第3章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
晶格振动与晶体的热学性质的晶格畸变效应
晶格振动与晶体的热学性质的晶格畸变效应晶体是由定序排列的原子或分子构成，其内部结构具有周期性的排列方式。
晶体的热学性质与晶体内原子之间的相互作用密切相关。
晶格振动是晶体内原子或分子在其平衡位置周围做微小振动的一种现象。
晶格振动的性质受到晶体的结构、温度和压强等因素的影响。
晶格畸变是指晶格结构由于外界的作用而发生变化，从而影响晶体的热学性质。
本文将探讨晶格振动与晶格畸变效应对晶体热学性质的影响。
一、晶格振动对晶体热导率的影响晶体的热导率是指晶体传导热量的能力。
热导率与晶格中原子或分子振动的频率和振幅相关。
晶格振动的频率与晶体的晶胞结构有关，例如，对于简单晶格结构，振动频率较高；而对于复杂晶格结构，振动频率较低。
当晶格振动频率较高时，晶体内的能量传递速度加快，热导率提高。
相反，当晶格振动频率较低时，能量传递速度减慢，热导率降低。
晶格畸变会改变晶格振动的频率，从而影响晶体的热传导性能。
例如，在晶格畸变中，晶胞间距的改变会导致振动频率的变化，进而影响热导率。
二、晶格振动对晶体热膨胀性的影响晶体的热膨胀性是指在温度变化时晶体尺寸的变化程度。
晶体的热膨胀性与晶格振动也有密切的联系。
晶格振动引起的原子或分子间的相互作用改变会导致晶体发生畸变，从而产生热膨胀。
当晶体受热而振动频率增加时，晶格结构扩展，晶体膨胀。
相反，当晶体受冷而振动频率减小时，晶格结构收缩，晶体收缩。
晶格畸变可以显著影响晶体的热膨胀行为。
例如，在晶体结构的压力或应力下产生的晶格畸变会导致热膨胀性的改变。
三、晶格振动对晶体热容的影响晶体的热容是指单位质量或单位体积的晶体在吸热(或放热)时温度变化的量。
晶体的热容与晶格振动特性也存在一定的关联。
晶格振动的频率和振幅会影响晶体内部能量的分布和传递，从而影响热容。
当晶格振动频率高且振幅大时，晶体内能量的分布较广，热容较大。
反之，当晶格振动频率低且振幅小时，晶体内能量的分布较为局限，热容较小。
晶格畸变会改变晶格振动的特性，进而对晶体的热容产生影响。
晶格振动与晶体的热学性质关系综述
晶格振动与晶体的热学性质关系综述晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围的微小振动。
它是晶体内部热学性质的基础，与晶体的热导率、热膨胀系数、比热容等热学性质密切相关。
本文将综述晶格振动与晶体热学性质的关系，并探讨晶格振动在材料科学中的应用。
晶体的热学性质与晶格振动的频率、波矢以及振幅有密切关系。
一般来说，晶格振动频率高、振幅小的晶体热导率会较高，热膨胀系数较小。
这是因为晶格振动频率高意味着晶格中原子或分子之间的相互作用强，能量传递效率高；而振幅小意味着原子或分子振动的范围小，不易导致晶格的漂移，从而减小了热膨胀系数。
晶格振动与晶体的比热容也存在一定的关系。
在低温下，晶格振动对比热容的贡献为Debye模型所描述的三维声子气模型。
而在高温下，由于激发了大量的非谐振动模式，晶格振动对比热容的贡献将显著增加。
除了热学性质，晶格振动还与晶体的光学性质相关。
例如，晶体的红外吸收谱在一定程度上反映了晶格振动的特点。
由于不同模式的晶格振动对应不同的波矢和能量，因此红外光谱可以提供关于晶体结构和振动特性的重要信息。
在材料科学中，晶格振动也被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
通过调控晶格振动，可以实现材料的热导率和电导率之间的解耦，从而提高材料的热电性能。
例如，通过引入杂质、界面掺杂或纳米结构等手段，可以有效散射晶格振动，降低热导率，进而提高材料的热电效率。
总之，晶格振动与晶体的热学性质密切相关。
研究晶格振动对于深入理解晶体的热学行为、优化材料的热学性能具有重要意义。
随着计算模拟和实验技术的发展，进一步研究晶格振动与热学性质的关系将有助于推动材料科学和能源领域的进展。
这篇文章主要综述了晶格振动与晶体的热学性质的关系，并探讨了晶格振动在材料科学中的应用。
通过调控晶格振动频率、波矢和振幅等参数，可以实现热导率、热膨胀系数和比热容等热学性质的调控。
此外，晶格振动还与晶体的光学性质相关，并被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理第三章
固体物理第三章班级成绩学号Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质姓名(lattice vibration and its heat characteristics)⼀、简要回答下列问题(answer the following questions):1、在晶格常数为a 的⼀维单原⼦晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原⼦振动状态有⽆不同? 试画图加以说明。
［答］对于⼀维单原⼦链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π／4a ，⼆者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原⼦振动状态不同。
如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原⼦的振动状态相同。
2、什么叫简正振动模式？简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是否是⼀回事？［答］在简谐振动下，由N 个原⼦构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独⽴的谐振⼦的振动，每⼀个谐振⼦的振动模式称为简正振动模式。
格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。
简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是是⼀回事，其数⽬等于晶体中所有原⼦的⾃由度之和，即等于3N 。
3、晶体中声⼦数⽬是否守恒？在极低温下，晶体中的声⼦数与温度T 之间有什么样的关系？［答］频率为ωi 的格波的平均声⼦数为： 11)(/-=Tk i B en ωω即每⼀个格波的声⼦数都与温度有关，因此晶体中的声⼦数⽬不守恒，它随温度的改变⽽改变。
以德拜模型为例。
晶体中的声⼦数⽬为ωωωωd g n N D)()('0=其中令 T k x B ω= 则 123'2/033233-=x TB e dxx C T k V N D θπ在极低温度下，θD ／T →∞，于是 331332332033233)2(23123'T nC T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑∞=∞=-=ππ即在温度极低时，晶体中的声⼦数⽬与T 3成正⽐。
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
晶格振动与晶体的热学性质
格波： 连续介质弹性波：
Ae
i t naq
i t xq
Ae
将 µ nq
Ae i t qna
i t naq
代入运动方程得
m 2 Ae
Ae
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解 得
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内 原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶 体中形成各种模式的波，称为格波。只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是 简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。由于晶体的平 移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。通常用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
nj Aje
i jt naqj
频率为 j 的特解：
方程的一般解：
n
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
Ae
j j
i jt naqj
Q q, t einaq Nm
q
1
1 N
＝N＝晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数 三、格波的简谐性、声子概念
1 2 n m 2 n 2 1 U n 晶体链的势能： n 1 2 n
晶体链的动能：T
系 统 的总 机械 能 即 体系的哈密顿量为：
H
：
2 1 1 2 n m n n 1 2 n 2 n
1 d2V dV V a V a 2 2 d x a d x
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—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
两种格波的振幅：
—— 光学波
—— 声学波
(横波情形)
光学支原子振动
声学支原子振动
光学支
声学支
周期性边界条件与独立振动模式密度
M和m原子方程 相邻原胞相位差 波矢q的值
—— 第一布里渊区 布里渊区大小
周期性边界条件
Na
2 2 Na ( q) N 至此，我们可以有把握的说找 a a 2 到了原子链的全部振动模。
一维原子链第一布里渊区内的色散关系：
4
m
sin qa 2
2
1 sin aq m 2
q
一维原子链的相速和群速： 相速度 v p是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的 距离。群速度
这里ω可正可负，我们取正值，因为在物理上频率应大于对 于零。 这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有 原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同 的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 qa 。
该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方 程的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。
杜隆－珀替经验规律
—— 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为kT 总的内能 摩尔热容量
摩尔热容量
—— 与温度无关
—— 杜隆－珀替经验规律
—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降
本章的主要内容: 首先利用简谐近似（非谐近 似得到热膨胀等性质）得到原子振动的色散关 系，引入声子概念，利用徳拜的连续介质波模 型得到原子振动对晶格热容的影响
原胞中两原子的振动相位相同
qa vq a cos m 2
当
2 q , 2a, vq 0 a q
群速度为零
相邻原子振动相位相反，波既不向右传 播，也不向左传播，形成驻波
相邻原子振动方向相反
§3.3 一维双原子链 声学波和光学波
一维复式格子的情形 —— 一维无限长链
两种原子m和M _( M > m) —— 构成一维复式格子 M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… 同种原子间的距离2a——晶格常数
解的物理意义 格波 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相 2 距 的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位 q 相。
该解表明：晶体中所有原子共同 参与的振动，以波的形式在整个 晶体中传播，称为格波。
从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质 弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格 点位置这样的孤立值。
1 E (ni )l 2 i 1
声子气体不受 Pauli 不相容原理的限制，粒子数 目不守恒，故属于波色子系统，服从 BoseEinstein 统计，当系统处于热平衡状态时，频率 为ω i 的格波的平均声子数由波色统计给出：
所以 频率为ωi的声子的平均声子数：
ni e
1
i k BT
第n个原子的运动方程
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
方程解和振动频率
(这样的线性齐次方程应有一个波形式的解)
设方程组的通解: A是振幅,为角频率,q=2/λ波矢 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
色散关系
1 2 sin aq m 2
—— 色散关系 Dispersion curves
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
U 1 U U ( x0 x) U ( x0 ) （ ）O x （ 2 ）O x 2 x x x 2 x
2
2U （ 2） x0 x
—— 恢复力常数
§3.1 一维晶格振动
一、模型和动力学方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a 原子之间的作用力 —— 第n个原子离开平 衡位置的位移 —— 第n个原子和第n＋1个 原子间的相对位移
四、波矢q的个数、模式数
波矢
l — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
给定一组(,q),就表示原子的一种振动形式，称之为振动模式， 就标志晶体中的一种格波，在一维原子晶格中共有N个独立的振 动模式，或者说有N 个独立的格波。 2 每一个 q 的取值所占的空间为：
q 值的分布密度（单位长度上的模式数目）： Na L q L＝Na 为晶体链的长度。 2 2 第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于晶体链的原子个数，
跟晶体内部原子数比起来，表面的特殊性对晶体的整体性质产 生的影响可以忽略,也就是说表面的运动方式可以按数学上的方 面任意选择。表面原子的运动方式称为边界条件。Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典 范。
N个原子头尾相接形成环链， 保持所有原子等价特点
Ae
i t N n aq
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
由连续介质 中的机械波 波矢 晶体中的波 波长
总结: 格波方程: 格波波长:
格波波矢:
格波相速度: 格波的群速度： v d a cos qa dq m 2 不同原子间相位差: 相邻原子的相位差:
二、格波的色散关系:（
）
4 m
特点: １、是q的周期函数,周期为2/a。
(q Gl ) (q)
点阵振动
1、简谐近似 这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振 动。所谓简谐近似即认为振动是小振动，振幅很 小，这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。
f x
第n-2个原子 第n-1个原子 第n个原子 第n+1个原子 第n+2个原子
a
un-2
un-1
un
un+1
un+2
从能量的角度来看，认为原子间有了相对位移后， 两原子间的相互作用势也有了变化将势能展开成级数：
q的取值
每个波矢在第一布里渊区占的线度
—— h为整数
第一布里渊区允许的q值的数目 —— 晶体中的原胞数目 —— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N
晶格振动格波的总数＝2N＝晶体链的自由度数。
三维的晶格振动:
N个原胞每个原胞有n个原子的三维晶体， 晶体中格波的支数 ＝ 原胞内的自由度数：3n 其中 3 支为声学支（1支纵波、2支横波） 3n－3支为光学支（也有纵波、横波之分） 晶格振动的波矢数 ＝ 晶体的原胞数 N 晶格振动的模式数 ＝ 晶体的自由度数 3nN 以上结论是否正确，只能依据实验结果来判定。
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
§3.4 晶格振动谱的实验测定
晶格振动的振动谱:
晶格振动的频率和波矢间的关系(色散关系)
一、晶格振动的振动谱测定方法:
中子非弹性散射 X射线散射 光子与晶格的非弹性散射 布里渊散射和拉曼散射
波矢的取值
Gl l 2 / a (l为整数）
一维晶格倒格矢
—— 第一布里渊区
只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题
其它区域不能提供新的物理内容
２、频率是波数的偶函数
(q) (q)
三、玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
实际晶体是有限的，处在表面的原子的所力显然跟内部不同， 应该有不同的方程。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 一维晶格振动 §3.2 三维晶格振动
§3.3 正则坐标与声子
§3.4 晶格振动谱的实验测定 §3.5 离子晶体中的长光学波 §3.6 晶格振动的热力学函数 模式密度 §3.7 晶体的状态方程和热膨胀 §3.8 晶格热容、热传导
绪言
晶体中的原子处在不停的运动中；
而光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 i为单 元交换能量，若电子交给晶格 i 的能量，称为发射 一 个声子；若电子从晶格获得 的能量，则称为吸收一 i 个声子。
声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子 或光子）相互作用时，声子数目并不守恒。声子可 以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量守恒和 准动量守恒。 因为晶体中有3pN个振动模式，一种格波即一种 振动模式称为一种声子, 即有3pN种不同的声子。因 此，晶格振动的总能量为： 3 pN
vq 是平均频率为ω ，平均波矢为q
m sin qa 2 q