2015年考研数学一真题及解析
sin 2θ 1
f (r cosθ , r sinθ )dr
4
2sin 2θ
1 1 1
1
(5) 设矩阵 A = 1 2
a
，b
=
d
，若集合
Ω
={1,
2}
，则线性方程组
1 4 a2
d 2
Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为
()
(A) a ∉ Ω, d ∉ Ω (B) a ∉ Ω, d ∈ Ω (C) a ∈ Ω, d ∉ Ω (D) a ∈ Ω, d ∈ Ω
(B) 3
(C) −5
(D) 5
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
(9)
lim
x→0
ln
cos x2
x
=
_________ .
∫ (10)
π 2 −π 2
( sin x 1+ cos x
+
x )dx
= ________ .
(11)若函数 z = z(x, y) 由方程 ex + xyz + x + cos x =2 确定，则 dz (0,1) = ________ .
线 y = f (x) 的拐点的个数为
()
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(2)设 y= 1 e2x + (x − 1)ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程
2
3
y′′ + ay′ + by = cex 的一个特解，则
()
(A) a = −3,b = 2, c = −1
(B) a = 3,b = 2, c = −1
(17)(本题满分 10 分)
已知函数 f ( x, y ) = x + y + xy ，曲线 C： x2 + y2 + xy = 3 ，求 f ( x, y )
在曲线 C 上的最大方向导数.
(18)(本题满分 10 分)
（I）设函数 u(x), v(x) 可导，利用导数定义证明[u(= x)v(x)]′ u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
(12)设 Ω 是由平面 x + y + z =1 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则
∫∫∫ (x + 2 y + 3z)dxdydz = __________ . Ω
2 0 0 2 −1 2 0 2 (13) n 阶行列式 = ___________ . 0 0 2 2 0 0 −1 2
(14)设二维随机变量 (x, y) 服从正态分布 N(1,0;1,1,0)，则 P{XY − Y < 0} =________ .
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
( ) (15)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x) =x + a ln(1+ x) + bx sin x ， g(x) = kx3 ，若 f x 与 ( ) g x 在 x → 0 是等价无穷小，求 a,b, k 的值.
( ) (6)设二次型 f x1, x2 , x3 在正交变换为 x = Py 下的标准形为 2 y12 + y22 − y32 ， 其中 P = (e1, e2 , e3 ) ，若=Q (e1, −e3, e2 ) ，则 f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x = Qy
下的标准形为 ()
（II）设函数 u1(x), u2 (x), , un (x) 可导， f(x) = u1(x)u2(x) un(x)，写出f(x )的求
导公式.
(19)(本题满分 10 分)
( ) ( ) 已知曲线
L
的方程为
z
=
2 − x2 − y2 , 起点为 A 0, 2, 0 ，终点为 B 0, − 2, 0 ，
(4) 设 D 是第一象限由曲线 2xy = 1， 4xy = 1与直线 y = x ， y = 3x 围成的平
面区域，函数 f ( x, y) 在 D 上连续，则 ∫∫ f ( x, y) dxdy =
D
()
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
π
1
∫ ∫ (A)
3 π
dθ
sin 2θ 1
f (r cosθ , r sinθ )rdr
4
2sin 2θ
πห้องสมุดไป่ตู้
1
∫ ∫ (B)
3 π
dθ
sin 2θ 1
f (r cosθ , r sinθ )rdr
4
2sin 2θ
π
1
∫ ∫ (C)
3 π
dθ
sin 2θ 1
f (r cosθ , r sinθ )dr
4
2sin 2θ
π
1
∫ ∫ (D)
3 π
dθ
2
()
(B) P ( AB) ≥ P ( A) P ( B)
(D) P ( AB) ≥ P ( A) P ( B)
2
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
(8)设随机变量 X ,Y 不相关，且= EX 2= , EY 1,= DX 3 ，则 E X ( X + Y − 2) =
()
(A) −3
(C) a = −3,b = 2, c = 1
(D) =a 3= ,b 2= , c 1
∞
∞
∑ ∑ (3) 若级数 an 条件收敛，则 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 nan (x −1)n 的
n=1
n=1
() (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
(16)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 ∈ I ，由线
( ) ( ) y=f ( x) 在点 x0, f x0 处的切线与直线 x = x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且
f (0) = 2 ，求 f ( x) 的表达式.
(A) 2 y12 − y22 + y32 (B) 2 y12 + y22 − y32 (C) 2 y12 − y22 − y32 (D) 2 y12 + y22 + y32
(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则
(A) P ( AB) ≤ P ( A) P ( B)
(C) P ( AB) ≤ P ( A) P ( B)
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合
题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内连续，其中二阶导数 f ′′(x) 的图形如图所示，则曲
2015年考研数一真题及答案解析
2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1n n a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D) ()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ωxyo(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()()()2P A P B P AB P A P B +≤⋅≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( ) (A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 2ln cos lim_________.x xx→= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10) 22sin ()d ________.1cos xx x xππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则 又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zz xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L L M M OM M L L【答案】122n +-【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<= 【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而 11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()30ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 即10,0,123a aa b k+=-== 法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- (16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程， 即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++f x y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数. 【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为()()2211y x +++，此题目转化为对函数()()()22,11g x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. 所以最大值为93=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()（II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()()()，写出()f x 的求导公式. 【解析】（I ）0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=（II ）由题意得(19)(本题满分 10 分)已知曲线L 的方程为222,,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A ，终点为()0,2,0-B ，计算曲线积分()()2222d d ()d L I y z x z x y y x y z =++-+++⎰. 【答案】2π2【解析】由题意假设参数方程cos 2sin cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ. 【答案】【解析】(I)证明： 故123,,βββ为3R 的一个基.（II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠ 即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =. (I)求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.. 【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++(II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ， (22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =L 为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生. 则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()，12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑， 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量. 文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网 整理发布。
2015年考研数学(一)真题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题1、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C 2、设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】A 3、若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】B4、设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】B5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D6、设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】A7、若A,B 为任意两个随机事件，则( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】C8、设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】D二、填空题9、20ln cos lim _________.x xx →=【答案】12-10、22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π411、若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -12、设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】1413、n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-14、设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12三、解答题15、(本题满分10分)设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx →⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭==即10,0,123a a a b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-16、(本题满分10分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.17、(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. 18、(本题满分10分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++ 19、(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d π2θθ==20、(本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭2012102024021201kk kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基.（II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠21、(本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP22、(本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布；(II) 将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,) (注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 23、(本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰，令()E X X =，即12X θ+=，解得 1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以 12min nX X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.。
2015年考研数学(一)真题及答案详解
( ) g x 在 x → 0 是等价无穷小，求 a,b, k 的值.
【答案】
a
=
−1, b
=
−
1 2
,
k
=
−
1 2 − y22 + y32
(B) 2 y12 + y22 − y32
(C) 2 y12 − y22 − y32
(D) 2 y12 + y22 + y32
【答案】(A)
【解析】由 x = Py ，故 f = xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y12 + y22 − y32 .
程变为 y − 3y + 2y = cex ，再将特解 y = xex 代入得 c = −1.故选（A）
(3) 若级数 an 条件收敛，则 x = 3 与 x = 3依次为幂级数 nan (x −1)n 的 ( )
n=1
n=1
(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.
【解析】因为 an 条件收敛，即 x = 2 为幂级数 an (x −1)n 的条件收敛点，所以
n=1
n=1
an (x −1)n 的收敛半径为 1，收敛区间为 (0, 2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
n=1
nan (x −1)n 的收敛区间还是 (0, 2) .因而 x = 3 与 x = 3依次为幂级数 nan (x −1)n 的
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年考研数学一真题及答案解析D234(2)设211()23=+-xxy ex e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c(D)3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选5（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为1nn a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。
而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2)。
因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。
(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线6y x=，3y x=围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D) ()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，7所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
2015年考研数一真题及答案解析(完整版)
2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ()(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin23142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin23142sin2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）xyo(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()()()2P A P B P AB P A P B +≤⋅≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====-(10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1ze =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++ 122n +=- (14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a a a b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 201sin cos 1lim 13x ab x bx x x kx→++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k→----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为()()2211y x +++，此题目转化为对函数()()()22,11g x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====所以最大值为93=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++ (19)(本题满分 10 分)已知曲线L 的方程为222,,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A ，终点为()0,2,0-B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.【答案】2π2【解析】由题意假设参数方程cos 2sin cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[(2sin cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π22sin sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=-+++⎰π220222sin d π2θθ==⎰ (20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭201212024021201kk kk ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B b a 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,) (注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得 1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以 12min nX X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网 整理发布。
2015考研数学一解析
2015年数学（一）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】设f'O=0左边的零点为H=a,右边的零点为x=b,又在x=0处/"（z）不存在.因为工=a的左、右两侧于〃（工）都大于零，所以（a,/（«））不是拐点；因为工=0左、右两侧f'\x）异号，所以（0,/（0））为拐点；因为工=b左、右两侧）异号，所以（6,/（6））为拐点，故有两个拐点，应选（C）.方法点评:本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上对应的点为拐点.（2）【答案】（A）.【解】因为;y=+孑+（広）e"为y'+ay'+by=ce"的特解，所以y"+ay'+=0的特征方程的特征值为入1=12=2,则a—~3,b=2.显然y为原方程的特解，将代入原方程得c=—1,应选（A）.（3）【答案】（E）.【解】因为£a”条件收敛，所以的收敛半径为1,n=1n=\oo》a”（工一l）n的收敛区间为一1V1,即0＜工＜2.77=1因为Vy—1G（—1」）93—1幺］—l」］9所以级数工a〃（乂一1）"在工=^3处绝对收敛，在x=3处发散，n=l因为〉（工一1）"与工5（攵一1）"收敛半径相同、收敛区间相同97?=1"=1OO所以一1）"在攵=^3处绝对收敛，在乂=3处发散，应选（E）.n=\（4）【答案】（E）.■亠.A=rcos°，（兀”c—兀1—/1\…,【解】令｛一W厂W/［,则\y—rsin0,I43丿2sin20J s in20丿JJ/（jr,j/）clrd_y=d0j*""："/（rcos0,rsin（9）rdr,应选（B）.D45/2sin20（5）【答案】（D）.【解】因为AX=b有无数个解，所以r（A）=r（A）＜3,由|A|=（q—l）（a—2）=0得a=1山=2,1 1 11 0 ：d - 10 0 d 2 — 3d 十 2当a = 1时，Z 111111 \ IA =121010八1 一I41川3—J '因为方程组有无数个解，所以d -1或〃==2；当a = 2时9I 111卩111 \ IA = 122小11—1 一444d 2'33因为方程组有无数个解，所以〃 =1或〃 =2,应选（D ）.111d — 1d 2 一 3d + 2110方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线准方程组有无数个解 的两个关键点、为：厂（A ） < 3及r （A ） =r （A ）.（6）【答案】（A ）.【解】 因为/'（I ,工2，工3）经过正交变换X=PY 化为标准形2y\+yl-y\,所以A 的特征值为A j = 2,入2 =1，入3 = — 1，其对应的特征向量为ei ,e2山3, 因为S , -e 3,e 2为特征值2, — 1,1对应的特征向量，所以X =QY 下二次型的标准形为2yl~yl+yf ，应选（A ）.方法点评：本题考查实对称矩阵对角化及二次型理论.二次型标准化有配方法和正交变换法，配方法化二次型为标准形时，其系数不一定为矩阵的特征值；正交变换法化二次型为标准形时，其系数一定为特征值，注意特征向量与特征值的 次序要保持一致.(7) 【答案】(C).【解】P(A -bB) =P(A) + P(B) -P(AB),因为 P(A +E) > P(AB),所以 P(A) +P(B) - P(AB) > P(AB), .> D/AQ 、x P(A ) + P (B )宀住 /八、 故 P(AB) <---------------------，应选(C).(8) 【答案】(D).【解】 由X,Y 不相关得Cov(X,Y) =0,从而E(XY) =E(X)E(Y).E[X(X +Y —2)]=£*) +E(XY) — 2E(X)= D(X) + [E(X )T+E(X)E(Y) —2E(X)=3 + 4 + 2 — 4=5,应选(D).二、填空题（9）【答案】I【解】方法一ln(cos x ) .. ln[l + (cos z —1)] .. cos x 一1 1lim -------2-----= lim ------------------------------= lim --------°-----=------工->0 x 工-*0 x 工-*0 x Lsin x方法二1. ln(cos x ) — cos x 1 .. sin x lim -------:-----= lim —--------=-----lim ----------x~»0 X X —o 2x 2 x —0 X丄1cos XK 2(io)【答案】T【解】sin x -y 1 + COS X一兀 | jr | djc = 2•A22 7tJCdj ：=—o4方法点评：本题考查定积分的奇偶性质，即/(J7 )djf =—a[/(J7 ) + —工)]dz ，特别地,当 /(— ) = f (JC )时，/(jr )d:r =2 f {x )djrJ o当 f (一x) = — f O 时,/(J7 )dj ： = 0.—a(11)［答案】一山.【解】 方法一 将工=0,夕=1代入e= + + z 十e z + xyz + j; + cos 工=2两边分别对x ,y 求偏导得dz_ 3x •訂+夕z +工cos X =2 中，得 z =0,• z ° Z+ 1 一 sin jr = 0, e z • -----\~ x 3yN +夕3z \八3z=—1 •—代入得器dx=I dj? + 字 | djy = - dz .I (0,1) djc I dy | (0,1)方法二 将j ： =0 = 1代入e ” + xyz +工+ cos jc = 2中得n =0・e z + xyz +无+ cos = 2两边求全微分得e z dz + yzdx + xzAy + xydz + dr — sin x Ax = 0 ,0 代入得 dz |(0.1)= — dx .故dz(0,1)(0,1)=0,(0,1)将 z = o q (12)【答案】 44【解】方法一由对称性得]J(_z+2y + 3z)dQ=6『QQ=6「drJ 0=[(1—jr)3dj?J o4方法二 0 = {(无9夕9之)| (乂，夕)G D,0W n W1—h —j /}9其中1) = {(工9』)|0冬力€1，0€丿£1—“9则'l —T —y (jc + 2y + 3n ) dz1 9之(0,1)'1—x 0'l_zp zdz3「clzJ 0(1— 乂)41—X(1 一 x 一 y}2 Ayoi 1o =T'IJJ (jc + 2jz + 3n ) dv QJj dyDD「drJ o(j? +2j/)(l — x 一 y ) + ^-( 1 一 x 一 y )2 ckr dj/3x +2夕)(1 一 x 一 夕)+~^~(1 — z — y)2^=4(13)［答案】2"+i —2.20220-12【解】D…2D ”一i + 2 X A lr ,220002X(-1)"T =2D ”t +2=2D ”-i = 2(2D -1I + 2 X (— 1 )"+i 八i — i ) = llj ”_2 + 2)十 2=25,1+22+2...=2” ------- 2? + 2 = ：")= 2,,+1 — 2.1 — 2(14)【答案】 j.【解】 因为p =0,所以X,Y 独立且不相关，且X 〜N(1,1),Y 〜N(0,l),P{XY-Y< 0} - P{(X - 1)Y< 0}= P{X <1}P{Y>Q}+P{X>1}P{Y<Q}= *(P{X < 1} +P{X > 1})=y-方法点评：本题考查二维正态分布的性质.设(x,y )服从二维正态分布，则x ,y 独立与X,Y 不相关等价.三、解答题2 3 3(15)【解】 方法一 由 ln(l+H )=H —*- + 2- + o (h 3), sin x =x — + o (jc 3)得Z 3 623 /、/(jc ) =x ~\~ax —号—b —|— bx 2 + o (h 3)=(1+q )jc + (b —守+3 +o (jc 3) 9因为fCx )〜g (工)，所以 1 + a = 0,6 — -|-=0,-|-=^,解得 a = — l,h=----yk =-------.方法二 由1=1")•Z —0 1. x ~\r a ln( 1 + jc ) + sin x2)=映kx 3alim1 + -~--------p b sin x bx cos xV + x丿曰 “—~ 29 彳可 a = — 193k j :2再由1 = limx-*01-丄3kx 2+ 6sin x + bx cos x=limx-*0z~~-----p b sin x -Ybx cos x1 +3kx 2lim x-*0再由1 = lim•r f 0----------r + 2b cos x 一 bx sin x (1+J ，得 5丄I&kx1 . 1_____cos ,+_,sln , 亍齐―g怛—融—&kx123—+ sin x !• （1 +工）' 1 伯 L hm ------------------------------= _ 百，得&乂~0 bk 3k丄Qk （16） 【解】y — f （x ）在点（工（），/'（攵0））处的切线方程为y — f （x 0）—力0）,/（ J? o ）令；y = 0 ,贝」z =工 ° 一 r ----r ,J （工。
2015-数一真题、标准答案及解析
2015 考研数学一答案一、选择题（1）设函数 f (x ) 在（-∞,+∞）连续，其 2 阶导函数 f ''(x ) 的图形如下图所示，则曲线y = f (x ) 的拐点个数为（）（A ）0（B ）1 (C) 2 ( D) 3【答案】C【解析】拐点为f "(x)正负发生变化的点（2）设y = 1 e 2 x + ⎛ x - 1 ⎫e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y " + ay ' + by = ce x 的一个特解2 ⎝3 ⎪⎭则：(A)a = -3,b = -1, c = -1. (B)a = 3,b = 2, c = -1. (C)a = -3,b = 2, c = 1. (D)a = 3,b = 2, c = 1.【答案】（A ）【解析】1 e2 x , - 1 e x为齐次方程的解，所以2、1为特征方程λ2 +a λ + b = 0的根， 2 3从而a = -(1+ 2) = -3,b = 1⨯ 2 = 2, 再将特解y = xe x 代入方程y "- 3y ' + 2 y = ce x 得 c = -1.∞ ∞ ⎰π ⎰⎰π ⎰π ⎰⎰π n nn f (x , y )dxdy =3 dθ sin 2θ ∞ ∞(3)若级数∑a 条件收敛，则x = 3与x = 3依次为幂级数∑na (x -1)n的 nnn =1n =1(A)收敛点，收敛点. (B)收敛点，发散点. (C)发散点，收敛点. (D)发散点，发散点.【答案】B【解析】∞∞∞因为∑a 条件收敛，故x = 2为幂级数∑a ( x -1)n的条件收敛点，进而得∑a ( x -1)nn =1n =1n =1的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)；又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故∑na ( x -1)n (0, 2) x = 3 x = 3 ∑na ( x -1)nn n =1的收敛区间仍为 ，因而 与 依次为幂级数nn =1的收敛点，发散点.（4） 设 D 是第一象限中曲线2xy = 1, 4xy = 1与直线 y = x , y =f (x , y ) 在 D 上连续，则⎰⎰ f (x , y )dxdy =D3x 围成的平面区域，函数（A ） π3 d θ1sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr （B ） π3 d θ ⎰ sin 2θ1f (r cos θ, r sin θ )rdr 42sin 2θ42sin 2θ(C) π3 d θ1sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr ( D)π3 d θ ⎰sin 2θ 1 f (r cos θ, r sin θ )dr42sin 2θ【答案】B【解析】由 y = x 得，θ = π442sin 2θ由 y = 3x 得，θ = π3由2xy = 1得， 2r 2cos θ s in θ =1, r =由4xy = 1得， 4r 2cos θsin θ =1, r =sin 2θ 2sin 2θπ ⎰⎰ ⎰π ⎰1D42sin 2θ所以 f (r cos θ, r sin θ )rdr⎛1 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ （5） 设矩阵 A = 1 2 a ⎪， b =d ⎪ ，若集合Ω = {1, 2}，则线性方程组 Ax = b 有无⎪ ⎪ 1 4 a 2 ⎪ d 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭穷多个解的充分必要条件为（A ）a ∉Ω, d ∉Ω （B ） a ∉Ω, d ∈Ω （C ） a ∈Ω, d ∉Ω （D ） a ∈Ω, d ∈Ω【答案】D⎡1 1 1 1 ⎤⎡1 1 11⎤ 【解析】[ A ,b ] = ⎢1 2 a d ⎥ −−→ ⎢0 1a -1d -1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣1 4 a 2 d 2⎥⎦ ⎢⎣0 0(a -1)(a - 2)(d -1)(d - 2)⎥⎦Ax = b 有无穷多解↔ R ( A ) = R ( A ,b ) < 3↔ a = 1或 a = 2 且d = 1或 d = 2（6） 设二次型 f (x , x , x ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为2y 2 + y 2 - y 2 ，其中12 3123P = (e 1, e 2 , e 3 ) ，若Q = (e 1, -e 3 ,e 2 )，则 f (x 1, x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy 下的标准形为（A ） 2 y 2- y 2+ y 2（B ） 2 y 2+ y 2- y 2（C ） 2 y 2- y 2- y 2（D ） 2 y 2+ y 2+ y2 123123123123【答案】A【解析】设二次型对应的矩阵为 A , P = (e 1,e 2 ,e 3 ), 二次型在正交变换x = Py 下的标准行⎡2 为2 y 2+ y 2- y 2, 则 P -1AP = ⎢ 1 ⎤ ⎥ , 若Q = (e , -e ,e ), 则1 2 3 ⎢ ⎥1 32 ⎢⎣ -1⎦⎥ ⎡2 ⎤ Q -1AQ = ⎢ -1 ⎥ , 故在正交变换 x = Qy 下的标准型是： 2 y 2 -y 2 +y 2 故选 A 。
考研数学一真题和答案解析
(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则
()
(A) P AB P A PB
(B) P AB P A PB
(C) P(AB) P(A) P(B) 2
(D) P AB P A P B
2
【答案】(C)
【解析】由于 AB A, AB B ，按概率的基本性质，我们有 P(AB) P(A) 且 P(AB) P(B) ，
所以 z x
(0,1)
Fx(0,1, 0) Fz(0,1, 0)
1, z y
(0,1)
Fy(0,1, 0) Fz(0,1, 0)
0 ，因而 dz
(0,1) dx.
(12) 设 是 由 平 面 x y z 1 与 三 个 坐 标 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 ， 则
(x 2y 3z)dxdydz __________.
线 C 上的最大方向导数. 【答案】3
【解析】因为 f x, y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.
fx ' x, y 1 y, fy 'x, y 1 x ， 故 gradf x, y 1 y,1 x，模为 1 y2 1 x2 ，
此题目转化为对函数 g x, y 1 y2 1 x2 在约束条件 C : x2 y2 xy 3 下的最大值.
P e1,e2,e3 ，若 Q e1, e3,e2 ，则 f x1, x2, x3 在正交变换 x Qy 下的标准
形
为
()
(A) 2 y12 y22 y32
(B) 2 y12 y22 y32
(C) 2 y12 y22 y32
(D) 2 y12 y22 y32
【答案】(A)
(15)(本题满分 10 分) 设函数 f x x a ln(1 x) bxsin x ，g(x) kx3 ，若 f x 与 g x 在
2015考研数学一真题及解析
换 x Qy 下的标准形为 2 y12 y22 y32 .故选(A).
方法二:因在正交变换 x Py 下,有 f xT Ax yT (PT AP) y 2 y12 y22 y32 .故
2 0 0
1 0 0
PT
AP
0
1
0
.而 Q
P
0
0
1
PC
,于是有
0 0 1
0 1 0
2 0 0
(B) 收敛点,发散点 (D) 发散点,发散点
【解】因 an 条件收敛,即收敛,且发散.于是当 x 2 时,有 an (x 1)n an 收敛,
n1
n1
n1
| an (x 1)n | | an |发散.又幂级数 an (x 1)n 的收敛区间以 x 1为中心,故其
n1
n1
n 1
2015 考研数学一真题及解析
(5) 设矩阵 A 1 2
a
,
b
d
,若集合
{1, 2},则线性方程组 Ax
b 有无穷多
1 4 a2 d 2
解的充分必要条件为
(A) a , d
(B) a , d
(C) a , d
(D) a , d
【答】应选(D).
【解】因 Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 r( A) r( A) < 3 ,而
【答】应选(A). 【解】方法一:
由题意, f 的标准型中平方项的系数2,1,-1是二次型的矩阵 A 的特征值,矩阵 P 中列向
量 e1, e2 , e3 分别是 A 属于特征值2,1,-1的特征向量,于是,矩阵 Q 中列向量 e1, e3 , e2 分别是 A 属于特征值2,-1,1的特征向量.又由 P 为正交矩阵易见, Q 也是正交矩阵,因此 f 在正交变
数学一2015年考研真题及答案解析
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
2
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
B ( A, b) 1 2 a
d
0
1
a 1
d
1
0
1
a 1
d 1
1 4 a2 d 2 0 3 a2 1 d 2 1 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2)
（A） 2 y12 y22 y32
（B） 2 y12 y22 y32
（C） 2 y12 y22 y32
（D） 2 y12 y22 y32
1 0 0 1 0 0
1 0 0
【详解】
Q
e1
,
e3
,
e2
e1,
e2
,
e3
0 0
0 1
1 0
1 ，绝对
收敛域为 (0, 2) ，显然 x 3, x 3 依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设D是第一象限中由曲线 2xy 1, 4xy 1与直线 y x, y 3x 所围成的平面区域，函数
f ( x, y) 在D上连续，则 f ( x, y)dxdy （ ）
5．设矩阵 A 1 2
a
,
b
d
，若集合
1, 2，则线性方程组 NhomakorabeaAx
b
有无穷多解的充
1 4 a2 d 2
分必要条件是
（A） a , d