人教版高中数学新教材必修第一册课件：正弦函数、余弦函数的性质
想一想
(1)对于函数y sin x, x R有
sin( 6
2
3
)
sin
6
,
能否说
2
3
是它的周期?
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期
函数，如果是，周期为多少?
(3) 正弦函数y sin x, x [6 ,6 ]是不是周期
函数，如果是，周期为多少?
(4) 若函数f (x)的周期为T ,则kT , k N*
5.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质
复习引入
正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个?
(0,0), ( ,1), ( ,0), ( 3 ,1), (2 ,0)
2
2
余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个?
(0,1), ( ,0), ( ,1), ( 3 ,0), (2 ,1)
2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
讲
2
课 人 ： 邢
数取得最小值－1
启 强
4
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：正弦函数、余弦函数的性质
(2)值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆 的半径的长度;从正弦曲线可以看出，正弦曲 线分布在两条平行线y=1和y=－1之间，所以 |sinx|≤1,即－1≤sinx≤1, 也就是说，正弦函数的值域是[－1,1].
讲 叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最
课
人
： 邢 启 强
小正周期）.
10
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5正.弦4.函2正数弦、函余数弦、函余数弦的函性数质的 性质( 共20张P PT)
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讲 课
[或(－∞,＋∞)],记作:y＝cosx,x∈R.
人
：
邢
启 强
3
新课引入
我们已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的 几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我 们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面 请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？
正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，正弦函数
正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔 2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说 明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 正弦函 数、余 弦函数 的性质
(1)今天是星期一，则过了七天是星期几？ 过了十四天呢？……
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？
讲 课 人 ：
在数学当中，有没有周期现象？
邢
启 强7Βιβλιοθήκη 山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 正弦函 数、余 弦函数 的性质
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注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有 x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定 义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … ,
－2, － 4, …都是周期）周期T中最小的正数
讲 课 人 ：
同理余弦函数的值域是[－1,1]
邢
启 强
5
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 正弦函 数、余 弦函数 的性质
-
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：正弦函数、余弦函数的性质
-
-
6
4
y
1-
-
2
o
-1-
2
-
-
-
4
6
x
y
1-
6
4
2
o
2
4
6
x
-
-
-
-
-
-
-1-
-
余弦函数y=cosx,x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，余弦函数取得最
大值1；
②当且仅当x＝2kπ+π，k∈Z时，余弦函数取
讲
课 人 ： 邢
得最小值－1
启 强
6
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 正弦函 数、余 弦函数 的性质
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：正弦函数、余弦函数的性质
2
2
讲
课
人
：
邢
启 强
2
学习新知 由正弦函数y=sinx和余弦函数 y=cosx的作图过程以及正弦函数和余弦函数 的定义，容易得出正弦函数y=sinx和余弦函 数y=cosx有以下重要性质. (1)定义域：
正弦函数y=sinx的定义域是实数集R [或(－∞,＋∞)],记作:y＝sinx,x∈R.
余弦函数y=cosx的定义域是实数集R
讲 课 人
也是f (x)周期吗?为什么?
：
邢
启 强
11
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5正.弦4.函2正数弦、函余数弦、函余数弦的函性数质的 性质( 共20张P PT)
典型例题 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5正.弦4.函2正数弦、函余数弦、函余数弦的函性数质的性质(共20张PPT)
8
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：正弦函数、余弦函数的性质
周期函数定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存
在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有
x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做
周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期。
由此可知，2π,4π,……,－2π,－4π，
……2kπ (k∈Z且k≠0)都是正弦函数和余弦函数
讲 的周期,最小正周期是2π.
课
人
：
邢
启 强
9
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件： 正弦函 数、余 弦函数 的性质
学习新知 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5正.弦4.函2正数弦、函余数弦、函余数弦的函性数质的性质(共20张PPT)
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高一上学期数学人教A版必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件
1
1
其值从____增大到____；
2k, 2k,k Z
在每个闭区间____________________上都是减函数，
1
1
其值从____减小到____.
探 索 新 知
正弦函数的最大值与最小值
y sin x
y
1
-3
5
2
-2
3
2
-
o
2
x
2
3
2
2
5
偶函数
2
对称轴：
x k , k Z
对称中心：(
2
k , 0) k Z
2
2
值从1减小到-1.
余弦函数可以得到怎样类似的结论呢？
探 索 新 知
余弦函数的单调性
= cos
1
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
2k,2k,k Z
余弦函数在每个闭区间____________________上都是增函数，
当x 2k (k z )时，
cos x有最小值 1，
此时，y cos x 1有最小值 1 1 0.
所以，当x x | x 2k , k z，y cos x 1有最大值2；
当x x | x 2k , k z, y cos x 1有最小值0.
） = cos
， cos
4
4
4
5
5
3
又∵0< <
1
其值从____增大到____；
2k, 2k,k Z
在每个闭区间____________________上都是减函数，
1
1
其值从____减小到____.
探 索 新 知
正弦函数的最大值与最小值
y sin x
y
1
-3
5
2
-2
3
2
-
o
2
x
2
3
2
2
5
偶函数
2
对称轴：
x k , k Z
对称中心：(
2
k , 0) k Z
2
2
值从1减小到-1.
余弦函数可以得到怎样类似的结论呢？
探 索 新 知
余弦函数的单调性
= cos
1
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
2k,2k,k Z
余弦函数在每个闭区间____________________上都是增函数，
当x 2k (k z )时，
cos x有最小值 1，
此时，y cos x 1有最小值 1 1 0.
所以，当x x | x 2k , k z，y cos x 1有最大值2；
当x x | x 2k , k z, y cos x 1有最小值0.
） = cos
， cos
4
4
4
5
5
3
又∵0< <
正弦函数、余弦函数的性质一【新教材】人教A版高中数学必修第一册完美课件
5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质( 一)-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共3 4张PPT )
• 4期．函若数函．数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为_3____的周 • 5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝__________.
• (1)f(x)＝xcos(π＋x)； • (2)f(x)＝sin(cosx)． • [解析] (1)函数f(x)的定义域为R， • ∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx， • ∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)． • ∴f(x)为奇函数． • (2)函数f(x)的定义域为R. • ∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．
C 项中，cos4x＋2π＝cosx＋48π＝cos4x，故 T＝8π； D 项中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋π2)]＝cos4x，故 T＝π2，综上，D 项正 确．
5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质( 一)-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共3 4张PPT )
5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质( 一)-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共3 4张PPT )
[解析] A 项中，sin2x＋2π＝sinx＋24π＝sin2x，故 T＝4π；B 项中， sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故 T＝π；
• 【学法解读】
• 在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊 性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质， 提升学生的直观想象、数学运算等核心素养．
人教版高中数学必修第一册5.4三角函数的图象与性质 课时9 正弦函数、余弦函数的性质【课件】
属于自己的美丽，“春有百花秋有月，夏有凉风冬有雪”，只
要用心欣赏品味，岁月无时不溢彩，四季无时不流韵．像这样
以相同的间隔重复出现的现象就是周期现象．你知道数学中有
哪些周期现象吗？
初探新知
【活动1】探究周期函数与最小正周期的概念
【问题1】从情境导学中，我们知道周期现象具有周而复始的特
征．那么函数中是否会有周期现象呢？你能用数学语言来描述函数的
第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
课时
正弦函数、余弦函数的性质
——周期性和奇偶性
教学目标
1. 理解周期函数、函数的周期和最小正周期等概念,能根据
定义判断一个函数是否为周期函数.
2. 学会借助诱导公式以及正弦函数、余弦函数的图象,探究
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性.
3. 理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,掌握正弦函
【 例 3】[2022·河南省南阳市第一中学高一月考]定义在R上的函数f(x)
既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0， ]
【问题5】等式sin (x＋2π)＝sin x；cos (x＋2π)＝cos x，是否对任
意的x∈R都成立？
【问题6】正弦函数y＝sin x是不是周期函数？若是，请写出正弦
函数的周期．
【问题7】根据上述定义，正弦函数y＝sin x的最小正周期是多少？
【问题8】余弦函数y＝cos x是不是周期函数？若是，请写出余弦
数、余弦函数的周期性和奇偶性的应用.
学习目标
课程目标
学科核心素养
理解函数的周期性以及周期函数
与最小正周期等概念,体会三角
函数“周而复始”的变化规律
要用心欣赏品味，岁月无时不溢彩，四季无时不流韵．像这样
以相同的间隔重复出现的现象就是周期现象．你知道数学中有
哪些周期现象吗？
初探新知
【活动1】探究周期函数与最小正周期的概念
【问题1】从情境导学中，我们知道周期现象具有周而复始的特
征．那么函数中是否会有周期现象呢？你能用数学语言来描述函数的
第五章
三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
课时
正弦函数、余弦函数的性质
——周期性和奇偶性
教学目标
1. 理解周期函数、函数的周期和最小正周期等概念,能根据
定义判断一个函数是否为周期函数.
2. 学会借助诱导公式以及正弦函数、余弦函数的图象,探究
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性.
3. 理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,掌握正弦函
【 例 3】[2022·河南省南阳市第一中学高一月考]定义在R上的函数f(x)
既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0， ]
【问题5】等式sin (x＋2π)＝sin x；cos (x＋2π)＝cos x，是否对任
意的x∈R都成立？
【问题6】正弦函数y＝sin x是不是周期函数？若是，请写出正弦
函数的周期．
【问题7】根据上述定义，正弦函数y＝sin x的最小正周期是多少？
【问题8】余弦函数y＝cos x是不是周期函数？若是，请写出余弦
数、余弦函数的周期性和奇偶性的应用.
学习目标
课程目标
学科核心素养
理解函数的周期性以及周期函数
与最小正周期等概念,体会三角
函数“周而复始”的变化规律
高中数学人教A版必修第一册课件5.4.2 正、余弦函数的性质 课件(共15张PPT)
到1。即正弦函数
在区间
上单调递增;
所以，正弦函数 上单调递减.
在区间
上单调递增，在区间
正弦函数的单调区间：
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：
正弦函数在每一个闭区间
上都单调递增，其值从-1增
大到1；在每一个闭区间
上都单调递减，其值从1减小到-1.
3
所以，函数
y
sin
1 2
x
π 3
，x
2π，2π 的
单调递增区间是
5π ，π 33
．
练习
1. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值.
(1) y=-3sin 2x，x∈R；
(2) y=cos x+1，x∈R；
解： (1)令z=2x，使函数y=-3sin z取得最大值z的集合，就是使y=sin z取得最
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（1）因为 π π π 0 ， 2 18 10
正弦函数y＝sinx在区间 π2，0 上单调递增，
所以 sin( π ) sin( π ) ．
18
10
例1 不通过求值，比较下列各数的大小：
（1）sin( π )与sin( π ) ；
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（2）cos( 23π ) cos 23π cos 3π ，cos(17π ) cos17π cos π，
人教版高中数学必修正弦函数余弦函数的性质PPT精品课件
思考3： 正弦函数的最小正周期是多少？余弦函数呢？
思考4：周期函数一定存在最小正周期吗？举例说明。
注：
1.定义域中的每一个x，都有 f (x T) f (x)，T 0 2.若T是 f (x)的周期，则 kT ,k z,k 0 也是其周期。
3.今后我们所涉及到的周期，若不特别说明，一般
都是指函数的最小正周期。
五点法
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=cosx (xR)
2
3
4
5 6 x
复习:正弦、余弦函数的图象
五点法
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=cosx (xR)
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
5 6 x
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
1
2
3 2
2
5 3
2
x
y sin x 定义域：R 值域：[-1，1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
kZ
ห้องสมุดไป่ตู้
x kπ时，y 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
1
思考4：周期函数一定存在最小正周期吗？举例说明。
注：
1.定义域中的每一个x，都有 f (x T) f (x)，T 0 2.若T是 f (x)的周期，则 kT ,k z,k 0 也是其周期。
3.今后我们所涉及到的周期，若不特别说明，一般
都是指函数的最小正周期。
五点法
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=cosx (xR)
2
3
4
5 6 x
复习:正弦、余弦函数的图象
五点法
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=cosx (xR)
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
5 6 x
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
1
2
3 2
2
5 3
2
x
y sin x 定义域：R 值域：[-1，1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
kZ
ห้องสมุดไป่ตู้
x kπ时，y 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
1
人教版高中数学新教材必修第一册课件正弦函数、余弦函数的性质1
4
4
0 3
452
函数y=cosx在区间( 0 ,
2
cos cos3
4
5
)上单调递减,
cos(17)cos(23)
讲
4
5
课
人
：
邢
启 强
13
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .4.2正 弦函数 、余弦 函数的 性质2( 共17张 PPT)
典型例题 山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.4.2正弦函数、余弦函数的性质2(共17张PPT)
例2：不通过求值,指出下列各式大于0还是
小于0, (1)sin(－
18
)－sin(－ 10
)；
(2) cos(－23
5
)－cos(－17
4
)．
解：(1) ∵
2 10 18 2
且函数y＝sinx，在 ［－ ， ］上单调递增22ຫໍສະໝຸດ 讲 课即sin(－
18
)－sin(－10
)＞0
人
：
邢
启 强
12
集合，并说出最大值是什么.
(1) y＝sin2x，x∈R;
(2) y=sin(3x+ 4
) －1
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的
集合是｛x｜x＝ ＋kπ，k∈Z｝
4
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
(2) 当3x+ =2k+ 即 x= 2k (kZ)时,
4
2
3 12
讲 课
x k ,
2
kZ.
讲 课
y=cosx的对称轴为 xk,kZ.
高中数学高一必修《正弦函数余弦函数的性质》教学课件
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考3 当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值 1和最小值－1? 答 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有： 当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1； 当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(1)函数 y＝sin x，x∈－π2，32π的图象如图所示：
观察图象可知：
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
当 x∈－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1 增 大到 1； 当 x∈π2，32π时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由 1 减小 到－1. 推广到整个定义域可得：
π2＋2kπ (k∈Z)
在x＝
－π2＋2kπ (k∈时Z，)
最值 ymax＝1；在x＝
时，ymin＝－1
在x＝
时，
ymax＝21kπ；(k在∈xπZ＝＋) 2kπ
(k∈Z)
时，ymin＝－
1
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
情境导学
周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质， 此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将 对此作进一步探究.
深入探究
思考2 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪 些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？ 答 函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
观察图象可知： 当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1 ； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得： 当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由 －1增大到1； 当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值 由1减小到－1.
高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件
上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
+ ( ∈ ) 时取得最大值1，
当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；
①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +
+ ，所以自变量增加 ，函数值
+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.
单调性
−
−
−
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
高中数学人教A版 必修第一册 正弦函数、余弦函数的性质 课件
如果存在一个非零常数T,使得对每一个x ∈ D都有x + T ∈ D，且
f x + T = f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期性
问：正弦函数是否为周期函数？
问：正弦函数的周期是多少？
由sin x + 2kπ = sinx k ∈ Z 知，
正弦函数的周期是2( ∈ Z且 ≠ 0).
都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数也是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
都是它的周期，最小正周期是2π.
奇偶性
问：观察正弦函数、余弦函数的图象，你发现它们有什么对称性？
= sin
正弦函数关于原点对称，诱导公式sin −x = sin
正弦函数是奇函数
= cos
余弦函数关于y轴对称，诱导公式cos −x = cos
2，4，6， ⋯ − 2, −4, −6, ⋯都是正弦函数的周期
如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期.
在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及
的周期，一般都是指函数的最小正周期.
周期性
正弦函数是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
os 2
即
所以
c o s 2x( + ) = c x，
o s x2 R
.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
1
(3) y 2sin（ x ）
, x R.
2
6
1
（3）令 z = x ，由 x R 得 z R ，
2
6
且 y 2sin z 的周期为 2 ，
f x + T = f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期性
问：正弦函数是否为周期函数？
问：正弦函数的周期是多少？
由sin x + 2kπ = sinx k ∈ Z 知，
正弦函数的周期是2( ∈ Z且 ≠ 0).
都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数也是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
都是它的周期，最小正周期是2π.
奇偶性
问：观察正弦函数、余弦函数的图象，你发现它们有什么对称性？
= sin
正弦函数关于原点对称，诱导公式sin −x = sin
正弦函数是奇函数
= cos
余弦函数关于y轴对称，诱导公式cos −x = cos
2，4，6， ⋯ − 2, −4, −6, ⋯都是正弦函数的周期
如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期.
在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及
的周期，一般都是指函数的最小正周期.
周期性
正弦函数是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
os 2
即
所以
c o s 2x( + ) = c x，
o s x2 R
.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
1
(3) y 2sin（ x ）
, x R.
2
6
1
（3）令 z = x ，由 x R 得 z R ，
2
6
且 y 2sin z 的周期为 2 ，
新教材人教版高中数学必修第一册 5-4-2-1 正弦函数、余弦函数的性质 正弦、余弦函数的周期性
由图象可知 T＝π.
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[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos＝ 2π 求得． |ω|
(2)定义法：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得
定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x)，那么非零常数 T 叫做这
第二十三页，共三十四页。
[ 典例 3] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
()
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin π2＋2x
D．y＝cos 32π－2x
[ 解析]
(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
2x|是偶函数，y＝sin
π＋2x 2
＝
cos 2x 是偶函数，y＝cos 32π－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小
正周期 T＝π. [ 答案] (1)D
第二十四页，共三十四页。
[ 典例 3] (2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若
f(x)的最小正周期为π，且当 x∈ 0，π2 时，f(x)＝sin x，则 f
5π 3 等于(
)
A．－1 2
B．1 2
C．－ 3 2
D． 3 2
[ 解析]
所以函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为
x∈Rx≠2kπ＋32π，k∈Z
，
显然定义域不关于原点对称．
故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x是非奇非偶函数．
第十九页，共三十四页。
[方法技巧]
判断函数奇偶性的思路