福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷(B)答案
依题意，圆 C 内切于圆 O，设切点为 D，则 O，C，D 三点共线，
因为 O 为 AA′的中点，C 为 AP 中点，
所以|A′P|＝2|OC|.…………………………1 分
所以|PA′|＋|PA|＝2OC＋2AC＝2OC＋2CD＝2OD＝4＞|AA′|＝2，
所以动点 P 的轨迹是以 A，A′为焦点，长轴长为 4 的椭圆，………………3 分
2 化简，得 a2－2a＋1＝0， 解得 a＝1， 所以 C(1，－2)，……………………………3 分
半径 r＝|AC|＝ (1 2)2 (2 1)2 ＝ 2，…………………………5 分
所以圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. ………………………6 分
（2）直线 l 的方程为 y x ，……………………………7 分
则
x1＋x2＝－85t，x1x2＝
4(t2 1) 5
，……………………………7
分
0 ，得 0 t2 5 ，
所以|PQ|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2·
( x1 x2 )2 4x1x2
2
＝ 2·
－8t 5
2－4×4
t2－1
5
＝4 2· 5－t2 ， ……………………………10 分 5
y2 3
1
，
得 4k 2 3 x2 32k 2 x 64k 2 12 0 ，………………………7 分
依题意 Δ 32k 2 2 4 4k 2 3 64k 2 12 0 ，
即 0 k 2 1 ，…………………………8 分 4
则
x1
x1
x2
x2
32k 2 4k2 3
G( 1 ,0, 1 ) ， 22
所以
EG
(
1
,
0,
1
)
,
……………………9
分
22
设平面 BEGF 的法向量为 n (x.y.z) ，
则
BE n EG n
0, 0,
，即
y
0, 1x 2
1 2
z
0,
不妨令 x 2，可得 n (2,0,2) 为平面 BEGF 的一个法向量，……………10 分
所以 PE 平面ABCD ，………………7 分 以 E 为坐标原点， EA 的方向为 x 轴正方向建立如图 所示的空间直角坐标系 E xyz ；
则 P(0,0,1) , B(0,1,0),E(0,0,0) , D(1,0,0) , 则 PB (0,1,1) , BE (0, 1,0) , DP (1,0,1) ,
a2 b2 a＝2，
由题意得 c＝ 3， a2
解得 c＝ 3，
所以 b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆 C 的方程为x2＋y2＝1；…………………………4 分 4
（2）设 P，Q 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t， x2＋4y2＝4，
由 y＝x＋t
消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，…………………………6 分
18．解： （1）建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ，
A(0,0,0) , B(2, 0, 0) , C (2, 2, 0) , A1(0,0, 4) , C1(2, 2, 4) , D1(0, 2, 4) ,
因为|MC1|＝2|A1M|，所以
A1M
1 3
A1C1 ,
得 M(2，2，4). ………………………2 分 33
设其方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，
则 2a＝4,2c＝2，
所以 a＝2，c＝1，
所以 b2＝a2－c2＝3，………………………5 分
所以动点 P 的轨迹方程为x2＋y2＝1; …………………6 分 43
（2）设
， N x2 , y2 x1 1且x2 1 ．
y k x 4
由 x2 4
2 3
8 3
8
6
，………………………10
分
1
MN
BD1
0
，…………………………11
分
所以直线 MN 与直线 BD1 不垂直. ……………………………12 分
19．解： （1）设圆心 C 的坐标为 (a，－2a)，
则 (a 2)2 (2a 1)2 ＝|a－2a－1|，. ……………………………1 分
8
0
,…………………………10
分
所以直线 MF 的倾斜角与直线 NF 的倾斜角互补，即 OAP OAQ ．
因为 OA PQ ，所以 AP AQ ．…………………………12 分
4
因为 0 t2 5 ，所以当 t＝0 时，|PQ|max＝4 10. …………………………12 分
5
21．证明：
（1）因为 BC 1 AD，且 E 为线段 AD 的中点， 2
所以 BC=DE，又因为 BC∥AD， 所以四边形 BCDE 为平行四边形， 所以 BE∥CD， ……………………………2 分 又因为 CD 平面PCD, BE 平面PCD ，
设直线 l2
的斜率为 k
，则 k
43 2 1
1，
所以 l2 的方程为 y 3 x 1，即 x y 2 0 ；…………………………5 分
x y 2 0, （2）联立 2x y 2 0,
x 0,
得
y
2,
所以交点坐标为 (0, 2) , ……………………………8 分
所以 OP (0 0)2 (2 0)2 2 . ……………………………10 分
设圆心到直线的距离为 d ，
则 d 1 (2) 2 ，…………………………9 分
2
2
设弦长为 l ，得 l 2 2 ( 2 )2 6 ，……………………………11 分
2
所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6 .……………………………12 分
20．解： （1）设椭圆 C 的方程为x2＋y2＝1(a＞b＞0)．
泉州市高二数学试题（B）参考答案
一、选择题
1—5 BCDAC 二、多项选择题
6—8 DDB
9．BC
10．BCD
11．AC
12．BD
三、填空题
13． 0
14． 2 2
15． 3ห้องสมุดไป่ตู้
16．2
四、解答题
17．解：
（1）由题意知，直线 l1 的方程为 y 2x 2 ， 即 2x y 2 0 ；……………………………2 分
设直线 PB 与平面 BEGF 所成角为α，
3
于是有 sin cos n,PB
n PB
2
1 ；……………………11 分
n PB 2 22 22 2
所以直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 1 .……………………………12 分 2
22．解：
（1）设以线段 AP 为直径的圆的圆心为 C，取 A′(－1,0)．
又 N 为 CD1 中点，所以 N(1,2,2)，…………………4 分
所以 MN (1 2)2 (2 2)2 (2 4)2 53 ； …………………6 分
3
3
3
（2）
MN
(1 3
,
4 3
,
2)
，
BD1
(2, 2,
4)
,………………………8
分
所以
MN
BD1
(1 , 3
4 3
, 2)(2, 2, 4)
64k 2 12 4k2 3
，…………………………9
分
因为
kMF
kNF
y1 x1 1
y2 x2 1
k x1 4
x1 1
k x2 4
x2 1
k 2x1x2
x1
5 x1 x2 8 1 x2 1
k
2
64k 2 4k 2
12 3
5
32k 2 4k 2
3
x1 1 x2 1
所以 BE ∥平面 PCD， 又平面 BEGF 平面 PCDGF ,
所以 BE∥GF，……………………………4 分 又 BE AD ,且 平面PAD 平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD , 所以 BE 平面PAD ，
所以 GF 平面PAD ，……………………………6 分
（2）因为 PA PD ， E 为线段 AD的中点， 所以 PE AD ， 又因为 平面PAD 平面ABCD ，
2020-2021学年第一学期八年级数学期中考试卷(及答案)共五套
2020-2021学年第一学期期中考试试卷八年级数学一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系中，点P （1，﹣2）的位置在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为A ．6B ．8C ．10D ．8或104．今年10月环太湖中长跑中参赛选手达到21780人，这个数精确到千位表示约为（ ） A ．2.2×104B ．22000C ．2.1×104D ．225．如图，在数轴上表示实数7＋1的点可能是A ．PB ．QC ．RD ．S6．如图是跷跷板的示意图，支柱OC 与地面垂直，点O 是AB 的中点，AB 绕着点O 上下转动．当A 端落地时，∠OAC ＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A ′OA ）是 A ．80° B ．60° C ．40° D ．20°7．如图，将一个三角形纸片ABC 沿过点B 的直线折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则下列结论一定正确的是 A ．AD =BDB ．AE =ACC ．ED +EB =DBD ．AE +CB =AB8．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是A ．a =，b =，c =B ．∠A +∠B =∠C C ．∠A ：∠B ：∠C =1：3：2D ．（b +c ）（b ﹣c ）=a 29．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =6，DE =3，则△BCE 的面积等于A ．6B ．8C ．9D ．1810．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ，AC 与BD 相交于H ，且AC ⊥BD ．①ABPQ RS（第5题）ABCA 'B 'O（第6题）（第7题）∥CD ；②△ABD ≌△BAC ；③AB 2＋CD 2＝AD 2＋CB 2；④∠ACB ＋∠BDA ＝135°．其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分） 11．81的算术平方根是 ▲ ．12．在平面直角坐标系中，点P （－1，2）关于x 轴的对称点的坐标为 ▲ ． 13．如图，在R t △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若AB ＝20，则CD ＝ ▲ ． 14．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，D 是BC 上一点，BD ＝2，DE ⊥BC 交AB 于点E ，则线段AE ＝ ▲ ．15．如图，三个正方形中，其中两个正方形的面积分别是100，36，则字母A 所代表的正方形的边长是 ▲ ．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝66°，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，AF ∥DE ，若∠BDE ＝30°，则∠F AC 的度数为 ▲ ．17．如图，数轴上点A 、点B 表示的数分别中1和5，若点A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的数是 ▲ ．18．已知：如图，ΔABC 中，∠A =45°，AB =6，AC =24，点D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的点，则ΔDEF 周长的最小值是 ▲ ．AB CD E（第14题）AB CD（第13题）（第15题）ABCDH（第10题）（第9题）A BCF DE（第16题）（第17题）（第18题）FEDCBA三、解答题（本大题共9题，共64分） 19．（8分）（1）计算：()234272-+-； （2）已知：4x 2=20，求x 的值．20．（4分）如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，求证：∠A =∠C ．CDBA21．（6分）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB =10，BD =8，∠ACD =45°． （1）求线段AD 的长；（2）求△ABC 的周长．22．（6分）已知点A (1，2a －1)，点B (-a ，a -3) ． ①若点A 在第一、三象限角平分线上，求a 值．②若点B 到x 轴的距离是到y 轴距离的2倍，求点B 所在的象限．23．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB ，在图③中已画出点A ．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB 为一边画一个等腰三角形ABC ； （2）在图②中，以格点为顶点，AB 为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A 为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积= ．24．（8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE =CF ，BD =CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A =40°时，求∠DEF 的度数．25．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A=PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC=1，BC=．求证：AD2+CF2=BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）27．（8分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且AD=BD=BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三等分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，请直接写出∠C所有可能的值．2020~2021学年度第一学期期中考试八年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）2．在平面直角坐标系中，点P (－3，2)在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．三角形中最大的内角不能小于（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．下列关于两个三角形全等的说法： ① 三个角对应相等的两个三角形全等 ② 三条边对应相等的两个三角形全等③ 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ④ 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 正确的说法个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．在平面直角坐标系中，点P (2，－3)关于x 轴的对称点是（ ）A ．(－2，3）B ．(2，3)C ．(－2，－3）D ．(－3，2) 6．如图所示，∠A ＝28°，∠BFC ＝92°，∠B ＝∠C ，则∠BDC 的度数是（ ）A ．85°B ．75°C ．64°D ．60°7．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ．已知EH ＝EB ＝3，AE ＝5，则CH 的长是（ ） A ．1B ．2C ．53D ．358．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个9．如图，AB ＝2，BC ＝AE ＝6，CE ＝CF ＝7，BF ＝8，四边形ABDE 与△CDF 面积的比值是（ ） A ．21B ．32C ．43 D ．110．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线DF 交△ABC 的外角平分线AD 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB ＞AC ，则（ ） A ．BC ＝AC ＋AEB ．BE ＝AC ＋AEC ．BC ＝AC ＋AD D ．BE ＝AC ＋AD二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它的边数是___________12．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 、b 满足|a ＋b －6|＋(a －b ＋4)2＝0，则第三边长c 的取值范围是_____________13．点M (－5，3)关于直线x ＝1的对称点的坐标是___________14．如图所示，在△FED 中，AD ＝FC ，∠A ＝∠F ．如果用“SAS ”证明△ABC ≌△FED ，只需添加条件_____________即可15．在△ABC 中，高AD 、BE 所在的直线相交于点G ，若BG ＝AC ，则∠ABC 的度数是_____16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，一条线段PQ ＝AB ＝10，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，如果以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 全等，则AP ＝____________三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程组：(1) ⎩⎨⎧=-=-32373y x y x(2) ⎩⎨⎧=-=+5342y x y x18．（本题8分）如图所示，在△ABC 中：(1) 画出BC 边上的高AD 和中线AE(2) 若∠B ＝30°，∠ACB ＝130°，求∠BAD 和∠CAD 的度数19．（本题8分）如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，且AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，请将下面说明△ABC ≌△DEF 的过程和理由补充完整解：∵BE ＝CF （_____________）∴BE ＋EC ＝CF ＋EC即BC ＝EF在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧===__________________BC DF AB ）（）（∴△ABC ≌△DEF （__________）20．（本题8分）如图所示，D是边AB的中点，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC＝8 cm，求边AC的长21．（本题8分）已知，如图所示，CE⊥AB与E，BF⊥AC与F，且BD＝CD，求证：(1) △BDE≌△CDF(2) 点D在∠BAC的角平分线上22．（本题10分）如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，并且∠EBD＝90°，求证：(1) △ACE≌△BCD(2) 求∠AEB的度数23．（本题10分）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F(1) 直接写出∠AFC的度数(2) 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系(3) 如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，试判断线段AE、CD 与AC之间的数量关系并说明理由24．（本题12分）如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E．已知AO＝m，BO＝n，且m、n 满足(n－6)2＋|n－2m|＝0(1) 求A、B两点的坐标(2) 若点D为AB中点,求OE的长(3) 如图2，若点P(x，－2x＋6)为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P 的坐标2020-2021学年八年级（上）期中数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．下面的图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列因式分解结果正确的是（）A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D．a2﹣2a+1=（a+1）23．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不唯一的是（）A．已知三条边B．已知两边和夹角C．已知两角和夹边D．已知三个角4．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．已知一个三角形有两边相等，且周长为25，若量得一边为5，则另两边长分别为（）A．10，10 B．5，10 C．12.5，12.5 D．5，156．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．37．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8cm，CF=5cm，则BD为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm8．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°9．当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）A．7 B．3 C．1 D．﹣710．如图，△BDC′是将矩形纸片ABCD沿BD折叠得到的，BC′与AD交于点E，则图中共有全等三角形（）A．2对B．3对C．4对D．5对11．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC 对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+AB/AD=B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEF D．4AB/BD =12．如图，Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，AC=6cm，则BE的长度为（）A．10cm B．6cm C．4cm D．2cm二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．14．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．15．已知：在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，则∠BAC= °．16．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF= ．17．矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于．18．我们将1×2×3×…×n记作n!（读作n的阶乘），如2!=1×2，3!=1×2×3，4!=1×2×3×4，若设S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2016×2016!，则S除以2017的余数是．三．解答题（共7小题）19．因式分解：（1）9a2﹣4（2）ax2+2a2x+a320．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，5）、B（1，0）、C（4，0）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1点的坐标；（2）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并求出点P的坐标及△PAB的周长最小值．21．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，BC=EF，AB=DE，AF=CD．求证：BC∥EF．22．若m2﹣2m n+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（）=0，即（）2+（）2=0．根据非负数的性质，∴m=n=阅读上述解答过程，解答下面的问题，设等腰三角形ABC的三边长a、b、c，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13=0，求△ABC的周长．23．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6．（1）CO是△BCD的高吗？为什么？（2）求∠5、∠7的度数．24．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．（1）点D在边AB上时，证明：AB=FA+BD；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．25．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离AB为300米，又与公路车站（D点）的距离AD为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使CA=CD，求商店与车站之间的距离CD的长．参考答案一．选择题1． D．2． C．3． D．4． D．5． A．6． A．7． B．8． B．9． B．10． C．11． A．12． C．二．填空题13． 4．14． 24．15． 75°或35°16． 4．17．．18． 2016．三．解答题19．解：（1）9a2﹣4=（3a+2）（3a﹣2）（2）ax2+2a2x+a3=a（x+a）220．解：（1）如图所示，由图可知 A1（﹣4，5）；（2）如图所示，点P即为所求点．设直线AB1的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（4，5），B1（﹣1，0），∴，解得，∴直线AB1的解析式为y=x+1，∴点P坐标（0，1），∴△PAB的周长最小值=AB1+AB=+=5+．21．证明：如图，∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠BCA=∠EFD，∴BC∥EF．22．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0，即（m﹣n）2+（n﹣4）2=0．根据非负数的性质，∴m=n=4，故答案为：n2﹣8n+16；m﹣n；n﹣4；4；已知等式变形得：（a﹣2）2+（b﹣3）2=0，所以a=2，b=3，第一种情况2，2，3，周长=7；第二种情况3，3，2，周长=8．23．解：（1）CO是△BCD的高．理由如下：∵BC⊥CD，∴∠DCB=90°，∴∠1=∠2=∠3=45°，∴△DCB是等腰直角三角形，∴CO是∠DCB的角平分线，∴CO⊥BD（等腰三角形三线合一）；（2）∵在△ACD中，∠1=∠3=45°，∠4=60°，∴∠5=30°，又∵∠5=∠6，∴∠6=30°，∴在直角△AOB中，∠7=180°﹣90°﹣30°=60°．24．（本题满分8分）（1）证明：如图1，∵BE⊥CD，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．∴∠FBA=∠FCE．……………………………………………………………（1分）∵∠FAB=180°﹣∠DAC=90°，∴∠FAB=∠DAC．∵AB=AC，∴△FAB≌△DAC．………………………………………………（2分）∴FA=DA．………………………………………………∴AB=AD+BD=FA+BD．………………………………………（4分）（2）如图2，当D在AB延长线上时，AF=AB+BD，…………（6分）理由是：同理得：△FAB≌△DAC，∴AF=AD=AB+BD；如图3，当D在AB反向延长线上时，BD=AB+AF，…………………（8分）理由是：同理得：△FAB≌△DAC，∴AF=AD，∴BD=AB+AD=AB+AF．25．解：∵AB⊥l于B，AB=300m，AD=500m．∴BD==400m．设CD=x米，则CB=（400﹣x）米，x2=（400﹣x）2+3002，x2=160000+x2﹣800x+3002，800x=250000，x=312.5m．答：商店与车站之间的距离为312.5米．2020-2021学年八年级（上）期中数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm2．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．3．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）4．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CADC．BE=DC D．AD=DE5．下列计算正确的是（）A．a2+a2=2a4B．2a2×a3=2a6C．3a﹣2a=1 D．（a2）3=a6[来6．只用一种正六边形地砖密铺地板，则能围绕在正六边形的一个顶点处的正六边形地砖有（）A．3块B．4块C．5块D．6块7．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE8．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点．A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高9．如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE．若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD：②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．计算（2m2n2）2•3m2n3的结果是．12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．13．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是度．14．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是．15．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AB于点E，交边BC于点D，如果∠B=28°，那么∠CAD= 度．16．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点P为AD上一动点，若AD=12，则PC+PE的最小值为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．18．（6分）如图，∠A=50°，OB、OC为角平分线，求∠BOC．19．（8分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．（1）画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；（2）写出AA1的长度．20．（8分）计算：（1）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）（3）已知6x﹣5y=10，求[（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷4y的值．21．（8分）如图，点D，C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BD=CF．求证：AB=EF．22．（8分）已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．解：①当2x﹣1=x+1时，解x= ，此时构成三角形（填“能”或“不能”）．②当2x﹣1=3x﹣2时，解x= ，此时构成三角形（填“能”或“不能”）．（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．24．（10分）已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD=AB，连接BD交AC于点O（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）点M在BC的延长线上，点N在AC上，且MD=NM，连接BN．①如图2，点N在线段CO上，求∠NMD的度数；②如图3，点N在线段AO上，求证：NA=MC．25．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF．（1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；（2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB=8，请直接写出线段CM的长．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16， 16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3．【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．故选：A．4．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．5．【解答】解：A、应为a2+a2=2a2，故本选项错误；B、应为2a2×a3=2a5，故本选项错误；C、应为3a﹣2a=a，故本选项错误；D、（a2）3=a6，正确．故选：D．6．【解答】解：因为正六边形的内角为120°，所以360°÷120°=3，即每一个顶点周围的正六边形的个数为3．故选：A．7．【解答】解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．故选：A．8．【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：B．9．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=∠DAE，AE=AD，∴ABE≌△ACD，故①正确．∵ABE≌△ACD，∴∠AEB=∠ADC．∵∠AEB+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ADC=180°，∴∠BFD=180°﹣∠EAD=180°﹣70°=110°，故③正确．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=35°．又∵∠DAE=70°，∴AC平分∠EAD．又∵AE=AD，∴AC⊥EF，AC平分EF．∴AC是EF的垂直平分线，故④正确．由已知条件无法证明BE=EF，故②错误．故选：C．10．【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【解答】解：原式=4m4n4•3m2n3=12m6n7，故答案是：12m6n7．12．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是八．13．【解答】解：与80°角相邻的内角度数为100°；当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；当100°角是顶角时，底角的度数=80°÷2=40°；故此等腰三角形的底角为40°．故填40．14．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42．15．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=28°，∴∠CAB=90°﹣28°=62°，∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=28°，∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=62°﹣28°=34°．故答案为：34．16．【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵AD=12，点E是边AC的中点，∴AD=BE=12，∴PE+PC的最小值是12．故答案为12，三．解答题（共9小题，满分72分）17．【解答】解：（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；=12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a=4a2﹣2a+1；（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3=x3﹣y3．18．【解答】解：∵OB、OC为角平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠OBC+∠OCB=180°﹣∠BOC，∴2∠OBC+2∠OCB=180°﹣∠A，∴180°﹣∠A=2（180°﹣∠BOC），∴∠BOC=90°+∠A=90°+×50°=115°．19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）由图可知，点A与点A1之间10个格子，所以AA1的长度为10．20．【解答】解：（1）原式=﹣a6b3+2a2b•9a4b2=﹣a6b3+18a6b3=17a6b3（2）原式=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]=a2﹣（2b﹣c）2=a2﹣（4b2﹣4bc+c2）=a2﹣4b2+4bc﹣c2（3）当6x﹣5y=10时，∴3x﹣2.5y=5原式=[4x2﹣y2﹣（4x2﹣12xy+9y2）]÷4y=（12xy﹣10y2）÷4y=3x﹣2.5y=522．【解答】解：（1）①当2x﹣1=x+1时，解x=2，此时3，3，4，能构成三角形．②当2x﹣1=3x﹣2时，解x=1，此时1，2，1不能构成三角形．故答案为2，能，1，不能；（2）③当x+1=3x﹣2，解得x=，此时2，，能构成三角形．23．【解答】解：接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对圆周角为直角；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，证明过程如下：由作图可知OP为⊙C的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，∵OA、OB是⊙O的半径，∴OP是⊙O的切线．故答案为：直径所对圆周角为直角，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2020-2021学年八年级（上）期中数学模拟试卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm3．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙4．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE 5．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）6．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）7．如图，点E在△ABC边BC的延长线上，CD平分∠ACE，若∠A=70°，∠DCA=65°，则∠B的度数是．8．（3分）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=28°，点D在BA的延长线上，则∠CAD的大小为．9．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为．10．如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为度．11．在△ABC中，∠C=∠A=∠B，则∠A= 度．12．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是（填上你认为适当的一个条件即可）．13．已知点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，﹣1﹣b），则ab的值为．14．在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC与点M，AC的垂直平分线交BC于点N，则△AMN的周长= ．三．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）15．（6分）等腰三角形一腰上的中线，分别将该三角形周长分成30cm 和33cm，试求该等腰三角形的底边长．16．（6分）如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点．DF⊥AB，∠A=30°，∠F=40°，求∠ACF的度数．17．（6分）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：BC=DE．18．（6分）如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD=AE．（1）若∠ABC=60°，∠ADE=70°，求∠BAD与∠CDE的度数；（2）设∠BAD=α，∠CDE=β，试写出α、β之间的关系并加以证明．四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）19．（7分）已知：如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，E是CA 延长线上一点，F是AB上一点，连接EF．求证：∠ACD＞∠E．20．（7分）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数．21．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠C=40°，求∠BAD的度数；（2）若AC=5，DC=4，求△ABC的周长．五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）22．（8分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE=CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．23．（8分）已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．六．解答题（共2小题，满分17分）24．（8分）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D．（1）求证：PD=DQ；（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．25．（9分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C 逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．参考答案一．选择题1． A．2． B．3． B．4． D．5． A．6． B．二．填空题7．60°．8．68°．9． 6．10．37．11． 60．12．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，又 AE公共，∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．13. 214． 9三．解答题16．解：在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∵∠F=40°，∠FDB+∠F+∠B=180°，∴∠B=50°．在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACF=∠A+∠B=30°+50°=80°．18．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAC=60°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠DAE=40°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=20°，∵∠AED=∠CDE+∠C，∴∠CDE=70°﹣60°=10°．（2）结论：α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°﹣y°，∵∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=，∵∠ADE=∠AED，∴∠AED=，∴β=∠AED﹣∠ACB=﹣==，∴α=2β；19．证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＞∠BAC，∵∠BAC是△AEF的一个外角，∴∠BAC＞∠E，∴∠ACD＞∠E．20．解：根据题意，得（n﹣2）•180=1620，解得：n=11．则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．21．（1）解：∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC=40°，∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，∴∠B=∠BEA=2∠C=80°，∴∠BAD=90°﹣80°=10°；（2）由（1）知：AE=EC=AB，∵BD=DE，∴AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC，∴C△ABC=AB+BC+AC=2DC+AC=2×4+5=13．．25．解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF；证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°∴∠A1CF=∠BCD∵A1C=BC∴∠A1=∠CBD=45°∴△CBD≌△CA1F；∴CF=CD，∵CA=CB1，∴AF=B1D，∵∠A=∠EB1D，∠AEF=∠B1ED，∴△AEF≌△B1ED，∵AC=B1C，∠ACD=∠B1CF，∠A=∠CB1F，∴△ACD≌△≌△B1CF．（2）在△CBB1中。
福建省泉州市部分地区2024-2025学年高二上学期开学联考试题 数学含答案
2024-2025学年福建省泉州市部分地区高二上学期开学考试数学试卷（答案在最后）【满分：150】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.复数2023i 12iz =-在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a ,b 满足3a =,5a b ⋅=- ,则()2a b a -⋅= ()A.-1B.2C.15D.193.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为()A.6.8B.6.9C.7D.7.24.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是()A.若m α⊥，//n α，则m n ⊥B.若m α⊥，//m n ，则n α⊥C.若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD.若m α⊥，m n ⊥，则//n α5.为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党,知史爱国的热情,某校举办了“学党史,育文化的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分,成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法错误的为()A.a 的值为0.005B.估计这组数据的众数为75分C.估计这组数据的第85百分位数为85分D.估计成绩低于60分的有250人6.在ABC △中,2AE EB = ,12AF FC =,M ,N 为线段BC 上（不包含端点）不同的两个动点.若(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R,则2λμ+=()A.3B.4C.6D.77.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件A =“出现的点数为奇数”,B =“出现的点数不大于3”,事件C =“出现点数为3的倍数”,则下列说法正确的是()A.A 与B 互为对立事件 B.()()()P A B P A P B =+ C.()23P C =D.()()P A P C =8.在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,123AA =O 为BC 的中点,M ,N 分别为线段11B C ,AM 上的动点,且MN MOMO MA=,则线段MN 的长度的取值范围为()A.31513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.)15,4⎡⎣C.115,47⎡⎢⎣⎦D.1513,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.9.已知圆22:(1)(2)25C x y ++-=,直线()():311420l m x m y m +++--=,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,则()A.直线l 恒过定点()1,1B.当15m =时,AB 最长C.当35m =-时,弦AB 最短D.最短弦长AB =10.已知向量(,1)x =a ，(4,2)=b ，则下列结论正确的是()A.若//a b ，则2x =B.若⊥a b ，则12x =C.若3x =，则向量a 与向量b 的夹角的余弦值为10D.若1x =-，则向量b 在向量a 上的投影向量为11.在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,将ABD △沿对角线BD 折起,使点A 至点P （P 在平面ABCD 外）的位置,则()A.在折叠过程中,总有BD PC ⊥B.存在点P ,使得2PC =C.当1PC =时,三棱锥P BCD -的外接球的表面积为3π2D.当三棱锥P BCD -的体积最大时,32PC =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知()5,2,1A ，()4,2,1B -，()0,1,0C -，()1,0,1D ，则直线AB 与CD 所成角的余弦值为______.13.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为x ，y ，z ，6.若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为________.14.在圆台12O O 中,圆1O 的半径是2,母线2PC =,圆2O 是ABC △的外接圆,60ACB ∠=︒,AB =则三棱锥P ABC -体积最大值为___________．四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）如图,在ABC △中,25AD AB =,点E 为AC 中点,点F 为BC 上的三等分点,且靠近点C ,设CA a = CB b = .(1)用a ,b 表示EF ,CD ;(2)如果60ACB ∠=︒,2AC =,且CD EF ⊥,求||CD.16.（15分）甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为12,负的概率为13,且每局比赛之间的胜负相互独立.（1）求第三局结束时乙获胜的概率;（2）求甲获胜的概率.17.（15分）如图,在三棱台111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,4AB AC ==,1112A A A B ==,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ;（2）求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值.18.（17分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数：（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率：（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.19.（17分）在①b a =,②2sin tan b A a B =,③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若___________.（1）求角B ;（2）若2,3a c ==,点D 在ABC △外接圆上运动,求BD BC ⋅的最大值.答案以及解析1.答案：D解析：因为20233i i i ==-,所以()()()i 12i i 2i12i 12i 12i 5z -+--===--+,所以,复数z 在复平面内所对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以,复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限.故选:D.2.答案：D解析：因为3a = ,5a b ⋅=-,所以()()22292519a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯-= .故选：D.3.答案：A解析：男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3:2.则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为1(610415)1210⨯⨯+⨯=.所以这10人答对题目的方差为22641(1012)0.5(1512) 6.81010⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.故选：A.4.答案：D解析：对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα= ，则//n l ，因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质知B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误.故选D.5.答案：C解析：根据频率分布直方图可知:10(23365)1a a a a a a +++++=,即0.005a =,故A 正确;由图易得在区间[70,80)的人最多,故可估计这组数据的众数为75,故B 正确;100.005(23)1000250⨯⨯+⨯=,故成绩低于60（分）的有250人,即D 正确;由图中前四组面积之和为:(2336)0.005100.7+++⨯⨯=,图中前五组面积之和为:(23365)0.005100.95++++⨯⨯=,故这组数据的第85百分位数在第五组数据中,设这组数据的第85百分位数为m ,则有0.750.005(80)0.85m +⨯-=,故86m =,即估计这组数据的第85百分位数为86分,故C 错误.故选:C.6.答案：C解析：因为2AE EB = ,12AF FC =,所以23AE AB = ,13AF AC = ,设()()101AM a AB a AC a =+-<< ,()()101AN bAB b AC b =+-<<,则()()11AM AN a AB a AC bAB b AC +=+-++- 3()(2)()3(2)2a b AB a b AC a b AE a b AF =++--=++--,又(),AM AN AE AF λμλμ+=+∈R ,且AE ,AF不共线,则()()3232a b a b λμ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩,所以26λμ+=.7.答案：C解析：抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数构成的样本空间为()()()()()(){}1,2,3,4,5,6,则()()(){}()()(){}()(){}1,3,5,1,2,3,6,3A B C ===,对于A,事件A ,B 可同时发生,故不是对立事件,A 错误,对于B,()()()(){}1,2,3,5A B = ,()23P A B = ,()()1P A P B +=,故B 错误,对于C,()()213P C P C =-=,C 正确,对于D,()12P A =,()13P C =,D 错误,故选:C 8.答案：D解析：取11B C 的中点Q ,连接OQ ,如图,以O 为坐标原点,OC ,OA ,OQ的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则()0,0,0O ,(0A ,(11,0,B -,(11,0,C .因为M 是棱11B C 上一动点,设(,0,M a ,且[]1,1a ∈-,所以(,0,OM a = ,(MA a =--.因为MN MOMO MA =,所以222MO MN MA ===.令t =4t ⎤∈⎦,则2233t t t t -==-,4t ⎤∈⎦.又函数3y t t =-在4⎤⎦上为增函数,所以线段MN 的长度的取值范围为13,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.9.答案：AC解析：直线方程可化为()3420x y m x y +-++-=,当340120x y x x y +-=⎧⇒=⎨+-=⎩,1y =,故直线l 恒过定点()1,1P ,A 正确;易知圆心()1,2C -,半径=5r ,显然当直线l 过圆心时,AB 最长,则()()()1311124205m m m m +⨯-++⨯--=⇒=-,故B 错误;当CP l ⊥时,此时弦AB 最短,即()3112311115m m m +--⨯=-⇒=-+--,故C 正确;当35m =-时,则弦长AB ==故D 错误.故选:AC 10.答案：AC解析：若//a b ，则240x -=，解得2x =，故A 正确；若⊥a b ，则420x +=，解得12x =-，故B 错误；若3x =，则(3,1)=a .又(4,2)=b ，所以向量a 与向量b的夹角的余弦值为10⋅==a b a b ，故C 正确；若1x =-，则(1,1)=-a .又(4,2)=b ，所以向量b 在向量a上的投影向量为(1,1)||||⋅⋅=-a b a a a ，故D 错误.故选AC.11.答案：AC解析：如图所示,取PC 的中点E ,连接BE ,DE ,则BE PC ⊥,DE PC ⊥,因为BE DE E = ,BD ,DE ⊂平面BDE ,所以PC ⊥平面BDE ,又BD ⊂平面BDE ,所以BD PC ⊥,A 项正确;在菱形ABCD 中,1AB =,120ABC ∠=︒,所以AC =,当ABD △沿对角线BD 折起时,0PC <<,所以不存在点P ,使得2PC =,B 项错误;当PC =1时,将正四面体补成正方体,根据正方体的性质可知,三棱锥P BCD -的外接球就是该正方体的外接球,因为正方体的各面的对角线长为1.所以正方体的棱长为2,设外接球的半径为R ,则22234122R ⎛=+= ⎝⎭,所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2342S R ππ==球,C 项正确;当三棱锥P BCD -的体积最大时,取BD 的中点O ,连接PO ,OC ,易知PO ⊥平面BCD,则PO OC ⊥,又122PO OC AC ===,所以2PC ==,D 项错误.故选:AC.12.答案：5解析：因为()1,0,2AB =-- ，()1,1,1CD =，所以cos ,5AB CD AB CD AB CD⋅===-，所以直线AB 与CD 所成角的余弦值为155.13.答案：4.5/92解析：易知这4个数据的极差为6x -，中位数为2y z+，即可得622y zx +-=⨯，所以6x y z ++=；又因为正整数x ，y ，z 互不相等且16x y z ≤<<<，可得1x =，2y =，3z =；由475%3⨯=为正数，因此这4个数据的第75百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即364.52+=，则这4个数据的第75百分位数为4.5.故答案为：4.514.答案：34解析：如图,设圆1O ,2O 的半径分别为1r ,2r ,则12r =,由正弦定理,232sin 60r =︒,解得21r =,设圆台的高为h ,则12h O O ===,在ABC △中,取AC b =,BC a =,由余弦定理,222cos 603a b ab +-︒=,即得2232a b ab ab +=+≥,即得3ab ≤,当且仅当a b ==.因三棱锥P ABC -的体积为11113sin 6033244ABC V S h ab ab =⋅=⨯=≤△,即a b ==,三棱锥P ABC -的体积的最大值为34.故答案为：3.415.答案：(1)3255CD a b =+ ,1132EF b a=-(2)635解析：(1)因为25AD AB =,所以()223232555555CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b =+=+=+-=+=+ ,11113232EF CF CE CB CA b a =-=-=-;(2)因为CD EF ⊥,所以231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以222301510b a -= ,由2a = ,可得3b = ,又60ACB ∠=︒,所以12332a b ⋅=⋅⋅= ,所以635CD === .16.答案：（1）427（2）265432解析：（1）设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知,乙每局获胜的概率为13,不获胜的概率为23.若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=（2）设事件B 为“甲获胜”.若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率1111224P =⨯=.若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=.若第四局结束甲以积分获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜,则乙的积分为0分,总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=17.答案：（1）见解析（2）3015解析：（1）证明：以A 为坐标原点,以AB ,AC ,1AA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,根据题意可得()0,0,0A ,()4,0,0B ,()0,4,0C ,()12,0,2B ,()10,2,2C ,()0,3,1D ,∴()12,0,2BB =- ,()0,4,0AC = ,()12,0,2,AB =设平面1AB C 的法向量为(),,n d e f =,则140220n AC e n AB d f ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1d =,即1f =-,0e =,则()1,0,1n =- ,12BB n ∴=- ,1//BB n ∴,1BB ∴⊥平面1AB C .（2）由（1）知()4,4,0BC =- ,()0,1,1CD =- ,设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =,则4400m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,令1y =,即1x =,1z =,即()1,1,1m = ,由（1）知,()4,0,0AB = ,()0,3,1AD = ,设平面ABD 的法向量为(),,e a b c =,则4030e AB a e AD b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1b =,即0a =,3c =-.即()0,1,3e =- ,设平面BCD 与平面ABD 的夹角为θ,则1330cos cos ,15310m e m e m e θ⋅-====⨯,∴平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值为3015.18.答案：（1）0.030t =，85；（2）35；（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.解析：（1）由题意得：10(0.010.0150.0200.025)1t ⨯++++=，解得0.03t =，设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得85x =，第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220⨯=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320⨯=人，设为a 、b 、c .则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=.设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A a A b A c B a B b B c =，()6n M =，因此()63()()105n M P M n ===Ω，所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35.（3）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028⨯⨯=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312⨯⨯=个.记在区间[70,80)的数据分别为1x ，2x ， ，8x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1y ，2y ， ，12y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s .由题意，75x =，85y =，26.25xs =，20.5ys =，且8118i i x x ==∑，121112j j y y ==∑，则8128751285812020x y z +⨯+⨯===.根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()88812121222221111111()2((2(20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ======⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ====-=-=-=-=∑∑∑∑，可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑2222188(1212(20x y s x z s y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦222223(()55x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦22236.25(7581)0.5(8581)26.855⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.19.答案：（1）π3（2）213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（1）选①,由正弦定理得sin sin B A =sin 0A ≠,cos 1B B -=,即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0πB << ,ππ5π666B -<-<∴,ππ66B ∴-=,π3B ∴=.选②,2sin tan b A a B = ,sin 2sin cos a Bb A B=,由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B B A A B =⋅,sin 0A ≠,1cos 2B ∴=,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.选③,sin()sin(π)sin A B C C +=-=,由已知结合正弦定理可得22()a c a c b -+=,222a cb ac ∴+-=,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===,(0,π)B ∈ ,π3B ∴=.（2）π2,3,3a c B ===,,,根据余弦定理2222cos 4967b a c ac B =+-=+-=,b ∴=ABC∴△外接圆的直径2sin 2bR B===过D 作DG BC ⊥,垂足为G ,而cos BC BD BC BD DBC ⋅=∠,若BC BD ⋅取到最大值,则cos BD DBC ∠ 取最大值,故可设DBC ∠为锐角,故此时BC BD BC BG ⋅=,当BG取最大值时,DG 与圆相切且G 在BC 的延长线上（如图所示）,设此时切点为H ,垂足为F ,取BC 的中点E ,外接圆圆心为O ,连接OE ,OH ,则//OE FH 且OH FH ⊥,故四边形OHFE 为矩形,故3EF OH R ===,故1123BF BC R =+=+,()max21213BC BD⎛⎫∴⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭ .。
2020-2021学年福建省泉州市两校高二下学期期中联考化学试题
（3）纯净的磷酸粘度极大，随温度升高粘度迅速下降，原因是___；熔融状态的磷酸导电性很好，这是由于在纯磷酸中存在如图质子交换导电机理：
由此可以推知纯磷酸液体中存在的导电微粒是H2PO 和___。
（4）黑磷是磷的一种稳定的同素异形体，黑磷具有正交晶系的晶体结构(图A)。黑磷烯是二维的单层黑磷(图B)，黑磷烯与石墨烯结构相似，P的配位数为3。与石墨烯相比，黑磷烯具有半导体性质，更适合于制作电子器件。已知黑磷结构中只有一种等效的三配位P，所有P原子的成键环境一样。
A.受到能量激发时，“准液体”水分子与下层固态水分子脱离，使冰面变滑
C.分子中氮原子的杂化方式只有1种D.环上有5种处于不同化学环境的氢原子
第Ⅱ卷(共60分)
二、非选择题(本题包括5大题，共60分)
11.Ⅰ．如图是由4个碳原子结合成 4种有机物(氢原子没有画出)。
a. b. c. e.
（1）有机物(e)有一种同分异构体，有(e)一样的官能团，其结构简式为___。
（2）上述有机物中与(c)互为同分异构体的是___(填代号)。
（3）有机物f与(a)互为同系物，属于烷烃，相对分子质量为72，其中一种结构的核磁共振氢谱图中只有一组峰，则结构简式为___。
（4）写出CH2=CHCH=CH2的键线式___。
（5）有机物 一定共面的原子数为___(个)。
（6）某有机物完全燃烧只生成CO2和H2O，将15.2g该有机物完全燃烧的产物通过足量浓硫酸，浓硫酸增重14.4g，再通过足量碱石灰，碱石灰增重26.4g，该有机物的分子式是__。
A.李比希元素分析仪可以测定有机物的结构简式
B.质谱仪能根据最小的碎片离子确定有机物的相对分子质量
2020-2021学年初一(上)期中考试数学试卷(含答案)
2020-2021学年初一（上）期中考试数 学（考试时间90分钟 满分100分）18分）1．如图是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（ ）A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．44.98D ．Φ45.012．下列运算中正确的是（ ）A ．2(2)4-=- B ．224-= C ．3(3)27-=- D ．236= 3．若37x =是关于x 的方程70x m +=的解，则m 的值为（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．134．若单项式12m a b -与212n a b 是同类项，则mn 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．95．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A ．852020x y -=B ．26x -C ．212191y y =+D ．582x x +=6．下列计算正确的是（ ）A ．8(42)8482÷+=÷+÷B ．1(1)(2)(1)(1)12-÷-⨯=-÷-= C ．3311311636624433434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．[](2)(2)40--+÷= 7．下列方程的解法，其中正确的个数是（ ） ①14136x x ---=，去分母得2(1)46x x ---= ②24132x x ---=，去分母得2(2)3(4)1x x ---= ③2(1)3(2)5x x ---=，去括号得22635x x ---=④32x =-，系数化为1得32x =- A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A ．821.9410⨯元B ．82.19410⨯元C ．100.219410⨯元D ．92.19410⨯元9．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题（本题共有9小题，每小题3分，共27分）10．如果数轴上A 点表示3-，那么与点A 距离2个单位的点所表示的数是 ．11．比较大小：78- 89-（填“>”“<”或“=”） 12．历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示，例如多项式2()25f x x x =+-，则(1)f -= ．13．用四舍五入法将3.694精确到0.01，所得到的近似值为 ．14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如()2222153x x x x --+=-+-，则所捂住的多项式为 ．15．“☆”是新规定的某种运算符号，设a ☆b =ab a b +-，若2 ☆8n =-，则n = ．16．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知2m n +=-，4mn =-，则2(3)3(2)mn m n mn ---的值为 ．17．某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用12 000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x 元，可列方程为 ．18．观察下列一组算式：2231881-==⨯，22531682-==⨯，22752483-==⨯，22973284-==⨯……根据你所发现的规律，猜想22201920178-=⨯ ．三、按要求解答（第19小题8分，第20小题5分，第21小题10分，共23分）19．计算题（每小题4分，共8分） ①3511114662⎛⎫---- ⎪⎝⎭ ②[]31452(3)5211⎛⎫-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭20．（本题5分）化简并求值：222212(2)()2x xy y xy x y ⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中x 、y 的取值如图所示．21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --= ②243146x x --=-四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．（本题4分）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x a =的形式．下面是解方程20.30.410.50.3x x -+-=的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号填入相应的括号中．解：原方程可化为4153x +-=（ ） 去分母，得3(203)5(104)15x x --+=（ ）去括号，得609502015x x ---=（ ）移项，得605015920x x -=++（ ）合并同类项，得1044x =（合并同类项法则） 系数化为1，得 4.4x =（等式的基本性质2）23．（本题4分）阅读材料，回答问题．计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式的倒数为211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2112(30)31065⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭＝203512-+-+＝10-故原式＝110- 根据材料中的方法计算113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 24．（本题5分）在某地住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）． （1）用含m ，n 的代数式表示该广场的面积S ；（2）若m ，n 满足2(6)50m n -+-=，求出该广场的面积．五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．（本题6分）列代数式或一元一次方程解应用题请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打8折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．26．（本题6分）下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为62x y +，第2格的“特征多项式”为94x y +，回答下列问题．（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 ；（n 为正整数）（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．27．（本题7分）在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的13倍，我们就把点C叫做【A，B】的理想点．例如：图中，点A表示的数为-1，点B表示的数为3．表示数0的点C到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点C是【A，B】的理想点；又如，表示数2的点D到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点D 就不是【A，B】的理想点，但点D是【B，A】的理想点．（1）当点A表示的数为-1，点B表示的数为7时，①若点C表示的数为1，则点C（填“是”或“不是”）【A，B】的理想点；②若点D是【B，A】的理想点，则点D表示的数是；（2）若A，B在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C到达点A时停止．请直接写出点C运动多少秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的理想点？参考答案一、选择题（每小题2分，共18分）二、填空题（每小题3分，共27分）19．计算题（每小题4分，共8分）①原式=3511114662--+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =5131116642--++ =1224-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 =14┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ②原式=14582211⎛⎫-⨯-÷ ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =24--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分=6-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分20．解：原式=22221242x xy y xy x y ⎛⎫---+- ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =22221242x xy y xy x y --+-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =272x xy -┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 当2x =，1y =-时┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分原式=2722(1)112-⨯⨯-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --=解：60610y y -+=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分61060y y +=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分770y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分10y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 ②243146x x --=- 解：3(2)122(43)x x -=--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分310x -=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分103x =-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．③；②；④；①┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分23．解：原式的倒数为132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 1322(42)61437⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭792812=-+-+14=-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分故原式=114-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 24．解：（1）S 7220.52m n n m mn =⋅-⋅=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 （2）由题意得6050m n -=⎧⎨-=⎩，解得65m n =⎧⎨=⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分当6m =，5n =时 S 7651052=⨯⨯=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．解：（1）设一个水瓶x 元，则一个水杯是(48)x -元┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分34(48)152x x +-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分40x =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分∴4848408x -=-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分答：一个水瓶40元，一个水杯8元．（2）甲商场需付款：80%(540208)288⨯⨯+⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 乙商场需付款：5408(2052)280⨯+⨯-⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 ∴选择乙商场更划算．26．解：（1）126x y +；158x y +；3(1)2n x ny ++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）(2112)(1810)x y x y +-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分32x y =+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分27．（1）①是┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②5或11┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）设运动时间为t 秒，则BC t =，6AC t =-依题意，得C 是【A ，B 】的理想点时有16=3t t -，∴92t = C 是【B ，A 】的理想点时有1(6)3t t =-，∴32t = A 是【C ，B 】的理想点时有16=63t -⨯，∴4t =B 是【C ，A 】的理想点时有1=6=23t ⨯ 答：点C 运动92秒、32秒、4秒、2秒时，C ，A ，B 中恰有一个点为其余两点的理想点．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分。
泉州市2020-2021学年度高二上学期教学质量检测数学试卷及答案
:
x2 8
y2 4
1
，所以 | F1F2 | 4 ，
因为双曲线 C1 与椭圆 C2 有相同的焦点，
所以 b2 4 2 2 ，故 C1 的渐近线方程为 y x ， 所以选项 B 正确；
因为直线 y x 2 与渐近线 y x 平行，所以直线 y x 2 与 C1 只有一个公共点，
故选项 C 错误；
所以答案是 BD
11．已知 A(1，0) ， B(4，0) ，圆 C ： x2 y2 4 ，则以下选项正确的有
A．圆 C 上到 B 的距离为 2 的点有两个 B．圆 C 上任意一点 P 都满足 PB 2 PA
C．若过 A 的直线被圆 C 所截得的弦为 MN ，则 MN 的最小值为 2 3
D．若点 D 满足过 D 作圆 C 的两条切线互相垂直，则 BD 的最小值为 4 2 2 【命题意图】本题主要考查点与圆，直线与圆，圆与圆等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推
解法一： VP ABC
1 3
S△ABC
OP
1 3
(1 6 8) 5 2
40
，
由已知得，等腰三角形 PAC 的腰 PA 5 2 ，底边 AC 8 ，
所以 S△PAC
1 AC 2
PA 2
AC 2
2
4
34 ，
记 d 为点 B 到平面 PAC 的距离，
则 VP ABC
VBPAC
1 3
S
△PAC
因为点 D 的轨迹是圆心为 (0，0) ，半径为 2 2 的圆，
所以 BD 的最小值为 4 2 2 ，选项 D 正确．
所以答案是 BCD 12．已知图 1 中， A ， B ， C ， D 是正方形 EFGH 各边的中点，分别
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)
海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）A ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±2. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）A ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==3. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( ) A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．15. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）A ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<6. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A B ． C ．12 D ．7. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=8. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ） A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=10. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --=11. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ） A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=12. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）A ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．14. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．15. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．16. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程．18. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）点(,)P x y 在轨迹C 上，求2yx -的最小值．19. （12分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．20. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．21. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF与平面PCD所成角的正弦值等于15；②DA与平面PDF所成角的正弦值等于34；③P A与平面PDF所成角的正弦值等于3．问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线:l x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 23. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（ ）CA ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±24. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（ ）DA ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==25. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )CA ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴26. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( )B A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．127. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（ ）DA ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<28. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）AA B ． C ．12 D ．29. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=30. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（ ）BA ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 31. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（ ）ABD A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=32. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）CDA ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过点2)且与直线l 40y --=33. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（ ）BC A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=34. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（ ）ACDA ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当2m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF【解析】设椭圆的左焦点为F '，则||||AF BF '=，所以||||||||AF BF AF AF '+=+为定值6，A 正确；ABF ∆的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，易知||AB 的范围是(0,6)，所以ABF ∆的周长的范围是(6,12)，B 错误；将y 与椭圆方程联立，可解得(A ，B ，又易知F ，所以2(60AF BF =+=，所以ABF ∆为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得(A ，B ，所以112ABF S ∆=⨯=D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．35. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．336. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．21537. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是 ．34(,0,)55--38. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是 ．【解析】直线()()21340m x m y m +-+--=化为 (3)240m x y x y --+--=，令30{ 240x y x y --=--=，解得1{2x y -＝．＝∴直线()()21340m x m y m +-+--=过定点12Q -（，）． ∴点M 在以PQ 为直径的圆上，圆心为线段PQ 的中点11C --（，）线段MN 长度的最大值5CN r =+==线段MN 长度的最大值5CN r =-==故答案为5⎡+⎣.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 39. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程． 解：(1)设线段BC 的中点为D ． 因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 的中点D(3,−5)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y−0−5−0=x−43−4， 即5x −y −20=0．(2)因为B(6,−7)，C(0,−3)， 所以BC 边所在直线的斜率k BC =−3−(−7)0−6=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在直线的方程为y =32(x −4)， 即3x −2y −12=0．40. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ， （1）求动点M 的轨迹方程； （2）求2yx -的最小值． 解：(1)设动点M(x,y)， 根据题意得，√(x+1)2+y 2√(x−2)2+y 2=12，化简得，(x +2)2+y 2=4，所以动点M 的轨迹方程为(x +2)2+y 2=4． (2)设过点(2,0)的直线方程为y =k(x −2)， 圆心到直线的距离d =√k 2+1≤2，解得−√33≤k ≤√33， 所以yx−2的最小值为−√33．41. （12分）如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点． （1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小． （1）证明：∵F,G 分别为PB,EB 中点，∴FG PE ∥，,FG PED PE PED ⊄⊂平面平面，FG PED ∴平面∥. （2）解：EA ABCD EA PD ⊥平面，∥，PD ABCD ∴⊥平面. 又ABCD 四边形为矩形，,,DA DC DP ∴两两垂直.故以D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，所以可取(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ， 则||2cos ||||m n m n θ⋅==⋅，又[0,]2πθ∈，∴平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.42. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值； （2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值． 解：(1)把圆x 2+y 2−8x −12y +36=0， 化为标准方程得(x −4)2+(y −6)2=16， 所以圆心坐标为(4,6)，半径为R =4，则两圆心间的距离d =√(42+(6−2)2=5， 因为两圆的位置关系是外切，所以d =R +r ，即4+√5−m =5，解得m =4， 故m 的值为4；(2)因为圆心C 的坐标为(1,2)， 所以圆心C 到直线l 的距离d =√5=√55， 所以(√5−m)2=(12|MN|)2+d 2=(2√55)2+(√55)2，即5−m =1，解得m =4， 故m 的值为4．43. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题 处，若问题中的四棱锥存在，求AB 的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于15； ②DA 与平面PDF 所成角的正弦值等于34； ③P A 与平面PDF 所成角的正弦值等于3． 问题：若点F 是AB 的中点，是否存在这样的四棱锥，满足 ？ （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）证明：=90PAB ∠，AB PA ∴⊥， ∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥， 又,PA AD PAD ⊂平面，且PAAD A =，AB PAD ∴⊥平面，又AB ABCD ⊂平面，故平面PAD ⊥平面ABCD.（2）解：取AD 中点为O ，∵4PA PD AD ===，∴OA ⊥OP ，以O 为原点，OA,OP 所在直线分别为x,z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>， 则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)A D P B a C a F a --， 选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CF a DC a DP =-==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030ay x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,0,1)n =-，设CF 与平面PCD 所成角为θ，则2||315sin 5||||4CF n CF n aθ⋅===⋅+，解得1a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时22AB a ==. 选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)DA DP DF a ===，，设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z x ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,)n a a =--，设DA 与平面PDF 所成角为θ， 则||3sin 4||||2DA n DA n θ⋅===⋅，解得3a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时26AB a ==. 选③：易知P A 与平面PDF 所成角小于APD ∠，设P A 与平面PDF 所成角为θ，则sin sin sin32APD πθ<∠==，故不存在符合题意的四棱锥.44. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的 右顶点C ，求m 的值．解：(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2， 所以2a +2c =6+4√2，又椭圆的离心率为2√23， 即c a =2√23， 所以c =2√23a ， 所以a =3，c =2√2．所以b =1， 椭圆M 的方程为x 29+y 2=1;(Ⅱ)由{x =ky +m x 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2km k +9，y 1y 2=m 2−9k +9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)， 得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式， 得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0． 将①代入上式，解得m =125或m =3．。
福建省泉州市四校(泉州实验、安溪一中等)2024-2025学年七年级上学期期中联考数学试题(含答案)
四校联盟2024-2025学年上学期期中考试七年级数学试卷（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.在答题卡相应的答题区域内作答．1.的相反数是（ ）A.B. C.D.2.餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）A.千克 B.千克C.千克D.千克3.在有理数中，负分数有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个4.下列代数式符合书写要求的是（ ）A. B. C. D.3mn5.用四舍五入法，把5.86精确到十分位，取得的近似数是（ ）A.5.87B.5.9C.5.8D.66.已知单项式与的和是单项式，那么的值是（ ）A.9B. C.6D.7.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D.8.下列说法不正确的是（ ）A.是整式B.单项式的次数为7C.3是单项式D.“a 的2倍与b 的立方的差”表示为9.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中黑球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（ ）78-87-877878-95010⨯10510⨯9510⨯110.510⨯33,99,33%,,2024,0,0.01001410----112m3m ⨯2m n÷22mx y -335nx y ()nm -9-6-1b >-0a b +>0ab >||2b >24a b 253xy -32a b-图①图②图③图④…A.36个B.34个C.32个D.30个10.关于x 的多项式：，其中n 为正整数，各项系数各不相同且均不为0.当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法：①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”；②若多项式，则的所有系数之和为；③若多项式，则；④若多项式，则.则以上说法正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.在答题卡相应的答题区域内作答.11.中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作，则零下8℃记作__________℃.12.把多项式按字母x 的降幂排列为__________.13.若，则代数式__________.14.某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米a 元；超过部分每立方米元.若该地区某家庭10月份用水量为，则应交水费__________元.15.若多项式是关于x 的五次三项式，则m 的值为__________.16.已知，则代数式的最大值是__________.三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答题卡相应的答题区域内作答.17.（本小题8分）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：18.（本小题8分）12212210nn n n n n n A a x a x a x a x a x a ----=++++++ 3n =3233210A a x a x a x a =+++3A (12)nn A x =-n A 1±55(21)A x =-420121a a a ++=-20242024(12)A x =-20242023202131132a a a a -++++= 3+℃2323573x y xy x y +--2240a a --=2361a a -+=315m (2)a +320m ||328(2)m xx m x +-+-()()|3||2||1||5|30x x y y ++--++=2x y -1|3|,(4),0,1,1.53-----计算：（1）；（2）.19.（本小题8分）当，时，求代数式的值.20.（本小题8分）已知，c 、d 互为倒数，m 的平方是81.（1）直接写出__________；（2）求代数式的值.21.（本小题8分）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，称重的记录如下表：与标准重量的差值（单位：千克）00.250.30.5箱数124652（1）求这20箱樱桃的总重量；（2）水果店打算以每千克24元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元？22.（本小题10分）已知，有7个完全相同的边长为m 、n 的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中.图1图2（1）请用含m ，n 的代数式表示下面的问题：①大长方形的长：__________；②阴影A 的面积：__________.（2）请说明阴影A 与阴影B 的周长的和与m 的取值无关.23.（本小题10分）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.457136824⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭631(10.5)31(2)⎡⎤---÷⨯--⎣⎦1x =-32y =222x xy y -+2|8|(8)0a b ++-=a b +=2||315202511a b m cd m ++-+0.5-0.25-假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg 水.浓度关系式：.其中、分别为单次漂洗前后校服上残留洗衣液浓度；w 为单次漂洗所加清水量（单位：kg ）.【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.【动手操作】请按要求完成下列任务：（1）如果只经过一次漂洗，只用9.5kg 清水，是否能达到洗衣目标？（2）如果把4kg 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.24.（本小题12分）定义一种对整数n 的“F ”运算：，以表示对整数n 进行k 次“F ”运算.例如，表示对2进行2次“F ”运算，因为2是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果1是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是6.请回答下列问题：（1）直接写出的运算结果是__________.（2）若n 为偶数，且的运算结果为8，求n 的值.（3）若n 为奇数，且，，求n 的值.25.（本小题14分）阅读材料：如果数轴上有两点A ，B ，其表示的数分别为a ，b ，那么线段AB 的长度表示为，线段AB 的中点表示的数为.解决问题：如图，已知数轴上A ，B 两点分别位于原点O 两侧，点B 对应的数为18，且.（1）直接写出点A 对应的数是__________.（2）一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t 秒（）.①试探究：P 、Q 两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求t 的值；若不能，请说明理由；②若动点Q 从点B 出发后，到达原点O 后保持原来的速度向右运动，当点Q 在线段OB 上运动时，分别0.50.5d d w=+前后d 前d 后1( )()25( )n n F n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数(,)F n k (2,2)F 1212⨯=156+=(2,2)F (5,1)F (,2)F n (,1)0F n <(,3)0F n >a b -2a b+24AB =0t >取OB 和AQ 的中点E ，F ，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.AB OQEF2024-2025学年上学期七年级期中考试数学试题参考答案及评分标准（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1..C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A7.D8.B9.C10.D二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11.12.13.1314.15.16.9注：14题没有括号不扣分.三、解答题：本题共9小题，共86分.17.（本小题8分）解：如图所示.5分.8分18．（本小题8分）解：（1）原式2分3分4分（2）原式2分3分4分19.（本小题8分）解：当，时，3分6分8分20.（本小题8分）8-3232537x y x y xy -+-+(2010)a +2-1|3|10 1.5(4)3--<-<<<--457242424368⎛⎫=--⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭()322021=--+-33=111[1(8)]23=--⨯⨯--312=--52=-1x =-32y =2222332(1)2(1)22x xy y ⎛⎫-+=--⨯-⨯+ ⎪⎝⎭9134=++254=（1）0；2分（2）解：依题意得，4分原式当时，原式6分当时，原式8分综上，原式的值为12或.21.（本小题8分）解：（1）依题意，得（千克）.5分答：这20箱樱桃的总重量是203千克.（2）依题意，得（元）.5分答：全部售出可获利1075元.22.（本小题10分）解：（1）①；2分②；注：不扣分.4分（2）由图得6分8分10分阴影A 与阴影B 的周长的和与m 的取值无关.23.（本小题10分）解：（1）依题意，得 ， 符合题意只经过一次漂洗，能达到洗衣目标.3分（2）第一次漂洗：，5分第二次漂洗：7分1cd =9m =±∴315m =-9m =12=9m =-42=-42-2010(0.5)2(0.25)060.2550.320.5⨯+-+⨯-++⨯+⨯+⨯203=2420320020872⨯-⨯=4m n +103m mn -(103)m n -2(103)A C m n =+-2(410)B C n m =+-2(103)2(410)A B C C m n n m ∴+=+-++-2(220)440n n =+=+∴0.2%d =前9.5w =0.50.2%0.01%0.59.5d ⨯∴==+后∴0.2%d =前12w =10.50.2%0.04%0.52d ⨯∴==+后22w =20.50.04%0.008%0.52d ⨯∴==+后0.008%0.01%<进行两次漂洗，能达到洗衣目标；8分（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.10分备注：①能发现不同（比较结果，都能达标，但用水量不同）给1分；②能发现哪种更优（回答内容涉及节水理念，改变用水方式，少次多量，用更少的清水就能达标），给1分.24.（本小题12分）解：（1）103分（2）为偶数 4分若是偶数 则 若是奇数 则 综上，n 的值是32或6.8分（3）为奇数 是偶数 若是偶数 则（与矛盾，舍）若是奇数 则 又为态数 的值是.12分25.（本小题14分）解：（1）2分（2）①P 、Q 两点到原点的距离能相等.理由：依题意得点P 所表示的数为，点Q 所表示的数为，解得或当或时，P 、Q 两点到原点的距离能相等.8分②的值是定值.理由：当时，点Q 所表示的数为.线段OB 的中点E 表示的数为9线段AQ 的中点F 表示的数为∴n 1(,1)2F n n ∴=2n1(,2)84F n n ==32n ∴=2n1(,2)582F n n =+=6n ∴=n (,1)50F n n ∴=+<5n ∴<-5n + 5(,2)2n F n +∴=52n +15(,3)022n F n +=⋅>5n ∴>-5n <-52n +5(,3)502n F n +=+>15n ∴>-155n ∴-<<-n n ∴13,11,9,7----6-32t --183t -|62||183|t t ∴--=-125t =24t =∴125t =24t =AB OQ EF-06t ≤≤183t -∴618312322t t-+--=，是定值.11分当时，点Q 所表示的数为.线段OB 的中点E 表示的数为9线段AQ 的中点F 表示的数为， 是定值.13分综上，当点Q 在线段OB 上运动时，是定值.14分183OQ t ∴=-362t EF +=2AB OQEF-∴=612t <≤318t -∴3242t -318OQ t ∴=-4232t EF -=2AB OQEF-∴=2AB OQEF-=。
2020-2021学年福建省泉州市安溪县八年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题发出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．的算术平方根是（）A．B．C．±D．±42．下列各数中是无理数的是（）A．B．C．D．3．下列算式中，计算结果等于a6的是（）A．a3+a3B．a5•a C．（a4）2D．a12÷a24．下列命题中，是真命题的是（）A．形状相同的两个三角形是全等三角形B．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形C．面积相等的两个三角形是全等三角形D．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形5．如图，数轴上点N表示的数可能是（）A．B．C．D．6．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE7．下列式子为因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣x＝x（x+1）C．x2+x＝x（x+1）D．x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）8．如果代数式x2+mx+36是一个完全平方式，那么m的值为（）A．6B．﹣12C．±12D．±69．若（x﹣8）（x2﹣x+m）中不含x的一次项，则m的值为（）A．8B．﹣8C．0D．8或﹣810．为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．③④二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．计算：2a•3a＝．12．分解因式：4x2﹣1＝．13．若多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，则多项式A为．14．如图，已知△ABC≌△FDE，若∠F＝105°，∠C＝45°，则∠B＝度．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于点D，点E在边AB上，且BE＝BC，过点E作EF⊥AB交BD延长线于点F，若EF＝12，则AE＝．16．已知x2+x﹣2＝0，则代数式x3+2020x2+2017x+2＝．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．计算：．18．先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+x（4﹣x），其中x＝．19．已知：如图，AB∥DE，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝EC，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．20．已知a m＝3，a n＝6，求a3m﹣2n的值．21．如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为8xcm，宽为5xcm．（1）请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；（2）现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每花1元钱可涂漆面积为2xcm2，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）．22．已知a、b为实数，且a、b均不为0，现定义有序实数对（a，b）的“真诚值”为：，如数对（3，2）的“真诚值”为：d（3，2）＝3×22﹣3＝9，数对（﹣5，﹣2）的“真诚值”为：d（﹣5，﹣2）＝（﹣2）×（﹣5）2﹣（﹣2）＝﹣48．（1）根据上述的定义填空：d（﹣3，4）＝，d（3，﹣2）＝；（2）数对（a，2）的“真诚值”的绝对值为：|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝8，求a的值．23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．（1）求证：DE＝DF；（2）若DM＝DN，△ADM和△ADN的面积分别为36和50，求△DME的面积．24．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为．（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．25．已知在Rt△AOB中，∠AOB＝90°（如图1）．（1）将Rt△AOB绕点B逆时针旋转一定的角度，使BO边落在Rt△AOB原位置的AB 边上得Rt△NEB，延长NE交Rt△AOB原位置的AO边于F点（如图2）．①若此时∠OBN＝140°，则∠N＝度；②求证：EN＝EF+AF；（2）已知Rt△AOB中，AO＝8，BO＝6，AB＝10，将Rt△AOB沿BO边所在直线折叠得Rt△COB，再将△ABC沿AC边所在直线折叠得△ADC，组成对角线AC、BD互相垂直于点O的四边形ABCD，若点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥BC于M点，作PH⊥AB于H点，连结PD（如图3）．试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使PM+PH+PD的值最小．若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．的算术平方根是（）A．B．C．±D．±4【分析】利用算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：的算术平方根；故选：A．2．下列各数中是无理数的是（）A．B．C．D．【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；B、0.是循环小数，所以是有理数，故此选项不符合题意；C、＝3，3是整数，是有理数，故此选项不符合题意．D、是无理数，故此选项符合题意；故选：D．3．下列算式中，计算结果等于a6的是（）A．a3+a3B．a5•a C．（a4）2D．a12÷a2【分析】接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；B、a5•a＝a6，故此选项正确；C、（a4）2＝a8，故此选项错误；D、a12÷a2＝a10，故此选项错误；故选：B．4．下列命题中，是真命题的是（）A．形状相同的两个三角形是全等三角形B．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形C．面积相等的两个三角形是全等三角形D．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、形状和大小完全相同的两个三角形是全等三角形，原命题是假命题，不符合题意；B、三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，是真命题，符合题意；C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原命题是假命题，不符合题意；D、三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．5．如图，数轴上点N表示的数可能是（）A．B．C．D．【分析】根据估算无理数大小的方法进行估算，再确定数字在数轴上的位置即可求解．【解答】解：A.1＜＜2，不符合题意；B.1＜＜2，不符合题意；C.2＜＜3，符合题意；D.3＜＜4，不符合题意．故选：C．6．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【解答】解：A、添加AB＝AC可利用SAS判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；B、添加∠B＝∠C可利用AAS判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；C、添加∠AEB＝∠ADC可利用ASA判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加CD＝BE不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；故选：D．7．下列式子为因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣x＝x（x+1）C．x2+x＝x（x+1）D．x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．【解答】解；A、x（x﹣1）＝x2﹣x，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、原因式分解错误，正确的是x2﹣x＝x（x﹣1），故此选项不符合题意；C、x2+x＝x（x+1），是正确的因式分解，故此选项符合题意；D、原因式分解错误，正确的是x2﹣x＝x（x﹣1），故此选项不符合题意；故选：C．8．如果代数式x2+mx+36是一个完全平方式，那么m的值为（）A．6B．﹣12C．±12D．±6【分析】根据完全平方公式进行计算即可．【解答】解：∵x2+mx+36是一个完全平方式，∴x2+mx+36＝（x±6）2，∴m＝±12，故选：C．9．若（x﹣8）（x2﹣x+m）中不含x的一次项，则m的值为（）A．8B．﹣8C．0D．8或﹣8【分析】把（x﹣8）（x2﹣x+m）展开，根据题意不含x的一次项得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：（x﹣8）（x2﹣x+m）＝x3﹣x2+mx﹣8x2+8x﹣8m＝x3﹣9x2+（m+8）x﹣8m，∵不含x的一次项，∴m+8＝0．∴m＝﹣8．故选：B．10．为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】根据三块面积相等的小长方形，得出小长方形边长之间关系，进而表示出各边长，求出答案．【解答】解：∵三块面积相等的小长方形，∴EG＝GF，设EG＝FG＝a，AE＝HG＝DF＝b，则EF＝2a，故BE＝FC＝b，无法得出BC＝2CF，故选项②错误；此时③AE＝2BE，正确；可得：b+b+b+b+b＝80﹣2（x+20），解得：b＝10﹣x，则AB＝（10﹣x）＝15﹣x，故选项①错误；长方形ABCD的面积为：S＝（15﹣x）（20+x）＝﹣x2+300，∵﹣x2≤0，∴当x＝0，即BC＝20米时，S的最大值为300平方米，故④正确．故选：D．二．填空题（共6小题）11．计算：2a•3a＝6a2．【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂的乘法性质，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．【解答】解：2a•3a＝2×3a1+1＝6a2．故填6a2．12．分解因式：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．13．若多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，则多项式A为4ab﹣3b．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，∴多项式A为：（8a3b2﹣6a2b2）÷2a2b＝8a3b2÷2a2b﹣6a2b2÷2a2b＝4ab﹣3b．故答案为：4ab﹣3b．14．如图，已知△ABC≌△FDE，若∠F＝105°，∠C＝45°，则∠B＝30度．【分析】先根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠F＝105°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．【解答】解：∵△ABC≌△FDE，∴∠BAC＝∠F＝105°，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝180°﹣105°﹣45°＝30°．故答案为30．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于点D，点E在边AB上，且BE＝BC，过点E作EF⊥AB交BD延长线于点F，若EF＝12，则AE＝7．【分析】根据题意可以证明△ABC≌△FEB，可得AB＝EF＝12，由BE＝BC＝5，即可得AE的长．【解答】解：∵BD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADB＝∠FEB＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠F+∠FBE＝90°，∴∠A＝∠F，在△ABC和△FEB中，，∴△ABC≌△FEB（AAS），∴AB＝EF＝12，∵BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝7．故答案为：7．16．已知x2+x﹣2＝0，则代数式x3+2020x2+2017x+2＝4040．【分析】将x2+x﹣2＝0变形为x2＝2﹣x和x2+x＝2，然后将代数式x3+2020x2+2017x+2分别利用提取公因式法变形，从而将x2＝2﹣x和x2+x＝2代入计算即可．【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，∴x3+2020x2+2017x+2＝x•x2+2020x2+2020x﹣3x+2＝x（2﹣x）+2020（x2+x）﹣3x+2＝2x﹣x2+2020×2﹣3x+2＝﹣（x2+x）+4040+2＝﹣2+4040+2＝4040．故答案为：4040．三．解答题17．计算：．【分析】直接利用算术平方根以及立方根、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣3+8＝7．18．先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+x（4﹣x），其中x＝．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x2﹣9+4x﹣x2＝4x﹣9，当x＝时，原式＝1﹣9＝﹣8．19．已知：如图，AB∥DE，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝EC，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．【分析】根据已知条件可得∠B＝∠E，BC＝EF，再利用AAS证明△ABC≌△DEF，即可得结论．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF．20．已知a m＝3，a n＝6，求a3m﹣2n的值．【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形，进而把已知代入得出答案．【解答】解：a3m﹣2n＝（a m）3÷（a n）2，∵a m＝3，a n＝6，∴原式＝33÷62＝27÷36＝．21．如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为8xcm，宽为5xcm．（1）请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；（2）现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每花1元钱可涂漆面积为2xcm2，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）．【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；（2）根据原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，再乘单价即可得到结果．【解答】解：（1）原铁皮的面积是（8x+6）（5x+6）＝（40x2+78x+36）（cm2）；（2）油漆这个铁盒的表面积是：40x2+78x+36﹣4×32＝（40x2+78x）（cm2）；则油漆这个铁盒需要的钱数是：（40x2+78x）÷（2x）＝（20x+39）（元）．故涂漆这个铁盒需要（20x+39）元钱．22．已知a、b为实数，且a、b均不为0，现定义有序实数对（a，b）的“真诚值”为：，如数对（3，2）的“真诚值”为：d（3，2）＝3×22﹣3＝9，数对（﹣5，﹣2）的“真诚值”为：d（﹣5，﹣2）＝（﹣2）×（﹣5）2﹣（﹣2）＝﹣48．（1）根据上述的定义填空：d（﹣3，4）＝，32，d（3，﹣2）＝9；（2）数对（a，2）的“真诚值”的绝对值为：|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝8，求a的值．【分析】（1）根据“真诚值”的概念计算；（2）分d（a，2）＝8、d（a，2）＝﹣8两种情况，根据“真诚值”的概念计算．【解答】解：（1）d（﹣3，4）＝4×（﹣3）2﹣4＝32；d（3，﹣2）＝3×（﹣2）2﹣3＝9，故答案为：32；9．（2）∵|d（a，2）|＝8，∴d（a，2）＝±8，若d（a，2）＝8，当a＞2时，4a﹣a＝8，解得，a＝；当a＜2时，2a2﹣2＝8，a2＝5，得a＝±，∵a＜2，∴a＝﹣；若d（a，2）＝﹣8，当a＞2时，4a﹣a＝﹣8，解得，a＝﹣（不合题意，舍去）；综上所述，当|d（a，2）|＝8时，a＝或﹣．23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．（1）求证：DE＝DF；（2）若DM＝DN，△ADM和△ADN的面积分别为36和50，求△DME的面积．【分析】（1）根据角平分线的性质即可证明DE＝DF；（2）根据已知条件证明Rt△DEM≌Rt△DFN，Rt△ADE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的面积相等，即可求△DME的面积．【解答】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF；（2）在Rt△DEM和Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴S△DEM＝S△DFN，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴S△ADE＝S△ADF，∴S△ADM+S△DEM＝S△ADN﹣S△DFN，∴36+S△DME＝50﹣S△DME，∴S△DME＝7．24．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为﹣2．（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．【分析】（1）根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（3）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【解答】解：（1）当x＝1时，（x﹣1）2﹣2有最小值，是﹣2，故答案为：﹣2；（2）x2﹣10x+33＝（x﹣5）2+8，则代数式x2﹣10x+33的最小值是8；（2）∵﹣x2+7x+y+12＝0，∴y＝x2﹣7x﹣12，∴x+y＝x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21，∴x+y的最小值是﹣21．25．已知在Rt△AOB中，∠AOB＝90°（如图1）．（1）将Rt△AOB绕点B逆时针旋转一定的角度，使BO边落在Rt△AOB原位置的AB 边上得Rt△NEB，延长NE交Rt△AOB原位置的AO边于F点（如图2）．①若此时∠OBN＝140°，则∠N＝20度；②求证：EN＝EF+AF；（2）已知Rt△AOB中，AO＝8，BO＝6，AB＝10，将Rt△AOB沿BO边所在直线折叠得Rt△COB，再将△ABC沿AC边所在直线折叠得△ADC，组成对角线AC、BD互相垂直于点O的四边形ABCD，若点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥BC于M点，作PH⊥AB于H点，连结PD（如图3）．试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使PM+PH+PD的值最小．若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由旋转的性质可得BE＝BO，∠O＝∠BEN＝90°，∠ABO＝∠NBE＝70°，由直角三角形的性质可求解；②由“HL”可证Rt△BFO≌Rt△BFE，可得OF＝EF，可得结论；（2）连接BP，由三角形的面积公式可求PM+PH＝9.6，则当PD⊥AC时，PM+PH+PD 有最小值，即可求解．【解答】解：（1）①∵将Rt△AOB绕点B逆时针旋转得Rt△NEB，∴BE＝BO，∠O＝∠BEN＝90°，∠ABO＝∠NBE，OA＝EN，∵∠OBN＝140°，∴∠ABO＝∠NBE＝70°，∴∠N＝90°﹣∠BNE＝20°，故答案为：20；②如图2，连接BF，在Rt△BFO和Rt△BFE中，，∴Rt△BFO≌Rt△BFE（HL），∴OF＝EF，∴EN＝OA＝OF+AF＝EF+AF；（2）存在点P，使PM+PH+PD的值最小．如图3，连接BP，由折叠的性质可得：AB＝BC＝CD＝10，AO＝CO＝8，BO＝6，∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP，∴×8×6+×8×6＝×10×MP+×10×PH，∴PM+PH＝9.6，∴PM+PH+PD＝9.6+PD，∴PD⊥AC时，PM+PH+PD有最小值，∴点P与点O重合时，PM+PH+PD有最小值，∴PD＝6，∴PM+PH+PD的最小值为9.6+6＝15.6．。
福建省厦门市同安第一中学2020-2021学年度高二上学期数学期中试卷及答案解析
福建省厦门市同安第一中学2020-2021学年度高二上学期数学期中试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.经过点，且倾斜角为30︒的直线方程是（ ）．A.21)3y x +=+ B.21)y x -=-360y -+-= 20y -+=2.若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（ ） A.1B.－1C.2D.－23.椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于（ ）A.5B.3C.5或3D.84.方程22(2)(2)0x y x x y +++-=表示的曲线是( ) A.一个圆和一条射线 B.一个圆和一条直线 C.一个圆D.一条直线5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(3,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.3C.3D.1636.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A.22144x y -= B.2214y x -=C.2214x y -= D.221x y -=7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A.[]0,2B.0,⎡⎣C.[]22-,D.-⎡⎣8.在平而直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与直线0ax by -=交于M N 、两点，且60MAN ∠=︒，5ON OM =，则C 的离心率为（ ）A.2B.3C.12D.3第II 卷（非选择题）二、填空题(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝_____．10.已知相交两圆221:4C x y +=，圆222,(2)4C x y -+=，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________.11.已知抛物线2y =的焦点为F ，P 为抛物线上位于x 轴上方的一点，点P 到抛物线准线的距离为d ，O 为坐标原点，若POF 的面积为dPO=______. 12.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若∠MPO =120°，∠MNQ =150°，则该双曲线的渐近线方程为____ .三、解答题13.已知ABC 的周长为8且点A ,B 的坐标分别是()-, (),动点C 的轨迹为曲线Q . （1）求曲线Q 的方程;（2）直线l 过点()1,1P ,交曲线Q 于M ,N 两点,且P 为MN 的中点,求直线l 的方程.14.在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b =，求ABC 的面积.15.在①355a a +=，47S =；②243n S n n =+；③42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若________. （1）求n a ； （2）记2221n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和T n .16.已知抛物线24y x =，与圆22:(1)1F x y -+=，直线:4MN x my =+与抛物线相交于M ，N 两点.（1）求证：OM ON ⊥.（2）若直线MN 与圆F 相切，求OMN ∆的面积S .17.如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为2的正三角形，PA ⊥底面ABC ，点,,E F G 分别为,,AC PC PB 的中点，且异面直线AG 和PC 所成的角的大小为3π．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）求三棱锥C ABF -的体积．18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2，短轴长为2，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.四、新添加的题型）A.点斜式()11y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线B.斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C.两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 D.截距式1x ya b+=适用于不过原点的任何直线 20.已知直线l 与圆22: 240C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦1AB k =的中点为()0,1M ．下列结论，正确的是（ ）A.实数a 的取值范围为3a <B.实数a 的取值范围为5a <C.直线l 的方程为10x y +-=D.直线l 的方程为10x y -+=21.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A.21π3PF FB.2112MF PF =C.ED.E的渐近线方程为y =22.已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ）A.4p =B.DF FA =C.2BD BF =D.4BF =参考答案1.C【解析】1.根据倾斜角求得斜率，再求点斜式方程即可.因为直线倾斜角为30︒，故直线斜率为30tan ︒=.故直线方程为：)21y x -=-，360y -+=. 故选：C . 2.A【解析】2.将圆的圆心代入直线方程即可.解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=， 又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=， 所以直线经过圆心(1,2)-，120a -+=所以1a =， 故选：A ． 3.C【解析】3.根据椭圆方程的标准形式，求出a ，b ，c 的值，即可列出方程，从而求得m 的值． 由题意知椭圆焦距为2，即c ＝1， 当焦点在x 轴上时，则22,4a m b ==，41m ，即5m =，当焦点在y 轴上时，则224,ab m ，41m ∴-=，即3m =，∴m 的值为5或3.故选：C. 4.B【解析】4.化简方程可得出对应的曲线.22(2)(2)0x y x x y +++-=, 2220x y x ∴++=或20x y +-=，即表示圆22(1)1x y ++=或直线20x y +-=， 故选：B 5.B【解析】5.先求点(2,0)B -关于直线4x y +=对称的点(,)C a b ，再根据两点之间线段最短，即可得解.如图，设(2,0)B -关于直线4x y +=对称的点为(,)C a b ，则有242212a bb a -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩ ，可得46a b =⎧⎨=⎩，可得(4,6)C ，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC ，此时AC == 故选：B. 6.D【解析】6.由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==． 故选：D ． 7.D【解析】7.设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2[OM ON θ=∈- 故选：D 8.C【解析】8.根据题意可设出MN 的中点为G ，由5ON OM =可得出2MG OM =即2MG OM =，在Rt OAG 可求出tan AOG ∠即为直线直线0ax by -=的斜率ab，从而可得到C 的离心率.设MN 的中点为G ，则MG GN =， 由5ON OM =，得25OM MN OM MG OM -=-=， 即2MG OM =， 设OM t =，2MG t =，在等边MAN ∆中，AG =，在Rt OAG 中有tan AOG ∠2AG AG OG OM MG t t ====++， 而直线0ax by -=的斜率是a b， 所以a b =2222344()a b a c ==-， 解得12c e a == 故选：C9.0或1【解析】9.试题分析：两直线互相垂直，满足()()()()04412523=+-+-+a a a a ，整理为02=-a a ，解得0=a 或1=a .10.1x =【解析】10.直接由两圆方程作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得y = 结合12l y y =-即可求解联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得y =12l y y =-=故答案为：1x =；11.21【解析】11.由抛物线2y =，求得焦点坐标和准线方程，然后再利用12POF P S OF y ==△求得点p 的坐标求解.因为抛物线2y =，所以)F，准线方程为x =12POF P S OF y ==△所以P y =代入抛物线方程中可得P x =则d =OP ，所以21d OP =.12.y =±x【解析】12.由题意可知：M ，Q 关于原点对称，得到k MN ⋅k QN =b2a 2，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN ⋅k QN =b2a 2， 又由∠MPO=120°，∠MNQ =150°，则k MN =√3，k QN =√33，∴b 2a2=1，渐近线方程为y=±x .13.（1）()2210164x y y +=≠；（2）450x y +-=【解析】13.（1）依题意知AB =8BC AC +=.结合8>得出点C 到两个定点的距离之和等于定值,则点C 的轨迹是椭圆,设椭圆方程方,再结合椭圆的性质得4a =,c =,24b =,所以的椭圆的方程是()2210164x y y +=≠. （2）设()11,M x y ,()22,N x y ,根据两点在椭圆上,联立方程组,2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减整理可得122x x +=,122y y +=,可得斜率14-,由点斜式可得直线l 的方程. 解:（1）∵ABC的周长为8,点()A -,()B ,∴AB =8BC AC +=.∵8>C 到两个定点的距离之和等于定值,∴点C 的轨迹是椭圆,设它的方程为()222210x y a b a b+=>>.∴4a =,c =,24b =,∴椭圆的方程是()2210164x y y +=≠.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,两点在椭圆上,所以2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相减可得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=,∵122x x +=,122y y +=,代入可得121214y y x x -=--,∴直线l 的方程是()1114y x -=--,即450x y +-=. 14.（1）3A π=;（2【解析】14.（1）由正弦定理化简()cos 2cos a C b c A =-可得1cos 2A =，即可得到结论； （2）由余弦定理可得2230c c --=，解得3c =，再利用三角形面积公式即可. （1）在ABC 中，由正弦定理得：()sin cos 2sin sin cos A CBC A =-，即sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，即()sin cos sin cos sin 2sin cos A C C A A C B A +=+=，又()sin sin A C B +=， 所以sin 2sin cos ,0π,0B B A B sinB =<<≠， 则1cos ,0π2A A =<<，得3A π=. （2）由题意，a =2b =，3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2230c c --=，解得1c =-（舍）或3c =，所以11sin 23sin 223ABC S bc A π==⨯⨯⨯=. 15.（1）12n n a +=；（2）469n n T n =+.【解析】15. （1）若选择条件①，由355a a +=得出1265a d +=，根据47S =得出143472a d ⨯+=，最后两式联立，即可得出结果；若选择条件②，可根据1n n n a S S -=-得出结果；若选择条件③，由42514S S =得出()()11546142a d a d ⨯+=+，根据5a 是3a 与92的等比中项得出()()2119422a d a d +=+，然后两式联立，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据12n n a +=得出1122123nb n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后通过裂项相消法求和即可得出结果.（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1126543472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故12n n a += ；选择条件②：243n S n n =+，当2n ≥时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦， 即12(2)n n a n +=≥， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式， 故12n n a +=； 选择条件③：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()112115461429422a d a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =、12d =或10a =、0d =（不合题意），故12n n a +=. （2）因为12n n a +=， 所以22214112(21)(23)2123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭， 故12n n T b b b 111111235572123n n …⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ 114232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 16.（1）证明见解析；（2）【解析】16.（1）直线与抛物线联立，可得1216y y =-，2212121644y y x x =⋅=，可证得12120OM ON x x y y ⋅=+=，故得证；（2）由直线MN 与圆F 相切，可求得m ,利用弦长公式，点到直线距离公式，可求得,O MN MN d -，即得解.（1）设()11,M x y ，()22,N x y 联立22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，1216y y ∴=-2212121644y y x x =⋅=， 12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，即OM ON ⊥.（2）直线MN 与圆相切，218d m ==∴=， ∴原点到直线MN 的距离43==，12MN y =-==，114223O MN S MN d -=⋅=⋅⋅=17.（1）证明见解析；（2【解析】17.（1）由线面垂直的判定可证得BE ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定可证得结论； （2）取BC 中点Q ，由异面直线所成角定义可确定3AGQ π∠=，结合垂直和长度关系可确定AGQ △为等边三角形，由此求得PA 的长，由体积桥可计算求得C ABF V -，即为所求体积.（1）ABC 为正三角形，E 为AC 中点，BE AC ∴⊥，PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，BE PA ∴⊥， ,PA AC ⊂平面PAC ，PAAC A =，BE ∴⊥平面PAC ， 又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC .（2）取BC 中点Q ，连接,GQ AQ ，,G Q 分别为,PB BC 中点，1//2GQ PC ∴， 异面直线AG 与PC 所成角大小为3π，3AGQ π∴∠=， PA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，PA AB ∴⊥，PA AC ⊥，又AB AC =，PB PC ∴=， G 为PB 中点且PA AB ⊥，1122AG PB PC GQ ∴===，AGQ ∴为等边三角形，AG GQ AQ ∴===∴=PCPA ∴=1124ACF ACP SS PA AC ∴==⋅=， 由（1）知：BE ⊥平面PAC ，1333C ABF B ACF ACF V V S BE --∴==⋅==.18.（1）2214x y +=；（21. 【解析】18.（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值.解：（1）因为椭圆E 的离心率c e a ==，短轴长为2，所以1b =.又因为222a b c =+，解得2,a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y n x ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B - 所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++， 同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥， 因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++. 又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=， 代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++. 设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>， 当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大. 联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S ==. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=. 19.ABC【解析】19.利用直线方程不同形式的限制条件进行判断正误；对A ，B ，如果直线垂直于x 轴，其斜率不存在，故A ，B 正确；对C ，分母不为0，所以适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线，故C 正确； 对D ，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示，故D 错误；故选：ABC.20.AD【解析】20.方程表示圆以及点()0,1M 在圆内可解得a 的取值范围，又由CM AB ⊥解得AB k ，然后利用点斜式写出直线l 的方程.若弦AB 的中点为()0,1M ，则点()0,1M 一定在圆内，且方程表示圆，501410a a ->⎧⎨-⨯+<⎩，得3a <，故A 正确； 由圆的方程得，圆心坐标为()1,2C -，又()0,1M ，则1CM k =-，则1AB k =，由点斜式得，直线l 的方程为1y x -=，即10x y -+=，故D 正确.故选：AD.21.BCD【解析】21.根据2//OM PF 和直角三角形的性质可知A 错误，B 正确；利用半通径长和焦距之间的比例关系可构造齐次方程求得离心率，知C 正确；由离心率可得渐近线斜率，由此知D 正确.1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴，12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，22c a =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =，C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，b a∴=，E ∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD.22.ABC【解析】22.作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =， A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确； 60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确；2BD BF=，118333 BF DF AF∴===，D选项错误. 故选：ABC.。
2022-2023学年福建省泉州市鲤城区泉州一中、南安一中高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2022-2023学年福建省泉州市鲤城区泉州一中、南安一中高三（上）期中数学试卷1. 设全集U是实数集R，M={x|x2>4}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为( )A. {x|−2≤x<1}B. {x|−2≤x<3}C. {x|x≤−2或x>3}D. {x|−2≤x<2}2. 已知复数z满足z(2−i)=6+2i，则|z−|=( )A. 2√5B. 4C. 2√3D. 2√23. 若非零实数a，b满足a>b，则( )A. ac2>bc2B. ba +ab>2C. e b−a>πb−aD. lna>lnb4. 函数f(x)=xcosx的图像大致是( )A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=cos x2(4sin x2+cos x2)，当x=β时，f(x)取得最大值，则cosβ=( )A. √1717B. 4√1717C. 47D. 176. 中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是脚蹴、踢，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示．已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足PA=1，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若V P−ABC=23，则该“鞠”的体积的最小值为( )A. 256π B. 9π C. 92π D. 98π7. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=2x，则f(1+ log22022)=( )A. −10111024B. −10241011C. 10111024D. 102410118. 设数列{a n}的通项公式为a n=(−1)n(2n−1)⋅cos nπ2−1，其前n项和为S n，则S2022=( ) A. 4041 B. −5 C. −2021 D. −40459. 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，且S 9=S 10<S 11，则( ) A. d <0B. a 10=0C. S 18<0D. S 8>S 910. 已知函数f(x)=sinωx −√3cosωx(ω>0,x ∈R)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x 轴向左平移π3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是( )A. 函数g(x)是偶函数B. g(x)的图象关于点(−π3,0)对称 C. g(x)在[−π3,π3]上是增函数D. 当x ∈[−π6,π6]时，函数g(x)的值域是[1,2]11. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1上的动点，M ，N 分别为线段AC 1，CB 1上的动点，且C 1M MA =B 1NNC ，则以下结论中正确的是( )A. MN//平面ABCDB. 三棱锥P −A 1DN 的体积为定值C. PM ⊥A 1DD. 平面MNC 1⊥平面BB 1C 1C12. 已知函数f(x)=e x +asinx ，x ∈(−π,+∞)，则下列说法正确的是( ) A. 对任意a >0，f(x)均存在零点B. 当a =−1时，f(x)有两条与x 轴平行的切线C. 存在a <0，f(x)有唯一零点D. 当a =1时，f(x)存在唯一极小值点x 0，且−1<f(x 0)<013. 已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2√5π，则该圆锥的体积为______. 14. 函数f(x)=3x−32x 2−x+1在(1,+∞)上的最大值为______.15. 边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______. 16. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径AB =20cm ，需要剪去四边形CEC 1D ，可以经过对折、沿DC ，EC 裁剪、展开就可以得到．已知点C 在圆上且AC =10cm ，∠ECD =30∘.要使得该剪纸作品面积最大，AD 的长应为______cm.17. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a2=5，且S5=35.(1)求数列{a2n−1}的通项公式a2n−1；(2)设b n=1a n a n+1+2a n，求数列{b n}的前n项和T n.18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF//平面PCD；(2)若∠ADC=120∘，且PD=2AD=4，PA=PB=2√5，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．19. 在①cos2A+sinAsinB=sin2B+cos2C；②ac+b +bc+a=1；③ccosA−acosC=b−a这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知AB=2√3，且_____.(1)求角C；(2)若满足条件的△ABC恰有两个，求边a的取值范围；(3)若D为AB中点，CD=√7，求△ABC的面积．20. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且{a n−S nn }是公差为12的等差数列．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)用max{p,q}表示p，q中的最大值，若a1=1，b n=max{2n,a n2}，求数列{a n b n}的前n项和T n.21. 在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，侧面BB1C1C为菱形，且∠B1BC=60∘，点E为棱A1A的中点，EB1=EC，平面B1CE⊥平面BB1C1C.设平面B1CE 与平面ABC的交线为l.(1)作出交线l，并说明作法；(2)证明：平面BB1C1C⊥平面ABC；(3)求二面角A1−l−A的大小．22. 已知函数f(x)=ln(x+1)x+1.(1)证明：函数f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点；(2)证明：对任意的n∈N∗，2+34+49+⋅⋅⋅+n+1n2>ln(n+1)；(3)若f(x)≤ae x−1恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：M ={x|x <−2或x >2}，N ={x|1≤x ≤3}， 则M ∪N ={x|x <−2或x ≥1}，阴影部分所表示的集合为C U (M ∪N)={x|−2≤x <1}. 故选：A.分别求解集合M ，N ，又韦恩图阴影部分表示C U (M ∪N)，按照并集与补集运算即可． 本题主要考查并集、补集运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：z =6+2i 2−i =(6+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=10+10i 5=2+2i ，z −=2−2i ，故|z −|=√22+(−2)2=2√2. 故选：D.根据复数的除法运算求出z ，则可求得|z −|.本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A ，当c =0时，ac 2=bc 2=0，A 错； 对于B ，当a >0>b 时，b a+a b<0，B 错；对于C ，∵a >b ，∴b −a <0，∴y =x b−a 在(0,+∞)上为减函数，∴e b−a >πb−a ，C 正确； 对于D ，当0>a >b 时，lna ，lnb 无意义，D 错误． 故选：C.通过反例可说明ABD 错误；由b −a <0，利用幂函数的单调性，可得C 正确． 本题主要考查了不等式的性质，考查了幂函数的性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数f(x)=xcosx 的定义域为R ，f(−x)=−xcos(−x)=−xcosx =−f(x)，故该函数为奇函数，故D 错误；由于y =cosx 是值域在[−1,1]的波浪线，所以，x →∞，f(x)=xcosx →∞，故C 错误； x →0+，cosx →1，f(x)=xcosx >0，故B 错误． 故选：A.根据奇偶性和特殊点判断即可．本题考查函数的大致图像，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为f(x)=cos x2(4sin x2+cos x2)=4sin x2cos x2+cos2x2=2sinx+12cosx+12，故f(x)=√172(4√17sinx+1√17cosx)+12=√172sin(x+φ)+12(cosφ=4√17,sinφ=1√17)，因为x=β时，f(x)取得最大值，所以β+φ=π2+2kπ(k∈Z)，所以β=π2−φ+2kπ(k∈Z)，cosβ=sinφ=√1717.故选：A.由三角恒等变换公式化简与三角函数性质求解，本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的切、接问题，球的体积，棱锥的体积，以及线面垂直的性质，属于中档题．根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形ABC中，根据基本不等式即可求解AB最小值，进而可得球半径的最小值．【解答】解：取AB中点为D，过D作OD//PA，且OD=12PA=12，因为PA⊥平面ABC，所以OD⊥平面ABC，因为AC⊥BC，则DA=DB=DC，则由勾股定理得OA=OB=OC=OP，所以O是外接球球心，OA为球的半径，由V P−ABC=13×12AC⋅CB⋅PA=23，则AC⋅CB=4，又因为AB2=AC2+BC2≥2AC⋅BC=8，当且仅当AC=BC=2时，等号成立，所以球半径R=OA=√OD2+(12AB)2≥√(12)2+(√2)2=32，故R min=32，则外接球体积最小值为43πR3=43π(32)3=92π，故选C.7.【答案】B【解析】解：因为f(x)为奇函数所以f(x)=−f(−x)，又f(2−x)=f(x)，所以f(2−x)=−f(−x)，将x替换为x+2得：f(2−x−2)=−f(−x−2)，即f(−x)=−f(−x−2)，故f(2−x)=f(−x−2)，所以f(x)的周期T=4×(1−0)=4，因为1024<2022<2048，所以log22022∈(10,11)，则log22022−10=log220221024∈(0,1)，则f(1+log22022)=f(log220221024+11)=f(log220221024−1)=−f(1−log220221024)=−21−log220221024=−220221024=−10241011.故选：B.由奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，推导出f(2−x)=f(−x−2)，得到函数的周期为4，由log22022−10=log220221024∈(0,1)，结合函数的周期性和奇偶性可求．本题主要考查了函数的奇偶性，周期性及对称性在函数求值中的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵a n=(−1)n(2n−1)⋅cos nπ2−1，∴当n=4k−3或n=4k−1，k∈N∗时，cos nπ2=0，a4k−3=a4k−1=−1；当n=4k−2，k∈N∗时，cos nπ2=−1，a4k−2=[2×(4k−2)−1]×(−1)−1=−8k+4；当n=4k，k∈N∗时，cos nπ2=1，a4k=2×4k−1−1=8k−2，∴a 4k−3+a 4k−2+a 4k−1+a 4k =0，∴S 2022=S 2020+a 2021+a 2022=a 2021+a 2022=−1+(2×2022−1)⋅(−1)−1=−4045， 故选：D.根据题意，分类讨论n =4k −3或n =4k −1，k ∈N ∗时，cos nπ2=0，n =4k −2，k ∈N ∗时，cos nπ2=−1，n =4k ，k ∈N ∗时，cos nπ2=1，即可得出答案．本题考查数列的求和，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：S 9=S 10<S 11，则a 10=0，a 11>0，d >0，故B 正确，A 错误， ∵a 9+a 10=2a 10−d <0， ∴S 18=18(a 1+a 18)2=9(a 9+a 10)<0，故C 正确，S 9−S 8=a 9=a 10−d =0−d <0，故D 正确． 故选：BCD.根据已知条件，求出a 10=0，a 11>0，再结合等差数列的前n 项和公式，即可依次求解． 本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：因为f(x)=sinωx −√3cosωx =2sin(ωx −π3)， 又y =f(x)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列， 所以T2=π2=2π2ω，所以ω=2， 所以f(x)=2sin(2x −π3)，所以f(x)向左平移π3个单位得到y =2sin(2x +π3)，y =2sin(2x +π3)横坐标伸长到原来2倍得到g(x)=2sin(x +π3)，对于A ，g(x)=2sin(x +π3)为非奇非偶函数，故A 错误； 对于B ，g(−π3)=2sin(−π3+π3)=2sin0=0，所以g(x)的图象关于点(−π3,0)对称，故B 正确；对于C ，因为x ∈[−π3,π3]，所以(x +π3)∈[0,2π3]，又因为y =2sint 在[0,2π3]上先增后减，所以g(x)在[−π3,π3]上不是增函数，故C 错误； 对于D ，当x ∈[−π6,π6]时，(x +π3)∈[π6,π2]，所以g(x)max =2sin π2=2，此时x =π6；g(x)min =2sin π6=1，此时x =−π6，所以g(x)的值域为[1,2]，故D正确．故选：BD.先根据辅助角公式化简f(x)，然后利用已知条件求解出ω的值，再根据图象的变换求解出g(x)的解析式，最后利用正弦函数的性质逐项分析判断作答．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，在AB1上取点E，使得B1EEA =C1MMA=B1NNC，∴EM//B1C1//BC，EN//AC，EM，EN⊄平面ABCD，BC，AC⊂平面ABCD∴EM，EN//平面ABCD，EM∩EN=E，∴平面MEN//平面ABCD，MN⊂平面MEN，∴MN//平面ABCD，故A正确；对于B，∵A1D//B1C，∴点N到A1D的距离是一个定值，∴△A1DN的面积是定值，又C1D1//平面A1B1CD，∴点P到平面A1B1CD的距离为定值，即点P到平面A1DN的距离为定值，∴三棱锥P−A1DN的体积为定值，故B正确；对于C，由题意得A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1，AD1∩C1D1=D1，AD1⊂平面AD1C1B，C1D1⊂平面AD1C1B，∴A1D⊥平面AD1C1B，又PM⊂平面AD1C1B，∴A1D⊥PM，故C正确；对于D，∵当点M无限靠近点A时，点N无限靠近点C，此时平面MNC1无限趋近于平面AA1C1C，∴平面AA1C1C与平面BB1C1C不垂直，故D错误．故选：ABC.由面面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理与性质定理，棱锥的体积公式，对选项逐一判断．本题考查面面平行的判定问题，三棱锥的体积变化问题，面面垂直的判定定理问题，属中档题．12.【答案】BCD【解析】解：令f(x)=0，可得−1a =sinxe x，令F(x)=sinxe x ,x∈(−π,0)，则F′(x)=cosx−sinxe x=−√2sin(x−π4)e x，令F′(x)<0，解得x ∈(π4+2kπ,5π4+2kπ)，k ∈Z ，此时F(x)递减，令F′(x)>0，解得x ∈(5π4+2kπ,π4+2π+2kπ)，k ∈Z ，此时F(x)递增，所以当x =2kπ+5π4,k ≥−1,k ∈Z 时，F(x)取到极小值，即当x =−3π4,5π4,⋯时，F(x)取到极小值， 又sin(−3π4)e −3π4<sin 5π4e 5π4<⋯，即F(−3π4)<F(5π4)<⋯，又因为在(−π,−3π4]上，F(x)递减， 故F(x)≥F(−3π4)=−√22e 3π4，当x =2kπ+π4,k ≥0,k ∈Z 时，F(x)取到极大值，即当x =π4,9π4,⋯时，F(x)取到极大值， 又sin π4e π4>sin 9π4e 9π4>⋯，即F(π4)>F(9π4)>⋯，故F(x)≤F(π4)=√22e π4， 当x ∈(−π,+∞)时，−√22e 3π4≤F(x)≤√22e π4， 所以当−1a<−√22e 3π4，即0<a <√22e 3π4时，f(x)在(−π,+∞)上无零点，故选项A 错误；当a =−1时，f(x)=e x −sinx ，令f′(x)=e x −cosx =0，得e x =cosx ，由函数y =e x 、y =cosx 的图像可知方程有两个根：x 1∈(−π2,0)，x 2=0，f(x 2)=−1,f(x 1)=sinx 1−e x 1<0，即斜率为0的切线共有两条，其切点均不在x 轴上，故切线均与x 轴平行，故选项B 正确； 当−1a=√22e π4，即a =−√2e π4时，y =−1a 与y =sinxe x的图像只有一个交点， 即存在a <0，f(x)在(−π,+∞)上有唯一零点，故选项C 正确，当a =1时，f′(x)=e x +cosx =0⇔e x =−cosx ，由图像可知此方程有唯一实根x 0，因为e 3π2>2， 所以1e 3π2<12,1e 3π4<√22，f′(−3π4)=1e 3π4−√22<0，x 0∈(−3π4,−π2)，f(x 0)=e x ^+sinx 0=sinx 0−cosx 0=√2sin(x 0−π4)，可知−1<f(x 0)<0，故D 正确． 故选：BCD.对于A ，C ，由已知得，−1a =sinxe x ，令F(x)=sinxe x ,x ∈(−π,0)，利用导数的相关性质，即可对A ，C 选项进行判断；对于B ，f(x)=e x −sinx ，f′(x)=e x −cosx =0，即可得到e x =cosx ，由函数y =e x 、y =cosx 的图像可知方程有两个根，进而可以判断B 选项；对于D ，当a =1时，f′(x)=e x +cosx =0⇔e x =−cosx ，由图像可知此方程的根的情况，进而可以判断D 选项． 本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】4π3【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则{2πr =4ππrl =2√5π，解得{r =2l =√5，则该圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=1， 故该圆锥的体积为13π⋅22⋅1=4π3. 故答案为：4π3.设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则由题意可得{2πr =4ππrl =2√5π，求出r ，l ，从而可求出高h ，进而可求出圆锥的体积．本题考查了圆锥的体积计算，属于基础题．14.【答案】37【解析】解：因为f(x)=3x−32x 2−x+1，x∈(1,+∞)，令x −1=t ，则t >0， 则f(t)=3t2(t+1)2−(t+1)+1=3t 2t 2+3t+2=32t+3+2t≤2√2t⋅2t +3=37，当且仅当2t =2t，即t =1时，等号成立． 故f(x)的最大值为37. 故答案为：37.令x −1=t ，则t >0，则f(t)=32t+3+2t，再利用基本不等式求最值即可．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.【答案】[0,14]【解析】解：作图如下：不妨设正方形ABCD 的内切圆圆心为O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14， 当P 为正方形ABCD 的某边中点时，|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =12，即12≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√22，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∈[0,14]. 故答案为：[0,14].作图，易知MN 为内切圆O 的一条直径，转化可得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14，根据图形可得|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |的范围，进而得解．本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】20−10√3【解析】解：如图，连接AC ，作CG ⊥AB 于G ，由题意，AC =AO =OC =10cm ，故∠OAC =60∘， 所以CG =CA ⋅sin60∘=5√3cm.设CE =a ，CD =b ，ED =c ，则由面积公式，S △CED =12absin30∘=12c ⋅CG ，即ab =10√3c.由余弦定理√32=a 2+b 2−c 22ab，结合基本不等式√3ab =a 2+b 2−a 2b 2300≥2ab −a 2b2300，即ab ≥300(2−√3)，当且仅当a =b =√300(2−√3)时取等号． 故S △CED =14ab 取最小值时a =b ， 此时∠GDC =(180∘−30∘)÷2=75∘. 故AD =GA −GD =5−CG tan75∘=5−5√3tan(45∘+30∘)=5−5√32+√3=5−5√3(2−√3)=20−10√3.故答案为：20−10√3.结合基本不等式，根据三角形CED 面积的最小值，求得剪纸作品面积最大时，AD 的长．本题主要考查基本不等式与余弦定理的运用，涉及了圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=5，且S5=35，∴a1+d=5，5a1+10d=35，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2(n−1)=2n+1.∴数列{a2n−1}的通项公式a2n−1=2(2n−1)+1=4n−1.(2)b n=1a n a n+1+2a n=1(2n+1)(2n+3)+22n+1=12(12n+1−12n+3)+2×4n，∴数列{b n}的前n项和T n=12(13−15+15−17+…+12n+1−12n+3)+2×4(4n−1)4−1=12(13−12n+3)+2×4n+1−83=n3(2n+3)+2×4n+1−83.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，且S5=35，可得a1+d=5，5a1+10d=35，解得a1，d，即可得出a n，进而得出数列{a2n−1}的通项公式a2n−1.(2)b n=1a n a n+1+2a n=1(2n+1)(2n+3)+22n+1=12(12n+1−12n+3)+2×4n，利用裂项求和与求和公式即可得出结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程的思想方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)取PD的中点G，连接CG，EG，如图所示：因为E，F分别为PA，BC的中点，所以EG//AD,EG=12AD，又底面ABCD为菱形，所以CF//AD,CF=12AD，所以EG//CF，EG=CF，所以四边形EGCF为平行四边形，所以EF//CG，又CG⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF//平面PCD.解：(2)连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∠ADC =120∘， 所以△BCD 为等边三角形，所以BD =CD =2，又PD =4,PA =PB =2√5，所以PB 2=PD 2+BD 2，PA 2=PD 2+AD 2， 故PD ⊥BD ，PD ⊥AD ，又BD ∩AD =D ，BD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，又F 为BC 的中点，所以DF ⊥BC ，所以DF ⊥DA ，以D 为原点，DF ，DA ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，所以F(√3,0,0)，A(0,2,0)，E(0,1,2)，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−2,0). 设平面DEF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则，令z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,−2,1). 设直线AF 与平面DEF 所成的角为θ，则sinθ=|cos⟨m ⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|4|√5×√7=4√3535， 故直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值为4√3535.【解析】(1)证明四边形EGCF 为平行四边形即可证得EF//CG ，从而证得EF//平面PCD ； (2)由向量法即可求得线面角的正弦值．本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．19.【答案】(1)解：若选①，cos 2A +sinAsinB =sin 2B +cos 2C ，则1−sin 2A +sinAsinB =sin 2B +1−sin 2C ，即sinAsinB −sin 2A =sin 2B −sin 2C ，由正弦定理得ab −a 2=b 2−c 2，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∵0<C <π，∴C =π3.若选②，∵a c+b +b c+a=1，∴a(a +c)+b(b +c)=(b +c)(a +c)，整理得a 2+b 2−c 2=ab ，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∵0<C <π，∴C =π3；若选③，∵ccosA −acosC =b −a ，由正弦定理得sinCcosA −sinAcosC =sinB −sinA =sin(A +C)−sinA =sinAcosC +sinCcosA −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ， ∵0<A <π，∴sinA ≠0， 故cosC =12，∵0<C <π，∴C =π3； (2)解：由正弦定理，a sinA =c sinC=√3√32=4，所以sinA =a4，故a4<a 即a <4，又满足条件的△ABC 有两个，则角A 有两个解， 由大边对大角，应有a >c =2√3， 故边a 的取值范围是{a|2√3<a <4}.(3)解：由图可得DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =abcosC =12ab =(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CD 2−DA 2=7−3=4， ∴ab =8，∴S △ABC =12absinC =12×8×√32=2√3.【解析】(1)分别选择条件①，②，③，根据边角转化即可求解角C ； (2)根据三角形有两个解，根据边角关系列不等式即可得边a 的取值范围； (3)根据向量之间的运算，结合数量积的运算可得ab 的值，即可求△ABC 的面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，三角形的面积公式的应用，还卡车了向量数量积的性质，属于中档题．20.【答案】解：(1){a n −Sn n }的首项为a 1−S 11=0，{a n −S nn }是公差为12的等差数列，∴{a n −Snn }是首项为0，公差为12的等差数列，∴a n −Sn n =0+12(n −1)=n−12，即S n =na n −12n(n −1)①，当n ≥2时，S n−1=(n −1)a n−1−12(n −1)(n −2)②，由①-②得a n =na n −(n −1)a n−1−(n −1)，即(n −1)a n −(n −1)a n−1−(n −1)=0， ∵n −1≠0，∴a n −a n−1=1， 故{a n }是公差为1的等差数列．(2)由(1)得数列{a n }是公差为1的等差数列且a 1=1，则a n =n ，又b n =max{2n ,a n 2}，∴b n =max{2n ,a n 2}={2n ,n ≤2n 2,n =32n ,n ≥4，(i)当n ≥4时，T n =1×21+2×22+3×32+⋯+n ⋅2n =1×21+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n +3，令F n =1×21+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n ，2F n =1×22+2×23+3×24+⋯+n ⋅2n+1， ∴−F n =21+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，∴F n =(n −1)⋅2n+1+2，故当n ≥4时，T n =(n −1)⋅2n+1+5， (ii)当n =3时，T n =T 3=37，(iii)当n ≤2时，T n =F n =(n −1)⋅2n+1+2， 综上所述，T n ={(n −1)⋅2n+1+2,n ≤237,n =3(n −1)⋅2n+1+5,n ≥4.【解析】(1)由题意得{a n −S nn }是首项为0，公差为12的等差数列，可得a n 与S n 的关系，利用作差法，即可证明结论；(2)由(1)得数列{a n }是公差为1的等差数列且a 1=1，则a n =n ，可得b n =max{2n ,a n 2}={2n ,n ≤2n 2,n =32n ,n ≥4，分类讨论，利用错位相减法，即可得出答案． 本题考查等差数列的通项公式和由数列的递推式求数列的通项，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)如图，延长B1E，BA交于点G，连接CG，则直线CG即为交线l；(2)证明：分别取BC，B1C的中点O，F，连接OA，OF，EF，BB1，又点E为棱A1A的中点，则FO//BB1，且FO=12∴AE//BB1，且AE=1BB1，2∴FO//AE，且FO=AE，∴四边形AOFE是平行四边形，∴EF//AO，又EB1=EC，F是B1C的中点，∴EF⊥B1C，又平面B1CE⊥平面BB1C1C，且交线为B1C，∴EF⊥平面BB1C1C，∴AO⊥平面BB1C1C，又AO⊂平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC；(3)∵侧面BB1C1C为菱形，且∠B1BC=60∘，∴△BB1C为正三角形，∴B1O⊥BC，由(2)知平面BB1C1C⊥平面ABC，且交线为BC，∴B1O⊥平面ABC，又由AB=AC，∴OA，OC，OB1两两垂直，设AB=2，则AA1=BC=2√2，以O为原点，OA，OC，OB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，则A(√2,0,0)，B(0,−√2,0)，C(0,√2,0)，B 1(0,0,√6)， 由(1)知GAGB =AEBB 1=12，故G(2√2,√2,0)，二面角A 1−l −A 即二面角A 1−CG −A ，又CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√6)， 设平面A 1CG 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2x =0m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√6z =0，取m ⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)， 又易知平面ACG 的法向量为n ⃗ =(0,0,1)， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴平面A 1CG ⊥平面ACG ， 即二面角A 1−l −A 的大小为π2.【解析】(1)延长B 1E ，BA 交于点G ，连接CG ，则直线CG 即为交线l ；(2)分别取BC ，B 1C 的中点O ，F ，连接OA ，OF ，EF ，根据中位线定理得出四边形AOFE 是平行四边形，然后根据面面垂直的性质即可求解；(3)以O 为原点，OA ，OC ，OB 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角．本题考查面面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题，属中档题．22.【答案】解：(1)证明：要证函数f(x)的图象与直线y =x 只有一个交点，只需证方程f(x)=x 只有一个根， 即证ln(x+1)x+1=x 只有一个根，即证ln(x +1)−x 2−x =0只有一个根．令g(x)=ln(x +1)−x 2−x ，x ∈(−1,+∞)，则g′(x)=1x+1−2x −1=−x(2x+3)x+1， ∴当x ∈(−1,0)时，g′(x)>0；当x ∈(0,+∞)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减， ∴g(x)max =g(0)=0，∵g(x)≤0恒成立，当且仅当x=0时，g(x)=0，∴方程g(x)=0只有一个根，即函数f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点．(2)证明：由(1)知：g(x)≤0，即ln(x+1)≤x2+x恒成立(在x=0时等号成立).∵n∈N∗，∴ln(1n +1)<1n2+1n，即ln n+1n<n+1n2，∴ln21+ln32+ln43+⋅⋅⋅+ln n+1n<212+322+432+⋅⋅⋅+n+1n2，∴ln(21×32×43×⋅⋅⋅×n+1n)<2+34+49+⋅⋅⋅+n+1n2，∴ln(n+1)<2+34+49+⋅⋅⋅+n+1n2，即2+34+49+⋅⋅⋅+n+1n2>ln(n+1).(3)因为f(x)≤ae x−1恒成立，令x=0，则f(0)=0≤ae0−1，所以a≥1.下面证明a≥1时原不等式成立，由(1)知：ln(x+1)≤x2+x恒成立，即f(x)≤x恒成立，故只要证x≤ae x−1恒成立，即证a≥(x+1e x)max，记ℎ(x)=x+1e x ，则ℎ′(x)=−xe x，由ℎ′(x)<0⇔x>0，所以ℎ(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)max=ℎ(0)=1，故当a≥1时原不等式成立，综上，a的取值范围是[1,+∞).【解析】(1)通过构造函数判断单调性，证明方程f(x)=x只有一个根即可；(2)利用第(1)问结论通过换元法和对数的运算即可证明不等式；(3)结合小问(1)求证x≤ae x−1，分离参数构造函数通过单调性证明恒成立．本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，分离参数通过导数判断函数单调性是解决方程的根和证明不等式非常有效的手段，注意小问与问题之间的联系，巧妙的换元和构造可以减少非必要的化简和运算，必要时可以使用特值法探路，大胆假设，利用函数与导数的关系进行证明，属于中档题．。