福建省宁德市宁德一中2020年高二数学下学期第三次月考(无答案) 理 新人教A版
2020届福建省宁德高级中学高三第三次月考理科数学试题(4页)
2020届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届理科数学试题一､选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I ， ，A. 3(3,)2--B. 3(3,)2-C. 3(1,)2D. 3(,3)22.等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A. －24 B. －3 C. 3D. 83.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π4.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A. ()26k x k Z ππ=+∈ B. ()26k x k Z ππ=-∈ C. ()212k x k Z ππ=+∈ D. ()212k x k Z ππ=-∈ 5.，ABC ∆，，，，D ，，2BD DC =u u u ru u u r，，AD =u u u r， ，A. 1233AC AB +u u ur u u u rB. 5233AB AC -u u ur u u u rC. 2133AC AB -u u ur u u u rD. 2133AC AB +u u ur u u u r6.对正整数n ，设曲线()1ny x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列{}n a 的前n 项和(n S = )A. 1(1)2n n ++⨯B. (1)2nn +⨯C. 2n n ⨯D. 12n n +⨯7.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确是（ ） A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥8.已知命题:P 若ABC ∆为钝角三角形，则sin cos A B <；命题:,,q x y R ∀∈若2x y +≠，则1x ≠-或3y ≠，则下列命题为真命题是（ ）A. ()p q ∨⌝B. ()p q ⌝∧C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝9.函数()xe f x x=的图象大致为（ ） A.B.C.D.10.已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1(0,)2B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,)+∞11.()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数则函数()f x 的图象( ) A. 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 的的C. 关于直线12x π=-对称D. 关于直线712x π=对称 12.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二､填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，则．14.若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________.15.等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，已知3S =74，6S =634，则8a =_____．16.若函数()2ln 12f x x mx x -+=有极值,则函数()f x 的极值之和的取值范围是________. 三､解答题(本大题共6小题,共72.0分)17.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=． （1）求C 的大小； （2）若c =ABC ∆周长的最大值．18.如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .，1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ，，2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22Nn n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T .20.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，AC BD O PAC ⋂=V ，是边长为2的等的边三角形，PB PD ==4AP AF =.(Ⅰ)求证：PO ⊥底面ABCD ；(Ⅱ)求直线CP 与平面BDF 所成角大小；(Ⅲ)在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求BMBP的值，如果不存在，请说明理由．21.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是28cos =1cos θρθ-. ，1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； ，2）若4πα=，设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AOB V 面积.的的。
福建宁德一中2020届高三第三次月考理科数学试题(20页)
444第3题福建宁德一中2020届高三第三次月考理科数学试题一，选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合2{|430}){|230A x x x B x x =-+<=->，，则A B ⋂（ A.3(3)2--，B. 3(3,)2- C. 3(1,)2D. 3(,3)22.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若236,,a a a 成等比数列，{}n a 前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.83如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π 4.若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( ) A.()26k x k z ππ=-∈ B.()26k x k z ππ=+∈ C.()212k x k z ππ=-∈ D. ()212k x k z ππ=+∈ 5在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =，则=AD ( ) A.1233AC AB + B. 5233AB AC - C. 2133AC AB - D. 2133AC AB + 6正整数n ，设曲线()1n y x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a 则数列{}n a 的前n 项和等于（ ）A ．1)(12n n ++ B.()12n n + C. 2n n ⋅ D.12n n +⋅7.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A.若////m n αα，，则//m n ；B.若m n αα⊥⊂，，则m n ⊥; C.若,m m n α⊥⊥，则//n α；D.若//,m m n α⊥，则n α⊥；8.已知命题p:若△ABCR，若2x y+≠，,则实C.(1,2)D.(2,)+∞)|2π<的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个)x的图象（）,012π⎛-⎫⎪⎝⎭对称；C.关于直线12xπ=-对称；D.关于，其中1a<，若存在唯一的整数0x，使得()00f x<33[,)24eD. 3[,1)2e20.0分)13.函数()f x的图象在2x=处的切线方程为230x y+-=，则()()2'2f f+=.14.若sin 163πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-则2cos 62πα+⎛⎫⎪⎝⎭= ; 15.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知36763,44S S ==，则8a = ;16.若函数()2ln 12f x x mx x -+=有极值，则函数()f x 的极值之和的取值范围是 .三，解答题(本大题共6小题，共72.0分) 17.△ABC中，角A ，B ，C的对边分别是a b c ，，，已知()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C +++=。
2024月考数学试卷答案
高2023级2024年春3月月考数学答案1-8ADAC CAAB 9.BC10.BC 11AD 12BCD 13.6-14.15.636516.112⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦17.(1)111123a b -+ （2）12121212236234812186AD AB BC CD e e e e e e e e AB =++=++++-=+= ，所以//AD AB ，又因为,AD AB 有公共起点A ，故A ，B ，D 三点共线.19（1）由图象可知，4022A ==，22B ==，设()f x 最小正周期为T ，12π5πππ441264T ω=⨯=-=，∴2ω=，∴()()2sin 22f x x ϕ=++，又∵ππ2sin 22466f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π2ϕ<，∴ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π6ϕ=，∴函数()f x 的解析式为()π2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2662x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，21【解析】（1）因为1tan7β=，所以222222cos2sin sin coscos2sin sin cossin cosββββββββββ-+-+=+2212tan tan27tan125βββ-+==+．（2）因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0παβ<+<，又因为cos()αβ+π2αβ<+<，sin()αβ+=所以1tan()2αβ+=，又1tan7β=，所以由tan tan1tan()1tan tan2αβαβαβ++==-，解得1tan3α=，所以11tan()tan23tan(2)tan[()]111tan()tan16αβααβαβααβα++++=++===-+-，又π2αβ<+<，π2α<<，故02παβ<+<，∵ABC为等边三角形，∴2BC=，即函数的周期4T=，∴2ππ2Tω==，∴π1ππ(),2326f x x f x xϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵0πϕ<<，∴ππ7π666ϕ<+<，又13f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，∴ππ62ϕ+=，∴π3ϕ=，∴ππ()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）21π21ππsin cos π32π332f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2213sin 4π3x f x m ⎛⎫-⋅+≤- ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，∴23sin 4x x m -≤-，即23cos 3cos 10x m x m +-+≥对任意x ∈R 恒成立，令cos ,[1,1]x t t =∈-，即23310t mt m +-+≥在[1,1]t ∈-上恒成立．设2()331h t t mt m =+-+，对称轴2m t =-，当12m -≤-时，即2m ≥时，min ()(1)440h t h m =-=-+≥，解得1m £（舍）；当12m -≥时，即2m ≤-时，min ()(1)240h t h m ==+≥，解得2m ≥-，∴2m =-；当112m -<-<时，即22m -<<时，2min 3()1024m h t h m m ⎛⎫=-=--+≥ ⎪⎝⎭，解得223m -<≤．综上，实数m 的取值范围为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
2020届福建省宁德高级中学高三第三次月考理科数学试题
2020届福建省宁德高级中学高三第三次月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ） A ．－24B ．－3C ．3D ．83．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π4．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k ∈Z ） B ．x=26k ππ+（k ∈Z ） C ．x=212k ππ-（k ∈Z ）D ．x=212k ππ+（k ∈Z ） 5．在ABC ∆中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．1233AC AB + B ．5233AB AC - C ．2133AC AB -D ．2133AC AB +6．对正整数n ，设曲线()1ny x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列{}n a 的前n 项和(n S = ) A ．1(1)2n n ++⨯B ．(1)2n n +⨯C ．2n n ⨯D ．12n n +⨯7．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥8．已知命题:P 若ABC ∆为钝角三角形，则sin cos A B <；命题:,,q x y R ∀∈若2x y +≠，则1x ≠-或3y ≠，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ⌝∧C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝9．函数f (x )＝xe x的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,)+∞11．()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数则函数()f x 的图象( )A ．关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线712x π=对称 12．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，则 ．14．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________.15．等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，已知3S =74，6S =634，则8a =_____．16．若函数()2ln 12f x x mx x -+=有极值,则函数()f x 的极值之和的取值范围是________.三、解答题17．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=．（1）求C 的大小；（2）若c =ABC ∆周长的最大值．18．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T .20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，AC BD O PAC ⋂=，是边长为2的等边三角形，PB PD ==,4AP AF =.(Ⅰ)求证：PO ⊥底面ABCD ；(Ⅱ)求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；(Ⅲ)在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求BMBP的值，如果不存在，请说明理由．21．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是28cos =1cos θρθ-. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若4πα=，设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AOB 的面积.参考答案1．D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算. 2．A 【分析】根据等比数列的性质和等差数列的通项公式列式解得公差，再根据等差数列的前n 项和公式计算可得结果. 【详解】设{a n }的公差为d (0)d ≠， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以2326a a a =⋅即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，所以2120d a d +=，因为0d ≠，所以12212d a =-=-⨯=- 所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋652⨯d ＝1×6＋652⨯×(－2)＝－24. 故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 3．C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积． 4．B 【详解】试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力． 5．D 【详解】,BD AD AB DC AC AD =-=-.2BD DC ∴=由，得2()AD AB AC AD -=-, 化简可得32AD AB AC =+,即1233AD AB AC =+, 故本题正确答案为D 6．D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程为2(2)n y k x +=-，从而得到(1)2nn a n =+，利用错位相减法能求出n S ． 【详解】 解：(1)n y x x =-，1(1)n n y nx n x -'∴=-+，∴曲线(1)n y x x =-在2x =处的切线的斜率为12(1)2n n k n n -=-+，切点为(2,2)n-，∴切线方程为2(2)n y k x +=-，令0x =得(1)2nn a n =+，23223242(1)2n n S n ∴=+++⋯++，① 23412223242(1)2n n S n +=+++⋯++，② ①-②，得：2314222(1)2n n n S n +-=+++⋯+-+114(12)4(1)212n n n -+-=+-+-12n n +=-，12n n S n +∴=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的前n 项和的求法，解题时要注意导数的几何意义的应用，注意错位相减法的合理运用，属于中档题． 7．B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系． 8．B 【解析】对于命题p ：若ABC ∆为钝角三角形，则当B 为钝角时，cos 0sin B A <<，不等式sin cos A B <不成立，即命题p 是假命题，故命题p ⌝是真命题；对于命题q ：若2x y +≠，则1x ≠-或者3y ≠，所以命题q 是真命题．所以依据复合命题的真假判别法则可知命题()p q ⌝∧是真命题，应选答案B ．9．B 【分析】首先由函数的定义域可排除A ，再根据函数值在x >0，x <0上的正负以及单调性可确定选项. 【详解】函数f (x )＝xe x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R}，可排除A ；当x >0时，函数f ′(x )＝2x xxe e x-，可得函数的极值点为：x ＝1，当x ∈(0，1)时，函数是减函数，x >1时，函数是增函数，并且f (x )>0，选项B 、D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝xe x<0，选项D 不正确，选项B 正确．故选：B 【点睛】本题考查由函数解析式确定函数的图像，定义域，值域，对称性，单调性是常用的判断方法，本题属于中档题. 10．B 【解析】由已知，函数()21,()f x x g x kx =-+=的图象有两个公共点，画图可知当直线介于121:,:2l y x l y x ==之间时，符合题意，故选B.考点：函数与方程，函数的图象. 11．C 【分析】先根据周期确定ω，然后结合变换后的函数是奇函数可求ϕ，再研究对称性可得选项. 【详解】因为()f x 的最小正周期为π，0>ω，所以=2ω； 向左平移6π个单位后得到的函数为sin[2()]sin(2)63y x x ϕϕππ=++=++， 由奇函数可得,3k k Z πϕπ+=∈,解得3πϕ=-，所以()sin(2)3f x x π=-；因为771()sin(2)sin 1212362f πππ5π=⨯-==， 所以函数()f x 的图象既不关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线712x π=对称； 因为()sin[2()]sin 1121232f ππππ-=⨯--=-=-， 所以函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称；故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质，图象变换时注意系数对解析式的影响，三角函数的性质一般利用整体代换进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养. 12．D 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 13．3- 【解析】 试题分析：函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，22(2)30{(2)2f f '⨯+-=∴=-，解得：(2)1{(2)2f f '=-=-，(2)(2)3f f ∴'+=-.故答案应填：-3． 考点：导数的几何意义． 14．23【解析】 【详解】 由题意可得：212cos 1cos sin sin 6263233παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即：212cos 1623πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解方程可得：22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭. 15．32【解析】 由题意可得1q ≠，所以3136167(1)1463(1)14a S q q a S q q ⎧=-=⎪-⎪⎨⎪=-=⎪-⎩两式相除得63319,8,2,1q q q q -===-代入得751811,()223244a a ==⨯==，填32． 16．(,3)-∞-【分析】先求导，方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根求出m 的范围，根据韦达定理即可化简12()()f x f x +，根据m 的范围即可求出．【详解】解：()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=-+=， ()f x 存在极值，()0f x ∴'=在(0,)+∞上有根，即方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根．设方程210x mx -+=的两根为1x ，2x ，∴240m ∆=->，120x x m +=>，121=x x即2m >22121212121()()()()()2f x f x x x m x x lnx lnx ∴+=+-+++， 2121212121()()2x x x x m x x lnx x =+--++， 22112m m =--， 21132m =--<-， 故函数()f x 的极值之和的取值范围是(,3)-∞-故答案为：(,3)-∞-【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题17．（1）23C π=；（2）2． 【分析】（1）由正弦定理化角为边可得222a b c ab +-=-，再结合余弦定理可得1cos 2C =-，再求C 即可；（2）由正弦定理化边为角可得l 2sin 2sin A B =+l 2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由03A π<<利用三角函数值域的求法即可得解. 【详解】解：（1）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=.∴由已知，得(2)(2)2222a b c a b b a c R R R +⋅++⋅=⋅， 即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-， 由0C π<<，23C π∴=. （2）3c =，sin sin a b A B ∴==2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ∆的周长为l ，则l a b c =++2sin 2sin A B =+2sin 2sin 3A A π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2cos sin 33A A A ππ=+-+sin A A =+2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03A π<<，2sin 3A π⎛⎫∴<+ ⎪⎝⎭2≤故ABC ∆周长的最大值为2.【点睛】本题考查了正弦定理及辅助角公式，主要考查了三角函数的值域，重点考查了三角函数的有界性及运算能力，属中档题.18．（1）见解析；（2）【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ．又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ．（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,1,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以PC ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB=，2PA ⎛= ⎝⎭，()0,1,0AB =.设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则 0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z⎧+-=⎪⎨⎪=⎩ 可取(0,1,n =-.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则 0,0,m PA m AB⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PBC --的余弦值为【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19．（1）()*2N n n a n =∈；（2）2242n n +-- 【解析】试题分析：（1）根据1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推式，确定{}n a 为等比数列，再计算1a ，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得到数列{}n S 的通项公式，采用乘公比错位相减法求解数列的和.试题解析：（1）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =.当2n ≥时，()122n n n n a S S a -=-=- ()112222n n n a a a ----=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.所以()1*222N n n n a n -=⨯=∈. （2）因为12222n n n S a +=-=-，所以12n n T S S S =+++ 2312222n n +=+++- ()412212nn ⨯-=-- 2242n n +=--.20．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)30;(Ⅲ1)?3BM BP =. 【解析】试题分析： (Ⅰ) 由题意可得PO AC PO BD ⊥⊥，，从而可得PO ⊥底面ABCD ． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得到所求的线面角．(Ⅲ)根据坐标法求解探索性问题，假设存在点M 满足条件，并设且()01BM BP λλ=≤≤，求得点点M 坐标后，根据CM 与平面BDF 的法向量垂直可得13λ=，从而得到符合题意的点M 存在． 试题解析：(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为AC BD ，中点.又PA PC PB PD ==，，∴PO AC PO BD ⊥⊥，，又AC BD O ⋂=，∴PO ⊥底面ABCD ．(Ⅱ)解：由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥，又由(Ⅰ)可知PO AC PO BD ⊥⊥，． 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由PAC 是边长为2的等边三角形，PB PD ==PO OB OD ===．所以()()()(100100000A C B P -，，，，，，，．∴CP=((1010-，． 由已知可得13(0444OF OA AP =+=，，， 设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =，由30430n OF xn OB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，可得0z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令1x =，则(1,0,n =-．设直线CP 与平面BDF 所成的角为θ，则21sin cos ,222n CP n CP n CP θ⋅====⨯， 又02πθ≤≤， ∴6πθ=． ∴直线CP 与平面BDF所成角的大小为6π． (Ⅲ)解：假设存在点M 满足条件，且()01BM BPλλ=≤≤， 则(1))CM CB BM CB BP λλ=+=+=-，.若使//CM 平面BDF ，需且仅需0CM n ⋅=且CM ⊄平面BDF ，由130CM n λ⋅=-=，解得13λ=．符合题意．∴在线段PB 上存在一点M ，使得//CM 平面BDF ，且13BM BP =． 21．（1）见解析；（2）(0,1).【解析】 试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a -+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.22．(1)答案见解析；(2)【解析】试题分析：（1）由直线参数方程的定义可得l 的参数方程，根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求方程．（2）求出直线l 的参数方程，代入抛物线方程后根据参数方程中参数的几何意义求得AB ，求得点O AB d 到直线的距离后可得三角形的面积． 试题解析：(1)由题意可得直线l 的参数方程为：1,(.x tcos t y tsin αα=+⎧⎨=⎩为参数） 28cos sin θρθ=， 2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=将222,cos x y x ρρθ=+=代入上式，可得28y x =， ∴曲线C 的直角坐标方程为28y x =．（2）当4πα=时，直线l的参数方程为1,2(,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） 代入28y x =可得2160,t --= 12A B t ,t ,设、两点对应的参数分别为则 11t t += 12·16t t =-12AB t t ∴=-==O AB 1sin 42d π=⨯=又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=。
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)【注意】本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1 至10题为选择题，每小题2分，共20分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共20分）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将函数$f(x)= \sin(x-\frac{\pi}{6})+2x$ 的图像上对称的两个点P和Q分别对应于$f(x)=7$ 和$f(x)=-1$，则点P和Q的坐标分别是（）A. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{11\pi}{6}, -1\right)$B. $\left(\frac{5\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{7\pi}{6}, 7\right)$C. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$D. $\left(\frac{7\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{11\pi}{6}, 7\right)$【解析】根据函数图像对称性和点过该函数能确定两个点，即可得到答案为C。
2. 若$\frac{(x+2)^2-1}{x+1}>0$，则实数x的取值范围是（）A. $x>2$ 或 $-1<x<-2$B. $x>2$ 或 $-1<x<-2$ 或 $x<-3$C. $x<-3$ 或 $-2<x<-1$D. $x>-3$ 或 $x<-1$ 或 $x<-2$【解析】根据不等式性质和解析式展开，结合一元二次不等式求解可得答案为B。
2019-2020年高二下学期第三次月考数学（理）含答案
2019-2020年⾼⼆下学期第三次⽉考数学（理）含答案2019-2020年⾼⼆下学期第三次⽉考数学（理）含答案★友情提⽰：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案⽆效。
⼀、选择题（本题共10个⼩题，每⼩题5分，共50分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
）1．计算ii +3的值为（） A ．i 31+ B ．i 31-- C ．i 31- D ．i 31+－2．下表是降耗技术改造后⽣产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的⽣产能耗y （吨标准煤）的⼏组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y 关于x 的线性回归⽅程?y=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（）A.4B.3.15C.4.5D.33. 5位同学报名参加两个课外活动⼩组，每位同学限报其中的⼀个⼩组，则不同的报名⽅法共有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种4．⼆项式12)2(x x +展开式中的常数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项5.如图，由函数()x f x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分⾯积等于（）A ．221e e --B ．22e e -C ．22e e - D ．221e e -+6.已知===，。
，若= , （,a b ∈R) , 则（）A.a =5,b =24B.a =6,b =24C.a =6,b =35D.a =5,b =357．袋中装有6个不同的红球和4个不同的⽩球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（）A ．59B ．49C ．29D ．238．函数)(x f y =的图像如图所⽰，下列数值排序正确的是（）A. )2()3()3()2(0f f f f -<'<'<B. )2()2()3()3(0f f f f '<-<'<C. )2()3()2()3(0f f f f -<'<'<D. )3()2()2()3(0f f f f '<'<-<9. 箱⼦⾥有５个⿊球，４个⽩球，每次随机取出⼀个球，若取出⿊球，则放回箱中，重新取球；若取出⽩球，则停⽌取球，那么在第４次取球之后停⽌的概率为（）A ．315445C C C B ．354()99? C ．5194?D ．13454()99C ?? 10. 如图所⽰，()f x 是定义在区间[, ]c c -（0c >）上的奇函数，令()()g x a f x b =+，并有关于函数()g x 的四个论断：①若0a >，对于[1, 1]-内的任意实数, m n （m n <），()()0g n g m n m->-恒成⽴；②函数()g x 是奇函数的充要条件是0b =；③若1a ≥，0b <，则⽅程()0g x =必有3个实数根；④a R ?∈，()g x 的导函数)(x g '有两个零点；其中所有正确结论的序号是( )．A. ①②B. ①②③C. ①④D. ②③④⼆、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分)11．设随机变量ξ服从正态分布(,9)N u ，若 (3)(1)p p ξξ>=<，则u =12. 若X ～B (20,p)，当p=21且P(X=k)取得最⼤值时，k=________. 13. 现有⼀个关于平⾯图形的命题,如图所⽰,同⼀个平⾯内有两个边长都是a 的正⽅形,其中⼀个的某顶点在另⼀个的中⼼,则这两个正⽅形重叠部分的⾯积恒为42a .类⽐到空间,有两个棱长均为 a 的正⽅体,其中⼀个的某顶点在另⼀个的中⼼,则这两个正⽅体重叠部分的体积恒为.14. 设复数z=cos θ+i sin θ，0θπ≤≤，则1+z 的最⼤值为 .15. 已知数组：1()1，12(,)21，123(,,)321，1234(,,,)4321，，1231(,,,,,),1221n n n n n --- 记该数组为：123456(),(,),(,,),,a a a a a a 则2012a = ．三、解答题:本⼤题共6⼩题,共80分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)已知甲袋装有1个红球，4个⽩球；⼄袋装有2个红球，3个⽩球，所有球⼤⼩都相同，现从甲袋中任取2个球，⼄袋中任取2个球.(1)求取到的4个球全是⽩球的概率；(2)求取到的4个球中红球个数不少于⽩球个数的概率.17．(本题满分13分)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第⼀、⼆、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第⼀、⼆、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率;(2)求这名同学⾄少得300分的概率.18．(本题满分13分)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =处取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当2c =-时，求函数()f x 在区间[03]，上的最⼤值．19．（本⼩题满分13分）当*n N ∈时，111111234212n S n n=-+-++-- ， 11111232n T n n n n =+++++++．（Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的⼤⼩关系，并⽤数学归纳法证明．20．（本题满分14分）张先⽣家住H ⼩区，他在C 科技园区⼯作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路⼝，各路⼝遇到红灯的概率均为21；L 2路线上有B 1，B 2两个路⼝，各路⼝遇到红灯的概率依次为43，53．（1）若⾛L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若⾛L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先⽣从上述两条路线中选择⼀条最好的上班路线，并说明理由．21. (本⼩题满分14分)已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．“华安、连城、永安、漳平⼀中、龙海⼆中、泉港⼀中”六校联考 2011-2012学年下学期第三次⽉考⾼⼆数学（理科）试题参考答案题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D D C B C A B BA⼆、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分)11. 2 12. 10 13. 38a 1４. 2 15．559三、解答题:本⼤题共6⼩题,共80分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤.16.(本题满分13分)解：基本事件为“从甲袋中任取2个球，⼄袋中任取2个球”，故基本事件的总数N =2255C C ?;………………2分(1)设“取到的4个球全是⽩球”为事件A ，则事件A 中包含的基本事件数为n 1=2243C C ?；………………4分∴P(A)=1n 9N 50=. ………………6分(2)设“取到的4个球中红球个数不少于⽩球个数”为事件B ，则事件B 中包含的基本事件数为：1111221122142342142n C C C C C C C C C 34,=++=………………10分∴P(B)=2n 17N 50= ………………13分.17（本⼩题满分13分）解：17.设事件A 为“答对第⼀题”，事件B 为“答对第⼆题”，事件C 为“答对第三题”，则P(A)=0.8，P(B)=0.7,P(C)=0.6. ………………2分(1)这名同学得300分可表⽰为(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C).所以P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C))， =P(A ∩B ∩C)+P(A ∩B ∩C)=P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)=(1-0.8)×0.7×0.6+0.8×(1-0.7)×0.6=0.228. ………………7分(2)这名同学⾄少得300分包括得300分或400分.该事件表⽰为(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)，所以P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)) =P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C))+P(A ∩B ∩C)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.………13分18. （本⼩题满分13分）解：①解： 2()663f x x ax b '=++，………………1分因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．………………3分即6630241230a b a b ++=??++=?，．………………4分解得3a =-，4b =．………………6分②由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．………………7分当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．………………9分所以，当1x =时，()f x 取得极⼤值(1)58f c =+，⼜(0)8f c =，(3)98f c =+．………………11分则当[]03x ∈，时，()f x 的最⼤值为(3)987f c =+=-．…13分19. （本⼩题满分13分）解：(1) 1112S T ==，22712S T ==；………………2分（2）猜想：n n S T =（*n N ∈）………………4分证明：(1)当1n =时，11S T =；（2）假设当n k =时，k k S T =，即11111111112342121232k k k k k k -+-++-=++++-+++，………………6分当1n k =+时 111111112342122122k k k k -+-++-+--++111111()12322122k k k k k k =+++++-+++++………………8分 111111()()12223221k k k k k k =-++++++++++………………10分 111112322122k k k k k =+++++++++，即11k k S T ++=，………………12分结合（1）（2），可知*n N ∈，n n S T =成⽴.………………………13分20. （本⼩题满分14分）解: （Ⅰ）设⾛L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ?+??=． ………………3分所以⾛L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为21．………4分（II ）依题意，X 的可能取值为0，1，2………………5分)0(=X p =(1-43))531(-?=101 )531(43)1(-?==X P +20953)431(=?- 2095343)2(=?==X P ………………7分随机变量X 的分布列为： 1. X2.3. 4. 5.P6. 1017. 2098. 209 2027220912090101=?+?+?=EX …………9分（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从⼆项分布，1(3,)2Y B ，…11分所以13322EY =?=． ………………13分因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好． ………………14分21. （本⼤题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+．⼜曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．--------- 4分（2）由于21()ax f x x +'=．--------- 5分当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成⽴，即()f x 在(0,)+∞上是增函数．--------- 7分当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞．当1(0,)x a∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a ∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．------- 10分（3）当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞．令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----．当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减．⼜(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． ------- 12分所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤．故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成⽴．----- 14分。
【优质部编】2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题 理(含解析)人教版
2019学年高二（下）第三次月考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：由于复数为纯虚数，则其实部为零，虚部不为零，故可得关于x的条件，再与“”比较范围大小即可求得结果.详解：由于复数为纯虚数，则，解得，故“”是“复数为纯虚数”的充要条件，故选C.点睛：该题考查的是有关复数是纯虚数的条件，根据题意列出相应的式子，从而求得结果，属于简单题目.2. 圆的圆心的直角坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，得出圆心坐标．详解：ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，配方为x2+(y-4)2=16，圆心坐标为（0，4），故选A.点睛：本题考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程互化，属于基础题．3. 已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.详解：第一类：当集合中无元素5：种，第二类：当集合中有元素5：种，故一共有14种，选C 点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.4. 的展开式的中间项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：原式张开一共有5项，故只需求出第三项即可.详解：由题可得展开式的中中间项为第3项，故：，选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5. 某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道.6. 已知复数，若，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限【答案】C【解析】分析：首先根据复数模的计算公式，结合题中的条件，得出实数所满足的等量关系式，从而求得的值，进一步求得复数，根据其在复平面内对应的点的坐标，从而确定其所在的象限，得到结果.详解：根据题意可知，化简得，解得或，当时，，当时，，所以对应的点的坐标为或，所以对应的点在第一象限或第三象限，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数模的计算公式，复数在复平面内对应的点，属于简单题目.7. 参数方程（为参数）所表示的曲线是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：消去参数t，得所求曲线方程为：x2+y2=1，x≠0，由此能求出曲线图形．详解：因为参数方程（为参数）所以消去参数得x2+y2=1，x≠0，且，故所表示的图像为B.点睛：本题考查曲线图形的判断，涉及到参数方程与普通方程的互化、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8. 在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.详解：由题可得：，由的几何意义可得，故选B.点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.9. 设是复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】分析：先求出z的表达式，在代入问题计算即可.详解：由题可设，则，所以，故，则或，选C.点睛：考查复数和共轭复数的关系，复数的除法运算，属于基础题.10. 已知函数的图象在处的切线方程为，若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求导，然后将x=0代入得斜率为2可求出a值，再由切点既在曲线上也在切线上看的b值，再令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可.详解：，，所以切点为（0，-b）代入切线方程可得b=2，所以，令可得f（x）在（-2,1）单调递增，在递减，故令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可，故，f（0）=-2，f（1）=，故答案为选A.点睛：考查导函数对零点的分析，其中认识到为符合方程，令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根的转化思维为此题关键，属于中档题.11. 随机变量的概率分布为，其中是常数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E（X）=,又，而,故= ，选B点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.12. 已知定义在上的奇函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．详解：设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x＞0时，g′（x）=，，因为函数f（x）满足2f（x）-xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，可得：故选：D.点睛：本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 在直角坐标系中，若直线：（为参数）过椭圆：（为参数）的左顶点，则__________．【答案】【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得的值.详解：由已知可得圆（为参数）化为普通方程，可得，故左顶点为，直线（为参数）化为普通方程，可得，又点在直线上，故，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.14. 设复数满足，则的虚部为__________．【答案】【解析】分析：把题中给出的式子，两边同时乘以，之后利用复数的除法运算法则，求得结果，从而确定出其虚部的值.详解：由得，所以的虚部为2，故答案是2.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的虚部，这就要求对运算法则要掌握并能熟练的应用，再者就是对有关概念要明确.15. 某商品的售价和销售量之间的一组数据如下表所示：（元）（件）销售量与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则__________．【答案】【解析】分析：根据回归直线过样本中心点，求出平均数，代入回归直线方程，求出，从而得到答案.详解：根据题意得，，因为回归直线过样本中心点，所以有，解得，所以答案是.点睛：该题考查的就是回归直线的特征：回归直线过样本中心点，即均值点，所以在求解的过程中，需要分别算出样本点的横纵坐标，代入回归直线方程中，求得对应的参数的值.16. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：（I）先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立，下面只要二次函数的根的判别式△≤0即可求得a的取值范围；详解：f′（x）=e x[x2+（-a+2）x-a+2]，考虑到e x＞0恒成立且x2系数为正，∴f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立．∴（-a+2）2-4（-a+2）≤0，∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2] .点睛：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力．属于基础题．17. 在如图所示的坐标系中，阴影部分由曲线与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次选取两点，则这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为__________（取）.【答案】【解析】分析：先用定积分求出阴影部分的面积，再根据几何概率计算公式即可得.详解：由题得阴影部分的面积：，矩形面积为：2，所以这两点中都不落在阴影部分的概率为：，故这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为1-0.09=0.91，故答案为：0.91点睛：本题考查几何概型，明确测度比为面积比的关键，是基础题18. 现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）【答案】【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。
福建省宁德第一中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题含答案
宁德一中2023-2024学年度第一学期期初高二阶段检测数 学 试 题(考试时间：120分钟 试卷总分：150分 考试范围：第一章数列等比求和前)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和2n n S c q =+⋅，*n ∈N ，且314S =，则4a =（）A ．48B ．32C ．16D ．82．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知342a a =，则一定成立的是（ ） A ．25a a >B ．1n n a a +<C ．90S =D ．数列{}n S 有最大项3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（ ）6．已知数列{}n a 为各项为正数的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则数列{}n a （ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递增后递减D ．是常数列7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ A ．63B ．45C ．43D ．27部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（ ）10．在数列{}n a 中，221n n a a p −−=（*2,,n n p ≥∈N 为非零常数），则称{}n a 为“等方差数列”，p 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）11．下列说法中，正确的有（ ）A ．数列{}n a 的最大项为6aB ．数列{}n a 的最大项为5aC ．数列{}n a 的最小项为5aD ．数列{}n a 的最小项为4a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买。
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宁德一中2020学年高二第三次月考
数 学 试题（理科）
一．选择题（每小题只有一个答案正确，每小题5分，共50分）
1．甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部长，不同的选法种数为（ ）
A ．80
B ．84
C ．85
D ．86 2．在(1+x)5－(1+x)6的展开式中，含x 3的项的系数是( )
A ．－5
B ．5
C ．－10
D ．10
停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种． A ．78 B ．72 C ．120 D ．96
6．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A ．2、6
B ．3、5
C ．5、3
D ．6、2
7．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边，可以组成三角形的概率是（ ）
A ．1
B ．43
C ．21
D ．4
1 8．若()......x a a x a x a x -=++++929012915，那么......a a a a ++++0129的值是 ( )
A ．1
B ．94
C ．95
D ．96
9．3名教师和6名学生被安排到A 、B 、C 三个不同地方进行社会调查，每处安排1名教师和2名学生，则不同的安排方案有 ( )
A ．90种
B ．180种
C ．540种
D ．3240种
10．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人
至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A ．168
B ．96
C ．72
D ．144
二．填空题（共5小题，每小题4分）
11．从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法___ 种。
（用数字作答）．
12．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为__________。
13．9)1
2(x x 的展开式中，常数项为 （用数字作答）。
14．用0、1、2、3这四个数字，组成个位数字不为1的没有重复数字的四位数，
共有____种（用数字作答）
15．现有8个优秀学生名额要分给4所学校，每校至少1人，则不同的分配方案
共有____种。
（用数字作答）。
17．（13分）二项式
n
x
x
)
2
1
(
3
展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4
倍．
求：（1）n ；（2）展开式中的所有的有理项。
18．（13分）男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,从中选5人外出比赛,下列情形各有多少种选派方法
⑴男3名,女2名⑵队长至少有1人参加
⑶至少1名女运动员⑷既要有队长,又要有女运动员
19．（13分）已知m ，n∈N ，m 、n≥1， n m x x x f )1()1()(+++=的展开式中，x 的系数为19．求()f x 展开式中2x 的系数的最小值，并求此时7x 的系数。
20．（14分）9名身高互不相同的同学，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法．（用数据表示）
（1）9名站成一排，其中较高的3人站在一起。
（2）9名站成一排，要求最高的站在中间，并向左右两边看，身高逐渐递减；
（3）9名站成一排，要求最高的站在中间，并向左右两边看，身高逐渐递减，且
中等身高的甲、乙必需站在一起；
（注：用数据表示，提示5675
67120,720,5040A A A ===）
21． (14分)已知函数()f x =2ax x b
+在x ＝1处取得极值2。
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）实数m 满足什么条件时，函数()f x 在区间(,21)m m +上单调递增？
（3）是否存在这样的实数m,同时满足：①1m ≤；②当](,x m ∈-∞时，()f x m ≥恒成立。
若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。