立体几何中平行与垂直定理
立体几何中平行与垂直定理
一、线线、线面和面面的位置关系 两直线位置关系 共面 a b=A
a //b 异面-----a与b异面
斜交 l A 垂直:l l / /
线面位置关系 l
l
平行： // 面面的位置关系 斜交： =a 相交 垂直：
PAO [0,90]
五、三角形的四心 二面角 AOB [0,180] 外心：中垂线的交点 外接圆的圆心 内心：角平分线的交点 内切圆的圆心 重心：中线的交点 （2 比 1） 垂心：高的交点
六、平面几何中结论 中位线定理——中线平行且等 于底边的一半 线段对应成比例 线线平行 两组对边平行或一组对边平行 且相等的四边形为平行四边形 一组对边平行且不相等的四边 形为梯形
七、用线线平行证线面平行找线方法有相交线找线原则与平行线找线原则；已知面面垂直，先找面面交线，再转 换为线面垂直；已知中点和等腰三角形找中点；要作垂线必找垂面，然后在垂面中作交线的垂线即可. 八、解决平行与垂直问题的关键是实施线线、线面和面面间平行与垂直的转化.
.
al
线⊥线 线⊥面
面⊥面 线⊥面
a a
面 ⊥ 面
线⊥面 面⊥面
l OA ,OA l OB ,OB l AOB 900
线⊥线 面⊥面
四、三种角的范围 异面直线所成角 0,90 直线与平面所成角
线∥面 线∥线（相交平面） 面∥面 线∥线（平行平面）
同垂直于一个平面
线∥线（线面垂直）
⑴ 线 ∥ 面
a b a / / a / /b
⑵
线∥线 线∥面
立体几何平行垂直有关定理总结(终审稿)
立体几何平行垂直有关定理总结公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]立体几何有关平行垂直定理总结 BHS文字语言图形语言符号语言1线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（线线平行⇒线面平行）2线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（线面平行⇒线线平行）3面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. （线面平行⇒面面平行）4面面平行的性质如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面（面面平行⇒线面平行）aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥5面面平行定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行.（线线平行⇒面面平行）6面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行.（面面平行⇒线线平行）baβαbaβαO/////////,//,,a ab ba b Oa b Oa ba b//a/b/baβαO7线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直⇒线面垂直）8线面垂直的定义如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。
（线面垂直⇒线线垂直）aa bbαα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭9面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）10面面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必定垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）ba aa bαβαβαα⊥⎫⎪=⎪⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎪⎪⎭11线线平行⇒线面垂直如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥12线面垂直⇒线线平行垂直于同一个平面的两条直线平行aa bbαα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥13线面垂直⇒面面平行垂直于同一条直线的两个平面平行aaααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥14面面平行⇒线面垂直两个平行平面中如果有一个平面垂直于一条直线，那么另外一个平面也垂直于这条直线12．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
立体几何平行垂直8个定理
立体几何平行垂直8个定理哎，说起立体几何里的平行垂直那8个定理，简直就是我学生时代的一块心病啊！那时候，每次数学课讲到这儿，我就感觉自己的大脑像是被施了魔法，完全转不过来弯儿。
不过呢，现在回想起来，那段日子也挺有意思的，毕竟，谁能说学数学不是一场奇妙的冒险呢？首先啊，咱们得说说那个“平行公理”。
你知道吗，它就像是生活中的一条隐形规则，告诉你“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
听起来挺绕的，但想象一下，你站在一条笔直的路上，想要找一条和这条路既不交叉也不重合的新路走，那你就只能选择平行于这条路的那一条，别无选择。
是不是觉得，数学有时候也挺有哲理的？接下来，就是那个“平行线的性质定理”了。
这个定理就像是平行线之间的秘密约定，告诉你“两直线平行，同位角相等”。
每次做题的时候，我就想象自己变成了侦探，在两条平行线之间寻找那些隐藏的“同位角”，然后像解开谜题一样，把它们一一对应起来。
那种成就感，简直比找到宝藏还要让人兴奋！还有那个“平行于同一条直线的两直线平行”，这个定理简直就是“物以类聚，人以群分”的数学版。
你想啊，如果两条直线都愿意和同一条直线做朋友，那它们之间肯定也合得来，对吧？这种逻辑上的简单明了，让我对数学又多了几分好感。
说到垂直，那“垂直平分线的性质定理”可就不能不提了。
它就像是足球场上的裁判，公正无私地告诉你“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”。
每次看到这样的题目，我就感觉自己像是在进行一场公平的较量，只要我按照规则来，就一定能找到正确答案。
还有那个“直线垂直于平面的判定定理”，它就像是建筑工人手里的锤子，坚定地告诉你“一条直线如果垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线与这个平面垂直”。
每次想到这个定理，我就仿佛看到了那些高楼大厦拔地而起，每一块砖石都严丝合缝，让人不得不感叹数学的神奇。
“平面与平面垂直的判定定理”也挺有意思的，它就像是两个好朋友之间的默契，告诉你“如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”。
高中数学立体几何定理总结
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.ba b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα3、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.4、平面与平面平行的性质定理：①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.βαβα//,//a a ⇒⊂②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行. b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα γba βαβαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b aααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄βαm l如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.ααα⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥l P b a b a b l a l6、直线与平面垂直的性质定理：①如果一条直线与一个平面垂直，那么它就与平面内的任何一条直线垂直.b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.ba b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα7、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.8、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.ββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=b b b a βαβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a b a a b1、直线与平面平行的判定定理：2、直线与平面平行的性质定理：3、平面与平面平行的判定定理：4、平面与平面平行的性质定理：①②6、直线与平面垂直的性质定理：①②7、平面与平面垂直的判定定理：8、平面与平面垂直的性质定理：。
立体几何平行与垂直定理总结
(2)范围： [0,180] (3)求法： 方法一：定义法。
m
Pl n
步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面和 ，则交线(射线)AP 和 AO 的
夹角就是二面角。 步骤 2：解三角形，求出二面角。
βP θ A
αO
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
ur uur
步骤一：计算 cos n1 n2
ur uur unr1 nu2ur n1 n2
ur uur
步骤二：判断 与 n1 n2 的关系，可能相等 或者互补。
n1
n2
θ
最小角定理 A
B
1
O
2 C
l是平面 的斜线，A是l
Ba
c b
C
Am
dn
D
m'
第 2 讲 三角变换与解三角形
【高考真题感悟】
(2011·山东)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c.已知cos
A－2cos cos B
C＝2c－b a.
(1)求ssiinn AC的值；
(2)若 cos B＝14，△ABC 的周长为 5，求 b 的长．
(2)求法：方法一：定义法。 步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。
a
c
θ b
步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理： cos
a2
b2 c2 2ab
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
立体几何8个定理
立体几何定理1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭2、直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .3、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭4、直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭证明过程：书本P375、两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.a b a b A a b ββαβαα⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭ 6、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。
a ab b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭7、平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭8、平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC求证：BC ⊥AB公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
立体几何基础平行与垂直的性质与判定
立体几何基础平行与垂直的性质与判定立体几何基础——平行与垂直的性质与判定立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的对象是在三维空间内的图形和物体。
在立体几何中，平行和垂直是两个基本概念，它们在判断和解决几何问题时起着重要的作用。
本文将介绍平行与垂直的性质和判定方法，帮助读者更好地理解立体几何的基础知识。
一、平行的性质与判定平行是指在同一平面内，两条直线永不相交的性质。
在立体几何中，我们常用平行性质来推导和证明定理。
以下是一些与平行相关的性质和判定方法。
1. 平行线性质：（1）平行线上的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么对应的角都是相等的。
（2）平行线上的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所交，那么内错角互补，即相互补充的角和为180度。
（3）平行线上的同旁内角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么同旁内角相等，即相邻的内角相等。
2. 判定平行线的方法：（1）两条线段平行的充要条件是斜率相等：如果两条线段的斜率相等，那么它们是平行的。
（2）两个向量平行的充要条件是比值相等：如果两个向量的坐标分量比值相等，那么它们是平行的。
（3）两条直线互相垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们互相垂直。
二、垂直的性质与判定垂直是指两条直线或线段在交点处互相成直角的性质。
垂直的性质在几何证明中经常被用到，下面是关于垂直的一些性质和判定方法。
1. 垂直线性质：（1）垂直线上的对应角互补：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么对应的角互补，即相互补充的角和为90度。
（2）垂直线上的内角相等：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么内角相等，即相邻的内角相等。
2. 判定垂直线的方法：（1）两条线段垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条线段的斜率乘积为-1，那么它们是垂直的。
（2）两个向量垂直的充要条件是内积为0：如果两个向量的内积为0，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直在实际中的应用平行和垂直的性质在日常生活和工程实践中有广泛的应用。
立体几何中的平行与垂直
立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅲ）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．练习3 .如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，的值．求DEDC立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E解析 A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选：C．练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行答案 C解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，CE，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系得CN=13∵MG∥AE MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，又PF∩CF=F，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以DC ∥AE ，DC=AE ．又点E 为AB 的中点，所以DC ∥EB ，DC=EB ．所以四边形DEBC 为平行四边形．所以CB ∥DE ．又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，所以CB ⊥平面PCF ．因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．解：（Ⅲ）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点．如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．因为四边形DEBC 为平行四边形，所以EF ∥CN ，EF =12BC =CN ．所以四边形ENCF 为平行四边形．所以FC ∥EN ．在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 中点，所以MF ∥PE ．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE∩EN=E，MF ，CF ⊂平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ．练习3 .如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 上的高BD ，将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC 的值．解析 （1）∵BD 是AC 边上的高，∴BD ⊥CD ，BD ⊥PD ，又PD∩CD=D，∴BD ⊥平面PCD ，又PE ⊂平面PCD 中，∴BD ⊥PE ，即PE ⊥BD ；（2）如图所示，连接BE ，交DM 与点F ，∵PE ∥平面DMN ，∴PE ∥NF ，又点N 为PB 中点，∴点F 为BE 的中点；∴DF=12BE=EF ；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF 是等边三角形，设DE=a ，则BD=√3a ，DC=√3BD=3a ；∴DE DC =a 3a =13．。
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线∥面 线∥线（相交平面） 面∥面 线∥线（平行平面）
同垂直于一个平面
线∥线（线面垂直）
⑴ 线 ∥ 面
a b a / / a / /b
⑵
线∥线 线∥面
面∥面 线∥面
/ / a / / a
面 ∥ 面
a ,b a bO / / a / / ,⊥面
面⊥面 线⊥面
a a
面 ⊥ 面
线⊥面 面⊥面
l OA ,OA l OB ,OB l AOB 900
线⊥线 面⊥面
四、三种角的范围 异面直线所成角 0,90 直线与平面所成角
PAO [0,90]
五、三角形的四心 二面角 AOB [0,180] 外心：中垂线的交点 外接圆的圆心 内心：角平分线的交点 内切圆的圆心 重心：中线的交点 （2 比 1） 垂心：高的交点
六、平面几何中结论 中位线定理——中线平行且等 于底边的一半 线段对应成比例 线线平行 两组对边平行或一组对边平行 且相等的四边形为平行四边形 一组对边平行且不相等的四边 形为梯形
线∥面 面∥面
三、有关垂直的证明
线 ⊥ 线
a c b c a / /b 线⊥线 线⊥线
a a b b 线⊥面 线⊥线
线 ⊥ 面
l a, l b a b P l a ,b
l a a
七、用线线平行证线面平行找线方法有相交线找线原则与平行线找线原则；已知面面垂直，先找面面交线，再转 换为线面垂直；已知中点和等腰三角形找中点；要作垂线必找垂面，然后在垂面中作交线的垂线即可. 八、解决平行与垂直问题的关键是实施线线、线面和面面间平行与垂直的转化.
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二、有关平行的证明
⑴公理 4 线 ∥ 线
线∥线 线∥线（都是直线）
a / /b a / /c b / /c
⑵a a / /b b
a / /
⑶
/ / a a / /b b
⑷
a a / /b b
立体几何概念方法汇总
一、线线、线面和面面的位置关系 两直线位置关系 共面 a b=A
a //b 异面-----a与b异面
斜交 l A 垂直:l l / /
线面位置关系 l
l
平行： // 面面的位置关系 斜交： =a 相交 垂直：