高等数学(少学时)期末复习试题4含答案
高数期末考试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \sin x + 2x^2 \) 在区间 \( [0,\frac{\pi}{2}] \) 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 \( f'(x) = \cos x + 4x \)。
在区间\( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上，\( \cos x \) 始终大于等于0，而\( 4x \) 也是非负的，因此 \( f'(x) \geq 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在该区间上单调递增。
所以答案是 A。
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)D. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)答案解析：根据极限的性质，如果 \( \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则 \( g(x) \) 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。
同时，\( f(x) \) 趋向于0。
因此，选项 A 是正确的。
3. 曲线 \( y = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 \( y' = 3x^2 - 3 \)，将 \( x = 1 \) 代入得到 \( y' = 0 \)。
因此，曲线在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率为 0，答案是 A。
4. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案解析：根据积分的基本公式，\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，所以 \( \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)。
数学高数期末试题及答案
数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。
对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。
在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。
第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。
首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。
此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。
另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。
所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。
2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。
高等数学期末试卷及答案
高等数学期末试卷及答案一 .填空题（每小题3分，共21分）1．()(0,1],()1ln ,[()]y f x x x y f x ϕϕ==-=设的定义域是则复合函数的定义域是 . 2. 函数543121540y x x x =+-的极大值 .极小值 3．曲线21-=x y 在点)1,1(处的切线斜率是4.=+⎰dx x x21arctan5.1limcos 1x x →=- .6. sin 0x d dx =⎰________7. 需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k = A ．-2B ．-1C ．1 D. 22. 020020(,())()x x d yx y x y f x dx===是为曲线的拐点的A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 3. 若函数f (x )在点x 0处可导，则下列错误的是 ．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 4.下列函数是无穷小的是A 、2112xx +，当x →∞时，B 、25x x x + ，当0x →时，C 、12x，当 0x →时 ，D 、2x，当x →∞时. 5.下列反常积分收敛的是________A.11dx x +∞⎰B. 311dx x +∞⎰C. 1+∞⎰D. 2ln xdx +∞⎰三．计算题（每题8,共48）１. 2,1(),,,().,1x e x f x a b f x ax b x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩设函数取何值时为可导函数2．求极限：11202lim[(1)]34x x x x x -→+---. 3. 求⎰++x x x d )1ln(2积分4. 2sin()30()x y e x y y y x ++-==求由方程+确定的函数的导数.5. 计算定积分120(1)x xe dx x +⎰ 6.2221.4t t x e d y dx y e⎧=+⎪⎨=⎪⎩设,求四.应用题(共11分)1. 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？(6分)2. 1,3,2,1.2y x y x y y ====求由曲线所围成的图形的面积.(5分)五.证明题(5分)设()0,(0)0f x f ''<=。
大学高数期末试题及答案
大学高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1在x=2处的导数是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B3. 曲线y = x^2 + 1在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
答案：12. 函数y = ln(x)的不定积分是______。
答案：xln(x) - x + C3. 微分方程dy/dx + y = e^(-x)的通解是______。
答案：y = -e^(-x) + Ce^(-x)4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是______。
答案：x = 1, x = 2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的极值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4。
令f'(x) = 0，解得x = 2。
将x = 2代入原函数，得到f(2) = 3，这是函数的极小值。
2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
答案：根据定积分的性质，∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明函数f(x) = x^3在R上是连续的。
答案：对于任意实数x，有f(x) = x^3。
因为多项式函数在其定义域内处处连续，所以f(x) = x^3在R上是连续的。
高数的期末考试试题及答案
高数的期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，求f'(x)。
A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 - 4x + 5C. 6x^2 + 5D. 6x^2 + 4x + 5答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B3. 曲线y = x^2 + 3x - 2在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/4答案：B5. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A6. 级数∑(1/n^2) 从n=1到∞是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 振荡的答案：A7. 函数f(x) = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1 + x + x^2/2B. 1 + x + x^2C. 1 + x + x^2/2! + x^3/3!D. 1 + x + x^2/2 + x^3/6答案：A8. 曲线y = ln(x)在点x=1处的切线方程是：B. y = x - 1C. y = 1 - xD. y = x答案：A9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：C10. 函数f(x) = √x的原函数是：A. x^(3/2)B. x^(1/2)C. 2x^(3/2)/3D. 3x^(3/2)/2答案：C二、填空题（每题2分，共10分）11. 若f(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x + 6，则f''(x) = ____________。
答案：12x^2 + 18x - 212. 函数y = e^(-x)的导数是 __________。
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程x yx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰212sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20213cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
大学高等数学期末考试试题与答案
大学高等数学期末考试试题与答案1、已知曲线y x2bx的一条切线过点(1,2)，求b的值，并求该切线与x轴正半轴所夹的角度。
2、求函数f(x)x36x29x的最大值和最小值，并求最大值和最小值所对应的x值。
一）填空题1、x3或x 52、a 13、m04、k 25、y e(x1)6、F(x)7、ln|secx+tanx|+C8、cos2tdt(cos2t sin2t)dt t+C二）单项选择1、D2、A3、B4、C5、B6、B三）计算题1、（1）limxx2x112limxx2x1)11lim xx2x1) 1x111limxx 1x 12）limx(2arctanx)limx2XXX0xx因为当x趋近于正无穷时，arctanx趋近于/2，所以XXX也趋近于正无穷，与0相差无穷大，所以limx(/2arctanx)不存在。
2、（1）y coslnx1/x sinxdycoslnx1/x sinx dxdx2）y sinlnx1/x2cosx；y(0)sinln11/02cos0 13）2tanxdy2sec2xdx2tanx Cdxe3xxdx e3xd(lnx)dx e3xlnx3e3x/xdxe3xlnx3e3x/x C11dx x ln|x+3|+Cx(13x)xarctanxdx xd(arctanx)xarctanx arctanxdxxarctanx x ln(1x2)+C四）应用题1、设曲线的方程为y x2bx，其导数为y2x b，所以在点(1,2)处的切线方程为y2(2b)(x1)，因为该切线过点(1,2)，所以22(2b)(11)，解得b0.此时切线方程为y2，与x轴正半轴的夹角为45度。
2、f(x)3x212x9，令f(x)0，解得x1或x3，将这两个点代入f(x)得f(1)4，f(3)0，所以最大值为4，最小值为0，对应的x值分别为1和3.1.求函数 $y=x-\ln(1+x)$ 的单调区间与极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
期 末 试 卷
一二三四五六总分
1．填空（每空2分，共10分）
（1） =+→x x x tan 2
)tan 1(lim ． （２）设x xe y =，则)10(y
= ． （3）
在(-∞,+∞)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . （4）曲线x xe y -=的凹区间是 ，凸区间是 ，拐点是 ．
（５）定积分dx x ⎰+454
2)sin 1(ππ的取值范围是 ．
２．选择题（每题２分，共10分）
（1）若,)(lim 0A x f x x =-→,)(lim 0
A x f x x =+→则下列说法种正确的是（ ）. A.f(x 0)=A B. A x f x x =→)(lim 0
C.f(x)在点x 0有定义
D.f(x)在点x 0连续
(2) 若极限 x
x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 0存在，则其值为（ ） A ．)(x f '- B. )(0x f ' C. )(x f '
（３）设函数22)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（ ）
A ．单调增，单调增
B ．单调值，单调减
C ．单调减，单调增
D ．单调减，单调减
（4）设曲线 246)1(x x y --=，则在区间 2(， )3和3(， )4内，曲线分别为（ ）
A ．凹的、凹的
B ．凹的、凸的
C ．凸的、凹的
D ．凸的、凸的
（５）⎰⎰-=10
10),(x dy y x f dy ( ). A.⎰⎰-1
010),(x dx y x f dy B.⎰⎰-x dx y x f dy 101
0),(
C.⎰⎰-1
010),(y dx y x f dy D.⎰⎰-1011),(y dx y x f dy
３．计算题（每题６分，共４８分）
（１）3111lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝
⎭ （２）20sin 2tan lim x x x x → (３) x e y x 5sin 2=，求y '． （４）2tan
ln x y = ，求dy ． （5）⎰x x dx cos sin （6）⎰x x x dx ln ln ln （7）⎰-dx x x 29 （8）⎰3
0arctan xdx
4．甲、乙两厂合用一台变压器，其位置如图所示，若两厂用相同型号相同成本线架设输电线，问变
压器设在输电干线何处时，所需输电线最短？（８分）
5.求微分方程的通解：2
1x xy dx dy +=．(8分) 6. 求由抛物线21x y -=和x 轴所围平面图形饶x 轴旋转所形成的旋转体的体积．（８分）
7.计算二重积分⎰⎰+D
d y x σ)23(，其中积分区域D 由两坐标轴及直线x+y=2所围成．
（８分）
高等数学（少学时）试题4参考答案
1、填空（每题2分，共10分）
(1)2e (2)x x e xe 10+ (3)),3[]1,(+∞⋃--∞,[-1,3] (4))2,2(),2,(),,2(2--∞+∞e
(5)[]2,ππ
2、选择题（每题2分，共10分）
（1）B （2）A （3）A （4）A （5）C
3、计算题（每题6分，共54分）
3
2
]1)1
1(11[lim )]
11
11
(111[lim )1(221221=+++++--=++--+--=→→x x x x x x x x x x x x x x x 原式
2
2
cos cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2tan 2sin 4lim 2cos 1
2sin tan 2cos 2lim 00
)2(422020=-++-=+=→→x
x
x x x x x x x x x
x x x x x 原式型
x e x e y x x 5cos 55sin 2)3(22'+=
dx x x dx
x
x
dy 2
tan 2cos 21
2
tan 2cos 21
)4(2
2==
dx
x dx x
x dx
x
x sin 1
2
cos 2sin 212
tan 2cos 212===
c
x c
u u du u u du u u du
u u u
x x d x x dx
x x +-=+-
-=---=--=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰2222
222222
222cot ln 21
1
ln 211
11
21)1(1
21
)1(121sin sin )sin 1(sin 1
cos sin 1
)5(设
c
x c
t dt
t u t u u
d u
u du
x
u x x x
d +=+======⋅=⎰⎰⎰⎰ln ln ln ln 1
ln ln ln ln ln ln ln ln ln )6(所以原式设设原式
c
x c
t u t dt t x u du u
dx
x x
+--=+-=-=-==-=-⎰⎰⎰-221
21
2
2992191219)7(设设
2
ln 33
4ln 2133)]1ln(21arctan [)8(3
02-=-=+-=ππx x x 原式
4.设变压器距甲在输电干线水平长度为x ，
y 为输电线长度 0
4
9
)3(314
9
)3(1'22'22=+--
++=+-++=y x x x x y x x y 令 X=1.2
所以处于1.2km 时输电线最短。
5．2
2222
2
11ln 21
ln )
1(211.5x c y c
x y x dx y dy x xdx
y dy x xy
dx dy +=++=+=+=+=两端积分得：变量的，分离变量后得
解：所给方程是可分离 此微分方程的通解为21x c y +=
6.积分变量x 变化区间为[-1,1],y=1-2x
则V=ππππ1516
)5132()421()1(111153422
112=+-=+-=----⎰⎰x x x dx x x dx x
7.视D 为x-型域，则有
320
)221
31(222])23([)23(2
020202020
2
0232=---=---=+=+⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎰⎰⎰⎰⎰-D x x x x dx x x dx dy y x d y x x x
y D δ。