2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.3.1 离散型随机变量的数学期望 Word版含答案
高中数学选修2-3精品教案6：2.3.1 离散型随机变量的均值教学设计
2.3.1 离散型随机变量的均值学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点) 知识梳理：[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n ，则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.1.下列说法正确的有________(填序号).①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征.②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确，由均值的性质可知.④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .【答案】 ③2.已知离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝________. 【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 323.设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35教材整理2 常见几种分布的数学期望名称 二点分布 二项分布 超几何分布 公式E (X )＝pE (X )＝npE (X )＝nMN1.若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为________. 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 432.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是________.【解析】 因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以 E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 【答案】 0.8[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 疑难探究：[小组合作型]二点分布与二项分布的数学期望某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望.【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解. 【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.1.常见的两种分布的均值设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)二点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np .熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度. 2.二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x ＝0,1,2，…，n .②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验. [再练一题]1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400 (2)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )X 0 1 Pm 2mA.19 B.29 C.13D.23【解析】 (1)由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.(2)由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.【答案】 (1)B (2)D求离散型随机变量的数学期望在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.【精彩点拨】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【自主解答】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115所以E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤1.根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值.2.求出ξ的每个值的概率.3.写出ξ的分布列.4.利用定义求出数学期望.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识. [再练一题]2.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及数学期望.【解】 X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.[探究共研型]离散型随机变量的均值实际应用探究1 某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X 可以取哪些值？X 取每个值时的概率是多少？【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝1)＝0.7.探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】 每次平均得分为810＝0.8. 探究3 在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】 根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列 →求出数学期望E X→利用期望回答问题【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2.P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X6 21 －2P 0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29).依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.[再练一题]3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图2-3-1甲和图乙所示.图2-3-1(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， 则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高.[构建·体系]达标检测：1.一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X 的数学期望是( )A.0.83B.0.8C.2.4D.3【解析】 E (X )＝3×0.8＝2.4. 【答案】 C2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( )A.13B.23 C.2D.83 【解析】 X 的取值为2,3.因为P (X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.【答案】 D3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 7 8 9 10 Px0.10.3y已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为________.【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4. 【答案】 0.44.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3).又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， ∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数.求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值.【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136，P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16， P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1613113616136(2)E (X )＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.我还有这些不足： (1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)。
2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.1.2离散型随机变量的分布列含解析
2．1。
2 离散型随机变量的分布列错误!离散型随机变量的分布列1．投掷一颗骰子，所得点数为X 。
问题1：X 可取哪些数字？ 提示：X ＝1，2，3，4,5，6问题2：X 取不同的值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.2．一瓶中装有5个球，编号为1，2，3,4,5。
从瓶中同时取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码．问题3：随机变量X 的可能取值是什么？ 提示：X ＝3,4，5。
问题4：试求X 取不同值的概率分别是什么？提示：P (X ＝3)＝错误!＝错误!，P (X ＝4）＝错误!＝错误!，P （X ＝5)＝错误!＝错误!＝错误!。
问题5:你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？提示:可表示为：X345P错误!错误!错误!1．分布列的定义设离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2,…x n，X取每一个值x i（i＝1,2,…,n）的概率p1，p2…，p n则称表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n为离散型随机变量X的概率分布列．2．分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1)p i≥0,i＝1,2，…，n；（2)p1＋p2＋…＋p n＝1.二点分布战士打靶比赛命中得2分,不中得0分,命中概率为0。
6。
问题1若用“X”表示“打靶得分”，X可能取哪些值?提示:0,2问题2：打靶得分的分布列是什么?提示:X 20P 0。
60.4二点分布如果随机变量X的分布列为X10P p q其中0<p〈1，q＝1－p,则称X服从参数为p的二点分布．1．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．由于随机变量的各个取值之间彼此互斥，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[对应学生用书P22］分布列及其性质的应用［例1］X P X i错误!(i＝1,2,3，4），求：(1)P（X＝1或X＝2)；（2）P错误!。
2018新人教B版高中数学选修2-3全册学案精编
目录✧ 1.1.1基本计数原理学案✧ 1.1.2基本计数原理的应用学案✧ 1.2.1.1排列及排列数公式学案✧ 1.2.1.2排列的综合应用学案✧ 1.2.2.1组合及组合数公式学案✧ 1.2.2.2组合的综合应用学案✧ 1.3.1二项式定理学案✧ 1.3.2杨辉三角学案✧第1章计数原理章末分层突破学案✧ 2.1.1离散型随机变量学案✧ 2.1.2离散型随机变量的分布列学案✧ 2.1.3超几何分布学案✧ 2.2.1条件概率学案✧ 2.2.2事件的独立性学案✧ 2.2.3独立重复试验与二项分布学案✧ 2.3.1离散型随机变量的数学期望学案✧ 2.3.2离散型随机变量的方差学案✧ 2.4正态分布学案✧第2章概率章末分层突破学案✧ 3.1独立性检验学案✧ 3.2回归分析学案✧统计案例章末分层突破学案基本计数原理1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 分类加法计数原理阅读教材P3中间部分，完成下列问题.做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班.若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种.( )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种.( )【解析】(1)×在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的.(2)√在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事.(3)√由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式.(4)√根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种).【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√教材整理2 分步乘法计数原理阅读教材P3后半部分内容，完成下列问题.做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个.( )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种.( )【解析】(1)√因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同.(2)×因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成.(3)√因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值.(4)×因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况.【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]分类加法计数原理的应用(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同年级为分类标准.(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类.【自主解答】(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法.共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种.(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).1.应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法.(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏.(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.2.利用分类加法计数原理解题的一般思路[再练一题]1.(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法.【导学号：62980000】【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种.故选C.(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种.【答案】(1)C (2)15分步乘法计数原理的应用一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理.【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码.1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.[再练一题]2.张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种.问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成.第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式.由分步乘法计数原理，得2×3＝6种.[探究共研型]两个计数原理的辨析探究1 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成.而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”.探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成.只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事.探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法.故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐.利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法.由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐.两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步”.【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.2.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉.(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成.[再练一题]3.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡.(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法.(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法.[构建·体系]1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )【导学号：62980001】A.7B.12C.64D.81【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法.故选B.【答案】 B2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )A.1＋1＋1＝3B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24D.以上都不对【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法.【答案】 B3.从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数.产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数.【答案】20 104.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条.【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条.【答案】125.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息.(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法.(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图111所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )图111A.6条B.5条C.9条D.4条【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条.由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条.【答案】 B2.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A 不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A.96种B.24种C.120种D.12种【解析】 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种.【答案】 A3.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )【导学号：62980002】A.53种B.35种 C.8种 D.15种 【解析】 每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法.【答案】 B4.如果x ，y ∈N ，且1≤x ≤3，x ＋y <7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )A.15B.12C.5D.4 【解析】 利用分类加法计数原理.当x ＝1时，y ＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x ＝2时，y ＝0,1,2,3,4，有5个；当x ＝3时，y ＝0,1,2,3，有4个.据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个.【答案】 A5.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax ＋By ＝0的系数A ，B 的值，则形成的不同直线有( )A.18条B.20条C.25条D.10条【解析】 第一步，取A 的值，有5种取法；第二步，取B 的值，有4种取法，其中当A ＝1，B ＝2时与A ＝2，B ＝4时是相同的方程；当A ＝2，B ＝1时与A ＝4，B ＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条.【答案】 A二、填空题6.椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________.【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20个.【答案】207.某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________.【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种).【答案】428.如图112，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________.图112【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】19三、解答题9.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种).(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种).10.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理.有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理.有28×7×9×3＝5 292种不同的选法.[能力提升]1.一植物园参观路径如图113所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )图113A.6种B.8种C.36种D.48种【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线.【答案】 D2.某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )【导学号：62980003】A.180种B.360种C.720种D.960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5).由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种.【答案】 D3.直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B 的值，则可表示________条不同的直线.【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线.【答案】224.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种.由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点.(2)根据条件需满足a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P 可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点.(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点.基本计数原理的应用1.熟练应用两个计数原理.(重点)2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题.(难点)[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P4～P5，完成下列问题.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________.【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242.(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.【导学号：62980004】【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项.由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法.由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项).【答案】363.5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________.【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案.【答案】184.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个.【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.故有3×3×2＝18个不同的四位数.【答案】18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A.16种B.18种C.37种D.48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________.【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解.(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽.【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种).故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种).【答案】(1)C (2)9求解抽取(分配)问题的方法1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.[再练一题]1.3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).组数问题用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码；(2)四位整数；。
高中数学选修2-3精品教案2：2.3.1 离散型随机变量的均值教学设计
2.3.1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （aξ+b ）=aEξ+b ”，以及“若ξB （n ,p ），则Eξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念. 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望. 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习导引：1.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+…=1．3.求离散型随机变量的分布列的步骤： ①离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…， ②求ξ取每一个值x i (i ＝1，2，…)的概率P (ξ＝x i )＝p i ， ③列出分布列表 二、互动探索根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下()i i P x p ξ==在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望. 根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有次得4环； 次得5环；…………次得10环．故在n 次射击的总环数大约为，从而，预计n 次射击的平均环数约为．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:…．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称…… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又n n P 02.0)4(=⨯=ξn n P 04.0)5(=⨯=ξn n P 22.0)10(=⨯=ξ+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯)(i P =ξ+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP )10(10=⨯+ξP =ξE +11p x +22p x ++n n p x =1p =2p n p ==1p =2p np n 1===ξE +1(x +2x n x n 1)⨯+称为平均数、均值.4.均值或期望的一个性质:若(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是…… ＝……)……) ＝，由此，我们得到了期望的一个性质: 5.若ξB （n ,p ），则Eξ=np三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望解：因为，所以例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B （20,0.9）,由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5,所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：例3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望b a +=ξη=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax +++n n p b ax )(+11(p x a +22p x ++n n p x ++1(p b +2p ++n p b aE +ξb aE b a E +=+ξξ)(ξ3.0)0(,7.0)1(====ξξP P 7.03.007.01=⨯+⨯=ξE ηξ,ξ)25.0,20(~B η525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E ξη2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E ξ解：∵，=3.5四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.752. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求(1)他罚球1次的得分ξ的数学期望； (2)他罚球2次的得分η的数学期望； (3)他罚球3次的得分ξ的数学期望．3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望． 五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ,公式E （aξ+b ）= aEξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数 ①求的概率分布列 ②求的数学期望3.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.26,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE ξE ξ=ξξξ七、板书设计（略）八、教学反思：。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.1 离散型随机变量的数学期望》8
2.3.1离散型随机变量的均值【学习目标】1理解离散型随机变量的均值的概念及推导方法，能对离散型随机变量的均值的公式进行简单应用；2通过对离散型随机变量的均值内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【重点难点】离散型随机变量的均值（数学期望）的概念根据离散型随机变量的分布列求出均值【学习过程】一、复习回顾：1、离散型随机变量的分布列2、离散型随机变量分布列的性质：二、课堂互动探究：问题：已知甲乙两个射击运动员射击所得环数X的分布列如下：甲：思考：这两位运动员的水平哪一个更高一些？甲乙各射击10次，甲平均环，乙平均环若甲运动员射击n次，预计大约有PX=7 ×n=次得7环故n次射击的总环数大约为PX=8 ×n=次得8环从而，预计n次射击射击的平均环数为PX=9 ×n=次得9环环PX=10 ×n=次得10环这是一个由甲运动员射击所得的环数的分布列得到的，只与及有关的常数，它反映了运动员射击的。
离散型随机变量均值的定义：则称为随机变量X的 ,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量重要结论：123三．规范应用请注意解答的规范性例题一次英语单元测验由2021择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。
求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
四．自主练习1统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。
9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？2某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为2021，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案：2.3.1 离散型随机变量的均值含解析
2．3．1离散型随机变量的均值预习课本P60～63，思考并完成以下问题1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？2．离散型随机变量的均值有什么性质？3．两点分布、二项分布的均值是什么？[新知初探］1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E（X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量且P（Y＝ax i＋b）＝P（X＝x i），i＝1,2,…，n，E(Y）＝E(aX＋b)＝aE（X)＋b．3．两点分布与二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E（X）＝p;(2）若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E（X）＝np．[点睛] 两点分布与二项分布的关系（1）相同点:一次试验中要么发生要么不发生．（2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1，2,…，n．②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验．错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1）随机变量X的数学期望E（X)是个变量，其随X的变化而变化．( )（2)随机变量的均值与样本的平均值相同．（）(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7．（)答案：(1)×(2）×（3）√2．已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(A ．32B ．2C ．错误!D ．3答案：A3．设随机变量X ～B （16，p ）, 且E (X )＝4， 则p ＝________． 答案：错误!4．一名射手每次射击中靶的概率均为0．8, 则他独立射击3次中靶次数X 的均值为________．答案:2．4求离散型随机变量的均值[典例］ "或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶"字样即为中奖，中奖概率为错误!．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及均值E （ξ)．［解］ (1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，那么 P （A ）＝P (B )＝P (C )＝错误!．P (A ·错误!·错误!)＝P (A ）P （错误!)P （错误!）＝错误!×错误!×错误!＝错误!．故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是错误!．（2)ξ的可能取值为0,1,2，3．P（ξ＝k）＝C错误!错误!k错误!3－k，k＝0，1，2,3．P（ξ＝0）＝C0，3×错误!0×错误!3＝错误!；P(ξ＝1)＝C错误!×错误!×错误!2＝错误!；P(ξ＝2)＝C错误!×错误!2×错误!＝错误!，P（ξ＝3)＝C错误!×错误!3×错误!0＝错误!．所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P错误!2572错误!错误!E(ξ)＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值:根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；（2）求概率：求X取每个值的概率；（3）写分布列：写出X的分布列；(4）求均值：由均值的定义求出E（X)．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．［活学活用］1．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为错误!，乙每次击中目标的概率为错误!，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，（1)求X的概率分布列;（2）求X和Y的数学期望．解：(1）已知X的所有可能取值为0，1,2,3．P(X＝k)＝C错误!错误!k错误!3－k．则P(X＝0）＝C错误!×错误!3＝错误!；P（X＝1)＝C错误!×错误!×错误!2＝错误!；P(X＝2)＝C错误!×错误!2×错误!＝错误!；P(X＝3)＝C错误!×错误!3＝错误!．所以X的概率分布列如下表:(2)由（1)知E(X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝1．5，或由题意X～B错误!,Y～B错误!，∴E（X)＝3×错误!＝1．5，E（Y）＝3×错误!＝2．2．某运动员投篮投中的概率P＝0．6．（1)求一次投篮时投中次数ξ的数学期望．(2)求重复5次投篮时投中次数η的数学期望．解:(1）ξ的分布列为：ξ01P．4．6则E(ξ）＝0×0．4＋1×0．6＝0．6，即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0．6．(2）η服从二项分布，即η~B(5，0．6）．∴E（η）＝np＝5×0．6＝3，即重复5次投篮时投中次数η的数学期望为3．离散型随机变量均值的性质［典例] 已知随机变量X的分布列为:X －2－1012若Y＝－2X，则E(Y)＝________．［解析］由随机变量分布列的性质, 得14＋错误!＋错误!＋m＋错误!＝1，解得m＝错误!，∴E（X）＝（－2）×错误!＋（－1）×错误!＋0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝－错误!．由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E（Y)＝－2×错误!＝错误!．[答案] 17 15［一题多变]1．［变设问]本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y)．解:由公式E(aX＋b）＝aE（X)＋b及E（X）＝－错误!得，E(Y）＝E(2X－3)＝2E（X)－3＝2×错误!－3＝－错误!．2．[变条件，变设问］本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－错误!, 求a的值．解:∵E(ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－错误!a＋3＝－错误!，∴a＝15．与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X),再利用公式E（aX＋b)＝aE(X）＋b求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（η)．均值的实际应用［典例］的付款期数ξ的分布列为ξ12345P．4．2．2．1．1200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款,其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款"的概率P（A)；（2)求η的分布列及均值E（η)．［解］(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,错误!表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(错误!）＝（1－0．4）3＝0．216，P（A)＝1－P（错误!)＝1－0．216＝0．784．(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P（ξ＝1)＝0．4，P(η＝250）＝P（ξ＝2)＋P（ξ＝3）＝0．2＋0．2＝0．4,P(η＝300）＝P(ξ＝4）＋P（ξ＝5)＝0．1＋0．1＝0．2，因此η的分布列为η202530P．4．4．2E（η）＝200×0．4＋250×0．4＋300×0．2＝240（元)．1．实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的解答步骤(1）审题,确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2）确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值．（3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．[活学活用]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为错误!，乙每次投篮投中的概率为错误!,且各次投篮互不影响．求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．解:设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(A k)＝错误!，P（B k）＝错误!，（k＝1，2,3）．ξ的所有可能值为1，2,3．由独立性知P(ξ＝1)＝P（A1)＋P（错误!1B1）＝错误!＋错误!×错误!＝错误!，P(ξ＝2）＝P（错误!1错误!1A2)＋P（错误!1错误!1错误!2B2)＝错误!×错误!×错误!＋错误!2×错误!2＝错误!，P(ξ＝3）＝P(错误!1错误!1错误!2错误!2）＝错误!2×错误!2＝错误!．综上知，ξ的分布列为ξ123P 23错误!错误!数学期望为E(ξ)＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!．层级一学业水平达标1．若X是一个随机变量，则E(X－E（X))的值为（）A．无法求B．0C．E(X) D．2E（X)解析:选B ∵E（aX＋b）＝aE(X）＋b，而E（X）为常数,∴E （X－E(X))＝E(X）－E（X）＝0．2．若随机变量ξ的分布列如下表所示,则E（ξ）的值为( ）ξ012345P2x3x7x2x3x xA．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选C 根据概率和为1，可得x＝错误!,E(ξ)＝0×2x＋1×3x ＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝错误!．3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0．8,则射击一次得分X的期望是( )A．0．2 B．0．8C．1 D．0解析：选B 因为P(X＝1）＝0．8，P（X＝0）＝0．2,所以E(X）＝1×0．8＋0×0．2＝0．8．4．某班有错误!的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数ξ~B错误!，则E(－ξ）的值为（）A．错误!B．－错误!C．54D．－错误!解析：选D ∵E（ξ)＝5×错误!＝错误!，∴E（－ξ)＝－E（ξ）＝－54,故选D．5．有10件产品,其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E（X)等于( )A．错误!B．错误!C．错误!D．1解析：选A X的可能取值为0,1，2，P(X＝0)＝错误!＝错误!，P （X＝1)＝错误!＝错误!，P(X＝2）＝错误!＝错误!．所以E（X）＝1×错误!＋2×错误!＝错误!．6．一射手对靶射击,直到第一次命中为止，每次命中的概率为0．6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．解析:X的可能取值为3，2，1,0,P(X＝3）＝0．6；P（X＝2）＝0．4×0．6＝0．24；P（X＝1)＝0．42×0．6＝0．096;P（X＝0)＝0．43＝0．064．所以E(X）＝3×0．6＋2×0．24＋1×0．096＋0×0．064＝2．376．答案：2．3767．设离散型随机变量X可能的取值为1,2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3）．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________．解析：∵P（X＝1）＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3）＝3a＋b,∴E(X）＝1×（a＋b）＋2×（2a＋b）＋3×（3a＋b）＝3，∴14a＋6b＝3．①又∵（a＋b)＋（2a＋b）＋(3a＋b）＝1，∴6a＋3b＝1．②∴由①②可知a＝12，b＝－错误!，∴a＋b＝－错误!．答案：－错误!8．某次考试中,第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分,不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，则X～B（12，0．8），E(X）＝np＝12×0．8＝9．6,E（Y)＝E(5X）＝5E（X)＝5×9．6＝48．答案：489．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止．求：（1)抽取次数X的分布列;（2）平均抽取多少次可取到好电池．解:(1）由题意知，X取值为1,2，3．P(X＝1）＝3 5；P（X＝2)＝错误!×错误!＝错误!；P(X＝3)＝25×错误!＝错误!．所以X的分布列为X123P错误!错误!错误!（2)E（X)＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝1．5，即平均抽取1．5次可取到好电池．10．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．解:(1）依题意及频率分布直方图知,0．02＋0．1＋x＋0．37＋0．39＝1，解得x＝0．12．(2)由题意知，X～B（3,0．1）．因此P（X＝0)＝C错误!×0．93＝0．729；P （X ＝1)＝C 13×0．1×0．92＝0．243； P (X ＝2）＝C 错误!×0．12×0．9＝0．027； P （X ＝3）＝C 错误!×0．13＝0．001．故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E （X )＝3×0．1＝0．3．层级二 应试能力达标1．已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E （η)＝错误!，则a ＝（ ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由分布列的性质得错误!＋错误!＋m ＝1， ∴m ＝错误!．∴E (ξ）＝－1×错误!＋0×错误!＋1×错误!＝－错误!．∴E (η)＝E (aξ＋3）＝aE (ξ）＋3＝－错误!a ＋3＝错误!，∴a ＝2． 2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2，3｝，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝｜a －b |的取值,则ξ的数学期望E （ξ）为( )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!解析:选A ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧,∴－b2a〈0,即错误!>0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E （ξ）＝0×13＋1×错误!＋2×错误!＝错误!．3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为错误!,则口袋中白球的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．2解析：选A 设白球x 个,则黑球7－x 个,取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1，2,P（ξ＝0）＝错误!＝错误!,P(ξ＝1）＝错误!＝错误!，P（ξ＝2）＝错误!＝错误!,∴0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!，解得x＝3．4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是:据此判定( )A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定解析：选A E（ξ)＝0×0．7＋1×0．1＋2×0．1＋3×0．1＝0．6，E（η)＝0×0．5＋1×0．3＋2×0．2＋3×0＝0．7．∵E(η）〉E（ξ),故甲比乙质量好．5．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：则E(X解析:由表可得错误!从而得P∈错误!，期望值E（X）＝0×错误!＋1×p ＋2×错误!＝p＋1，当且仅当p＝错误!时，E(X）最大值＝错误!．答案:错误!6．节日期间，某种鲜花的进价是每束2．5元,售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1．6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ（束）的统计（如下表），若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0．20＋300×0．35＋400×0．30＋500×0．15＝340（束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1．6×(500－ξ）－500×2．5＝3．4ξ－450，所以E(η）＝3．4E(ξ）－450＝3．4×340－450＝706(元)．答案：7067．(重庆高考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个,这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解:（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A）＝错误!＝错误!．(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝错误!＝错误!,P(X＝1）＝错误!＝错误!,P(X＝2)＝错误!＝错误!．综上知，X的分布列为X 012P错误!错误!1 15故E（X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!（个）．8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0．999104．(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B（104，p）．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则A发生当且仅当ξ＝0，P（A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0）＝1－(1－p）104，又P(A）＝1－0．999104，故p＝0．001．(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出:104ξ＋5×104,盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104）,由ξ~B（104,10－3）知，E(ξ）＝10,E（η)＝104a－104E（ξ)－5×104＝104a－105－5×104．由E(η)≥0⇔104a－105－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.1 离散型随机变量的数学期望》2
离散型随机变量的数学期望一、教材分析教材的地位和作用期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。
同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。
教学重点与难点重点：离散型随机变量的期望的概念及运算。
难点：离散型随机变量的期望的实际应用。
[理论依据]本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。
此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。
二、教学目标[知识与技能目标]了解离散型随机变的量期望的含义和作用，会根据离散型随机变量的分布列求期望，并体会期望的作用。
会[过程与方法目标]掌握离散型随机变的量期望，并解决一些实际问题。
经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
三、教法选择引导发现法四、学法指导注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。
2.总结E(X)= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望又简称为期望。
3.计算方法步骤4.意义例1通过比较期望进行决策练习.某彩票中心发行彩票10万张,每张1元.设一等奖1个,奖金1万元；二等奖2个,奖金各5千元；三等奖10个,奖金各1千元；四等奖100个,奖金各1百元；五等奖1000个,奖金各10元.试求每张彩票的期望获利金额是多少?例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2021元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．5.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个2021.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=2021选其一,应选用哪个?。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.1.2 离散型随机变量的分布列》49
离散型随机变量的分布列教学设计一．教材内容分析1．地位与作用《离散型随机变量的分布列》是人教B版《普通高中课程标准教科书数学选修2-3》第二章的第二节，主要内容是学习分布列的定义、性质及应用本部分内容主要包括随机变量的概念及其分布列，是离散性随机变量的均值和方差的基础，从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。
一般以实际情景为主，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。
2．重点、难点根据以上分析，本节课的重点和难点是求离散型随机变量的分布列。
二．教学目标确定知识目标：了解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；能力目标：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力；情感目标：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。
三．教学方法选择采用发现式教学法为主，讲授式教学法为辅的教学方法，让学生充分参与知识的发现与问题的解决过程，设置问题情境，要求学生思考、讨论、表述，充分发挥学生的抽象思维、逻辑思维和创造思维。
四．教学过程设计1．设置问题情境抛掷一枚骰子，求所得点数及取各值的概率；设计意图：设置游戏，容易调动学生学习兴趣，同时揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性。
2．提出问题，引入主题①抛掷一枚骰子，求所得点数及取各值的概率；②抛掷两颗骰子，求点数和的取值个数及取各值的概率；③某一射手在一段时间的射击成绩如下：此射手“射击水平如何”？设计意图：学生思考、讨论，教师巡视、倾听，获取反馈信息，适时引导，共同探究，画出表格，表格从概率角度指出的可能取值及取各值的概率，我们称此表为的分布列。
由学生观察表格，归纳其特征，试着表述分布列的概念，教师及时纠正，引导学生用规范的数学语言叙述得到：知识点（一）离散型随机变量的分布列:一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为：ｘ1，ｘ2，……，ｘｉ，……．ξ取每一个ｘｉ（ｉ＝1，2，……）的概率P（ξ＝ｘｉ）＝Ｐｉ，则称表：XP为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列问题（2）具有怎样的性质？推导过程？知识点（二）离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）（2）设计意图：学生自己发现问题、分析问题、解决问题。
2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.3.2 离散型随机变量的方差
2．3.2离散型随机变量的方差[对应学生用书P37]A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床B机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，p n，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的算术平方根D(X)叫做离散型随机变量X的标准差．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．2．二点分布和二项分布的方差1．离散型随机变量的方差的意义：随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差和样本方差之间的关系：(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[对应学生用书P37][例1] X 0 10 20 50 60 P1325115215115求随机变量的均值和方差．[思路点拨] 利用方差公式求解，首先求出均值E (X )，然后利用D (X )的定义求方差． [精解详析] E (X )＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (X )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.[一点通]已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．1．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．n ＝100，p ＝0.08 B ．n ＝20，p ＝0.4 C ．n ＝10，p ＝0.2D ．n ＝10，p ＝0.8解析：由于X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6. 所以np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得n ＝10，p ＝0.8. 答案：D2．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k p 1－k (k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．1－p 和p (1－p )解析：随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k ·p1－k(k ＝0,1)，则P (X ＝0)＝p ，P (X ＝1)＝1－p ，所以E (X )＝0×p ＋1×(1－p )＝1－p ，所以D (X )＝[0－(1－p )]2×p ＋[1－(1－p )]2×(1－p )＝p (1－p )．答案：D[例2] 1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X ，求随机变量X 的分布列、均值和方差．[思路点拨] 确定随机变量X 的取值，列出其分布列，再计算均值和方差． [精解详析] 由题意可知，X ＝5,4,3.P (X ＝5)＝C 22C 14C 36＝15；P (X ＝4)＝C 12C 24C 36＝35；P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.故X 的分布列为X 5 4 3 P153515E (X )＝5×15＋4×35＋3×15＝4.D (X )＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25.[一点通]1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值和方差． 解：(1)X 的可能的取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k4C 36，k ＝0,1,2. X 的分布列为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.4．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以10016枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80； 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16.(n ∈N )． (2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.[例3] (10分以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：加较好？[思路点拨]可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁．[精解详析]由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.(4分)∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，(8分)∴D(X1)<D(X2)，所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．(10分)[一点通]离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙6．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数变量为X，乙射击时射中的环数变量为Y.(1)求X，Y的分布列．(2)求X，Y的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解：(1)依据题意，0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以X ，Y 的分布列分别为(2)结合(1)中X ，Y 的分布列可得：E (X )＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (Y )＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D (X )＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (Y )＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E (X )＞E (Y )，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D (X )＜D (Y )，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解． 2．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．[对应课时跟踪训练(十六)]1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 解析：E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m .令随机变量Z ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 发生，则Z的方差D (Z )等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：由题意知，E (Z )＝m ，则D (Z )＝m (1－m )． 答案：D3．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )A ．0.48B ．1.2C ．0.72D ．0.6解析：∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴D (X )＝3×0.4×0.6＝0.72.答案：C4．若X ～B (n ，p )且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析：∵X ～B (n ，p )， ∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112·(12)1(1－12)11＝3·2－10. 答案：C5．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：256．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：成功次数X ～B (100，p )，所示D (X )＝100p (1－p )≤100×⎝⎛⎭⎫p ＋1－p 22＝25，当且仅当p ＝1－p 即p ＝12时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.答案：1257．根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，中雨天盈利90元．根据天气预报，明天无雨的概率是0.2，有小雨的概率是0.3，有中雨的概率是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？方差和标准差各是多少？解：用X 表示明天发一辆车的盈利，由题意知P (X ＝230)＝0.2，P (X ＝163)＝0.3，P (X ＝90)＝0.5，所以E (X )＝230×0.2＋163×0.3＋90×0.5＝139.9(元)． 所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元．方差D (X )＝(230－139.9)2×0.2＋(163－139.9)2×0.3＋(90－139.9)2×0.5＝3 028.69， 标准差D (X )＝ 3 028.69≈55. 所以方差和标准差各是3 028.69,55.8．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位 月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，可得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.1.2 离散型随机变量的分布列》
高三二轮复习概率、离散型随机变量及其分布列专题复习（人教A版）教学设计一、教学内容分析本课是复习人教A版选修2-3章的内容。
这节的内容是必修3的统计概率知识的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用。
离散型随机变量的分布列从整体研究随机现象，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每个值的概率大小，反映了随机变量的概率分布，揭示了离散型随机变量的统计规律，在考点中通常会与随机变量的数学期望和方差一起考。
从近几年的高考观察，这部分内容有加强命题的趋势，一般以实际情境为主，需要学生具备一定的建模能力，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。
二、学情分析在前面的复习中，尤其是一轮复习，学生已经复习了一遍离散型随机变量的分布列的相关内容，复习了排列组合的相关内容，并且学习了几种常见的概率模型，以及二项分布等特色的分布。
有了这些知识及一些方法上的准备，但还不够系统化。
处于这一阶段复习的学生部分已经有很好的思维能力，但整体的基础比较薄弱，计算能力普遍较差，对数学图形，符号，文字三种言语的相互转化，以及处理抽象问题的能力还有待提高。
三、教学策略分析学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会，通过投影个别提问等方式来检验学生的复习情况。
四、教学目标、重点、难点目标: 掌握离散型随机变量的分布列及其期望的求法重点: 求离散型随机变量的分布列难点：求分布列中各对应值的概率设计分析：作为复习课，对学生的要求是理解离散型随机变量的分布列的概念，会求其数学期望。
主要是要通过实际例题结合古典概型的概率，会分析随机变量的取值，包含的情况，得出概率，列出分布列，求出期望，这也是这一节的重点，这一节比较难的点是，求出各个值的概率，因为学生往往无法分析该怎么求概率，用哪种求法。
五、教学过程设计1、高考热点分析2、求随机变量的分布列一般可以分为4种类型（1）、茎叶图类型（2）、直方图类型（3）、表格类型（4）、函数类型3、引入练习某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．1设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数112 34321C C C+=学期望．解：1由古典概型，PA =∴事件A 发生的概率为2随机变量X 的所有可能取值为0，1，2PX =0=PX =1=PX =2=∴随机变量X 的分布列为：EX ＝总结求随机变量分布列、及期望的一般步骤一、先确定随便变量的可能取值二、 分别写出各个取值对应的概率 三、列出表格形成分布列 四、根据期望公式求出期望这一题主要引起学生的回忆，从一个简单的分布列来引入，学生做的时候难点在随机变量的取值，概率。
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2.3随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望[对应学生用书P34]设有12个西瓜，其中重5 kg 的有4个，重6 kg 的有3个，重7 kg 的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 可以取哪些值？ 提示：X ＝5,6,7.问题2：X 取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示：13，14，512.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n 则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ；若离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN.1．对离散型随机变量均值的理解：(1)离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．[对应学生用书P34][例1] 一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及期望．[思路点拨] 明确X 的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望． [精解详析] X 可取的值为1,2,3， 则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.[一点通]求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由期望的定义求出E (X )．1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.52．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.[例2] A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．[思路点拨] (1)利用对立事件发生的概率去求；(2)X 服从二项分布，列出X 的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望． [精解详析] (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ， 那么P (C )＝1－P (C )＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. 故P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以随机变量X 的概率分布列为故随机变量X 的数学期望：E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.[一点通]1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．2．常见的三种分布的均值 设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np ；(3)超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35 B.815C.1415D ．1解析：法一：P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115.∴E (X )＝1×715＋2×115＝35.法二：由题意知X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，则E (X )＝nM N ＝35.答案：A4．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X 的数学期望．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.5．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.[例车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[思路点拨]对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X1、X2的期望，比较大小作出判断．[精解详析](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋3 50＝110.(2分)(2)依题意得，X1的分布列为(4分) X2的分布列为(6分) (3)由(2)得，E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．(8分)因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．(12分)[一点通]解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．6．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P (X ＝5)＝C 550.55＝132. (2)X 的分布列为设游客在一次游戏中获得奖金为Y 元， 于是Y 的分布列为故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为 E (Y )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．7．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：根据均值公式，得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量．[对应课时跟踪训练(十五)]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2， 所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案：B2．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )＝( ) A ．15 B ．20 C ．5D ．10解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n2，又E (X )＝15，则n ＝30.由于Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，可得Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E (Y )＝30×13＝10. 答案：D3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12解析：设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P (X＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E (X )＝7.8.答案：B4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.答案：C5．设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则E (X )等于________． 解析：根据题意，X 取1,2,3，…，n 的概率都是1n ，则P (X <4)＝3n ＝0.3，解得n ＝10，则E (X )＝1×110＋2×110＋…＋10×110＝5.5.答案：5.56．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，所以E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：537．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )． 解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. 8．小明家住C 区，他的学校在D 区，从家骑自行车到学校的路有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为23；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求至少遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．解：(1)法一：设“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A ， 则P (A )＝C 13×23×(13)2＋C 23×(23)2×13＋C 33×(23)3×(13)0＝2627，所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627.法二：设“走L 1路线没有遇到一次红灯”为事件A ，则“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A －，故P (A )＝(1－23)(1－23)(1－23)＝13×13×13＝127，11 所以P (A －)＝1－P (A )＝1－127＝2627， 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，23)，所以E (Y )＝3×23＝2>E (X )，所以应选择L 2路线．。