2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案
2006数学三真题及答案解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ]（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］ （14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分）计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ；(Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()ef x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，()()ef x f x '=，两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==，又()21f =，故 ()323(2)2e2e f f '''==.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二：对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.（4）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -=于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可.【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰，所以 ()22202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，所以 22ES DX ==.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ Ａ ]【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ]【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由1nn a∞=∑收敛知11n n a∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法：取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ]【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.（12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(C) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (D) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ A ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=. （Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］ 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得1101101101110,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(B) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （通分） 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====（16）（本题满分7分）计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x后y ”积分较容易，所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ （17）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰，故2a =.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----，均收敛，故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内，()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑，而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑， 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰，又1(0)0s '=，于是 1()arctan s x x '=.同理1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰， 又 1(0)0s =，所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===；当10a =-时，1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以 T11111136********121210011136666011111111036222A Q Q ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=Λ=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭，则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（22）（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ；(Ⅱ) Cov(,)X Y ；(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时， ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时，()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰.4) 当4y ≥，()1Y F y =.所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y ⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.（II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰， 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰， 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】（Ⅰ）因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰， 令32X θ-=，可得θ的矩估计为 32X θ=-. （Ⅱ）记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-，解得N n θ=为θ的最大似然估计.。
历届东南数学奥林匹克试题
目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。
2006年中国东南地区数学奥林匹克
AB, AC 于点 D, E ,直线 DE 分别与直线 BI， CI 相交于点
D F
1 F， G , 证明： FG = BC ． 2 （张鹏程 供题） 证法一：分别连接 CF，，，， BG ID IE AI , 则 A、、、 D I E 四点共圆. 1 所以 ∠IDE =∠A , 2 1 从而 ∠BDF= 90° + ∠A , 2 1 1 又 ∠BIC = 180° − （）=90 ∠B + ∠C ° + ∠A , 2 2 所以 ∠BDF = ∠BIC . 又 ∠DBF = ∠CBI ,得 ∆FDB ∽∆CIB .所以 FB DB . = CB IB
第一天 （2006 年 7 月 27 日，8：00－12：00，南昌）
一、设 a > b > 0, f ( x) =
f ( x) = (
1 3 1 3
2(a + b) x + 2ab ．证明：存在唯一的正数 x ，使得 4x + a + b
a +b 3 ) ． 2 （李胜宏 供题）
2(a + b) x + 2ab a3 + b3 3 解法一：令 t = ( ，得 ) ， 由t = 4x + a + b 2 [2(a + b) − 4t ]x = t (a + b) − 2ab ， 为证○ 1 有唯一的正数解 x ，只要证， 2(a + b) − 4t > 0 及 t (a + b) − 2ab > 0 , 即
( 2)
2 1 因为 an an 1 ，所以 + = n
an = 1
2 an +
1 n
2006年全国高中数学联赛试题及参考答案
2006年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ）3. 已知集合{}5≤-=a x x A ，{}6>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】（ ）4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,⎡⎣ D. 【答】 （ ）5. 设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108-【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
2006年考研数学三真题及解析
（ 8） 设函数 f x 在 x
f h2
0 处连续，且 lim
h0
h2
1 ，则
(A) f 0 0且 f 0 存在
(B) f 0 1且 f 0 存在
-7-
(C) f 0 0且 f 0 存在
(D) f 0 1且 f 0 存在
[ C]
2
fh
【分析 】从 lim
h0
2
h
1 入手计算 f (0) ，利用导数的左右导数定义判定
(Ⅲ) F
1 ,4 .
2
（ 23）（本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为
f x;
, 0 x 1, 1 ,1 x 2, 0, 其他,
其中 是未知参数 0
1 ， X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1 , x2 ..., x n 中
小于 1 的个数 . （Ⅰ）求 的矩估计； （Ⅱ）求 的最大似然估计
(D) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A 1 , A 2 , , A s 线性无关 .
[
]
（ 13） 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得 C ，记
110 P 0 1 0 ，则
001
（Ａ） C
P
1
AP
.
（Ｂ） C PAP 1 .
(A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
(B) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . (C) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .
2006—数三真题、标准答案及解析
(D) 若 α1 , α 2 ,L , α s 线性无关，则 Aα1 , Aα 2 ,L , Aα s 线性无关.
[
]
（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 −1 倍加到第 2
⎛ 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 列得 C ，记 P = 0 1 0 ，则 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
0 < dy < Δy . Δy < dy < 0 .
(B) (D)
0 < Δy < dy . dy < Δy < 0 .
= 1 ，则
(B) f ( 0 ) = 1且f −′ ( 0 ) 存在 (D) f ( 0 ) = 1且f +′ ( 0 ) 存在 [ ] [ ]
（8）设函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，且 lim
（11）设 f ( x, y )与ϕ ( x, y ) 均为可微函数，且 ϕ y′ ( x, y ) ≠ 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约 束条件 ϕ ( x, y ) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) (B) (C) 若 f x′ ( x0 , y0 ) = 0 ，则 f y′ ( x0 , y0 ) = 0 . 若 f x′ ( x0 , y0 ) = 0 ，则 f y′ ( x0 , y0 ) ≠ 0 . 若 f x′ ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则 f y′ ( x0 , y0 ) = 0 . [ ]
2006 年考研数学（三）真题解析
二、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
( −1)n
⎛ n +1⎞ （1） lim ⎜ ⎟ n →∞ ⎝ n ⎠
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 0, ai −a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n). ∴
√ sin ∠F AE FE AD 由正弦定理 sin AE 2 − AD2 = 5, ∠DAE = DE × AF .其中DE = √ √ F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13, 且∠A为锐角等价于 ∠A为直角等价于 ∠A为钝角等价于 解得当13 < m < 当m = 当m >
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
zk ∈A 2 , yk A,x2 k 4 2 1 √
1 4 ,即
2 x2 k + yk 2 x2 k + yk
√
2xk . yk |
zk ∈A zk ∈A
2006年数学三真题答案解析
Δy
dy
O
x0
x0+Δx
x
结合图形分析，就可以明显得出结论： 0 dy y .
方法 2：用两次拉格朗日中值定理
y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x (前两项用拉氏定理)
f ( )x f (x0 )x
(再用一次拉氏定理)
f ()( x0)x , 其中 x0 x0 x, x0
换元令 x h2 ，由题设可得
lim
h0
f (h2) h2
lim x0
f (x) 1 x
.
于是 lim f (x) lim f (x) x 10 0
x0
x x0
因为函数 f (x) 在点 x 0 处连续，故 f (0) lim f (x) 0 ，进而有 x0
1 lim x0
f (x) lim
2( 1 ) 1 1
2( 1 ) 1，即 1
2
1
1 2
，所以 1
2
，故选(A).
三、解答题
(15)【详解】题目考察二元函数的极限，求 g(x) 时，可以将 y 视为常数
1 y sin x
(I)
g(x)
lim
f (x, y)
y
lim [
y
y 1 xy
y ],
arctan x
由于 x 0 ，所以
dz dx
x x0
f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )
x
y
dy dx
x x0
fx(x0, y0)
f y( x0 ,
y0
)
x
y
( (
x0 x0
, ,
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第三届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌）一、 设0,a b >>2()2()4a b x abf x x a b++=++．证明：存在唯一的正数x ，使得11333()()2a b f x +=．二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=︒是边CA 上的两点，连接BD ，BG 。
过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。
若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。
三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。
四、 对任意正整数n ，设n a 是方程31xx n+=的实数根，求证：(1) 1n n a a +>； (2) 211(1)nn i ia i a =<+∑。
第二天（2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌）五、 如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，ABC ∆的内切圆I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G ，证明：12FG BC =。
六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++）（）。
七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。
（2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。
BA八、 对于周长为n *()n N ∈的圆，称满足如下条件的最小的正整数n P 为“圆剖分数”：如果在圆周上有n P 个点12,,,n p A A A ，对于1,2,,1n - 中的每一个整数m ，都存在两个点,i j A A (1,)n i j P ≤≤，以i A 和j A 为端点的一条弧长等于m ；圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列12(,,,)n n P T a a a = 称为“圆剖分序列”。
例如当n =13时，圆剖分数为134P =，如图所示，图中所标数字为相邻两点之间的弧长，圆剖分序列为13(1,3,2,7)T =或(1,2,6,4)。
求21P 和31P ，并各给出一个相应的圆剖分序列。
答案一、 【解法一】令11333()2a b t +=，由2()24a b x abt x a b++=++，得 [2()4]()2(1)a b t x t a b ab +-=+-为证(1)有唯一的正数解x ，只要证，2()40a b t +->及()20t a b ab +->, 即113332()(2)22ab a b a ba b ++<<+ 记1133, , ,a u b v u v ==>，即要证33333332(3)22u v u v u v u v ++⎛⎫<< ⎪+⎝⎭由于()33333322u v u v u v +⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，即(3)左端成立。
为证33322u v u v ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()2222221, 4()82u uv v u v u v u uv v -++<+<-+，即()230u v ->，此为显然.故(3)成立，从而()22()4t a b ab x a b t+-=+-即为所求。
【解法二】22()21()()()422(4)a b x ab a b f x a b x a b x a b ++-==+-++++在(0,)+∞上为严格单调增加的连续函数，而且2(0)abf a b=+，lim ()2x a b f x →+∞+=。
据解法一(2)式知113332()22ab a b a b a b ++<<+，故存在唯一的正数x ，使得113()()2a b f x +=。
二、 【证法一】作GM ⊥AB 于M ，设AE 与BG 的交点为K ，连接KM 。
由BE ＝EF ，及AE //GF 知，K 为Rt △BGM 斜边BG 上的中线，所以BK ＝KG ＝MK ，ABG BMK ∠=∠。
因为4ABK BF AK S ∆⋅=2ABG S AB MG ∆==⋅ 又MG //BC ，所以AB AMBC MG =，故A B M G ⋅ BC AM =⋅，所以BF AK BC AM ⋅=⋅，即BF AM BC AK=。
结合KAB CBD ∠=∠，知△KAM △CBF ，所以AMK CFB ∠=∠，于是BMK CFD ∠=∠，故ABG DFC ∠=∠。
【证法二】作Rt ABC ∆的外接圆w ，延长BD 、AE 分别交w 于K 、J 。
连接BJ 、CJ 、KJ 、FJ 。
易知BAJ KBC ∠=∠，故BJ ＝KC 。
于是四边形BJCK 是等腰梯形，又AJ 垂直平分BF ，故BJ ＝FJ ，故四边形FJCK 是平行四边形. 设AE 与BG 的交点为M ，FC 与JK 的交点为N ，则M 、N 分别是BG 和FC 的中点， 于是sin sin ,sin sin AB MAG JKC FK AG BAM BKJ CK∠∠===∠∠ 又BAG FKC ∠=∠，于是BAG FKC ∆∆ ，所以 ABG DFC ∠=∠。
三、 先一般化为下述问题：设3n ≥，从()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，()12,,,n C c c c = ，()12,,,n D d d d = 这四个数列中选取n 个项，且满足： (i) 1,2,,n 每个下标都出现；(ii) 下标相邻的任两项不在同一个数列中(下标n 与1视为相邻)，其选取方法数记为n x ，今确定n x 的表达式:将一个圆盘分成n 个扇形格，顺次编号为1,2,,n ，并将数列,,,A B C D 各染一种颜色，对于任一个选项方案，如果下标为i 的项取自某颜色数列，则将第i 号扇形格染上该颜色。
于是n x 就成为将圆盘的n 个扇形格染四色，使相邻格不同色的染色方法数，易知，14x =、212x =、()1143 3(1)n n n x x n --+=⋅≥ 将(1)写作()()()1111143nn n n n x x ------=-⋅-，B MA因此()()()()()()()()1221232232221143;1143;143n n n n n x x x x x --------=-⋅----=-⋅--=-⋅-相加得，()()133nnn x -=-+，于是()331(2)nnn x n =+⋅-≥。
因此 131333x =-. 这就是所求的取牌方法数.四、 由 31nn a a n+=，得01n a <<。
(1)3333111122111011()()n n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a n n n n a a a a a a n+++++++=-+-<-+-+=-+++因为221110n n n na a a a n+++++>，故10n n a a +->，即1 .n n a a +> (2) 因为 211n n a a n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2111111n n n a n a n n=>=+++，从而()()21111n n n n a <++， ()()211111111()111111n n nn i i i i na i i ii n n i a ===<=-=-=<+++++∑∑∑。
故()2111nn i ia i a =<+∑. 五、 【证法一】分别连接CF BG ID IE AI ，，，，，则A D I E 、、、四点共圆。
所以12IDE A ∠=∠，从而1902BDF A ∠=︒+∠；又111809022BIC B CA ∠=︒-∠+∠=︒+∠（）， 所以BDF BIC ∠=∠。
又DBF CBI ∠=∠，得FDB CIB ∆∆ 。
所以FB DBCB IB=。
B又由DBI FBC ∠=∠，得IDB CFB ∆∆ ，所以CF BF ⊥，从而1302FCG A ∠=∠=︒。
同理BG GC ⊥，所以BC F G 、、、四点共圆，由此 sin FGBC FCG=∠，所以12FG BC =。
【证法二】因为1()2BIG B C ∠=∠+∠，又因为1801()22A BDG ADE B C ︒-∠∠=∠==∠+∠，所以BD I G 、、、四点共圆，因此90BGC BDI ∠=∠=︒。
同理90CFB ∠=︒，所以BC F G 、、、四点共圆。
又 19090()302FCG FBC BCI B C ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒，所以1sin 2FG BC FCG BC =∠=.六、 【解法一】当a=b=c 13=时，有27m ≥。
下证不等式33322227()6()1a b c a b c ++≥+++对于满足a+b+c=1的任意正实数a ，b ，c 都成立。
因为对于01x <<，有323224276581181540(31)(94)03x x x x x x x x ≥+-⇔--+≥⇔-+≥故32427653x x x ≥+-，01x <<。
所以323232427653427653427653a a ab b bc c c ≥+-≥+-≥+-把上面三个不等式相加，得33322227()6()1a b c a b c ++≥+++.所以，m 的最小值为27。
【解法二】当a=b=c 13=时，有27m ≥。
下证不等式33322227()6()1a b c a b c ++≥+++对于满足a+b+c=1的任意正实数a ，b ，c 都成立。
因为2()()0a b a b -+≥，所以3322a b a b ab +≥+，同理，3322b c b c bc +≥+，3322c a c a ca +≥+，于是3332222223333332222222222222()3()()()a b c a b b c c a ab bc ca a b c a b c a b b c c a ab bc ca a b c a b c a b c ++≥+++++++≥++++++++=++++=++ 所以22222222222222223336()16()()6()3()9()27()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c +++=+++++≤+++++=++≤++ 所以，m 的最小值为27．七、 (1) 若,,2m n r ≥，由2,2,2mn m nr n mr r ≥≥≥得2()mn nr mr m n r ++≥++，所以以上不等式均取等号，故2m n r ===。