第六节 三角函数的图像和性质(二)

第6课 三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】1.写出下列函数的定义域： （1）y =的定义域是______________________________； （2）sin 2cos xy x=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．3．函数 22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______． 4. 函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值范围是______________． 6.关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题：（1）对任意的)(,x f φ都是非奇非偶函数； （2）不存在,φ使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； （3）存在,φ使)(x f 是奇函数； （4）对任意的,φ)(x f 都不是偶函数．其中一个假命题的序号是 ．因为当φ= 时，该命题的结论不成立． 解析：（1），)(Z ∈k k π；（1），)(2Z ∈+k k ππ；（4），)(2Z ∈+k k ππ等．（两个空格全填对时才能得分．其中k 也可以写成任何整数） 【范例解析】例1.求下列函数的定义域： （1）sin tan x y x=+（2）y ={663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z ππ≠+∈ π π （3π，0）10ω-≤<解：（1）,2tan 0,2sin 10.x k x x ππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪+≥⎪⎩即,2,722.66x k x k k x k πππππππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪⎪-≤≤+⎩，故函数的定义域为7{2266x k x k ππππ-≤≤+且,x k π≠,}2x k k Z ππ≠+∈（2）122log 0,tan 0.x x +≥⎧⎪⎨⎪≥⎩即04,.2x k x k πππ<≤⎧⎪⎨≤<+⎪⎩故函数的定义域为(0,)[,4]2ππ⋃．点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集． 例2．求下列函数的单调减区间： （1）sin(2)3y x π=-； （2）2cos sin()42x y x π=-；解：（1）因为222232k x k πππππ-≤-≤+，故原函数的单调减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈．（2）由sin()042x π-≠，得{2,}2x x k k Z ππ≠+∈，又2cos 4sin()24sin()42x x y x ππ==+-，所以该函数递减区间为3222242x k k πππππ+<+<+，即5(4,4)()22k k k Z ππππ++∈．点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解：（1）由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2，得5tan(21)y x =+的周期2T π=．（2）sin()sin()(sin coscos sin)cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos sin 222422xx x x x +=+=+1sin(2)423x π=++T π∴=．点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()A x ωϕ+的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．例4.已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 点评：形如函数sin()A x ωϕ+的对称轴一般过其最高点或最低点，即在其取到最值时． 【反馈演练】 1．函数x x y 24cossin+=的最小正周期为 _____________． 2π2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________． 3．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin 3|sin 3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos2x f x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．把函数f (x )＝-2tan (x ＋π4)的图象向左平移a (a >0)个单位得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )是奇函数，则a 的最小值为___________． 7．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则对于函数)43(x f y -=π，有下列结论：①偶函数且它的图象关于点)0,(π对称； ②偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称；③奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称； ④奇函数且它的图象关于点)0,(π对称.其中，正确结论的序号有 ④ .8． 若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则有序实数对(,a b )可以是 （-1，-1） .(注:只要填满足0a b +=的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).9． 函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C ，如下结论中正确的是 ①②③ (写出所有正确结论的编号) ．①图象C 关于直线π1211=x 对称；②图象C 关于点)0,32(π对称；③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数； ④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．解析：函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C ，①图象C 关于直线232x k πππ-=+对称，当k=1时，图象C 关于π1211=x 对称；①正确；②图象C 关于点(,0)26k ππ+对称，当k=1时，恰好为关于点)0,32(π对称;②正确；③x ∈)12π5,12π(-时，23x π-∈(－2π，2π)，∴ 函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数；③正确；[,0]6π-32π4π[,]3ππ2[,]63ππ，75[,]63ππ④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得23sin(2)3y x π=-，得不到图象C. ④不正确。

所以应填①②③．10．已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α．解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫++⎪⎝⎭=21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=．11．已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.解：()sin()tan()tan()2242424x x x x f x a b πππ=⋅=+++-21tan tan122sin)222221tan1tan222sin cos2cos1222x xx x xx xx x x+-=++⋅-+=+-xx cossin+==)4sin(2π+x.所以2)(的最大值为xf，最小正周期为,2π]4,0[)(π在xf上单调递增，[,]42ππ上单调递减．12．设函数)(),()2sin()(xfyxxf=<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(xfy=的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(xfy=在区间],0[π上的图像解：（Ⅰ）)(8xfyx==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ,.42k k Zππϕπ∴+=+∈.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=xy因此由题意得.,2243222Zkkxk∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Zkkkxy∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =。