】 (2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，||y －2＜a3，求证：||2x ＋y －4＜a .证明 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .课时达标 第69讲[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．1．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－|x －a |＋a (a ∈R )． (1)解不等式f (x )≤5；(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f (x )≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，即|x －2|＋|x －a |≥a 恒成立． 而|x －2|＋|x －a |≥|(2－x )＋(x －a )|＝|a －2|， ∴(|x －2|＋|x －a |)min ＝|a －2|， ∴|a －2|≥a ，∴a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2≥a 2，a >0，解得a ≤1，故a 的取值范围为(－∞，1]．2．设f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)若对任意的x ∈R ，f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，其图象如下．根据图象易得f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由于f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|， 对任意的x ∈R ，f (x )≥4等价于|a －1|≥4， 解得a ≥5或a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝3时，f (x )>0， 即|x －2|－|2x －3|>0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤32，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧32<x <2，－3x ＋5>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0，解得1<x ≤32或32<x <53或无解．∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <53. (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )＝2－x －|2x －a |， ∴f (x )<0 可化为|2x －a |>2－x ， 即2x －a >2－x 或2x －a <x －2，即a <3x －2或a >x ＋2恒成立，∵x <2，∴a ≥4. 故a 的取值范围是[4，＋∞)．4．设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立． (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12.解析 (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|， 则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6－2x ，x <－7，8，－7≤x ≤1，2x ＋6，x >1，当x <－7时，f (x )>8，当－7≤x ≤1时，f (x )＝8， 当x >1时，f (x )>8.综上，f (x )有最小值8，所以m ≤8，故m 的取值范围为(－∞，8]． (2)当m 取最大值时，m ＝8.原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <3，3－x －2x ≤4，等价于x ≥3或－13≤x <3.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－13. 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.6．设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解析 (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.因为方程|x －2|＋|x －1|＝4的解为x 1＝－12，x 2＝72，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.(2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1， 而f (x )≤1的解集是[0,2]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)．所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋2n m ＋m 2n ≥4.。
全国通用版2019版高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲第1课绝对值不等式课件理
(2)当 x∈[1,3]时，f(x)≤3 恒成立， 即|x－a|≤3＋|2x－1|＝2x＋2. 故－2x－2≤x－a≤2x＋2， 即－3x－2≤－a≤x＋2， ∴－x－2≤a≤3x＋2 对 x∈[1,3]恒成立． ∴a∈[－3,5]．
NO.3 课堂真题集中演练
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1| ＋|x－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求 a 的取值范围．
绝对值不等式的证明
[典例] 已知 x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14， 求证：|x＋5y|≤1. [证明] ∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1. 即|x＋5y|≤1.
当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1；
当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2.
所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2
.
x－1－2a，x<－1， (2)由题设可得 f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，
－x＋1＋2a，x>a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a－ 3 1，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， △ABC 的面积为23(a＋1)2. 由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
2019版高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第一节绝对值不等式实用课件理
[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点 分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝 对值符号的不等式(组)求解．
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
|x|<a |x|>a
x|－a<x<a
x|x>a或x<－a
a＝0
∅
x∈R|x≠0
a<0 ∅ R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . (3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解． ③构造函数，利用函数的图象求解．
法二：原不等式等价于x<－12， －2x＋1＋2x－1>0
或－12≤x≤1， 2x＋1＋2x－1>0
或x2>x1＋，1－2x－1>0.
解得 x>14，所以原不等式的解集为x|x>14. (2)①当 x<－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得 x<10， ∴x<－3. ②当－3≤x<12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得 x<－25， ∴－3≤x<－25. ③当 x≥12时，原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<x2＋1， 解得 x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为x|x<－25或x>2.
2019版高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第69讲绝对值不等式课件
方法二 设 g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1， 当 x＝±1，即 x2－1＝0 时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤54； 当－1<x<1，即 x2－1<0 时，g(a)＝ax2＋x－a 是单调递减函数． ∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54； g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝x＋122－54. ∴－54≤g(a)≤54，∴|f(x)|＝|g(a)|≤54.
【例 2】 设 a∈R，函数 f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若|a|≤1，求证：|f
证明 方法一 ∵－1≤x≤1，∴|x|≤1. 又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.
(2)ax＋b≤c(c＞0)和ax＋b≥c(c＞0)型不等式的解法
①ax＋b≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②ax＋b≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
a＜0 ________ ______
1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)． (1)对a＋b≥a－b当且仅当 a＞b＞0 时等号成立．( × ) (2)对a－b≤a－b当且仅当a＞b时等号成立．( × ) (3)对a－b≤a＋b当且仅当 ab≤0 时等号成立．( √ ) (4)ax＋b≤c 的解等价于－c≤ax＋b≤c.(√ ) (5)不等式x－1＋x＋2＜2 的解集为∅.( √ )
• 【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
－2x－6，x≤－2， 则 f(x)＝－2，－2＜x＜1，
2x－4，x≥1.
作出函数的图象，如图所示．
高考数学一轮复习 第十二章 不等式选讲 课时达标69 绝对值不等式
第69讲 绝对值不等式[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．1．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－|x －a |＋a (a ∈R )． (1)解不等式f (x )≤5；(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f (x )≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，即|x －2|＋|x －a |≥a 恒成立． 而|x －2|＋|x －a |≥|(2－x )＋(x －a )|＝|a －2|， ∴(|x －2|＋|x －a |)min ＝|a －2|， ∴|a －2|≥a ，∴a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥a 2，a >0，解得a ≤1，故a 的取值范围为(－∞，1]．2．设f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)若对任意的x ∈R ，f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，其图象如下．根据图象易得f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由于f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|， 对任意的x ∈R ，f (x )≥4等价于|a －1|≥4， 解得a ≥5或a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝3时，f (x )>0， 即|x －2|－|2x －3|>0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤32，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧32<x <2，－3x ＋5>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0，解得1<x ≤32或32<x <53或无解．∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <53. (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )＝2－x －|2x －a |， ∴f (x )<0 可化为|2x －a |>2－x ， 即2x －a >2－x 或2x －a <x －2，即a <3x －2或a >x ＋2恒成立，∵x <2，∴a ≥4. 故a 的取值范围是[4，＋∞)．4．设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立． (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12. 解析 (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|， 则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6－2x ，x <－7，8，－7≤x ≤1，2x ＋6，x >1，当x <－7时，f (x )>8，当－7≤x ≤1时，f (x )＝8， 当x >1时，f (x )>8.综上，f (x )有最小值8，所以m ≤8，故m 的取值范围为(－∞，8]． (2)当m 取最大值时，m ＝8.原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <3，3－x －2x ≤4，等价于x ≥3或－13≤x <3.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－13. 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.6．设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解析 (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4. 因为方程|x －2|＋|x －1|＝4的解为x 1＝－12，x 2＝72，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. (2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1， 而f (x )≤1的解集是[0,2]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)．所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋2n m ＋m 2n ≥4.。
高考一轮复习理科数学课件绝对值不等式的解法及其应用
知识点梳理和归纳总结
01
绝对值不等式的定义 和性质
明确绝对值不等式的概念，掌握其基 本性质，如正数的绝对值是其本身， 负数的绝对值是它的相反数，0的绝 对值是0。
02
绝对值不等式的解法
熟练掌握绝对值不等式的解法，包括 分段讨论法、平方法、几何意义法等 ，能够根据不同的题型选择合适的解 法。
03
绝对值不等式的应用
了解绝对值不等式在解决实际问题中 的应用，如求解最值问题、证明不等 式等。
针对性地进行专项训练和模拟考试
专项训练
针对绝对值不等式的各类题型进行专 项训练，如含参绝对值不等式、绝对 值三角不等式等，提高解题速度和准 确率。
模拟考试
定期进行模拟考试，模拟真实考试环 境，检验自己的备考效果，查漏补缺 。
其他相关定理和性质介绍
绝对值的非负性
对于任意实数x，都有|x|≥0，且 |x|=0当且仅当x=0。
绝对值的单调性
对于任意实数x、y，若x≤y，则 |x|≤|y|。但反之不成立，即若|x|≤|y|
，不能推出x≤y。
绝对值的几何意义
在数轴上，一个数到原点的距离叫 做该数的绝对值。因此，绝对值与 距离、长度等几何概念密切相关。
绝对值不等式分类
03
根据不等号方向分类
可分为严格不等式（如$|x|<a$）和非严 格不等式（如$|x|leq a$）。
根据涉及绝对值个数分类
可分为单一绝对值不等式（如$|x-1|<2$ ）和多个绝对值不等式（如$|x1|+|x+2|geq 3$）。
根据解法不同分类
可分为可直接去绝对值符号求解的不等式 和需要讨论绝对值内部表达式正负情况求 解的不等式。
2019届高中数学一轮复习精品课件 1 绝对值不等式
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解． ③构造函数，利用函数的图象求解．
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[ 基本能力]
1．判断题 (1)不等式|x|<a 的解集为{x|－a<x<a}． ( × )
(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a， b 的距 离之和． (3)不等式|2x－3|≤5 的解集为{x|－1≤x≤4}． ( √ ) ( √ )
此方程组无解．
5 1 时，不等式的解集为a，－a，
5 5 a＝－3， 从而有 －1＝1， a 3
解得 a＝－3.
答案：－3
返回
(4)不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是________． －3，x≤－1， 解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1<x<2， 3，x≥2. 当－1<x<2 时，由 2x－1≥1，解得 1≤x<2. 又当 x≥2 时，f(x)＝3>1 恒成立． 所以不等式的解集为{x|x≥1}．
答案：{x|x≥1}
研透高考·讲练区
完成情况
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[全析考法]
绝对值不等式的解法
[典例]
解下列不等式：
(1)|2x＋1|－2|x－1|>0. x (2)|x＋3|－|2x－1|< ＋1. 2 [解]
2
(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方
2
1 得 4x ＋4x＋1>4(x －2x＋1)， 解得 x> ， 所以原不等式的解集为 4
[ 方法技巧]
绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法
2019版高考数学一轮复习 选修部分 不等式选讲 第一节 绝对值不等式实用
[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法 对 a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a 或 x>a. (2)平方法 两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点 分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝 对值符号的不等式(组)求解．
绝对值不等式的解法
[典例] 解下列不等式： (1)|2x＋1|－2|x－1|>0. (2)|x＋3|－|2x－1|<x2＋1. [解] (1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方 得 4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得 x>14，所以原不等式的解集为 x|x>14.
[全练题点]
1．求不等式|x－1|－|x－5|<2 的解集．
解：不等式|x－1|－|x－5|<2 等价于
x<1， －x－1＋x－5<2
或x1－≤1x＋≤x5－，5<2
或xx>－51，－x－5<2，
即
x<1， －4<2
或
1≤x≤5，
2x<8
解析：由|2x－1|>3 得， 2x－1<－3 或 2x－1>3，即 x<－1 或 x>2. 答案：{x|x<－1 或 x>2}
(3)若关于 x 的不等式|ax－2|<3 的解集为x－53<x<13
，则 a
＝________.
解析：依题意，知 a≠0.|ax－2|<3⇔－3<ax－2<3⇔－1<ax<5，当
高考数学一轮复习12.75含绝对值不等式课件理
(2015 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a
＞0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＞1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，
求 a 的取值范围.
【解析】(1)当 a＝1 时，f(x)＞1 化为|x＋1|－2|x－1|－1 ＞0.
∴|λ|≤1.∴λ的取值范围是－1≤λ≤1.
第十五页，共40页。
【点评】证明含有绝对值的不等式，其思路主要 有两条：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行 放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二 是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的 不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明， 其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法.
第十二章 不等式选讲
第一页，共40页。
第二页，共40页。
第 75 讲 含绝对值不等式
第三页，共40页。
【学习目标】 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不 等式的几何意义证明以下不等式： ①|a＋b|≤|a|＋|b|； ②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等 式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单 问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极) 值．
【解析】(1)原不等式等价于 1<x－2≤3 或－3≤x－2<－1， 解得 3<x≤5 或－1≤x<1. 所以原不等式的解集是{x|－1≤x<1 或 3<x≤5}. (2)原不等式等价于①x2－2x＋4<－2x 或②x2－2x＋4>2x.解①得无解，解②得 x≠2. ∴原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠2}.
2019-2020年新人教A版高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲第一节绝对值不等式课件理
教材细梳理
知识点 不等式的性质和绝对值不等式
(1)解绝对值不等式的基本思想 解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号，常采用的方法是讨论
符号或平方，例如： ①若 a＞0，则|x|＜a⇔ __－__a_＜__x_＜__a__⇔ ___x_2＜__a_2_____； ②|f(x)|＜g(x)⇔ __－__g_(_x_)_＜__f(_x_)_＜__g_(x_)____； ③|f(x)|＞g(x)⇔ __f_(_x_)＞__g_(_x_)_或__f_(x_)_＜__－__g_(_x_)_．
3x，x≥1.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在 直线斜率的最大值为 3，故当且仅当 a≥3 且 b≥2 时，f(x)≤ax＋b 在[0， ＋∞)成立，因此 a＋b 的最小值为 5.
绝对值不等式性质的应用 利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b ∈R)，通过确定适当的 a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变 量，可以(1)求最值． (2)证明不等式．
有关绝对值的讨论 对于含参数的绝对值问题，找到分类的标准是讨论的关键，甚至可 减少讨论或者不讨论，从函数角度，绝对值函数与二次函数有相似之处．
[例 3] [一题多解]已知 a∈R，函数 f(x)＝x＋4x－a＋a 在区间[1,4] 上的最大值是 5，则 a 的取值范围是________．
考点二 绝对值不等式性质及应用[创新贯通] [例 2] (2018·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出 y＝f(x)的图象； (2)当 x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求 a＋b 的最小值．
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三 绝对值不等式的综合应用
对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式 更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有 最大值又有最小值．
【例3】 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|＋a. (1)当a＝0时，解不等式f(x)≥6； (2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解析 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0，令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5， －2x－6，x≤－2，
则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图象，如图所示． 由图可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
2．含绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式x＜a，x＞a 的解集
不等式 x ＜a x ＞a
a＞0 __{_x_|－__a_＜__x_＜__a_}____ _{_x_|_x_＞__a_或__x＜__－__a_}___
a＝0 ____∅________ ____{_x_|_x_∈__R_且__x_≠_0_}_____
二 绝对值不等式的证明
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
【例 2】 设 a∈R，函数 f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54. 证明 方法一 ∵－1≤x≤1，∴|x|≤1. 又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.
－4x＋2，x＜－12， 解析 (1)当 a＝0 时，求得 f(x)＝4，－12≤x≤32，
4x－2，x＞32，
由 f(x)≥6⇒x≤－1 或 x≥2.
所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
C．x|x＜35
D．x|x＞35
解析 |2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔32xx－ －21＜ ＜22x－－31x，
x＜1， ⇔x＜35
⇔x＜35.
5 ． 若 不 等 式 |3x － b|＜ 4的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则b的取值范围为 ___(5_,_7_) ___．
2016·全国卷Ⅲ，24 高考中的重点 2016·江苏卷，21(D) 考查内容，其
中以解含有两
型的不等式：
分值：5～10 分 个绝对值的不
ax＋b≤c，ax＋b≥c，x－a＋x－b≥c.
等式为主.
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板块一 板块二 板块三
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，那么a＋b≤a＋b，当且仅当____a_b_≥_0_____时，等 号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么a－b≤a－c＋c－b， 当且仅当______(_a_－__c_)_(c_－__b_)_≥_0_________时，等号成立．
(2)ax＋b≤c(c＞0)和ax＋b≥c(c＞0)型不等式的解法
①ax＋b≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②ax＋b≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
a＜0 ___∅_____ __R____
1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)． (1)对a＋b≥a－b当且仅当 a＞b＞0 时等号成立．( × ) (2)对a－b≤a－b当且仅当a＞b时等号成立．( × ) (3)对a－b≤a＋b当且仅当 ab≤0 时等号成立．( √ ) (4)ax＋b≤c 的解等价于－c≤ax＋b≤c.(√ ) (5)不等式x－1＋x＋2＜2 的解集为∅.( √ )
方法二 设 g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1， 当 x＝±1，即 x2－1＝0 时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤54； 当－1<x<1，即 x2－1<0 时，g(a)＝ax2＋x－a 是单调递减函数． ∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54； g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝x＋122－54. ∴－54≤g(a)≤54，∴|f(x)|＝|g(a)|≤54.
2．设 ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( C )
A．a＋b＞a－b
B．a－b＜a＋b
C．a＋b＜a－b
D． a－b ＜ a － b
解析 由 ab＜0，得 a，b 异号，
易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，
∴C 项成立，A，B，D 项均不成立．
解析 由|3x－b|＜4 得－4＜3x－b＜4，即－43＋b＜x＜4＋3 b，
∵不等式|3x－b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，
则03≤ ＜－ 4＋343＋ b≤b＜ 4 1，
⇒45≤ ＜bb＜ ≤78， ， ∴5＜b＜7.
一 绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何 法或图象法求解较为简单．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时 注意端点值的取舍．
第十二章
不等式选讲
第69讲 绝对值不等式
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝 2017·全国卷Ⅰ，23 解绝对值不等
对值不等式的几何意义证明以下不等式： 2016·全国卷Ⅰ，24 式是本部分在
(1)a＋b≤a＋b. (2)a－b≤a－c＋c－b. 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类
3．不等式 1＜xB．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0)
D．(－4，－2)∪(0,2)
解析 1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.
4．不等式|2x－1|＜2－3x 的解集是( C )
A．x|x＜12
B．x|12≤x＜35